Luận Văn Tốt Nghiệp: Khảo Sát Không Gian L (Nguyễn Thị Chinh)

Khóa luận tốt nghiệp toán học: Nghiên cứu không gian toán học. Tìm hiểu sâu về cấu trúc, tính chất và ứng dụng của không gian trong toán học hiện đại.

• Tác giả: Nguyễn Thị Chinh
• Người hướng dẫn: TS. Lê Hoàn Hóa
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Khảo Sát Không Gian L^p
• Loại tài liệu: Luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2002
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN
• 1.2. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ KHÔNG GIAN PHẢN XẠ - KHẢ LI - ĐỐI NGẪU
• 2. Chương II: KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L”
• 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT SƠ CẤP CỦA L”
• 2.2. TÍNH PHẢN XẠ - TÍNH KHẢ LI - ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN L”
• 2.2.1. Khảo sát không gian L”: |< p<
• 2.2.2. Khảo sát không gian /(Q):

Tóm tắt

I. Hướng dẫn toàn diện khảo sát không gian Lᵖ cho luận văn

Việc thực hiện một luận văn tốt nghiệp toán học về chủ đề khảo sát không gian Lᵖ đòi hỏi một nền tảng kiến thức vững chắc về giải tích hàm và lý thuyết độ đo. Không gian Lᵖ là một trong những đối tượng nghiên cứu trung tâm của giải tích hiện đại, đóng vai trò là một ví dụ điển hình và quan trọng của không gian Banach. Hiểu rõ cấu trúc và tính chất của nó là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán phức tạp trong phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết xác suất và xử lý tín hiệu. Luận văn này, dựa trên các tài liệu kinh điển như "Giải Tích Hàm" của Nguyễn Xuân Liêm, nhằm mục đích hệ thống hóa và đi sâu vào các tính chất chủ yếu của không gian Lᵖ. Trọng tâm của việc khảo sát không chỉ dừng lại ở các định nghĩa cơ bản, mà còn khám phá các khía cạnh sâu sắc như tính đầy đủ, tính phản xạ, tính khả li và cấu trúc của không gian đối ngẫu. Nền tảng của toàn bộ lý thuyết này là tích phân Lebesgue, một công cụ mạnh mẽ hơn tích phân Riemann, cho phép xây dựng một không gian hàm hoàn chỉnh. Một đề tài tốt nghiệp toán thành công về lĩnh vực này cần trình bày một cách logic, bắt đầu từ việc xây dựng các khái niệm cơ bản như không gian định chuẩn, sau đó chứng minh các định lý nền tảng như bất đẳng thức Hölder và Minkowski, và cuối cùng là đi đến các kết quả phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một lộ trình chi tiết, giúp sinh viên cấu trúc nội dung, tích hợp các từ khóa học thuật quan trọng và xây dựng một công trình nghiên cứu mạch lạc, đáp ứng yêu cầu của một luận văn xuất sắc trong lĩnh vực toán giải tích.

1.1. Giới thiệu tổng quan về không gian Lᵖ và vai trò

Không gian Lᵖ, ký hiệu là Lᵖ(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞, là một không gian vectơ gồm các hàm khả tích Lebesgue trên một tập đo được Ω. Cụ thể, một hàm đo được f thuộc Lᵖ(Ω) nếu tích phân của |f|ᵖ trên Ω là hữu hạn. Chuẩn của một phần tử f trong không gian này được định nghĩa là ||f||ₚ = (∫ |f(x)|ᵖ dx)¹ᐟᵖ. Trường hợp p = ∞, không gian L∞(Ω) bao gồm các hàm bị chặn thiết yếu và chuẩn được định nghĩa là supremum thiết yếu của |f(x)|. Các không gian Lᵖ là sự tổng quát hóa tự nhiên của không gian vector Euclide hữu hạn chiều. Chúng là ví dụ quan trọng nhất của không gian Banach và khi p=2, không gian L² trở thành một không gian Hilbert, một cấu trúc còn chặt chẽ hơn với sự tồn tại của tích vô hướng. Vai trò của không gian Lᵖ trong toán học và các ngành ứng dụng là vô cùng to lớn, cung cấp một khuôn khổ chặt chẽ để nghiên cứu sự hội tụ của các dãy hàm, đặc biệt trong lý thuyết phương trình vi phân và giải tích Fourier.

