CHƯƠNG 1 DÃY SỐ Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số, đó là các định nghĩa, định lý và một số dấy đặc biệt. Những kiến thức này em xem và trình bày lại trong [1], [2] 1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản Định nghĩa 1. Dãy số là một bàm số kừ N* (hoäe N) vào một tập hợp số (N,Q, B,C) hay mot tập con nào đồ của các tập hợp tren. Các số hạng của dãy số thường được kí hiệu là ứn,n, #n,n thay vì u{n),e(r), e{n), ø(n).
Bản thân day nỗ được kí hiệu là {ey}. Vì dãy số là một trường hại: dặc biệt của hầm số nến nỗ cũng, có các tính chất của một hàm số. Day số {u„} được gọi là đãy số tăng (giảm) nếu với mọi n ta 06 ungi > ứn(ty+t < un). Day số tăng hoặc giảm được gọi chung là day den điệu.
Dãy số {u„} được gọi là bị chặn trên nếu tổn tại số thực 4ƒ sao cho với mọi no N ta cé uy, M, Day số {ưu} dược gọi là bị chăn dưới nếu tổn tại số thực m sao cho với mọi nCN ta cé uy, > m. Một dãy số vita bi chén trén, vita bi chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. Dãy {u›} được gọi là một dãy tuần hoàn (cộng tính) nêu tồn tai gỗ nguyên đương ï gau cho Unt — tin, YH EN (Li) a Số nguyên dương † nhá nhất để dãy {nạ} thôa mãn (1.1) dược gọi là chủ kỹ eở sô côa, đây. Dãy [u„} được gọi là ruột dãy phân tuần hoàn /cộng tính) nếu tên tại số nguyên dường # sáo cho tụ ¡= —p, Vn€ÑU (1.2) Số nguyên dương / nhỏ nhất để dãy {u,} théa man (1.2) duge goi la chu kj oo sở của dãy, Ví dụ 1.
Chứng nữnh rằng dãy số {ta} Luần hoàn cộng tính chủ kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng 1 un = gle+ b+ (a—4)(-1)"4}], a6eR. Gid sit up = buy = a. Theo giá Khiếu, đấy số {a} tudin hoàn chủ kỳ 3 nến ta CỐ tin—2 — Mn, VEN. - Xếu œ— 28 { 1 thì ứạ — øapjq — ä— Ale bs (a BE 1PM), ấu ñ — 3E thì tụ — tap — b— ] œ+b+ (&— B)(—1)2—-T, re — Flat o> (6-1, we Ngược lại, nếu u, c6 dang 1 tạ = gla +8— (a 8)(-17TH1, abe R, neN thi với mọi ø c Ñ Ea có đây 3 — slats (oa 1 — gleth+ (0 —B)-1)" "Y= aay Suy ra sự là đây tuần hoàn chu kỳ 2.
Chứng minh ring moi day sé {ux} phan tuần hoàn cộng tính chu kỳ r đồu có dạng tụ — 3Ú — tịv) VỐI gay — tạ (13) Giải, Ta có uaạy — — tạ với Vụ c N và aụ là dãy tuần hoàn cộng tính chủ kỳ 2r. loa tạ — tạ, lá cổ TÔM S tr 2) = Mu — ty) — 3M# ) — 8 Ngược lại, tá thấy mọi đây xác dịnh theo (1.3) dễu là đấy phản luẫn hoàn cha kỳ +. Thật vậy Đi =2 1(Bạn hiện) = 1 (hư te) = tn. Ta có diễu phải chứng mình.
Day tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là đãy bằng. Day {up} dược gọi là một đãy tuần hoàn nhãn tính nến tồn tại số nguyên đương s {s > 1) sao cho tisn ~ it. (1 Sổ nguyên đường s nhỏ nhất để đầy {u„} thôn mân (1.4) dược gọi là chủ kỹ eo sở của dãy. Day {ua} được gọi là một day phần tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1] sao cho ten = Um WON.
