Hiệu Ứng Nụ Cười Trong Toán Tài Chính

• Tác giả: Lê Việt Phương
• Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Hùng Thao
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
• Đề tài: Hiệu ứng nụ cười trong toán tài chính
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ khoa học
• Năm xuất bản: 2011
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Kiến thức cơ bản về thị trường tài chính
• 1.2. Các thị trường tài chính
• 1.3. Thị trường và toán học
• 1.3.1. Giá được xem như các quá trình ngẫu nhiên
• 1.3.2. Thông tin thị trường và biểu diễn toán học
• 1.3.3. Cơ chế cân chỉnh thị giá và nguyên lý AAO
• 1.3.4. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ
• 1.4. Mô hình Black - Scholes
• 1.4.1. Giới thiệu mô hình và kết quả
• 1.4.2. Cơ sở dẫn đến mô hình Black - Scholes
• 1.4.3. Xác định các tham số của chuyển động Brown hình học
• 1.4.4. Công thức Black - Scholes và giá của hợp đồng quyền chọn mua
• 2. CHƯƠNG 2: HIỆU ỨNG NỔ CỄI
• 2.1. Công thức Dupire
• 2.2. Hiệu ứng nổ cỗi của biến động đối với các quyền chọn mua Châu Âu
• 2.3. Các vấn đề gặp phải khi thực hành và hướng giải quyết
• 2.4. Một số hướng tiếp cận chính để được nghiên cứu
• 3. CHƯƠNG 3: ĐỊNH GIÁ VỚI NỔ CỄI TRONG MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG LIBOR KÝ KẾT TRƯỚC
• 3.1. Bài toán nổ cỗi trong mô hình thị trường LIBOR ký kết trước
• 3.2. Hai mô hình thay thế cổ điển
• 3.2.1. Trường hợp thay thế loga chuẩn
• 3.2.2. Mô hình có dẫn hướng sẽ của phương sai
• 3.2.3. Lớp mô hình tổng quát
• 3.2.3.1. Trường hợp có thể: Hỗn hợp các chuyển động Brown hình học
• 3.2.3.2. Mê rễng mô hình hỗn hợp chuyển động Brown hình học cho phép để lọc để biến động tiềm ẩn
• 3.2.3.3. Mô hình tổng quát kiểu Dupire
• 3.2.3.4. Ví dụ áp dụng vào dữ liệu thị trường
• KẾT LUẬN
• PHỤ LỤC
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Về Hiệu Ứng Nụ Cười Trong Toán Tài Chính

Toán học tài chính ra đời từ nhu cầu thực tiễn, với mục tiêu giảm thiểu rủi ro và hỗ trợ các nhà đầu tư. Sự xuất hiện của thị trường quyền chọn đòi hỏi các mô hình định giá hợp đồng quyền chọn. Mô hình Black-Scholes, được phát triển bởi Fisher Black và Myron Scholes năm 1973, là một bước tiến quan trọng. Mô hình này giả định giá tài sản cơ sở tuân theo chuyển động Brown hình học. Tuy nhiên, giá quyền chọn tính theo công thức Black-Scholes thường không khớp với thực tế. Độ biến động không phải là hằng số mà là hàm của thời gian và giá thực thi, tạo thành hình dạng "nụ cười". Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng nụ cười.

1.1. Lịch Sử Phát Triển Của Mô Hình Black Scholes

Mô hình Black-Scholes đánh dấu một cột mốc quan trọng trong định giá quyền chọn. Công thức này cho phép định giá chứng khoán và hợp đồng quyền chọn, có tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường. Tuy nhiên, mô hình này dựa trên giả định về độ biến động không đổi, điều không đúng trong thực tế. Sự khác biệt giữa giá lý thuyết và giá thị trường đã dẫn đến việc nghiên cứu và phát triển các mô hình phức tạp hơn để giải thích hiệu ứng nụ cười.