1.2. Nền tảng thiết yếu Lý thuyết độ đo và tích phân Lebesgue

Không thể tiến hành khảo sát không gian Lᵖ một cách hiệu quả nếu thiếu kiến thức về lý thuyết độ đo và tích phân Lebesgue. Khác với tích phân Riemann, tích phân Lebesgue được xây dựng dựa trên việc phân hoạch miền giá trị của hàm thay vì miền xác định. Cách tiếp cận này cho phép tích phân một lớp hàm rộng lớn hơn nhiều, bao gồm cả những hàm rất "xấu" như hàm Dirichlet. Các định lý hội tụ kinh điển như Định lý hội tụ đơn điệu (Beppo-Levi), Bổ đề Fatou và đặc biệt là Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue là những công cụ không thể thiếu. Chúng cho phép ta hoán đổi thứ tự của giới hạn và tích phân dưới những điều kiện nhất định, một thao tác tối quan trọng trong việc chứng minh tính đầy đủ của không gian Lᵖ. Do đó, một chương chuẩn bị kiến thức về phép đo Lebesgue và các định lý liên quan là bước đi bắt buộc trong mọi luận văn giải tích hàm về chủ đề này.

II. Thách thức cốt lõi khi khảo sát không gian Lᵖ trong toán

Một trong những thách thức lớn nhất khi bắt đầu một luận văn tốt nghiệp toán học về khảo sát không gian Lᵖ là chứng minh các tính chất cấu trúc nền tảng của nó. Đây không phải là những bài toán tầm thường mà đòi hỏi sự vận dụng sâu sắc các công cụ của giải tích hàm. Thách thức đầu tiên là chứng minh Lᵖ là một không gian định chuẩn. Điều này yêu cầu phải xác lập được các bất đẳng thức cơ bản nhưng không hề dễ dàng, đó là bất đẳng thức Hölder và bất đẳng thức Minkowski. Bất đẳng thức Hölder cung cấp một chặn trên cho tích phân của tích hai hàm, trong khi bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác cho chuẩn Lᵖ, một tiên đề cốt lõi của không gian định chuẩn. Sau khi vượt qua rào cản này, một thách thức lớn hơn xuất hiện: chứng minh tính đầy đủ của không gian Lᵖ. Tính chất này, được khẳng định bởi định lý Riesz-Fischer, có nghĩa là mọi dãy Cauchy trong Lᵖ đều hội tụ đến một phần tử trong chính không gian đó. Việc chứng minh định lý này sử dụng một cách tinh vi các định lý hội tụ của tích phân Lebesgue. Sự đầy đủ này biến Lᵖ từ một không gian định chuẩn đơn thuần thành một không gian Banach, mở ra khả năng áp dụng các định lý mạnh mẽ của giải tích hàm như Nguyên lý ánh xạ mở hay Định lý đồ thị đóng. Việc trình bày các chứng minh này một cách rõ ràng và chính xác là thước đo năng lực của sinh viên khi thực hiện đề tài tốt nghiệp toán.

2.1. Phân tích bất đẳng thức Hölder và bất đẳng thức Minkowski

Cơ sở để chứng minh không gian Lᵖ là một không gian định chuẩn nằm ở hai bất đẳng thức kinh điển. Bất đẳng thức Hölder, áp dụng cho f ∈ Lᵖ và g ∈ Lᵖ' với 1/p + 1/p' = 1, khẳng định rằng ||fg||₁ ≤ ||f||ₚ ||g||ₚ'. Chứng minh của nó thường dựa vào bất đẳng thức Young. Bất đẳng thức này có vai trò then chốt trong việc xác định không gian đối ngẫu của Lᵖ. Tiếp theo là bất đẳng thức Minkowski, ||f+g||ₚ ≤ ||f||ₚ + ||g||ₚ, chính là bất đẳng thức tam giác cần thiết để chuẩn Lᵖ được định nghĩa hợp lệ. Chứng minh của nó lại sử dụng một cách khéo léo chính bất đẳng thức Hölder. Nắm vững cách chứng minh và các trường hợp xảy ra dấu bằng của hai bất đẳng thức này là yêu cầu cơ bản nhưng vô cùng quan trọng.