(L5) Số nguyên đương s nhỏ nhất để đấy {u„} thốa mãn (1.5) dược gọi là chủ kỳ eở sở của. Chứng mình rằng dãy {on} tuần hoàn nhãn tính chủ kỳ 2 khi và chỉ khi đãy có dạng ag af on thy¥ Wi ml, NOT gui — với n=?#⁄Ẻ3E+1), me€ÑN® REN. Nhận thấy voi moi x © N déu có thể viết dưới dang a — 2° mọi s€ N. Do đó tên — Mas(a:| L) — URL Vĩ vậy ug af an tùy ý với n lễ, " gjyrx với w— #"{3k +1), meNt, keÑ, Ngược lại, dễ thấy {z„} xác định như trên là đãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2.
Chứng minh ring dãy {u„} phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khí và chí khi đãy có dạng, ay, lity ý với n lế, 1y — ý Tuyp + — VỚI n= 9?"†l(2kb+1) meÑ*, keN, Eokkl với n=927(2k+ 1), me", keN. vdi nipi 2 € N déu cd thé v dưới dang m — (2h +1), di moi s ¢ N. Do dé Un wer néi s=2m, me Nt, — as an) Qh} — { ug.) neuA g— # C " | |, vá Vi vay a„ tùyý với m lễ, tn = Ó Tgg | với n— 2H Í(3k+1), meN*, keN, tayi — vớin=22/9k |1), mcÑ®% kcN Ngược lại, dễ thấy („} xác định như trên là dãy phản tuần hoàn nhãn tính chu kỳ 3. ¡) Dãy phân tuần hoàn chu kỳ ? là đấy tuần hoàn chu kỳ 21.
ii) Day phan tuẫn hoàn nhãn tính chu kỳ s là dãy tuần hoàn nhản tính chu ky “2, Định nghĩa L. Ta nói đấy số {z„} có giới hạn hữu han a khi ø dẫn đến võ cùng nếu với mọ >0, tốn tại một số tự nhiên Aụ (phụ thuộc vào dãy số xp va £) san cho với mọi œ > Nụ bà cỗ |#u — 4| < £. lim ty, =ae>0, INGEN: Yn> Ny, [ty —a <<. — Ta néi day số {z,} din đến võ cùng khi n din đến võ cùng nếu với mọi số thực đương 3 lớn tùy ý, tồn tại một số tự nhiên ạ¿ (phụ thuộc vào dãy số z„ và 87) sao cho với mọi n > Ay ta có |zp| > A4.
lim ta ——90 + WM > 0,=No € N: vn > No, [eal > Mf. notte Day số có giới Lan hữu lạn được gọi là dãy hội tụ, Dãy số khong có giới hạu hoặc dẫn dến vô cùng khi ø dần dến võ cùng gọi là dãy phân kỹ. Nếu {zz}, {z»} là các dãy hội tụ và có giới ban tương ứng là a,b thì các dãy số {Zz+nk, {En — ta}, {sUn} và {=} cũng hội tụ và có giối hạn tương ứng a+b, a—, mồ, ic (Trong trường a hop day số thương, ta giả sử g„ và. Cho dãy số {z„} có giới hạn hữu hạn ï, nếu 3úWọ ¢ Bs vn > Np ta cé a Dinh lý I.
Cho ba day 98 {on}, {yn}: len} trang dé an vA za có cùng giới hạn hữu hạn œ và Au € Ñ: Vn > Au ta có tn < on < en. Khi dé yn cũng có giới hạn là ø.4 (Sự hội tụ của đây đơn điệu), Một dãy tảng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội lụ. Nói ngẩn gọn hđn, một dãy đơn diệu và bị chăn thì hội tụ. Cho hai dãy số thực {a„}, {by} sao cho a) VneN, nụ < bạ; B) WnelNÑ, [amsi, n1] C Ísa, bạ]; G) by Tag +0 khi m— ae.
