Luận Văn Thạc Sĩ: Nghiên Cứu Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình

Chuyên khảo Phương pháp giải hệ phương trình: chi tiết phân tích chuyên sâu các khía cạnh quan trọng trong lĩnh vực trong thời kỳ mới

• Tác giả: Nguyên Thị Kim Ngọc
• Người hướng dẫn: Ts. Phạm Văn Quốc
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. MỘT SỐ DẠNG HỆ VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
• 1.1. MỘT SỐ DẠNG HỆ CƠ BẢN
• 1.1.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
• 1.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
• 1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
• 1.4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HOÁN VỊ VÒNG QUANH
• 1.5. PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
• 1.5.1. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
• 1.5.2. PHƯƠNG PHÁP THẾ
• 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
• 2.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
• 2.2. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
• 2.3. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
• 2.4. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
• 2.5. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
• 2.6. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ
• 2.7. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SỐ PHỨC
• 3. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
• 3.1. ỨNG DỤNG TRONG XÉT TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
• 3.2. ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
• 3.3. ỨNG DỤNG TRONG TÌM GTLN, GTNN
• 3.4. ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI MỞ ĐẦU

Tóm tắt

I. Nền Tảng Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Cần Nắm Vững

Hệ phương trình là một trong những chuyên đề toán học nền tảng, xuất hiện xuyên suốt trong chương trình phổ thông và đại học. Việc nắm vững các phương pháp giải hệ phương trình không chỉ là yêu cầu bắt buộc để chinh phục các kỳ thi quan trọng mà còn là công cụ để mô hình hóa và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Một hệ phương trình được định nghĩa là một tập hợp gồm hai hay nhiều phương trình với nhiều ẩn số, và nhiệm vụ là tìm ra một bộ giá trị của các ẩn số đó để đồng thời thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ. Mỗi bộ giá trị như vậy được gọi là một nghiệm của hệ phương trình. Luận văn của Nguyễn Thị Kim Ngọc (2013) nhấn mạnh rằng: "Đứng trước một hệ phương trình học sinh cần phải biết phân tích, nhận dạng và chọn lựa phương pháp giải thích hợp". Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc hệ thống hóa kiến thức. Các hệ phương trình có thể được phân loại theo nhiều tiêu chí: theo bậc của đa thức (bậc nhất, bậc hai), theo cấu trúc (đối xứng, đẳng cấp, hoán vị vòng quanh), hoặc theo dạng hàm số (đa thức, vô tỉ, mũ và logarit). Sự đa dạng này đòi hỏi người học phải có một tư duy linh hoạt và một nền tảng lý thuyết vững chắc. Việc hiểu rõ bản chất của từng dạng hệ sẽ giúp lựa chọn chiến lược tiếp cận tối ưu, từ đó tiết kiệm thời gian và tăng độ chính xác khi giải toán. Nội dung bài viết này sẽ đi sâu phân tích, hệ thống hóa các phương pháp từ cơ bản đến nâng cao, dựa trên cơ sở nghiên cứu của các tài liệu học thuật uy tín.

1.1. Định nghĩa và tầm quan trọng của nghiệm hệ phương trình

Một hệ phương trình gồm nhiều phương trình đại số với nhiều ẩn số. Nghiệm của hệ phương trình là một bộ các giá trị (một giá trị cho mỗi ẩn) sao cho khi thay vào, tất cả các phương trình trong hệ đều trở thành các đẳng thức đúng. Việc tìm kiếm tập hợp tất cả các nghiệm là mục tiêu cốt lõi. Tầm quan trọng của việc giải hệ phương trình vượt ra ngoài phạm vi lớp học, nó là nền tảng cho nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Ví dụ, trong kinh tế, hệ phương trình được dùng để xác định điểm cân bằng thị trường. Trong vật lý, chúng được dùng để mô tả chuyển động của các vật thể dưới tác động của nhiều lực. Do đó, việc thành thạo kỹ năng này là vô cùng cần thiết.

1.2. Phân loại các dạng hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến

Việc phân loại hệ phương trình là bước đầu tiên để xác định phương pháp giải. Dạng cơ bản nhất là hệ phương trình tuyến tính, ví dụ như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, nơi các ẩn chỉ có số mũ là 1. Các hệ phức tạp hơn được gọi là hệ phi tuyến. Trong luận văn tham khảo, các hệ phi tuyến được chia thành nhiều loại đặc thù như: hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ phương trình đối xứng loại 2, và hệ phương trình đẳng cấp. Mỗi loại có một cấu trúc riêng biệt và đòi hỏi một phương pháp tiếp cận đặc thù. Nhận dạng chính xác loại hệ là chìa khóa để áp dụng đúng kỹ thuật giải, tránh đi vào những biến đổi phức tạp và không hiệu quả.

II. Bí Quyết Nhận Dạng Và Vượt Qua Các Dạng Hệ Phương Trình Khó

Thách thức lớn nhất khi đối mặt với một hệ phương trình không phải nằm ở việc thực hiện các phép tính, mà là ở khâu nhận dạng và lựa chọn phương pháp. Nhiều học sinh thường lúng túng vì không biết bắt đầu từ đâu, đặc biệt với các hệ phi tuyến phức tạp. Một trong những sai lầm phổ biến là áp dụng máy móc các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản như thế hoặc cộng đại số cho mọi bài toán, dẫn đến những biểu thức cồng kềnh và bế tắc. Để vượt qua thách thức này, cần phải rèn luyện kỹ năng quan sát cấu trúc đặc biệt của hệ. Ví dụ, một hệ phương trình đối xứng loại 1 có đặc điểm là khi hoán vị hai ẩn cho nhau, từng phương trình trong hệ không thay đổi. Trong khi đó, hệ phương trình đẳng cấp lại bao gồm các phương trình mà mọi hạng tử đều có cùng bậc. Việc nhận ra các dấu hiệu này cho phép áp dụng các kỹ thuật biến đổi đặc thù, chẳng hạn như đặt ẩn phụ tổng-tích (S, P) cho hệ đối xứng, hoặc đặt y = tx cho hệ đẳng cấp. Theo nghiên cứu, "việc hệ thống hoá các phương pháp giải sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất", giúp người học xây dựng một lộ trình giải toán rõ ràng thay vì thử và sai một cách mò mẫm. Quá trình này đòi hỏi sự luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau để hình thành phản xạ và kinh nghiệm.

2.1. Phân tích hệ phương trình đối xứng và cách tiếp cận

Hệ phương trình đối xứng là dạng toán thường gặp. Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ mà vai trò của các ẩn là như nhau trong từng phương trình. Phương pháp giải kinh điển là đặt S = x + y và P = xy (với điều kiện S² ≥ 4P) để đưa hệ về các ẩn S, P đơn giản hơn. Ngược lại, hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ mà khi hoán vị hai ẩn, phương trình này trở thành phương trình kia. Kỹ thuật giải phổ biến là trừ vế theo vế hai phương trình để tạo ra nhân tử chung (x - y), từ đó xét hai trường hợp x = y hoặc một biểu thức khác bằng 0.

2.2. Kỹ thuật xử lý hệ phương trình đẳng cấp hiệu quả

Một hệ phương trình đẳng cấp chứa các phương trình mà tổng số mũ của các ẩn trong mỗi hạng tử là bằng nhau. Ví dụ: x² + 3xy = 4 và xy + 2y² = 3. Cách giải tiêu chuẩn là xét trường hợp x = 0. Nếu x ≠ 0, ta đặt y = tx và thay vào cả hai phương trình. Thao tác này sẽ giúp khử ẩn x, đưa hệ về một phương trình bậc cao theo ẩn t. Sau khi tìm được t, ta dễ dàng tìm lại được mối quan hệ giữa x và y, từ đó giải ra nghiệm cuối cùng. Kỹ thuật này giúp đơn giản hóa cấu trúc của hệ một cách triệt để.

III. Hướng Dẫn Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Cơ Bản Nhất

Trước khi tiếp cận các kỹ thuật phức tạp, việc thành thạo những phương pháp giải hệ phương trình cơ bản là điều kiện tiên quyết. Đây là những công cụ nền tảng, được áp dụng rộng rãi nhất, đặc biệt cho các hệ phương trình tuyến tính. Hai phương pháp phổ biến và quan trọng nhất được trình bày trong chương 1 của luận văn tham khảo là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Phương pháp thế hoạt động dựa trên nguyên tắc rút một ẩn từ một phương trình và thay thế nó vào phương trình còn lại, mục đích là để giảm số lượng ẩn và đưa bài toán về dạng phương trình một ẩn quen thuộc. Phương pháp này đặc biệt mạnh khi một trong các phương trình có một ẩn với hệ số là 1 hoặc -1. Trong khi đó, phương pháp cộng đại số lại tập trung vào việc khử một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ sau khi đã nhân chúng với các hệ số thích hợp. Mục tiêu là làm cho hệ số của một trong các ẩn trong hai phương trình trở thành hai số đối nhau. Khi cộng lại, ẩn đó sẽ bị triệt tiêu. Cả hai phương pháp này đều là xương sống của việc giải hệ phương trình ở cấp trung học và là bước đệm để hiểu các kỹ thuật nâng cao hơn. Việc luyện tập nhuần nhuyễn giúp hình thành tư duy biến đổi đại số một cách logic và chính xác.

3.1. Hướng dẫn chi tiết phương pháp thế Substitution Method

Phương pháp thế là một trong những kỹ thuật trực quan nhất. Quy trình gồm các bước: (1) Từ một phương trình, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại. Ví dụ, từ x + 2y = 3, rút ra x = 3 - 2y. (2) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình thứ hai để thu được một phương trình mới chỉ chứa một ẩn. (3) Giải phương trình một ẩn này để tìm giá trị của nó. (4) Thay giá trị vừa tìm được trở lại biểu thức ở bước 1 để tìm nốt ẩn còn lại. Phương pháp này rất hiệu quả cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và là nền tảng cho nhiều kỹ thuật phức tạp hơn.

3.2. Quy trình áp dụng phương pháp cộng đại số Elimination

Phương pháp cộng đại số nhắm đến việc loại bỏ một ẩn số. Các bước thực hiện: (1) Nhân hai vế của một hoặc cả hai phương trình với những số thích hợp sao cho hệ số của một ẩn trong hai phương trình là hai số đối nhau. (2) Cộng vế theo vế hai phương trình mới để khử đi ẩn đó. (3) Giải phương trình một ẩn thu được. (4) Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại. Kỹ thuật này thường nhanh gọn hơn phương pháp thế khi các hệ số phức tạp và không dễ để rút ẩn.

IV. Top Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Nâng Cao Hiệu Quả

Đối với các hệ phương trình phi tuyến hoặc có cấu trúc đặc biệt, các phương pháp cơ bản thường tỏ ra kém hiệu quả. Luận văn của Nguyễn Thị Kim Ngọc đã dành toàn bộ chương 2 để trình bày các phương pháp giải hệ phương trình nâng cao, đòi hỏi tư duy phân tích sâu sắc hơn. Một trong những kỹ thuật mạnh mẽ nhất là phương pháp đặt ẩn phụ. Bằng cách phát hiện ra các biểu thức lặp lại hoặc có quy luật trong hệ, ta có thể đặt chúng bằng các ẩn mới, chuyển hệ phương trình phức tạp ban đầu về một hệ đơn giản hơn, thường là hệ tuyến tính hoặc đối xứng. Một kỹ thuật tinh vi khác là sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp này tỏ ra ưu việt khi một phương trình có thể được viết dưới dạng f(x) = f(y). Nếu chứng minh được hàm f(t) là đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến), ta có thể kết luận ngay x = y và thay vào phương trình còn lại. Ngoài ra, các phương pháp như sử dụng hằng đẳng thức, biến đổi về phương trình tích, hay sử dụng bất đẳng thức cũng là những công cụ lợi hại. Chẳng hạn, một hệ phương trình vô tỉ đôi khi có thể giải quyết gọn gàng bằng cách bình phương và sử dụng hằng đẳng thức để khử căn. Việc lựa chọn đúng phương pháp nâng cao phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm và khả năng "nhìn" ra cấu trúc ẩn của bài toán.

4.1. Kỹ thuật đặt ẩn phụ để đơn giản hóa hệ phương trình

Phương pháp đặt ẩn phụ là một công cụ biến đổi cực kỳ linh hoạt. Chìa khóa thành công nằm ở việc nhận ra các cụm biểu thức chung. Ví dụ, với hệ chứa các biểu thức như x+y và xy, ta có thể đặt ẩn phụ S và P. Với hệ chứa căn thức như √x và √y, ta có thể đặt u = √x, v = √y để đưa về hệ đa thức. Đôi khi, ẩn phụ không xuất hiện ngay mà cần qua một vài phép biến đổi như chia cả hai vế cho một biểu thức khác không. Kỹ thuật này giúp giảm bậc và làm cho cấu trúc của hệ trở nên rõ ràng hơn.

4.2. Giải hệ phương trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu hàm số

Phương pháp này dựa trên một định lý quan trọng: Nếu hàm số f(t) đơn điệu trên một tập D, thì với mọi u, v thuộc D, phương trình f(u) = f(v) tương đương với u = v. Khi gặp một phương trình trong hệ có dạng phức tạp nhưng có thể tách thành dạng f(biểu thức 1) = f(biểu thức 2), ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm f(t). Nếu hàm này đồng biến hoặc nghịch biến, ta có thể rút ra một mối quan hệ đơn giản giữa các ẩn. Đây là một phương pháp rất hiệu quả cho các hệ phương trình mũ và logarit hoặc hệ chứa các hàm số siêu việt.

V. Các Ứng Dụng Của Hệ Phương Trình Trong Nghiên Cứu Thực Tế

Giá trị của việc nghiên cứu các phương pháp giải hệ phương trình không chỉ dừng lại ở các bài toán lý thuyết. Chương 3 trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Ngọc đã chỉ ra nhiều ứng dụng của hệ phương trình trong các lĩnh vực khác nhau, cho thấy sức mạnh của công cụ toán học này trong việc mô hình hóa thế giới thực. Một trong những ứng dụng phổ biến nhất là giải các bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình. Các bài toán về chuyển động, công việc chung, pha chế dung dịch hay các bài toán tối ưu trong sản xuất đều có thể được mô hình hóa bằng một hệ các phương trình ràng buộc. Trong hình học giải tích, việc tìm giao điểm của hai đồ thị (ví dụ đường thẳng và parabol) chính là việc giải hệ phương trình tạo bởi hai hàm số đó. Trong kinh tế học, hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để phân tích dòng chảy kinh tế, xác định giá cả và sản lượng cân bằng trong các mô hình cung-cầu. Các phương pháp giải hệ phương trình nâng cao như phương pháp khử Gauss hay phương pháp ma trận nghịch đảo là công cụ không thể thiếu trong khoa học máy tính, kỹ thuật và tài chính định lượng, nơi phải xử lý các hệ có hàng trăm, thậm chí hàng nghìn ẩn số. Điều này khẳng định rằng, hệ phương trình là một ngôn ngữ chung để mô tả và giải quyết các vấn đề phức tạp trong đa dạng các ngành khoa học.

5.1. Ứng dụng giải các bài toán kinh tế và tối ưu hóa

Trong kinh tế, nhiều vấn đề được mô tả bằng các mối quan hệ tuyến tính. Ví dụ, mô hình Input-Output của Leontief sử dụng một hệ phương trình tuyến tính lớn để mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các ngành của một nền kinh tế. Việc giải hệ này cho phép các nhà hoạch định chính sách dự đoán tác động của sự thay đổi trong một ngành lên toàn bộ hệ thống. Các bài toán tối ưu hóa trong quản trị kinh doanh, chẳng hạn như phân bổ nguồn lực để tối đa hóa lợi nhuận dưới các điều kiện ràng buộc, cũng thường được giải quyết thông qua các hệ phương trình và bất phương trình.

5.2. Biện luận hệ phương trình có tham số trong các bài toán hình học

Việc biện luận hệ phương trình theo hệ phương trình có tham số m có ứng dụng quan trọng trong hình học. Ví dụ, bài toán tìm điều kiện của tham số m để hai đồ thị cắt nhau tại một số điểm cho trước chính là bài toán biện luận số nghiệm của hệ phương trình tương giao. Bằng cách sử dụng các công cụ như định thức hoặc các phương pháp thế, ta có thể xác định được các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm, tương ứng với việc hai đồ thị cắt nhau tại một điểm, trùng nhau hoặc song song.

