Chương 1 Một số khái niệm cơ bản 1.1 Các thiết bị quang học cần thiết trong xử lý thông tin lượng tử Ở cấp độ cơ bản nhất, các quá trình vật lý được mô tả bằng cơ học lượng tử. Hệ cơ lượng tử sở hữu những đặc tính độc đáo cho phép những cách thức mới để giao tiếp và xử lý thông tin. Quá trình xử lý thông tin thông qua hệ thống lượng tử được gọi là tính toán lượng tử. Tuy nhiên, để đạt được tính toán lượng tử, cần phải có các hệ thống vật lý với các tính chất rất đặc biệt.
Trong mục này, một số phần tử quang học tuyến tính rất quan trọng đối với xử lý thông tin lượng tử được trình bày. Mặc dù có các hoạt động đơn giản, các thiết bị quang học này giúp quan sát các hiện tượng khá hấp dẫn về ánh sáng và được sử dụng trong các phép đo liên quan.1 Bộ tách chùm Bộ tách chùm (tên tiếng anh là Beam splitter, viết tắt là BS) [50] được sử dụng rộng rãi trong xử lý thông tin lượng tử, đặc biệt là trong việc tạo ra các trạng thái kết hợp và chồng chập có thể có của chúng. Thực tế, một bộ tách chùm được tạo ra đơn giản bởi một chiếc gương bán mạ hoạt động với một phần truyền qua và một phần phản xạ của chùm tia sáng tới. Tác dụng chính của bộ tách chùm là trộn hai chùm ánh sáng mode a và mode 2 b lại với nhau và được mô tả bởi toán tử unita như sau Bˆab (θ) = exp [iθ(aˆ+ˆb + ˆb+ aˆ)], (1.1) với aˆ(aˆ+ ) và ˆb(ˆb+ ) là các toán tử hủy (sinh) của hai mode chùm sáng tới a và b, θ phụ thuộc vào lượng bạc phủ lên gương và hướng đặt của nó, là một tham số thực đặc trưng cho tính chất quang học của bộ tách chùm.
Gọi t = cos2 θ và r = 1 − t tương ứng là hệ số truyền qua và hệ số phản xạ của bộ tách chùm.2) ab ab Để xem xét hoạt động của một bộ tách chùm chúng ta hãy xét các biến đổi toán học của nó. Trước hết, đặt = aˆ+ˆb + ˆb+ aˆ = Xˆ + ta sẽ có Xˆ thức giao hoán sau các hệ ( ˆb+ nếu n: lẻ ˆ ˆ ˆ + [X, [X, .3) + aˆ ` ˛¸ x aˆ nếu n: chẵn n l ần và ( ˆ ˆ ˆ ˆ+ aˆ+ nếu n: lẻ [X, [X,. ` ˛¸ x n l ần Sử dụng các hệ thức giao hoán trên và khai triển Taylor cho các hàm mũ, ta sẽ tính được ˆ = eiθX cho kết quả Yˆ ˆ aˆ+eiθX Yˆ = aˆ+ cosh(iθ) − ˆb+ sinh(iθ).5) Từ đó ta được Bˆab (θ)aˆ+ Bˆ (θ) = aˆ+ cosθ + iˆb+ sinθ + (1.6) hay 2 a Bˆ √ √ + ˆ+ ab (θ)aˆ B a (θ) = taˆ+ − i rˆb+ .7) Tương tự ta cũng có các biểu thức sau √ √ Bˆab (θ)aˆB a ˆ + (θ) = taˆ − i rˆb, (1.10) a Như vậy, ở đầu ra của bộ tách chùm là một trạng thái trộn của các trạng thái ở đầu vào. Mức độ trộn phụ thuộc vào hệ số truyền qua t hay phụ thuộc vào θ.
