phần mở đầu, kết luận và 4 chƣơng với các nội dung chính sau: -Chƣơng 1: Cơ sở toán học của mật mã - Chƣơng 2: Tổng quan về mật mã học -Chƣơng 3: Chữ ký điện tử -Chƣơng 4: Mô phỏng chữ ký điện tử CHƢƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MẬT MÃ HỌC 1.1 Số nguyên tố và số nguyên tố cùng nhau - Sốnguyên tốlàsố nguyên dƣơng lớn hơn 1chỉchiahết cho1và chínhnó. Ví dụ:2,3,5,7,11,…lànhữngsốnguyên tố. - Hệmật mãthƣờngsửdụngcácsốnguyên tố ít nhấtlàlớnhơn10150. - Haisốmvànđƣợcgọilànguyêntốcùngnhaunếuƣớcsốchung lớnnhấtcủachúngbằng1.
Vídụ:11và13 lànguyêntốcùngnhau. Định lý số nguyên tố : Với mọi n>=2 đều có thể phân tích thành lũy thừa cơ số nguyên tố n = p1e1p2e2p3e3. , với pi : số nguyên tố, ei Z+ Hệ quả: Giả sử a = p1e1.pkfk thì gcd(a,b) = p1min(e1,f1).19 ta đƣợc : gcd(a,b)=2.2 Khái niệm đồng dƣ Cho n là một số nguyên dƣơng. Nếu và là hai số nguyên ,khí đó a đƣợc gọi là đồng dƣ với b theo modulo n, đƣợc viết a≡b(mod n) nếu n│(a-b) và n đƣợc gọi là modulo của đồng dƣ.
Ví dụ 24≡9(mod 5),17≡5(mod 3) Tính chất: Nếu a b(mod n),nếu và chỉ nếu a và b đều trả số dƣ nhƣ nhau khi đem chia chúng cho n.3 Định nghĩa hàm phi Euler Với n≥1 chúng ta gọi φ(n) là tập các số nguyên tố cùng nhau với n nằm trong khoảng [1,n]. Tính chất: Nếu p là số nguyên tố thì φ(p) = p – 1 Nếu gcd(n.p2e2…pkek,dạng khai triển chính tắc của n thì (n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pk) Ví dụ :φ(11)=11-1=10 1.4 Thuật toán Euclide Thuật toán: Tìm UCLN của hai số. INPUT: Hai số nguyên không âm a và b, sao cho a≥b OUTPUT: UCLN của a, b.Trong khi b ≠ 0 thực hiện Đặt r← a mod b, a←b, b←r 2. Thuật toán Euclidean có thể đƣợc mở rộng để không chỉ tính đƣợc ƣớc số chung d của hai số nguyên a và b,mà còn có thể tính đƣợc hai số nguyên x,y thỏa mãn ax+by=d.5 Thuật toán Euclidean mở rộng INPUT :Hai số nguyên không âm a và b , a≥b OUTPUT: d= UCLN(a,b) và các số nguyên x và y thỏa mãn ax + by = d (1) Nếu b = 0 thì đặt d ←a, y ← 0, Kết_quả(d,x,y) (2) Đặt x2 ← 1, x1 ← 0, y2 ←0, y1 ←1.
(3) Trong khi còn b > 0,thực hiện: (3.1) q = [a/b], r ← a – qb, x ← x2 – qx1, y ←y2 – qy1 (3. Đánh giá độ phức tạp: Thuật toán Euclide mở rộng có độ phức tạp về thời gian :O((lg n)2).6 Không gian Zn và Z*n 1.1 Không gian Zn Là tập hợp các số nguyên {0,1,2,.Các phép toán trong Zn nhƣ cộng,trừ,nhân,chia đều đƣợc thực hiện theo module n.2 Không gian Z*n Là tập hợp các số nguyên a Zn,nguyên tố cùng n. Tức là:Z*n={a Zn│gcd(n,a)=1},(n) là số phần tử của Z*n. Nếu là một số nguyên tố thì :Z*n={a€ Zn│1≤a≤n-1} Ví dụ: Z3={0,1,2} thì Z*3={1,2} vì gcd(1,3)=1 và gcd(2,3)=1.7 Định nghĩa cấp của một số a Z* Cho Z*n,khi đó cấp của a,kí hiệu ord(a) là số nguyên dƣơng nhỏ nhất sao cho at 1(mod n)trong Z*n.8 Tập thặng dƣ bậc hai theo modulo Cho a Z*n,a đƣợc gọi là thặng dƣ bậc hai theo modulo n nếu tồn tại một x Z*n sao cho x2 a(mod n) và nếu không tồn tại x nhƣ vậy thì a đƣợc gọi là bất thặng dƣ bậc hai theo modulo n.Tập hợp các thặng dƣ bậc hai đƣợc ký hiệu là Qn và tập các bất thặng dƣ bậc hai ký hiệu là .9Phần tử nghịch đảo Cho a Zn,số nghịch đảo của a theo modulo n là một số nguyên x Zn ,nếu a.Nếu tồn tại x nhƣ vậy thì nó là duy nhất và a đƣợc gọi là khả nghịch,nghịch đảo của a đƣợc ký hiệu là a-1.
Tính chất : a Zn,a là khả nghịch khi và chỉ khi gcd(a,n)=1. Ví dụ:Các phần tử khả nghịch trong Z9 là 1,2,4,5,7 và 8.7 1(mod 9) *Thuật toán tính nghịch đảo của Zn INPUT: a Zn. OUTPUT:a-1 mod n,nếu tồn tại 1.Sử dụng thuật toán Euclidean mở rộng,tìm x và y để ax+ny=d,trong đó,thì gcd(a,n).Nếu d>1 thì a-1 không tồn tại .Ngƣợc lại kết quả(x) 1.10 Lý thuyết độ phức tạp Một chƣơng trình máy tính thƣờng đƣợc cài đặt dựa trên một thuật toán đúng để giải quyết bài toán hay vấn đề. Tuy nhiên, ngay cả khi thuật toán đúng, chƣơng trình vẫn có thể không sử dụng đƣợc đối với một dữ liệu đầu vào nào đó vì thời gian để cho ra kết quả là quá lâu hoặc sử dụng quá nhiều bộ nhớ (vƣợt quá khả năng đáp ứng của máy tính).
Khi tiến hành phân tích thuật toán nghĩa là chúng ta tìm ra một đánh giá về thời gian và "không gian" cần thiết để thực hiện thuật toán. Không gian ở đây đƣợc hiểu là các yêu cầu về bộ nhớ, thiết bị lƣu trữ,. của máy tính để thuật toán có thể làm việc. Việc xem xét về không gian của thuật toán phụ thuộc phần lớn vào cách tổ chức dữ liệu của thuật toán.
Trong phần này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán, chúng ta chỉ đề cập đến những đánh giá về mặt thời gian mà thôi. Phân tích thuật toán là một công việc rất khó khăn, đòi hỏi phải có những hiểu biết sâu sắc về thuật toán và nhiều kiến thức toán học khác. Ðây là công việc mà không phải bất cứ ngƣời nào cũng làm đƣợc. Rất may mắn là các nhà toán học đã phân tích cho chúng ta độ phức tạp của hầu hết các thuật toán cơ sở (sắp xếp, tìm kiếm, các thuật toán số học,.
Chính vì vậy, nhiệm vụ còn lại của chúng ta là hiểu đƣợc các khái niệm liên quan đến độ phức tạp của thuật toán. Ðánh giá về thời gian của thuật toán không phải là xác định thời gian tuyệt đối (chạy thuật toán mất bao nhiêu giây, bao nhiêu phút,.) để thực hiện thuật toán mà là xác định mối liên quan giữa dữ liệu đầu vào (input) của thuật toán và chi phí (số thao tác, số phép tính cộng,trừ, nhân, chia, rút căn,.) để thực hiện thuật toán. Sở dĩ ngƣời ta không quan tâm đến thời gian tuyệt đối của thuật toán vì yếu tố này phụ thuộc vào tốc độ của máy tính, mà các máy tính khác nhau thì có tốc độ rất khác nhau. Một cách tổng quát, chi phí thực hiện thuật toán là một hàm số phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào : T = f(input) Tuy vậy, khi phân tích thuật toán ngƣời ta thƣờng chỉ chú ý đến mối liên quan giữa độ lớn của dữ liệu đầu vào và chi phí.
Trong các thuật toán, độ lớn của dữ liệu đầu vàothƣờng đƣợc thể hiện bằng một con số nguyên n. Chẳng hạn : sắp xếp n con số nguyên, tìm con số lớn nhất trong n số, tính điểm trung bình của n học sinh,. Lúc này, ngƣời ta thể hiện chi phí thực hiện thuật toán bằng một hàm số phụ thuộc vào n : T = f(n) Việc xây dựng một hàm T tổng quát nhƣ trên trong mọi trƣờng hợp của thuật toán là một việc rất khó khăn, nhiều lúc không thể thực hiện đƣợc. Chính vì vậy mà ngƣời ta chỉ xây dựng hàm T cho một số trƣờng hợp đáng chú ý nhất của thuật toán, thƣờng là trƣờng hợp tốt nhất và xấu nhất.