2.2. Chứng minh tính đầy đủ của không gian Lp qua định lý Riesz Fischer

Hoàn thiện một luận văn giải tích hàm về Lᵖ không thể thiếu phần chứng minh tính đầy đủ. Định lý Riesz-Fischer khẳng định rằng Lᵖ là một không gian Banach. Quá trình chứng minh thường diễn ra như sau: Xét một dãy Cauchy {fₙ} bất kỳ trong Lᵖ. Từ tính chất Cauchy, người ta có thể trích ra một dãy con {fₙₖ} hội tụ nhanh. Dãy con này sau đó được chứng minh là hội tụ hầu khắp nơi đến một hàm giới hạn f. Bằng cách sử dụng các định lý hội tụ của tích phân Lebesgue, cụ thể là Định lý hội tụ bị chặn, ta chứng minh được rằng hàm giới hạn f này cũng thuộc không gian Lᵖ và toàn bộ dãy {fₙ} ban đầu hội tụ về f theo chuẩn Lᵖ. Tính đầy đủ của không gian Lᵖ là một kết quả sâu sắc, cho thấy sự ưu việt của lý thuyết tích phân Lebesgue so với Riemann, vì không gian các hàm khả tích Riemann không có tính chất này.

III. Phương pháp chứng minh tính phản xạ và khả li không gian Lᵖ

Sau khi thiết lập Lᵖ là một không gian Banach, việc khảo sát không gian Lᵖ đi vào các tính chất tinh tế hơn như tính phản xạ và tính khả li. Các tính chất này phân loại các không gian Lᵖ khác nhau và có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết không gian hàm. Một không gian Banach được gọi là phản xạ nếu nó đồng nhất một cách tự nhiên với không gian song đối ngẫu của nó (không gian đối ngẫu của không gian đối ngẫu). Luận văn chỉ ra rằng không gian Lᵖ là không gian phản xạ khi và chỉ khi 1 < p < ∞. Việc chứng minh điều này thường dựa vào Bất đẳng thức Clarkson và khái niệm không gian lồi đều. Các không gian L¹ và L∞ không có tính chất này, tạo ra sự khác biệt cơ bản trong cấu trúc của chúng. Tính khả li (separability) liên quan đến sự tồn tại của một tập con đếm được và trù mật. Một lần nữa, có sự phân chia rõ rệt: Lᵖ là không gian khả li với 1 ≤ p < ∞, trong khi L∞ thì không. Việc chứng minh tính khả li của Lᵖ (với p < ∞) thường dựa trên việc chỉ ra rằng tập các hàm đa thức với hệ số hữu tỉ (hoặc các hàm đơn giản) là trù mật trong Lᵖ. Đây là những kết quả trọng tâm của một luận văn tốt nghiệp toán học về chủ đề này, thể hiện sự hiểu biết sâu sắc về cấu trúc topo và hình học của các không gian hàm.

3.1. Khảo sát tính phản xạ của không gian Lᵖ với 1 p

Tính phản xạ là một tính chất hình học quan trọng của không gian Banach. Một kết quả kinh điển trong giải tích hàm khẳng định Lᵖ là phản xạ với 1 < p < ∞. Luận văn này trích dẫn chứng minh thông qua định lý Milman-Pettis, nói rằng mọi không gian Banach lồi đều là phản xạ. Bước đầu tiên là sử dụng Bất đẳng thức Clarkson để chứng minh Lᵖ (p ≥ 2) là lồi đều. Sau đó, dựa vào mối quan hệ giữa một không gian và không gian đối ngẫu của nó (E phản xạ khi và chỉ khi E' phản xạ), kết quả được mở rộng cho trường hợp 1 < p < 2. Tính phản xạ đảm bảo rằng mọi dãy bị chặn đều có một dãy con hội tụ yếu, một công cụ cực kỳ hữu ích trong việc giải các bài toán biến phân và phương trình đạo hàm riêng.

