Chương I: Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi và các kiến thức quan trọng cần thiết về chuỗi Fourier. Chương II: Trình bày về ứng dụng của chuỗi Fourier trong giải bài toán vật lý và một vài ứng dụng trong các lĩnh vực khác. 8 NOI DUNG CHƯỞNG I: LÝ THUÝE T CHUO I 1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi.1: Các định nghĩa Định nghĩa 1: Cho dãy số Biểu thức: (1.1) đƣợc gọi là chuỗi số và đƣợc kí hiệu là ∑ .Các số là các số hạng của chuỗi số. Định nghĩa 2: Ta gọi ∑ là tổng riêng thứ của chuỗi số (1.
Nếu ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết ∑ Trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu không tồn tại hoặc thì chuỗi số (1.1) đƣợc gọi là chuỗi phân kì. Định nghĩa 3: Ta gọi là phần dƣ thứ của chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì khi Nếu không dần tới một giới hạn hữu hạn khi , thì chuỗi số phân kì. Tính chất 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ và có tổng S thì chuỗi số ∑ trong đó là hằng số cũng hội tụ và có tổng Tính chất 2: 9 Nếu các chuỗi số ∑ ∑ hội tụ và có tổng tƣơng ứng là I, J thì chuỗi số ∑ cũng hôi tụ và có tổng I+J.
Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên.3: Tiêu chuẩn hội tụ. Chuỗi số ∑ hội tụ khi và chỉ khi mỗi số cho trƣớc, tìm đƣợc số nguyên dƣơng N sao cho: | | Tính chất: Điều kiện cần để chuỗi ∑ hội tụ là 1.4: Chuỗi số dương. Định nghĩa 1: Chuỗi số ∑ có các số hạng với mọi đƣợc gọi là chuỗi số dƣơng. Các dấu hiệu hội tụ Định nghĩa 2: Chuỗi số dƣơng ∑ hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của chuỗi bị chặn trên Định lý 1: (Dấu hiệu so sánh 1).
Cho hai chuỗi số dƣơng ∑ và ∑. Khi đó nếu chuỗi số ∑ hội tụ thì chuỗi số ∑ hội tụ, nếu chuỗi số ∑ phân kì thì chuỗi số ∑ phân kì. Cho hai chuỗi số dƣơng ∑ và ∑. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hay phân kì.
Giả sử là một hàm số liên tục trên khoảng [ [ và giảm với đủ lớn. Đặt khi đó chuỗi số ∑ hội tụ nếu và chỉ nếu ∫ là hữu hạn.5: Chuỗi đan dấu. Định nghĩa: Chuỗi số có dạng. ∑ hoặc ∑ với gọi là chuỗi số đan dấu.
Định lý: ( Định lý Leibniz) Nếu chuỗi số đan dấu ∑ thoả mãn các điều kiện sau: (i) (ii) thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng .6: Chuỗi số bất kì. Định nghĩa: Chuỗi số ∑ đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∑ | | hội tụ, là bán hội tụ nếu ∑ hội tụ nhƣng ∑ | | phân kì. 11 Định lý 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó hội tụ và |∑ | ∑| | Định lý 2: ( Dấu hiệu D’Alembert) | | Cho chuỗi số ∑ có | | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì.
(iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi. Định lý 3: (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử chuỗi số ∑ √| | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi.
Định lý 4: Giả sử ∑ là một chuỗi số với √| | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa thể nói gì về tính chất của chuỗi số. Định lý 5 : Giả sử ∑ là một dãy số thực | | (i) Nếu | | thì chuỗi số đã cho hội tụ tuyệt đối.
| | (ii) Nếu | | thì chuỗi số đã cho phân kì.2: Chuỗi lượng giác. Định nghĩa 1: Chuỗi lƣợng giác là chuỗi hàm có dạng.2) Trong đó { }{ } là hai dãy số thực. Số hạng tổng quát là một hàm số tuần hoàn chu kỳ liên tục và khả vi mọi cấp. Định lý 1: Nếu các chuỗi số ∑ ∑ hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lƣợng giác: ∑ hội tụ đều trên R và tổng của chuỗi là một hàm liên tục trên R.
Định lý 2: Giả sử dãy { } { } là hai dãy số giảm đến 0 khi Khi đó, chuỗi lƣợng giác: ∑ hội tụ tại mọi điểm và hội tụ đều trên mỗi đoạn [ ], Do đó tổng chuỗi là một hàm số liên tục trên Định lý 4: Nếu ∑ | | | | thì tổng của chuỗi lƣợng giác ∑ (1.3) là một hàm số khả vi liên tục trên R và nhận đƣợc bằng cách lấy đạo hàm từng hạng tử của chuỗi (1.3), tức là ∑ Định lý 5: 13 Nếu chuỗi số ∑ ∑ đều hội tụ tuyệt đối thì tổng của chuỗi lƣợng giác: ∑ (1.5) liên tục trên R và tổng của chuỗi lƣợng giác ∑( ) nhận đƣợc nhờ lấy nguyên hàm từng hạng tử của chuỗi (1.5) là một nguyên hàm của trên R. Định nghĩa 1: Hàm số xác định trên đoạn [ ] gọi là liên tục từng khúc nếu tồn tại một phép phân hoạch của đoạn [ ] có tính chất:Với mỗi , hàm số liên tục trên khoảng , có giới hạn phải hữu hạn tại điểm và giới hạn trái tại điểm Nói cách khác, là liên tục từng khúc trên đoạn [ ] nếu chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn. Định nghĩa 2: Giả sử là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ , liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn. Chuỗi lƣợng giác: ∑ trong đó các hệ số đƣợc cho bởi công thức: ∫ ∫ 14 gọi là chuỗi Fouriercủa hàm số đƣợc gọi là các hệ số Fourier của.