Để đánh giá trƣờng hợp tốt nhất và xấu nhất ngƣời ta dựa vào định nghĩa sau: f(n) = O(g(n)) và nói f(n) có cấp cao nhất là g(n) khi tồn tại hằng số C và k sao cho | f(n) | ≤ C.g(n) với mọi n > k Tuy chi phí của thuật toán trong trƣờng hợp tốt nhất và xấu nhất có thể nói lên nhiều điều nhƣng vẫn chƣa đƣa ra đƣợc một hình dung tốt nhất về độ phức tạp của thuật toán. Ðể có thể hình dung chính xác về độ phức tạp của thuật toán, ta xét đến một yếu tố khác là độ tăng của chi phí khi độ lớn n của dữ liệu đầu vào tăng. Một cách tổng quát, nếu hàm chi phí của thuật toán (xét trong một trƣờng hợp nào đó) bị chặn bởi O(f(n)) thì ta nói rằng thuật toán có độ phức tạp là O(f(n)) trong trƣờng hợp đó. Nhƣ vậy, thuật toán tìm số lớn nhất có độ phức tạp trong trƣờng hợp tốt nhất và xấu nhất đều là O(n).
Ngƣời ta gọi các thuật toán có độ phức tạp O(n) là các thuật toán có độ phức tạp tuyến tính. Sau đây là một số "thƣớc đo" độ phức tạp của thuật toán đƣợc sử dụng rộng rãi. Các độ phức tạp đƣợc sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Nghĩa là một bài toán có độ phức tạp O(nk) sẽ phức tạp hơn bài toán có độ phức tạp O(n) hoặc O(logn).
CHƢƠNG 2: TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ HỌC 2.1 Lịch sử phát triển của mật mã Mật mã học là một ngành có lịch sử từ hàng nghìn năm nay. Trong phần lớn thời gian phát triển của mình (ngoại trừ vài thập kỷ trở lại đây), lịch sử mật mã học chính là lịch sử của những phƣơng pháp mật mã học cổ điển - các phƣơng pháp mật mã hóa với bút và giấy, đôi khi có hỗ trợ từ những dụng cụ cơ khí đơn giản. Vào đầu thế kỷ XX, sự xuất hiện của các cơ cấu cơ khí và điện cơ, chẳng hạn nhƣ máy Enigma, đã cung cấp những cơ chế phức tạp và hiệu quả hơn cho việc mật mã hóa. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của ngành điện tử và máy tính trong những thập kỷ gần đây đã tạo điều kiện để mật mã học phát triển nhảy vọt lên một tầm cao mới.Sự phát triển của mật mã học luôn luôn đi kèm với sự phát triển của các kỹ thuật phá mã (hay thám mã).
Các phát hiện và ứng dụng của các kỹ thuật phá mã trong một số trƣờng hợp đã có ảnh hƣởng đáng kể đến các sự kiện lịch sử. Một vài sự kiện đáng ghi nhớ bao gồm việc phát hiện ra bức điện Zimmermann khiến Hoa Kỳ tham gia Thế chiến 1 và việc phá mã thành công hệ thống mật mã của Đức Quốc xã góp phần làm đẩy nhanh thời điểm kết thúc thế chiến II.Cho tới đầu thập kỷ 1970, các kỹ thuật liên quan tới mật mã học hầu nhƣ chỉ nằm trong tay các chính phủ. Hai sự kiện đã khiến cho mật mã học trở nên thích hợp cho mọi ngƣời đó là sự xuất hiện của tiêu chuẩn mật mã hóa DES và sự ra đời của các kỹ thuật mật mã hóa khóa công khai.1 Mật mã học cổ điển Những bằng chứng sớm nhất về sử dụng mật mã học là các chữ tƣợng hình không tiêu chuẩn tìm thấy trên các bức tƣợng Ai Cập cổ đại (cách đây khoảng 4500). Những ký hiệu tỏ ra không phải để phục vụ mục đích truyền thông tin bí mật mà có vẻ nhƣ là nhằm mục đích gợi nên những điều thần bí, trí tò mò hoặc thậm chí để tạo sự thích thú cho ngƣời xem.