3.2. Đặc trưng của không gian Hilbert L² và sự khác biệt

Trường hợp đặc biệt p=2, không gian L², chiếm một vị trí trung tâm. L² không chỉ là một không gian Banach mà còn là một không gian Hilbert – một không gian Banach mà chuẩn được sinh ra từ một tích vô hướng. Sự tồn tại của tích vô hướng cho phép ta sử dụng các công cụ của đại số tuyến tính và hình học Euclide, như khái niệm trực giao, phép chiếu trực giao và cơ sở trực chuẩn (ví dụ, chuỗi Fourier). Định lý biểu diễn Riesz cho không gian Hilbert khẳng định rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L² đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích vô hướng với một phần tử cố định trong L². Điều này làm cho không gian đối ngẫu của L² đồng nhất với chính nó, một tính chất tự đối ngẫu đẹp đẽ. Đây là điểm khác biệt lớn so với các không gian Lᵖ khác (với p ≠ 2).

IV. Cách xác định không gian đối ngẫu của không gian Lᵖ chi tiết

Một phần không thể thiếu trong khảo sát không gian Lᵖ là việc xác định không gian đối ngẫu của nó. Không gian đối ngẫu của một không gian định chuẩn E, ký hiệu là E', là không gian của tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Đối với không gian Lᵖ, kết quả là một trong những định lý đẹp và quan trọng nhất của giải tích hàm. Luận văn này trình bày chi tiết kết quả: nếu 1 ≤ p < ∞, không gian đối ngẫu của Lᵖ(Ω) đồng nhất một cách đẳng cự với không gian Lᵖ'(Ω), trong đó p' là số mũ liên hợp của p (1/p + 1/p' = 1). Điều này có nghĩa là mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục φ trên Lᵖ đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích phân: φ(f) = ∫ f(x)g(x) dx cho một hàm g ∈ Lᵖ' nào đó. Bất đẳng thức Hölder đóng vai trò kép: nó vừa đảm bảo phiếm hàm này liên tục, vừa cho thấy chuẩn của phiếm hàm chính là chuẩn Lᵖ' của hàm g. Tuy nhiên, trường hợp p = ∞ lại khác biệt. Không gian đối ngẫu của L∞ phức tạp hơn nhiều và chứa không gian L¹ như một không gian con thực sự. Việc tìm hiểu sâu về cấu trúc của không gian đối ngẫu là một chủ đề nâng cao, thể hiện sự trưởng thành trong nghiên cứu của một đề tài tốt nghiệp toán.

4.1. Định lý biểu diễn đối ngẫu cho Lᵖ với 1 p

Định lý này là trái tim của việc nghiên cứu không gian đối ngẫu của Lᵖ. Nó khẳng định có một phép đẳng cấu đẳng cự giữa (Lᵖ)' và Lᵖ'. Cụ thể, với mỗi g ∈ Lᵖ', ta có thể định nghĩa một phiếm hàm T₉ ∈ (Lᵖ)' bằng công thức T₉(f) = ∫fg dx. Định lý khẳng định rằng mọi phiếm hàm trong (Lᵖ)' đều có dạng này và ||T₉|| = ||g||ₚ'. Chứng minh định lý này không tầm thường, thường sử dụng Định lý Radon-Nikodym trong lý thuyết độ đo. Kết quả này có ý nghĩa to lớn, nó cho phép chúng ta "nhìn thấy" và làm việc với các đối tượng trừu tượng trong không gian đối ngẫu thông qua các hàm cụ thể trong một không gian Lᵖ khác.

4.2. Sự phức tạp của L¹ và L Các trường hợp đặc biệt

Khi p = 1, số mũ liên hợp là p' = ∞. Định lý biểu diễn đối ngẫu khẳng định (L¹)' đồng nhất với L∞. Đây là một kết quả đẹp và trực quan. Tuy nhiên, ngược lại, đối ngẫu của L∞ lại không phải là L¹. Mặc dù mọi hàm trong L¹ đều định nghĩa một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L∞, nhưng tồn tại những phiếm hàm trên L∞ không thể biểu diễn dưới dạng tích phân với một hàm trong L¹. Sự "thiếu hụt" này liên quan đến việc L¹ không phản xạ. Việc chứng minh sự tồn tại của các phiếm hàm này thường sử dụng Định lý Hahn-Banach. Hiểu rõ sự bất đối xứng này là một điểm nhấn quan trọng trong một luận văn tốt nghiệp toán học chuyên sâu.