VI. Tổng Kết Về Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Từ Luận Văn

Qua việc phân tích chi tiết luận văn "Một số phương pháp giải hệ phương trình" và mở rộng ra các ứng dụng thực tiễn, có thể thấy rằng việc làm chủ lĩnh vực này là một hành trình có hệ thống, đòi hỏi cả kiến thức lý thuyết vững chắc và kỹ năng thực hành linh hoạt. Các phương pháp giải hệ phương trình không phải là những công thức rời rạc, mà là một bộ công cụ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Từ những phương pháp cơ bản như thế, cộng đại số, người học dần tiến tới các kỹ thuật cao cấp hơn như đặt ẩn phụ, sử dụng hàm số, bất đẳng thức. Chìa khóa thành công nằm ở khả năng nhận dạng chính xác dạng toán để lựa chọn công cụ phù hợp nhất. Hướng phát triển trong tương lai của lĩnh vực này không chỉ dừng lại ở việc tìm ra các phương pháp giải mới cho các dạng hệ đặc biệt, mà còn tập trung vào việc ứng dụng công nghệ. Sự ra đời của các phần mềm giải hệ phương trình mạnh mẽ như MATLAB, Maple, hay WolframAlpha đã thay đổi cách chúng ta tiếp cận các bài toán quy mô lớn, cho phép các nhà khoa học và kỹ sư tập trung hơn vào việc xây dựng mô hình thay vì các thao tác tính toán thủ công. Tuy nhiên, việc hiểu rõ bản chất các phương pháp giải vẫn là nền tảng không thể thiếu để có thể sử dụng hiệu quả những công cụ này và kiểm chứng kết quả mà chúng đưa ra.

6.1. Tóm tắt các chiến lược giải hệ phương trình hiệu quả nhất

Tổng kết lại, chiến lược hiệu quả nhất bắt đầu bằng việc quan sát và phân loại hệ phương trình. Nếu là hệ tuyến tính, ưu tiên phương pháp cộng đại số hoặc các phương pháp ma trận như định thức Cramer, phương pháp khử Gauss. Nếu hệ có tính đối xứng hoặc đẳng cấp, áp dụng các phép đặt ẩn phụ đặc trưng. Với các hệ phức tạp chứa căn thức hoặc hàm siêu việt, cần cân nhắc đến các phương pháp nâng cao như lượng giác hóa, sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc các bất đẳng thức kinh điển. Việc kết hợp linh hoạt các phương pháp thường mang lại lời giải tối ưu.

6.2. Hướng phát triển và vai trò của phần mềm giải toán

Trong tương lai, các phương pháp giải số (numerical methods) sẽ ngày càng trở nên quan trọng để giải quyết các hệ phi tuyến phức tạp không có lời giải chính xác. Các phần mềm giải hệ phương trình đóng vai trò là công cụ hỗ trợ đắc lực. Chúng có thể nhanh chóng tìm ra nghiệm gần đúng, kiểm tra kết quả, và trực quan hóa nghiệm trong không gian đa chiều. Tuy nhiên, vai trò của người học là phải hiểu được thuật toán đằng sau phần mềm, biết cách đặt bài toán đúng và diễn giải kết quả một cách có ý nghĩa, đảm bảo công nghệ phục vụ cho tư duy chứ không thay thế nó.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 MỘT SỐ DẠNG HỆ VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1.1 MỘT SỐ DẠNG HỆ CƠ BẢN 1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ÂN #) Cơ sở phương pháp a) Dịnh nghĩa: Hệ phương trình bác nhất bai ấn là bé 06 dang aw | by =e age | boy = ez b) Cách giấi: Thăng thường nữ tìmg một trang ba cách san: Cách 1: Phương pháp thế. Cách 2: [Phương nhân cộng, Cách 8: Phương pháp dùng định thức. a bị ah ack D= = ma Tagh, De= =nihạ —rạh, — Dy= — age, = ayy a by eg by tự a= Pe De THỊ: Ð #0, hệ có nghiệm duy nhất, 8 - yo oe vb TH2: D= Dy =0. hg 06 vo s6 nghiem dang {295 ¥o)|a1t%y + biyu = G1} ? D= TH3: be 0s he vO nghiem.

