Chương 1: Cơ sở cơ học lượng tử 1. Cơ học sóng và phương trình Schrodinger Cơ học sóng là hình thức luận cơ bản của lý thuyết lượng tử. Nó liên quan đến hàm sóng ( x, t ) tuân theo phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian 2 2 − ( x , t ) + V ( x ) ( x , t ) = i ( x, t ).1) 2m x 2 t Nếu ( x, t ) = ( x)T (t ) thì từ (1.1) suy ra 1 2 2 ( x) 1 T (t ) − + V ( x ) ( x ) = i = E = const.4) 2m 2 x 2 2 2 2 Trong trường hợp 3 chiều, thay == 2 + +. Cơ học sóng và phương trình Schrodinger Nghiệm của (1.1) là iEt ( x, t ) = ( x) exp − .5) E là năng lượng của hạt.
Các nghiệm này mô tả các trạng thái dừng của hạt với năng lượng xác định. Hạt tự do Khi đó, V(x) = 0.6) 2m x 2 Đó là phương trình sóng chuẩn (Helmholtz).6) có thể là hàm mũ phức hoặc hàm lượng giác thực sau ( x) = exp(+ ikx ); exp(− ikx ); sin kx; cos kx. Hạt tự do p2 Theo cơ học cổ điển, động năng E= 2m p = k. Hai hệ thức trung tâm của lý thuyết lượng tử cũ E = = h (Einstein), (1.9) p = k = k 2 Hệ thức tán sắc: = 2m k p Vận tốc pha v ph = = = , (1.11) Vận tốc nhóm dk m m vcl là vận tốc cổ điển.
Hạt tự do Bó sóng (wave jacket) trên hình 1.1 chỉ ra ý nghĩa của hai vận tốc này. Sóng con (wavelet) bên trong bó sóng chuyển động về phía trước với vận tốc pha trong khi hình bao (envelope) chuyển động với vận tốc nhóm.1 2k 2 Nếu E = 2m 0 k là số thực. Nếu E 0 k là số ảo (k = i ) ( x) exp(x); exp(−x); sinh(x); cosh(x) với E = − . Các 2 2 2m hàm này đều là thực và đều bị phân kì khi x → theo ít nhất một hướng.
Do đó, các hàm này chỉ có thể được sử dụng trong một vùng không gian hạn chế. Hạt liên kết: hố lượng tử Xét điện tử chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn. Nó được gọi là một hố lượng tử (quantum well (QW)) hay một hạt trong một hộp (a particle in a box). Ví dụ đơn giản nhất là một hố vuông góc sâu vô hạn và được minh họa trên hình 1.
Hố thế có V(x) = 0 khi 0 < x < a và V (x) = khi x 0 hoặc x a. a là bề rộng hoặc nửa bề rộng của hố. Bên trong hố, hạt chuyển động tự do. Nghiệm của phương trình Schrodinger trong hố có thể là hàm mũ phức, hàm lượng giác thực khi E > 0 hoặc hàm mũ thực, hàm hyperbol khi E < 0 giống như xét ở phần 1.
Các điều kiện biên loại bỏ chuyển động tự do. Ngoài hố, không có hạt. Do đó, ( x) = 0 ở trong rào. Do hàm sóng liên tục nên cần có các điều kiện biên ( x = 0) = ( x = a ) = 0.
Do đó, a các hàm sóng và năng lượng có dạng nx 2 k n2 2 n 2 2 n ( x) = sin , n = 0 (k n ) = = 2. Hạt liên kết: hố lượng tử Hình 1. Hố vuông góc sâu vô hạn trong GaAs với bề rộng a = 10 nm dọc theo x trong đó chỉ ra 3 mức năng lượng và hàm sóng đầu tiên. là số lượng tử để kí hiệu trạng thái.
Sự lượng tử hóa là giới hạn lên các năng lượng cho phép và nó xuất phát từ các điều kiện biên áp đặt lên chuyển động của hạt. Các hạt chuyển động tự do qua toàn bộ không gian có các mức năng lượng liên tục. Các hạt bị giam cầm trong một vùng không gian có các mức năng lượng gián đoạn. Thường một hạt bị liên kết trong một khoảng năng lượng nào đó và tự do trong các khoảng năng lượng khác với một hỗn hợp các mức năng lượng liên tục và gián đoạn.
Trạng thái thấp nhất có năng lượng 1 0. Điều đó đối lập với cơ học cổ điển mà ở đó trạng thái ứng với năng lượng thấp nhất có hạt ở bất cứ chỗ nào trên đáy hố với động năng bằng không và E = 0. Dáng điệu như vậy vi 1. Hạt liên kết: hố lượng tử phạm nguyên lí bất định trong cơ học lượng tử.
Do đó, thậm chí trạng thái thấp nhất có năng lượng điểm không dương. Các hàm sóng trong hố thế vuông góc có tính chất đối xứng. Các hàm sóng ứng với n lẻ là các hàm chẵn của x ở phần giữa hố trong khi các hàm sóng ứng với n chẵn là các hàm lẻ của x. Điều này sẽ rõ ràng hơn nếu việc đánh số trạng thái bắt đầu từ 0 thay vì từ 1.
Sự đối xứng này đúng đối với mọi hố có thế V(x) là một hàm chẵn của x. Tính chất đối xứng này là quan trọng để rút ra các qui tắc lọc lựa cho nhiều quá trình ví dụ như sự hấp thụ quang. Các phương pháp quang cung cấp các kỹ thuật trực tiếp để đo các mức năng lượng trong một hố lượng tử. Xét sự hấp thụ quang trong một hố lượng tử.