V. Ứng dụng tích chập và chính quy hóa trong không gian Lᵖ

Phần ứng dụng của việc khảo sát không gian Lᵖ thường tập trung vào các phép toán trên không gian hàm, trong đó tích chập và chính quy hóa là hai kỹ thuật quan trọng. Phép tích chập (convolution) của hai hàm f và g, ký hiệu f ∗ g, là một phép toán làm "trơn" các hàm. Luận văn trình bày định lý Young về tích chập, khẳng định rằng nếu f ∈ Lᵖ và g ∈ L¹, thì f ∗ g ∈ Lᵖ và ||f ∗ g||ₚ ≤ ||f||ₚ ||g||₁. Tính chất này cho thấy tích chập là một phép toán được xác định tốt trên các không gian Lᵖ. Kỹ thuật chính quy hóa (regularization), hay làm trơn, sử dụng tích chập với một họ các hàm "xấp xỉ đơn vị" (mollifiers). Bằng cách lấy tích chập của một hàm f ∈ Lᵖ bất kỳ với một hàm làm trơn, ta thu được một dãy các hàm trơn (khả vi vô hạn) hội tụ đến f theo chuẩn Lᵖ. Kết quả này, được gọi là định lý về sự trù mật của không gian các hàm trơn trong Lᵖ, là vô cùng quan trọng. Nó cho phép chúng ta xấp xỉ một đối tượng phức tạp trong Lᵖ bằng các đối tượng "đẹp" hơn nhiều, từ đó có thể chứng minh các tính chất cho hàm tổng quát bằng cách chuyển qua giới hạn từ các hàm trơn. Đây là một kỹ thuật nền tảng trong lý thuyết không gian Sobolev và việc giải phương trình đạo hàm riêng.

5.1. Phép tích chập và định lý Young trong lý thuyết không gian hàm

Phép tích chập được định nghĩa bởi (f ∗ g)(x) = ∫ f(x-y)g(y)dy. Nó xuất hiện tự nhiên trong nhiều lĩnh vực như xử lý tín hiệu, lý thuyết xác suất và phương trình đạo hàm riêng. Trong bối cảnh của luận văn tốt nghiệp toán học, Định lý Young là kết quả trung tâm, cung cấp các ước lượng chuẩn quan trọng cho tích chập. Việc hiểu rõ chứng minh định lý này (thường sử dụng định lý Fubini và bất đẳng thức Hölder) và các tính chất của phép tích chập (giao hoán, kết hợp) là cần thiết để áp dụng vào các bài toán phức tạp hơn. Phép toán này là công cụ chính để xây dựng các nghiệm cơ bản cho các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.

5.2. Kỹ thuật chính quy hóa và sự trù mật của C Ω trong Lᵖ Ω

Kỹ thuật chính quy hóa là một trong những ứng dụng đẹp nhất của phép tích chập. Một dãy chính quy (mollifier) {ρₙ} là một dãy các hàm trơn, có giá compact, tích phân bằng 1 và support co về gốc tọa độ. Khi cho một hàm f ∈ Lᵖ (1 ≤ p < ∞), dãy các hàm fₙ = f ∗ ρₙ sẽ là các hàm khả vi vô hạn và hội tụ về f trong Lᵖ. Kết quả này có nghĩa là không gian các hàm trơn có giá compact C∞_c(Ω) là trù mật trong Lᵖ(Ω). Sự trù mật này là một công cụ cực kỳ mạnh mẽ, cho phép "chuyển" các kết quả từ không gian hàm "đẹp" sang không gian hàm tổng quát Lᵖ, là nền tảng để định nghĩa đạo hàm yếu và xây dựng không gian Sobolev.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I; MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BI §I: MỘT SO KẾT QUA VE TÍCH PHAN Dinh nghĩa 1.1: Cho Q là mội tập mở của %†` gin độ do Lebesgue dx. L'(Q) là không gian những hàm khả tích trên Q có giá trị trong Vì. = flor Qui ước: L'(Q) thường được viết là ¿!. [7xx thường được viết là ff Đị h I.

lýn 2: (định lý về sự hội tụ don điệu của Beppo-levi) Chol, } là một day tăng các hàm của LÌ thỏa: sup fu. Hơn nữa: fe # và |/,~ /J =0.3: (định lý về sự hội tụ và bị chan Lebesgue) Cho gel’ và {f,} là một dãy những hàm thuộc ? thỏa: al f(x) => f(x) hầu khấp nơi trên Q. b/ Với mỗi n, |/4(x)|< g(x) hầu khấp nơi trên Q. Khi đó: fel và |f.4: (bổ để Fatou) Cho {/,} là một day những ham thuộc / thỏa: af Với mỗi n.

/,(x) >0 hầu khấp nơi trên ©. b/ sup IÚ <œ, SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 3 KHẢO SÁT KHÔNG GIAN /7 GVHD: TS. L HOÀN HÓA Với mỗi xeQ.5: (định ly về sự trù mật) Không gian CC (Q) trù mật trong /(Q) nghĩa là: vz >0.V/ e L(O), 3ƒ, e Gl 2) : Bi - fly sẽ Địlýn .@; c N* là bai tập mở và F:Q.xQ, —= 9 là một hàm đo được. Nếu fiFex wildy <o hầu hết xeQ, va fax [Fox sey <0 tụ a 8) Thì Fe L'(Q,*Q,) Địlýn .Q, là hai tập mở của R* và £:Q,x@Q; —> 3 là hàm đo được.

Nếu £ce/(Q,xQ,) Thì F(x.y)€ f,(Q,) và [F(x,y)dye ,(Q,), hầu hết xe, a, Cũng như: F(x.y)e L(Q,) va [F(x,y)dye L(Q,), hấu hết yeQ, 8 Hơn nữa, ta có : [dr Í[F(x. mR a 8; % 0-0) SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 4 KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L’ GVHD : TS. LE HOÀN HÓA §2 MỘT SỐ KIEN THỨC VỀ KHÔNG GIAN PHAN XA - KHẢ LI - ĐỐI NGẪU ----000---- Dinh nghĩa 1.1: Cho E là không gian vectơ trên trường giao hoán K. Không gian vectơ L(E.K) là không gian những dang tuyến tính trên E gọi là không gian đối ngẫu của E.2: Cho E là không gian Banach và J là đơn ánh chính tấc.

E được gọi là phản xạ nếu J(E)=E"”", với E'" là song đối ngẫu của E. ® Nếu E là không gian phản xạ thì ta có thể đồng nhất E với E`` nhờ vào phép đẳng cấu J.3: Không gian Banach E được gọi là lổi đều nếu với mọi £ > 0 cho trước, tồn tại ở >0 sao cho (x, ye E.bl<sk~sl>=|#2? <l-ổ Định nghĩa 1.4: Không gian khả mêtric E được gọi là khả li nếu tổn tại một tập đếm được P của E trù mật trong E.6: (Milman-Pettis) Tất cả không gian Banach lôi déu là không gian phản xạ. SVTH : NGUYÊN THỊ CHINH Trang 5 KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L’ GVHD: TS. LÊ HOÀN HÓA Cho E là không gian Banach.

E là khong gian phan xa <> E' là không gian phản xa. Cho E là không gian Banach suo cho E` là không gian khả li. Khi đó E cũng là không gian khả li. lýn 9: Cho E là không gian Banach.

E là không gian phản xa và khả li <> E' là không gian phản xạ và khả lí.10: Cho không gian Banach E phản xạ và {x,} là dãy bi chặn trong E. Khi đó tổn tai một day con {x, } hội tụ đối với tôpô yếu ơ(£.11; (Banach-A laoglu-Bourbaki) lý nh Đị Tập B, = (xe £':|x|< 1} là tập compac đối với tôpô yếu *ơ(E'.12: Cho không gian Banach E khả li và {x,} là day bị chan trong E'. Khi đó tổn tại một đây con {x,} hội tụ đối với tôpô yếu *ø(£',£).h Cho P và Q là 2 tập đóng rời nhau của không gian mêtric E.Khi đó tổn tại một nh xa liên tục / WE vào [0,1] của ® lấy giá trị 0 tại những điểm thuộc P và giá trị | tại tại những điểm thuộc Q. SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 6 KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L° GVHD: TS.