Dy £0 *) Vi dy dp dung 8x |Y=17 Ví du 1. Cho hệ phương trình 3X TY =1 Sử đụng một trong các phương pháp trên đế dàng tìm được nghiệm (2:1), Thằng cách thay X.Ÿ bối các biển thức khác của ấn ta eẽ cắng, tác ra. vô số hệ mái. Ví đụ =L 81 =1 Thay { ta được hệ roy y Ta — Ay — ry X-z*+x Âm + R + vụ — T — TT "Thay ta.

dine Y=vw 1 Se=1 Ví dụ 1. G hệ phương trình. ty + 207 + Gy = 23 Giác, Tận £ — y bệ trả thành "Ta có Of | (x? By = 23 2z? z£ 10c 3002 | 10a; Dy=28 222, 1-2 © — 102 + 104 — 30274. Đ #2 +6 ~ D,oe u Dp Det =y? suy ra (u® + 6)(—a® — 100" — 0ø? +104) - 123 — 2c)? 4>(1—ø)(1+z)(+z9(z?+16z2 +08) 0 Vậy hệ đã cho có hai nghiện 1.2 HỆ PHƯƠNG 'TRÌNH ĐỐI XỨNG *) Ca sở phưểring phần 1) Hệ phương trình đối xứng loại 1 E(;v)=0 a) Dinh nghĩa: Hạ phương trình đối xứng loại 1 lä hệ có dạng G(;ø) Trong đó Ffz;g), GÉ: g) là các đa Lhức đối xứng voi ry.

b) Cách giảt Dạt 3 + +ựcD - sự (điền kiện SẼ > 41?) #18) —U Dùng tính đổi xứng ta đưa hệ về dạng Gis: P)—0 a tran tim digo S, P rir dé theo dinh lf Viet đản, œ,w là nghiệm nhương trình: *x? 8X P=0 -Một số biểu diễn biểu thức đổi xứng qua 5, +)a2 +? (r+uj Đây ST +)z2) +) (m+wj)— Bay +) S2— 30%, +) ty tm PS. +) rế + = (m +)” + Hầu? — tania ty) 3) Hệ phương trình đối xứng loại 2 #;ø)=0 a) Dịnh nghĩn: Hồ phương trình đối xứng loại2 lò hệ có dạng từ?) = “trong đồ #'{œ:z) là đa thức không đôi xứng. b) Cách giáá: Trừ hai nhường trình về thao về ta được F(a;p) — Fane) = 0 (*) oi £ là ẩn số, g là tham số và đặt #tø;g) — fiat) + glyi, sty) độc lập với a chi Plysr) = f(y) + 9(2). Sau đồ giải hệ trong từng trường hợp z = g và ÄZ(z;y) =0.

*) Vĩ dụ áp dụng Loại 1 Hệ phương trình đối xứng loại Í a+b=d Ví đu 1. Giải hệ phương trình Giác, “| b= ¡2 |2 =8 (œ1 b2 2ab=8 Vậy hệ có nghiệm ø — b — 1, Thay đ—2/8g b= v1 v tà dược hệ aye lve v9 4 Ví dụ 144. Giải hệ phương tình #++ đa +35 — 8 Nhận xét: Dây đã là hệ phương trình đi xứng loại 1 nhưng ta không đặt $, /” ngay (vì chứa w# + „⁄#). Ta thea cách dã tạo ra hệ này: Giác, Điều kiện: z > 0; >0.

Đặt a = 2/8g; b= V#E+ V# — n+tự =i2g, ats He tré thanh ate? b=2 Qyay 2 “thay vào bước đặt ta được seve fy 1‹zz y 1 (tmdk} far faa? Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhAt (1:1) "Tưởng Lự trên xết các hệ: Su2(3a” — Ví dụ 1. Giải hệ phương trình. Nhận xét — Ú không thoä mãn hệ phương trình suy ra ÿ 7£ Ú. Chia 2 về phương tình (1) chó yŠ vũ phương trình (2) cho y2 tho dược hệ 92 1= 125 = 10 ze 3 + $, y 5 eS 1 + 3.5 w 3 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (c1; 3) 11 ~q=m+ (+1) =4 Ví dụ 1.