Hố lượng tử là một mô hình nhân tạo ít có ứng dụng trong thế giới thực. Mặc dù không thể tạo ra một hố sâu vô hạn, hiện nay có thể nuôi được các cấu trúc gần với các hố hữu hạn lý tưởng. Hố sâu vô hạn thường dùng như một phép gần đúng do các kết quả đơn giản của nó. Hạt liên kết: hố lượng tử Hình 1.
Sự hấp thụ quang trong một hố lượng tử tạo bởi một lớp GaAs ở giữa các lớp AlGaAs. (a) Hố thế trong vùng dẫn và vùng hóa trị trong đó mỗi vùng có hai trạng thái liên kết và khe năng lượng của GaAs lớn hơn nhiều so với hình vẽ. (b) Những sự chuyển giữa các trạng thái trong hố lượng tử sinh ra các vạch hấp thụ giữa các khe vùng của hố GaAs và rào AlGaAs. Một dị cấu trúc bao gồm một lớp GaAs mỏng bị kẹp giữa các lớp AlGaAs dày cung cấp một hố lượng tử đơn giản như trên hình 1.
AlGaAs thực ra là Al0,3Ga0, 7 As. Các điện tử tự do có năng lượng 0 (k ) = 2 k 2 /( 2m0 ). Các điện tử trong bán dẫn ở trong vùng dẫn (CB) có thể thay đổi năng lượng theo 2 cách. Theo cách thứ nhất, năng lượng cần được đo từ đáy vùng ở EC thay vì từ không.
Theo cách thứ hai, các điện tử xử sự như thể chúng có khối 1. Hạt liên kết: hố lượng tử lượng m0 me , trong đó khối lượng hiệu dụng me = 0,067 trong GaAs. Hệ nhiều lớp gồm các lớp GaAs và AlGaAs xen kẽ nhau có tác dụng giống như một hố lượng tử vì EC trong AlGaAs cao hơn EC trong GaAs và độ chênh lệch EC tạo ra hàng rào để giam cầm các điện tử. Điển hình là EC 0,2 − 0,3eV mà nó không lớn.
Tuy nhiên, tag sẽ làm gần đúng nó bằng vô cùng để tìm các mức năng lượng trong một hố có bề rộng a. Năng lượng của các trạng thái liên kết được kí hiệu là ne bằng 2 2 ne2 0 n EC +GaAs 2 .13) e 2m0 me a Có thể đo các mức năng lượng này bằng cách chiếu ánh sáng lên mẫu và xác định xem những tần số nào bị hấp thụ. Các bán dẫn có các mức năng lượng trong các vùng khác. Vùng quan trọng nhất trong số đó là vùng hoá trị (VB) mà nó nằm dưới vùng dẫn.
Đỉnh vùng hoá trị tại EV và vùng này bị uốn cong xuống dưới theo hệ thức V (k ) = EV + 2 k 2 /(2m0 mh ), trong đó chứa khối lượng hiệu dụng khác 1. Hạt liên kết: hố lượng tử là mh (mh = 0,5 trong GaAs). Các vùng dẫn và vùng hoá trị được tách ra bởi khe vùng E g = EC − EV. Đó lại là một hố lượng tử vì EV trong hố GaAs ở mức khác với mức của EV trong các rào AlGaAs.
Năng lượng của các trạng thái liên kết được kí hiệu bởi nh bằng 2 2 nh2 0 n EV GaAs − 2 .14) h 2m0 mh a Mọi điều “đảo ngược” trong vùng hoá trị như chỉ ra trên hình 1. VB đầy hoàn toàn và CB trống hoàn toàn trong một bán dẫn tinh khiết ở nhiệt độ không. Sự hấp thụ quang chuyển một điện tử từ VB lên CB. Trong GaAs, điều này xảy ra với điều kiện là E g ( E g GaAs GaAs là khe vùng của GaAs).
Tương tự, E gAlGaAs trong AlGaAs. Quá trình này để lại phía sau một trạng thái trống hay là lỗ trống trong VB. Do đó, chỉ số dưới h dùng để chỉ các thông số của VB. Đối với hố GaAs, sự hấp thụ quang không thể bắt đầu tại = E gGaAs do các trạng thái trong hố bị lượng tử hoá.
Năng lượng thấp nhất mà tại đó xảy ra sự hấp thụ được cho bởi hiệu C1 − V 1 giữa năng lượng thấp nhất 1. Hạt liên kết: hố lượng tử C1 trong hố trong CB và năng lượng thấp nhất V 1 trong hố trong VB. Sự hấp thụ có thể xảy ra tại những năng lượng cao hơn do việc sử dụng các trạng thái khác. Các chuyển tiếp mạnh nhất xảy ra giữa các trạng thái tương ứng trong hai vùng.
Do đó, có thể đặt ne = nh = n. Vì thế, sự hấp thụ mạnh xảy ra tại các tần số được cho bởi GaAs 2 2 n 2 GaAs 2 2 n 2 n = Cn − Vn = EC + − EV 2 − = 2 2m0 me a 2m0 mh a 2 2 n 2 1 1 = Eg GaAs + 2 + .15) 2m0 a me mh Các năng lượng ở trên giống như các năng lượng trong một hố lượng tử mà ở đó khối lượng hiệu dụng là meh được cho bởi 1 / meh = 1 / me + 1 / mh. Nó gọi là khối lượng hiệu dụng quang.