1.2. Bản Chất Của Hiệu Ứng Nụ Cười Volatility Smile

Hiệu ứng nụ cười (Volatility Smile) là hiện tượng độ biến động ngụ ý của các quyền chọn có cùng ngày đáo hạn nhưng giá thực hiện khác nhau lại không bằng nhau. Thay vì một đường thẳng nằm ngang như dự đoán của mô hình Black-Scholes, đồ thị của độ biến động ngụ ý thường có hình dạng cong lõm xuống, giống như một nụ cười. Điều này cho thấy thị trường đánh giá rủi ro khác nhau đối với các quyền chọn khác nhau.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Của Hiệu Ứng Nụ Cười Tài Chính

Sự tồn tại của hiệu ứng nụ cười đặt ra thách thức lớn cho các nhà định giá và quản lý rủi ro. Mô hình Black-Scholes, với giả định độ biến động không đổi, không thể giải thích hiện tượng này. Điều này dẫn đến sai lệch trong định giá quyền chọn và các công cụ phái sinh khác. Các nhà nghiên cứu đã nỗ lực phát triển các mô hình phức tạp hơn để khắc phục hạn chế này, bao gồm các mô hình biến động ngẫu nhiên và biến động cục bộ. Việc hiệu chỉnh mô hình để phù hợp với dữ liệu thị trường là một quá trình liên tục và đầy thách thức.

2.1. Sai Lệch Trong Định Giá Quyền Chọn

Mô hình Black-Scholes giả định rằng độ biến động của tài sản cơ sở là không đổi trong suốt thời gian tồn tại của quyền chọn. Tuy nhiên, thực tế cho thấy độ biến động thay đổi theo thời gian và theo giá thực hiện của quyền chọn. Điều này dẫn đến việc mô hình Black-Scholes định giá sai các quyền chọn, đặc biệt là các quyền chọn out-of-the-money và in-the-money.

2.2. Rủi Ro Mô Hình Và Quản Lý Rủi Ro

Việc sử dụng các mô hình không chính xác để định giá và phòng ngừa rủi ro có thể dẫn đến những hậu quả nghiêm trọng. Hiệu ứng nụ cười cho thấy rằng thị trường đánh giá rủi ro đuôi (tail risk) cao hơn so với dự đoán của mô hình Black-Scholes. Do đó, các nhà quản lý rủi ro cần sử dụng các mô hình phức tạp hơn và các kỹ thuật phòng ngừa rủi ro tiên tiến hơn để đối phó với hiệu ứng nụ cười.

2.3. Thị Trường Không Hoàn Chỉnh Market Incompleteness

Hiệu ứng nụ cười là một dấu hiệu của thị trường không hoàn chỉnh. Trong một thị trường hoàn chỉnh, mọi rủi ro đều có thể được phòng ngừa bằng cách sử dụng các công cụ phái sinh. Tuy nhiên, sự tồn tại của hiệu ứng nụ cười cho thấy rằng có những rủi ro không thể được phòng ngừa hoàn toàn, và do đó thị trường không hoàn chỉnh.

III. Phương Pháp Tiếp Cận Hiệu Ứng Nụ Cười Tổng Quan Các Hướng

Nhiều hướng tiếp cận đã được nghiên cứu để giải quyết hiệu ứng nụ cười. Một số dựa trên giả định về mô hình thay thế cho quá trình giá tài sản, dẫn đến độ lệch biến động. Ví dụ, quá trình co giãn hằng số của phương sai (CEV) của Cox (1975) và Cox & Ross (1976). Hướng tiếp cận khác dựa trên tính không đếm được của giá trao đổi hiện hành, được nghiên cứu bởi Breeden và Litzenberger (1978), Dupire (1994, 1997), Derman và Kani (1994, 1998). Họ đưa ra biểu thức hiển cho độ biến động Black-Scholes như một hàm của giá thực thi và kỳ hạn. Hướng tiếp cận thứ ba, được nghiên cứu bởi Rubinstein (1994), Jackwerth và Rubinstein (1996), