=—W TAP HAI NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM Chan tri LT O TRẦN NAM DŨNG (Tổng Chủ biên) TRAN DUC HUYÊN - NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên) VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG - NGÔ HOÀNG LONG PHẠM HOÀNG QUÂN - PHAM THI THU THUY TẬP HAI NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM HUONG DAN SU DUNG SACH Mỗi bài học trong sách Toán 12 thường có các phần như sau: Gợi mở, kết nối người học vào chủ để bài học. Hoạt động khởi động Gợi ý để người học tìm ra kiến thức mới. Hoạt động khám phá Nội dung kiến thức cần lĩnh hội. Kiến thức trọng tâm Ọ Các bài tập cơ bản theo yêu cầu cần đạt.
Thực hành Ất. Ứng dụng kiến thức để giải quyết vấn đề. Vận dụng Hãy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng các em học sinh lớp sau! x Lời nói dau Sách Toán 12 thuộc bộ sách giáo khoa Chân trời sáng #ạø được biên soạn theo Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đảo tạo. Cấu trúc sách Toán 12 được chia thành hai tập.
Tập hai bao gồm ba chương: Chương IV: Nguyên hàm. Chương V: Phương trình mặt phăng, đường thẳng, mặt câu. Chương VI: Xác suất có điều kiện. Đầu mỗi chương đều có nêu rõ các kiến thức cơ bản sẽ học và các yêu cầu cần đạt của chương.
Các bài học đều xây dựng theo tỉnh thần định hướng phát triển năng lực và thường được thống nhất theo các bước: khởi động, khám phá, thực hành, vận dụng. Sách sẽ tạo nên một môi trường học tập và giảng dạy tương tác tích cực nhằm đảm bảo tính dễ dạy, dễ học đồng thời hỗ trợ các phương pháp giảng dạy hiệu quả. 'Nội dung sách thể hiện tính tích hợp, gắn bó môn Toán với các môn học khác. Những hoạt động trải nghiệm được tăng cường giúp người học có thêm cơ hội vận dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời ứng dụng công nghệ thông tin vào việc học Toán.
Chúng tôi tin tưởng rằng với cách biên soạn này, sách giáo khoa oán 12 sẽ hỗ trợ quý thầy, cô giáo một cách tích cực và hiệu quả trong quá trình dạy học, đồng thời giúp các bạn học sinh hứng thú hơn khi học tập bộ môn Toán. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn học sinh đê sách được ngày càng. CÁC TÁC GIẢ ii» Trang PHAN MOT SO YEU T6 GIAI TÍCH CHVONG IV. TICH PHAN Bai 1.
Tich phan PHAN HINH HOC VADOLUONG ChươngV. PHƯƠNG TRINH MAT PHANG, DUONG THANG, MAT CẦU PHAN THONG KE VA XAC SUAT Chương VI. XÁC SUAT CO DIEU KIỆN J ng Bài 2. Minh hoạ và tính tích phan bi Phén| mot s6 YEuTO GIAITICH q01.
TÍCH PHAN Nguyên hàm và tích phân là hai khái niệm toán học cho phép biểu thị và tính toán nhiều đại lượng khác nhau xuất hiện trong khoa học và cuộc sống. Trong chương này, dhúng ta sẽ tìm hiểu về hai khái niệm nói trên và một số tính chất cơ bản của chúng, vận dụng chúng để, a một số bài toán thựctiễnliên quan đến những đại lượng quen thuộc nhưidiện tích, thể tích, quãng đường chuyển động,. Nếu biết tốc độ của xe trong quá trình chuyển động thì xác định được quãng đường đã đi được tại quá trình đó. (cẩy) Học xong chương này, bạn có thể: ~ Nhận biết được khái niệm và tính chất co bản của nguyên hàm.
~ Xác định được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp; tính được nguyên hàm trong. những trường hợp đơn giản. ~ Nhận biết được khái niệm và các tính chất của tích phân; tính được tích phân trong những trường hợp đơn giản. ~ Sử dụng được tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích hình khối và giải quyết những bài toán liên quan đến thực tiễn.
Nguyén ham Từ khoá: Nguyên hàm. ® Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a= 10 m/s?. Sau khi rơi được † giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu? 1. Khái niệm nguyên hàm a Cho ham số /(x) = 2x xác định trên ï*.
Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x). Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R. Cho hàm số ƒ(x) xác định trén K. Ham s6 F(x) được gọi là øguyên hàm của hàm số ƒ(x) trén K néu F(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Ching minh ring: a) F(x) = Sx +x? 1d m6t nguyén ham cua ham sé f(x) = 5 + 2x trén R. ⁄ 1 b) G(x) = tanx 1a mét nguyén ham cia ham sé g(x) = — trén(- w 3) cos*x Giải a) Ta có F'(+) = (5x + 32)! = 5 +2 =/(x) với mọi x thuộc R. fb) Tế có G0) 2 (tay TC Tế số) với gi thuật š cos'x 2 Vay G(x) 1A một nguyên hàm của hàm số g(x) trên 2 Cho ham s6 f(x) = 3x” xác định trên R. a) Ching minh ring F(x) =.° 1A mot nguyén ham cia f(x) trén R.
b) Với C là hằng số tuỳ ý, hàm số H(x) = F(x) + € có là nguyên hàm của ƒ(x) trén R khong? c) Gia sit G(x) lA mét nguyén ham cita f(x) trén R. Tim dao him cia ham s6 G(x) — F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) - F(x)? Tong quat, ta có: = Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(+) trên K. Khi đó: e Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của ƒ(1) trên K; e Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số ƒ (x) trên Kthì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C voi moi x thuộc K.