Dưới đây ta xác định tác dụng của bộ tách chùm Bab(r, t) lên hai mode a và b của hai trạng thái số hạt |n⟩a|m⟩b với r và t là hệ số phản xạ và hệ số truyền qua của bộ tách chùm (aˆ+ )n (ˆb+ )m Bab(r, t)|n⟩a|m⟩b = Bab(r, t) √ n! √ |0⟩a|0⟩b 1 √ √ m! √ = √ ( taˆ+ + rˆb+ )n ( raˆ+ − |0⟩b n!m! √ 1 tˆb+ )m|0⟩a = √ n!m! Σ n √ √− m p n + n p ˆC+ p p Σ √( taˆ√) + (rb ) C ( raˆ ) (− tˆb )m−q |0⟩a |0⟩b q + q m q n m 1 Σ Σ √ √ p+q = √ C pnC qm( t)n+m−p−q ( r) n!m−q p + n−p+q q + m−q+p (−1) (a n )m (b ) |0⟩a|0⟩b 1 Σ Σ p q √ n+m−p−q √ p+q = √ n! C nC m( t) ( r) √ (−1)m−q p (n q− p + q)! (m − q + p)! √ p + q⟩a|m − q + p⟩b |nn − m Σ Σ = Bn,m(r, t)|n − p + q⟩a|m − q + p⟩b, (1.1: Tác động của bộ tách chùm lên: a) trạng thái tích của hai trạng thái số hạt |n⟩a|m⟩b và b) trạng thái tích của hai trạng thái kết hợp |α⟩a|β⟩b. Tiếp theo, xét tác dụng của bộ tách chùm lên trạng thái tích |α⟩a|β⟩b, trong đó |α⟩ và |β⟩ là các trạng thái kết hợp được định nghĩa như một trạng thái của trường bức xạ được tạo ra bởi một phân bố dòng dao động cổ điển hay nói cách khác nó là trạng thái ánh sáng được phát ra từ một nguồn laser. Các trạng thái kết hợp này có thể được viết dưới dạng sau Σ ∞ αn 2 + −|α|2/2 /2 |α⟩ = e (aˆ+ )n |0⟩ = e−|α| eαaˆ |0⟩.14) n n Kết quả tác dụng bộ tách chùm lên trạng thái tích |α⟩a|β⟩b có dạng √ √ √ √ Ba,b(t, r)|α⟩a|β⟩b = |α t + iβ r⟩a|β t − iα r⟩b.15) Như vậy, các trạng thái |n⟩a|m⟩b khi đi qua bộ tách chùm sẽ cho ra các trạng thái rối vì nó là các trạng thái phi cổ điển, trái lại trạng thái cổ điển như |α⟩a|β⟩b khi đi qua bộ tách chùm thì không cho trạng thái rối mà chỉ cho trạng thái tích (xem Hình 1. Tóm lại, bộ tách chùm được sử dụng rất nhiều trong các sơ đồ quang học để xử lý thông tin lượng tử.
Đặc biệt là trong quá trình tạo ra rối lượng tử. Nói chung, để tạo được rối lượng tử thì các đầu vào bộ tách chùm phải là các trạng thái phi cổ điển.2 Bộ dịch pha Một thiết bị quang học khác đó là bộ dịch pha (tên tiếng Anh là Phase shifter, ký hiệu là P) [50]. Nó có tác dụng làm thay đổi pha của một chùm ánh sáng tới, được mô tả bởi toán tử unita như sau + Pˆa (φ) = e−iφaˆ .16) Dưới đây xét tác động của bộ dịch pha lên trạng thái số hạt và trạng thái kết hợp. Trước tiên, đối với trạng thái số hạt ta sẽ được Pˆa (φ)| = e−iφaˆ aˆ | = e−inφ|n⟩a .17) + n⟩a n⟩ a Ta thấy rằng bộ dịch pha làm pha của trạng thái số hạt có thêm một hệ số e−inφ (xem Hình 1.
Xét tác dụng của bộ dịch pha lên trạng thái kết hợp |α⟩ ta sẽ được ∞ Pˆ (φ)| Σ αn α⟩a = e−|α|2/2 Pˆ (φ)(aˆ+ )n |0⟩a a a n n Σ ∞ −| | (αe−iφ)n (aˆ+) |0⟩ n a = e 2 α / n! n=0 = |αe 2 ⟩a.18) Ta thấy rằng bộ dịch pha Pˆ (φ) khiến biên độ của trạng thái kết hợp bị biến đổi từ α thành |αe−iφ⟩ (xem Hình 1. Trên thực tế, có ba loại bộ dịch pha chính: Thứ nhất là bộ chuyển pha kỹ thuật số (tên tiếng Anh là Digital phase shifter). Những bộ chuyển pha này được điều khiển bằng kỹ thuật số. Chúng có thể lập trình được hoặc có thể được điều khiển thông qua giao diện máy tính.