Giải hệ phương trình Py tary toy 1 ty Giải. DK y £0 Hệ tương đương =3 crtty —37 T3. =L Quá cáo ví dụ trên bà dây dõi khi hệ bau đâu chưa phải là hệ đổi xứng loại 1 nhưng qua hiển đối hoặc đặt Ấn phụ ta đưa về hệ đối xứng loại Ì Logi 2: Hệ phương trink déi ứng loại 2 Đối với hệ phương trình đối xứng loại 2, nếu Ƒ{z,ÿ) là đa thức ta thường trừ về với về của bai phương trình La được phương trình đang (£ - ÿ). Trong trường hợp Miz.y) Onéu M(z,y) lA da thee đối xứng ta thường cộng về theo vẽ của hai phương trình để dược mốt hệ dỗi xứng loại 1 a”— 3e— tự - (1} Ví dụ 1.

Giải lệ phương trình —8y— 8e (3) Giải. Trừ về theo về của bai phương trình ta được way be— sy 4 (w— ya? ty" + ay 5) a +)a-y—U a — ụ thay vào (1): #2 — —ø € ø — 0 —+ ÿ —U. +] +9 + + nụ— 4 Cong về theo vế của phương trình (1) và (2) ta được #ð + yŠ — —z — ÿ. ey? ey 5=0 (£Iw «sy 5=0 Ta có hệ e tổ +uổ— m—=0 (+ g)Ể — 5zự(z +) +a +ự =0 Đặt S§—œ+ụ: P= sự; (58 > 4P) hệ trở thành Sara oo Pp saa “ §8-3SP+e£=0 =0 (amy P=s8?—-5 P= 5 ”Ỷ &( 3%? | 16) S= tov2 (am) P=3 #=0 xly=0 .=vR >= vã > e v P== xy =—5 =-v5 Vậy hệ đã cho có ở nghiệm (0,U); (v5, —v'3); (—v5.

vœ—1+vŸụ+ỗ—7 ‘Vi du 1. Giải hệ phương trình vw 1Ivzl6=7 Giải. ĐKz>1;w>L "IYữ về thea về của 2 nhương trình ta được T—wyw+6 vbù-l+vr+6 Via—1)0f—8) vr— 1)( +8) eray. “Thay văn hệ ta dược v# =1 + vê "Mặt khác ta có t# — 1) — (# +6) — 7k Ve— L—v#— Vvư 1|vw|f=7 ve l= = = “œ=10.

vz=l-v#+6= vz+S=4 Vậy hệ đã cho có nghiệ #=m y = 10. Nến ta thay đổi hệ số tự do một chút ta sẽ có bài toán mới như can: Ví dụ 1. Giải hệ phương trình Nhận xết: Bài này ta hoàn toàn có thể giải bằng cách trừ từng về của hai phương trình trơng thự ví dụ trên. Thy nhiên ta.

có thể oó lời giải ngắn con hơn nhồ đánh giá như sau Giác, ĐKœ >1; >1. Khi dá vz TlvwI6>vĩ v—l+vz+60> 7 Tiầu “ ly rụ khí x=y L Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1). GHải hệ phương trình Prva 3m (U6 tht HSG tink Bén Tre 2010-8011) Giải. ĐK #>0, “hận xét (0:0) là mặt nghiệm của hệ Xét x>U, y 0.

trừ từng về của hai phương trình ta có 2 oP lve vWØl2 vì=0 , i “%í= viữœ lự \ vita | 3= )=0@z “Thay vào hệ ta. có a) f= We Save | l= ave @ø(V+— let Ye-l=0e Vix =y nén hệ đã cho có 3 nghiệm: (f;Ø), (1;1), v>a=3+vB~—w Ví dụ 1. Giải hệ phương trình vw-3+vB=z= Giải. hich 1 Nhân xét (3:8), (5:5) khéng phi 1 nghiém cia hé phutong trinh.