Nhu vậy, mọi nguyên hàm của ham s6 f(x) trén K déu có dang F(x) + C, với € là hằng số. Chú ý: Biéu thite f(x) dx goi là vi phan cita nguyén him F(x) ciia f(x), kí hiệu là đZ@+) Vay dF (x) = F'(x)dx = f(x) de. Tim: a) J x°dv trên dx trén (0; 2). ay 3 a) Vi (S| 33; với moi'x thude R nén F(x) = a là một nguyên hàm của +ˆ trên ï* 3 Vay fra = es +Ctrén R.
Vay J 1 dx =—cotx+ C trén (0; 2). sin? x sin’ x Chú ý: a) Moi ham sé f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó. b) Từ định nghĩa nguyên ham, ta 06 [ f'(x)de = f(x) + C.
& Chứng minh rằng F(x) = e**! 1a m6t nguyén ham cua ham sé f(x) = 2e**! trén R. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cốp. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa 2 a) Giải thích tại sao [0dx = Cvà fdr =x+C. b) Tìm đạo hàm của hàm số #(+)= Z — (œ #~D).
taco: m 5® J0d&x=C; |0dv=Œ; «© [ldt=x+C: |ldv= :. " Chú ý: Người ta thường viet {dx thay cho f1dx. Tìm: a)f xfdy; b) Iz [ ax. Giải » fraratere, feet vic.
b) ) J [——dr=[x Fea1r= fx a 3dr=2x5+C=2\jx+C. a) Tim dao him cia F(x), b) Tir ds, tim J Lax. ta có: [t&=nhl+C Vidu 4. Cho hàm s8 f(x) = + véix #0.
Tim nguyén him F(x) của /(x) thoả mãn Ƒ(_2) = 0. x Giải Ta có fear In|xl+C nén F(x) = Infa| + C(x #0). Do F(-2) = 0 nén In|-2| + C= 0 hay C=~In2. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác 4@ a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sin x, y = ~c0s x,y = tan x,y = —cotx.
b) Từ đó, tìm [eosxdx, [sinxdx, je dx va [= 1 dx. Joosxdx =sinx+C; 1 + Jee =tanx +c; cos? x Vidu 5. Tim [2sin sen ức Giải J2sin%cos% dx = [sind =—cosx+C. 23: ® Tim nguyén ham F(x) cia ham s6 f(x)= cos x thoa man F(0) + “(3 )=o ¬ Nguyên hàm của hàm số mũ ® a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = ', y= K với a> 0,a# 1 b) Từ đó, tìm fea va fara: (a>0,az1) Từ 4.
ta CÓ: Ặ fedv=e" +C; ofa ad Vidu 6. Tim nguyén him F(x) cua ham s6 f(x) = 2" thoả man F(0) = 1 Giải Ta có [2'dy= 2ˆ ¿C nên F@)=-~+C. m2 m2 Do F()=1nén —+C=—T +C=1 hay C=I~>D., ind” Ind m2 2 Vay F(x)=2-41-L. Tính chất cơ bản của nguyên hàm Nguyên hàm của tích một số với một hàm số a) 2 Ta có (5) => và @ 3x7, a) Tìm [x'dv và 3[x°dx.
c) Tit cdc két qua trén, giai thich tai sao [3x°dv = 3) x°dx. Trong trường hợp tổng quát, với ƒ(x) là hàm số liên tục trên K, ta có: [k/(G)4x =k[ ƒ()dx, với k e R, z0, Vidụ7. Tìm: 2sinx a) [es = » fe Giải a) [28% dx =2 sin dx = -Zeos+C; 3 3 3 » filer xo 'd =2 ` —+C, b 6m3 & Tim: a) iC b) [2á Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số aye ; 2 Ta có (*) =*), @Ở)'=2x và (+) a) Tìm [x dx, [2xdv và dx + | 2xdv. e) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao f (x° +2x)dx = fx°dv+ J 2xdx.
Trong trường hợp tông quát, với /(x). Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4) ƒŒ)=3cosx——; 4 b) g(x) = (2x + LẺ * Giải 9([Ssssy7 8x =3[sesxár=4ƒ Sắc =inx=4inhilsCŒœ>0y b) JQx+I de =f Bx +122 + 6x4 dx = 8Ï x dy +12ƒ x)dy + 6ƒ xdv + [Idy =2x'+ 4x) + 33) +x + C ®$ Tìm: a) ID dx (x> 0); ») ff 3-- coi Ví dụ 9. Tra lời câu hỏi trong (`) (trang 6). Giải Kí hiệu v() là tốc độ của vật, s(/) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm ¿ giây kế từ khi vật Vi a() = v'(0) với mọi í > 0 nên vứ) =[a0)dr es Juoar =101+C.
rơi từ độ cao 20 m nên s(/) < 20, suy ra 0 < r < 2. Vay sau khi vật rơi được ứ giây (0 < r < 2) thì vật có tốc độ v(/) = 10 m/s và đi được quãng đường s(/) = 5Ể mét. Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyên động chậm dẫn với tốc độ v(/) = 19 - 2z (m/s). Kẻ từ khi hăm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu? 1.
Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xe’, suy ra nguyên hàm của hàm số ƒ(x) = (x + l)£'. Tìm: 1 ` af xidy; b )ƒ dx (xœ>90) >0); of Trdy; đ) DI[Sứ 3. Tìm nguyên him F(x) cia ham số f(x) = —— thoả mãn (5) sin? x 4, Tim: a) Jex+3)dx; b) J (Scosx—3sin. Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm.
Biết rằng sau. 1 năm đầu tiên cây cao 2 m.