LÊ HOÀN HOA Chương II: KHAO SÁT KHÔNG GIAN L” $1 ĐỊNH NGHĨA VA MỘT SỐ TÍNH CHAT SƠ CAP CUAL" + Định nghĩa: Định nghĩa HH.1: Chop eR với Ì < p<, đặt: LQ) = {/ :€ —» 9† sao cho ƒ đo được và |/[ e #(@)}. , ! Ký hiệu: |/{, “(j0 dv]” Khi đó [||; là một chuẩn.2: L”(Q)= 1: =9; / do được và có một hằng số C sao cho |/(x} 4€ h. Đặt: |/Ï > inf{C {/(x) <C hầu khắp nơi trên Q } Khi đó |{ „ là một chuẩn. hầu khắp nơi trên Q That vây: Tén tại một đây C, sao cho C, ->/||„ và với mỗi n, [f(x $C, hầu khắp nơi trên Q Do đó, |/(x) SC,.,£, là tập hợp có độ đo không.

Đặt E =UE,, thì £ cũng là tập có đô đo không và: Iƒ(x <C,,vn,VxeQ\E. Từ đó suy ra |/(x)|<Ÿ/|,„. Vee Q\ £ hay |/(xỶ < ||/|,„ Akan trên @.4: (bất đẳng thức holder) H-1h Cho fel’ và gef” với Ì<p<% Khi đó /ge # và Í|/.g|<|f{,»Ïe|,› (1) SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 7 KHAO SÁT KHÔNG GIAN ¿7 GVHD: TS. LÊ HOÀN HÓA Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức Young: giả sử 1< p <=, p` là số mũ liên hợp coup ta có: ub < Lie + lg: .Vu,b>0 P P Việc chứng minh bất đẳng thức Young dựa vào định lý hàm Idi (bất đẳng thức Jensen) Cho f(x) và x,.x, € (a,b) và n là số dương ứ,(¡ = l.

sao cho: Œ, tớ, +.+Œ, =1, Khi đó: ex, )< Vea fx) nếu /''(x)>0.b) set vet das )> Sa, /(x,) nếu ƒ''(x)<0.bh) mm -! That vây : Dat f(x) = Lay, xe(0.+s) thì /"(x) = eal <0, Vr>0 x Ap dung định lý hàm lỗi ta có: xà la — I+ m)>p/(' )+>/6 ) a” Inf + zs| nar )+= nib") = Ina+Inb = Inab pb’ & <a" + zo > ab (bất đẳng thức Young đã được chứng minh) Bây giờ ta chứng minh định lý (1I.4): Với p=! hay p= thì hiển nhiên fg e /' và bất đẳng thức (1) đúng. Với I<p<œ: Nếu một trong hai tích phân fia’. fe!” bing không thì hiển nhiên ta có bất đắng thức( 1) Giả sử fun’ >0. Ấp dung bất đẳng thức Young: fy [ee À1 Lý sa (2) Mì» ele ©? tee -Lấy tích phân hai vế của (2), ta được: SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 8 KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L’ GVHD: TS.

LÊ HOÀN HÓA „1Ï„1 Sel, iia +15 Pin.gel’ va fit-gis Ae dl, a- Nếu p=p’ = 2, ta có bất đẳng thức BunhiakØpski: JI«|<1⁄|,› lel,› =f’? a fig"? b- Bất ding thức Holder tổng quát: Giả sử /,./, là những hàm sao cho : f.elˆ(Q)1<¡<k và Le tà ví h h P, Khi đó: Nh xétân II./, là những hàm sao cho f € L" (Q)l<¡<k va PT bà ol #, Khi đó : ƒ= ƒ,,/;. /, EL" và |/{+ SUI edn 3 Nếu fel’ NL" với I<psq<z thì fel’. Wr: psrsq và ta có bất đẳng thức vẻ ph p ésuy nội : @ l~ø Ul. sU as ar “ Ki | (Osa@sl) That vậy: 4 a/ Giả sử /,./, là những hàm sao cho f, € /“(Q)1<¡<É và > 7 o + P ĐC | Đặt g, = 2.1 sisk thì —=l Ap dụng bất đẳng thức Holder cho các hàm (/|”.|#|j” trong dé nl" € *(@) với 1<¡<k (do [if = If)" <œ) tà có: fat A l s l a y 9 9.