Trữ về theo về của hai phương trình ta được d8 vz=5—vu=ä+vwB-g-v5=z=0 Thay vac he ta có ©r 312V HG #)15 #(z—8\(5—#)=1<z=4. "Ta cũng có thể chỉ ra œ = ty như san: GCöch, 9 Via —vw—3 Hệ tương đương v=x vu “Từ điền kiến ofa x.y suy ra VE < Hình phương hai về ta được 4l, 8 ave 3 ely 4 ° easy =4t+y—3-4y/y-3 Ajfy—8=2+y-4 : Từ hệ suy ra (Vw-3+ v7 4 —+ (Ve„ — + V5—g])+ 2 (V võ„ — #) -8 8+ỹ tw-3-v§=si =4 Mà theo bất đẳng thức BSC (VE=S+5—=w)ˆ< (2+1)(œ— 3+ ã— w) Offa 3+ va—ayY < @# +13) —8#+5—z) —? =(vz—3—vw5-—w) +(v/. ve 3=V5 y Töần hằng xây ra +» Tết hợp vái hệ suy raz #4 Vi dy 1.12, Giải hộ phương trình (H woe dưng Giải. Trừ về theo về của bai phương tình: trêu suy ra 14 a 2#+8#—g#+3(œ— #) —U (1) +) Néu £ > thì (1) vô nghiệm.

+) Kếu œ < ự thì (1) võ nghiệm. €6 /'(z) là hàm liên tục và đồng biến trên TK. MÀ im #{z)— mỹ limfh — —3 nên phương trình ƒ'(œ) — Ô só đứng một nợ) Suy ra phương trình /(e) = 0 có tôi da 2 nghiệm. Mũ /(0) = /(1) = 0 uốn =0, = 11a hai nghiệm cña phương trình (3} Vậy hộ (1) có 3 nghiệm là (0;ữ] và (L1) Nhận rét; Dỗi với các hệ phương trình đối xứng loại 2 mà các phương trình thành phần là phương trình siêu việt việc làn xuất hiện nhân tử (+ ) gặp khó khăm ta sẽ chứng Lò œ _ y bằng các phương pháp bắt đẳng thức hoặc nàm số.

Bai tập tương tự tiiải các hệ phương trình sau: ety tay =a 8: 131}. #0(##+ U+T1)— = L2 Hướng dẫn: Đặt u = z? +4; 0 = 2+1, zả |1=2zÌ 2z | dy a.3 TIỆ PIƯƠNG TRÌNH ĐẰNG GẤP *) Ca sở phưïing phán n) Định nghãa+ + Liểu thức ƒ[z;y} gọi là đẳng cấp bậc k nếu fima;myi mì fay =o es .ch + Hệ trong dé #(#¡), 0e; ø} đẳng cần hãc E gọi là hạ đẳng ấn 9) =b b) Cách giải + Xét r —D thay vào hệ kiểm rra xem có thoã mãn không. đúc, E6) =& Kise a Voix £0 dal y = be thay whe be Le e a(. Giải phương trình này tìm được ¢ thay vào lệ ta tầm duve (2,9) *) Ví dụ áp dụng z2? +pồ=L Ví dụ 1.

Giải hệ phương trình xây + 2m2 1 Giải. Dễ thấy 0 không thoä tuần hệ say ra z z2 0. Dery tx thay vào hệ ta được #3 + 1 z3(1+#) 1 + —#3f + 03 1 (#2) 1 t=0 +1+fÐ2—~1—‡—2Ê «12 — 2+ 1) — Ú ©œ +)†=0>p=0+z=l I}†=1w thay W= vào hệ => Vay hệ đã cho có 2 nghiệm (1;0), r Ví dụ 1.14, Giải hệ phương trình Giác, Vi =0 không thoả mãu hộ phương trình nên # 0. #2 + 1® — 3z? — Ú (1) Đặt — ¿ø hệ trở thành, (ype x2(1 | at 3) +) Vait 16 +) Với £ + Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (~l; —l), (—5¡ Những hệ nhươmg; trình trên †a đền nhận ra ngay dạng hệ đẳng cấp.

San day ta xết. mot số ví dụ mã phải qua biến đổi mới đưa được về hệ đẳng cấp Bye =P} Be Vi du 1. Giai he phe teint a(a* +4?) = 10y (Drich dé thi chon déi tuyén THPT chuyén Lam Sơn, Thanh Tlaá 2010) Giải. Nhận xét nên ø — 0 thì ÿ — 0 và ngược lại nên (0.0) là một nghiệm cña hệ Xết zự #0, tir he suy ra 20y2fz2 — ụ2) 9 Vix #0, dat ý = iz phường trình trả thành taty af(3 17 | 209) =0 20 17 | d=0e ` ‡ lực 5 2 — 1 (vô nghiệm).

Ÿ375 sya #135 2 2 Vậy hệ dã cho có § nghiém (0; 0).