Khi dé tén tại duy nhất số thực a sao cho filz,, bạ] — {a}.8 (Rolzana-Wei Từ một đấy bị chấn luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ. Day z„ được gọi là dãy Cauchy nếu Ve > 0, 3A CN: Vm,n > An, [Em — #a| Định nghĩa 1. Dãy số (z„} có giới hạn hữu hạn khí và chỉ khí nó là dãy Cauchy.2 Một vài dãy số đặc biệt Cấp số cộng h nghĩa 1. Dấy số {am} hoặc (a„) (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện THỊ — ug — HỊ —.
— Uny1 được gọi là một cấp số cộng. Khi day sé {u,} lap thành một cấp số cũng thì hiệu đ — ws — un duce gọi là công g a, cấp gỗ dã. Với d > U ta có cấp số cộng tiến và đ < Ú ta cá cấp số cộng lồi Ví dụ I. Dãy các số tự nhiên lễ: 1,3,5,.
là một cấp số công với công sai đ = 2, í dụ 1. Dãy —3,1,5,9,13,17 ,25 là một cấp số cộng với cing sai d — 4. Nếu {ư„} là một cấp số cộng thì kế từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cắp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng hề nó trong dãy, tức là, Ua +7 URL uk — Tinh chat.2 4 tặng tổng ặ quát,SH cũn, ga, một,môi cấpcần gỗsố sông). côi Nến một.
cấp sốá côn cô có số hạng đầu là øị và công sai đ thì số hạng tổng quát u„ của nó được tính theo công thức sau ten = 2 + (0 — I). Gid ait {un} 1a một cấp số céng. V6i méi sé nguyén duong vn, gọi 3„ là tổng của n số hạng đầu tiên của nó (S„ — ưy | ug. Khi đó, ta có „ — (ui tune ¬ 3 Cấp số nhãn.
Day 56 {un}{hita hạn hoặc vô hạn) có {an} z0, Và CN thẻa mãn điều kiện. tụ 1g Tin được gọi là một cắp số nhân. Khi đấy số {uu} lấp thành một cấp số nhân thì thương ạ — “Ê được gọi là công uo bội của. cắp số đã, cho.
Dây số {u„} với up = 2" là một cấp số nhân với số hạng đầu với +ị — 3 và công bội ạ — 3. Dãy —2,6,—18, ã4, —183 là một, cấp số nhãn với số lung dẫu uy — —2 và công hội 4 — —3. Nếu {z„} là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cắp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng dững kế nỗ trang đầy, Lức là, HỆ2 — fg—1p+1- 'Tính chất 1. Nếu một cắp số nhân.
có số hạng đầu là wị và công bội ¿ Z 0 thì số hạng tổng quát „„ của nó được tính theo công thứu sau ""“x nh chất. Giá sử [u„]} là một. cấp số nhân với công bội ø z 1 khì 8y được tính theo công thức Bamil g ¢) Nhận xét 1. Theo định nghĩa ta có: Ð Nếu {am} là một, cấp số cộng và a > 0 thì dãy {pm} với t„ — vn e Ñ lập thành mệt cấp số nhân.
ii) Néu {u„} là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < ø # | thi day {un} voi tin — logy ty, Vn 6 Ñ lập thành một cấp số cộng. Nếu |ạ| < 1 thi {u,} được gọi là cấp số nhân lùi vô bạn. Tổng của cấp số nhân lùi võ hạn được tỉnh theo công thức uy S= log Chú ý 1. Đối với các day số {ư„] xác dịnh theo công thức truy hồi Und.
= au, |b abo R, T1 có thể xem như một, cấp sé say rong (khi a — 1 1a thú dược một cấp số khi 6 — 0 ta thu được một cấp số nhãn). Cấp số điều hòa Dịnh nghĩa 1.