Các công thức tính đƣợc gọi là công thức Euler. Vì là một hàm số tuần hoàn chu kỳ nên nhờ một phép biến đổi biến số, dễ dàng chứng minh đƣợc: ∫ ∫ Đặc biệt ta có: ∫ nếu là một hàm số chẵn thì là những hàm số chẵn và là những hàm số lẻ. Do đó: ∫ Vì thế chuỗi Fourier của có dạng: ∑ Tƣơng tự, nếu là một hàm số lẻ thì là những hàm số lẻ và là những hàm số chẵn. ∫ Khi đó chuỗi Fourier của có dạng: ∑ 1.
Giả sử là một hàm số tuần hoàn với chu kì Giả sử chuỗi lƣợng giác: 15 ∑ Hội tụ đều trên đoạn [ ] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là .3: Tính chất của các hệ số Fourier. Định lý 1: Cho là hàm số với bình phƣơng khả tích trên đoạn [ ] Nếu là tổng Fourier bậc của thì: ∫ [ ] ∫ [ ] trong đó minium ở vế phải lấy theo mọi đa thức lƣợng giác có bậc không quá Nếu là các hệ số Fourier của thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây: ∑ ∫ Định lý 2: Nếu là hàm liên tục trên đoạn [ ] và nhận cùng một giá trị ở hai đầu mút của đoạn thì các hệ số Fourier của thoả mãn đẳng thức sau: ∫ ∑ (đẳng thức Parseval) 16 1.4: Tính hội tụ Fourier. Không phải khi nào chuỗi Fourier của hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, nên ta dùng biểu thức: ∑ để biểu thị rằng hàm có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải. Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier Cho hàm tuần hoàn với chu kì , bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì.
Khi đó chuỗi Fourier của hàm hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng tại mọi điểm mà hàm liên tục. Tại những điểm mà hàm không liên tục, tổng chuỗi Fourier hội tụ về giá trị [ ] trong đó: 1.5: Dạng phức của chuỗi Fourier. Sử dụng công thức biểu diễn hàm lƣợng giác thông qua số phức: và Ta có thể viết lại khai triển Fourier dƣới dạng: ∑[ ] Đặt ta có: 17 ∑ Lƣu ý rằng , ta có ∫ ∫ ∫ ∫ Do vậy công thức trên có thể viết lại thành: ∑ ∫ Công thức này đƣợc gọi là dạng phức của chuỗi Fourier. Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì.
Với khả tích trên đoạn [ ]. Đối với hàm này ta lập đƣợc chuỗi Fourier ∑ trong đó ∫ ∫ { Ta sử dụng đẳng thức Euler liên hệ các hàm lƣợng giác với hàm mũ 18 Suy ra Ta có thể viết Thay vào (1.9) ta đƣợc ∑( ) Nếu đặt (1.11) tổng riêng thứ của chuỗi (1.10), tức là của cả chuỗi (1.9), có thể viết là: ∑ ∑ Ta có cách viết. ∑ Dạng phức của chuỗi Fourier của hàm 1.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số.
Cho chuỗi lƣợng giác: ∑ là chuỗi Fourier của trên đoạn [ ] Nếu chuỗi (1.12) hội tụ và hội tụ đến tổng chính là thì ta nói rằng khai triển thành Fourier trên đoạn [ ] Đồng thời viết 19 ∑ Khai triển Fourier tổng quát Khai triển một hàm tuần hoàn trong khoảng[ ]. Hàm đƣợc gọi hàm liên tục từng khúc trong [ ] nếu [ ] có thể chia thành một số hữu hạn các khoảng con [ ] sao cho hàm liên tục trên mỗi khoảng mở và tồn tại các giá trị hữu hạn của các giới hạn một phía: tại các đầu khoảng con. Nói cách khác, khi đó trong mỗi khoảng con hàm có thể thác triển liên tục đƣợc lên các đầu của khoảng thành hàm liên tục trong mỗi khoảng con đóng [ ] đó. Nếu các đầu khoảng đó là các điểm gián đoạn của hàm thì chúng chỉ có thể là các điểm gián đoạn loại một.
Ta không quan tâm tới giá trị của hàm tại chính các đầu khoảng con Chúng có thể xác định với giá trị tuỳ ý hoặc không xác định, và điều đó không ảnh hƣởng gì đến các giá trị của các hệ số Fourier của Định nghĩa: Hàm đƣợc gọi là hàm khả vi từng khúc trên đoạn [ ] nếu là hàm liên tục từng khúc trong [ ] và trong mỗi khoảng con mở hàm khả vi, đồng thời tồn tại các giá trị giới hạn hữu hạn: Nói cách khác, hàm sau khi đã thác triển liên tục trong khoảng lên hai đầu khoảng thì hàm đã thác triển này là hàm khả vi trong khoảng đóng [ ] Ta có định lý khai triển sau: Định lý Dirichlet.