4 1 1 9) SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 9 KHAO SÁT KHÔNG GIAN L° GVHD: TS. LE HOÀN HOA <(JIsÍ” )/ nA Ab ) % St Aly aly’ <x (áo F&O), € / ( @ ) và U e <1 /|, a- { /⁄ |, " Điều đó chứng tỏ rằng / = fifo s u y r a f e l ’ v à fe l ’ b/ Da /6/f(Q)^*(Q)1<pSg<z, và [ / ƒ <œ Do ds fis’ <œ Đặt p=? và P= ki a Hơn nữa, do fel" =Ï⁄“ 4 = fin" <« nên f* EL" Tương tự ta có: f'* œ L” Ap dụng (a) với /“ € L", f'* e1, Lee P Pp r “ ine hye she rey? = Gua’ Gays << Từ đó suy ra: feL(Q).psrsq và |/{„ <|/[z|/[š` với 722+" (0z) Dinh lý 11.6: LF là không gian vectơ định chuẩn, với chuẩn || „, với mọi p, 1s p < œ Dễ dàng kiểm tra /7 là một không gian vectơ. Do đó ta chỉ cẩn chứng minh || „ là môi chuẩn. Thật vậy: Với ø =1 và p =s thì hiển nhiên ||Í„ là một chuẩn (theo nhận xét 1I.3) Giả sử I<p<s và fig © L" ta có: SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 10 KHAO SÁT KHÔNG GIAN (/ GVHD:TS.

LE HOÀN HOA Uv iff, >0.|/|,„ =0© ý =0 hấu khắp nơi trên Q i jaf}. iif Chofe © L" tạ có: If + xl" SUA] + |g)” <2? maxi Jel") 52° s" " +|e|f) Suy rủ; fy +g|” <2" fir’ + fal’) <2 Do đó: f+g €L” Mat khác, ta lại có: lý + = [ý + g = [|7 + 8Ì” [reals [[f +#|” 171+ | + al” al vì Íf + g|”” e L7, dp dụng bất đẳng thức Holder, ta được: firsel Unsere aly yr =(J+sl9* (|0 sI/ +#| 1/|„ Tương tự, ta có: [ +s|”1s|<}/ + alllsl,„ Từ đó suy ra: hay: [/Z + gÍ,; <|/[,x +lel,» Vậy ||„ là mộtchuẩn, 1< psx Như vậy £” là không gian vectơ định chuẩn Dinh lý 11.7: (Fischer-Riesz) Lia một không gian Banach, Is ps@ Chứng minh: Theo định lý (11. /” là một không gian định chuẩn với chuẩn {{„. Dé chứng mình L” là không gian Banach, ta chỉ cẩn chứng minh /? đẩy đủ hay chứng minh mọi day Cauchy đều hội tụ trong £°, SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 11 KHAO SÁT KHÔNG GIAN L"” GVHD: TS.

LÊ HOÀN HÓA Thật vậy. với p=œ: gid sử {/Q} là dãy Cauchy trong /*, khi đố:vớđisốtự nhiên &>l chotrước,có N, sao cho ƒ„- /(||„ Š xYm.n 2N, Do đó tồn tai tập E, có dé do không sao cho : |g} Sys Hài cQ'£, (3) Dat £ =LJE, thi E là tập có độ đo không. ‹ Với mọi xe@\£, {/(x)} là dãy Cauchy trong ® .Do 3 đẩy đủ nên /(x) hội tụ về AX). Dat lim / (x)= /(x) ,VxeQ@\£ Chuyển giới han của (3) khi m — œ, ta được: |Zœ)- foo) st , Wee Q\E, Vn>N, Điều đó chứng tỏ rằng: ƒeL*”.

và |ƒ - fille sz. 0 Vậy với mọi số tự nhiên & 21 cho trước, có N, sao cho Wn2 N, thi ||f-/,),. +0 Như vậy L7 là không gian Banach. Với 1< p<: Giả sử {f,} là dãy Cauchy trong /.

Khi đó tổn tại day con .] của {f} SS Foy sao cho: |f,- -/4| F ch weeI (fade nhà sous dn, véo cho Nf~ {atụt m 4a4 Aitp thưo ng>n, s&o -cho l/. “jnlự š & Amn Zn, iv) Ta sé chứng minh { Tuy } hội tu trong ¿*, thật vậy: Để đơn giản ta viếtfi thay cho fn h thì ta cbf -⁄1, < srw >l (4) Đặt g(x)<®|//.,(// x)() = Ap dung bất đẳng thức Minkopxki: 2 & Í Iz.,tx)- AGH, < Đài =],Vn.