USB là một dạng thiết bị tương đối mới của bộ dịch pha kỹ thuật số, cho phép điều khiển sự dịch pha của thiết bị từ máy tính. Thứ hai là bộ dịch pha tương tự (tên tiếng Anh là Analog phase shifter). Việc dịch pha trong bộ dịch pha tương tự thường được điều khiển bởi sự thay đổi mức điện áp. Thứ ba là bộ dịch pha thủ công (tên tiếng Anh là Mechanical phase shifter), việc chuyển pha 3 của thiết bị được điều khiển thủ công bằng một núm xoay.
Pha từ đầu vào đến đầu ra được điều chỉnh bằng cách xoay núm.2: Tác động của bộ dịch pha lên: a) trạng thái số hạt |n⟩ và b) trạng thái kết hợp |α⟩.3 Toán tử dịch chuyển Toán tử dịch chuyển Dˆ (α) [50] là toán tử rất hữu dụng để tính toán với các trạng thái kết hợp. Nó được biểu diễn dưới dạng ∗+ Dˆ (α) = eαaˆ −α .19) Toán tử dịch chuyển có thể viết dưới các dạng khác nhau như sau Dˆ (α) = e−|α| /2 eαaˆ e−α aˆ 2 + ∗ (1.21) Tác dụng của toán tử dịch chuyển lên trạng thái chân không sẽ có dạng Dˆ (α)|0⟩ = |α⟩.22) Như vậy, một trạng thái kết hợp |α⟩ có thể được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển lên trạng thái chân không. Đây cũng là một định nghĩa khác của trạng thái kết hợp. Một số tính chất đặc biệt của toán tử dịch chuyển có thể thấy như Dˆ (α) = Dˆ − (α) = Dˆ (−α), + (1.3: Hiện thực hóa toán tử dịch chuyển hoạt động ở mode a bằng bộ tách chùm có hệ số truyền qua cao và trạng thái kết hợp biên độ mạnh ở mode b.
Tác dụng của toán tử dịch chuyển trong thực tế có thể được xây dựng bởi bộ tách chùm (xem Hình 1.28) Điều này có thể thấy bởi giới hạn trong công thức (1.4 Các thiết bị quang học khác Một vài thiết bị quang học cần thiết khác cần nhắc tới đó là: Bộ tách phân cực (tên tiếng Anh là Polarization beam splitter, ký hiệu PBS), tấm nửa sóng (tên tiếng Anh là Half-wave plate, ký hiệu HWP) và tấm sóng phần tư (tên tiếng Anh là Quarter-wave-plate, ký hiệu QWP) [50]. PBS là một bộ tách chùm cho phép truyền photon ở trạng thái phân cực ngang |H⟩ và phản xạ photon ở trạng thái phân cực dọc |V ⟩.30) 3 ở đây a′ là mode phản xạ. HWP là một thiết bị dùng để quay trạng thái phân cực, cụ thể nó chuyển trạng thái phân cực H thành trạng thái phân cực V và ngược lại. Cụ thể: HWP |H⟩a = |V ⟩a, (1.32) QWP là một thiết bị dùng để chuyển đổi ánh sáng phân cực tuyến tính thành ánh sáng phân cực tròn.
Cụ thể, QWP hoạt động như một toán tử Hadamard như sau: QWP |H⟩a 1 = √ (|H⟩ + |V ⟩)a, (1.2 Tương tác giữa các photon thông qua phi tuyến Kerr chéo Tương tác giữa các photon là rất quan trọng vì chúng là yếu tố chính để triển khai các cổng logic đa qubit, giúp hoàn thiện hệ thống công cụ dùng cho tính toán lượng tử và xử lý thông tin lượng tử. Tuy nhiên các photon không tương tác với nhau trong môi trường chân không, điều đó thúc đẩy tìm kiếm công cụ để tạo ra sự tương tác giữa chúng. Đối với mục đích này, hiệu ứng Kerr chéo (tiếng Anh là cross-Kerr), về bản chất là hiện tượng môi trường phi tuyến tạo điều kiện thuận lợi cho các tương tác photon-photon diễn ra, đã được coi là một phương pháp đáng chú ý [51–57]. Toán tử biểu diễn sự tương tác được mô tả bởi Uab = Exp(iθnˆ a nˆ b ), (1.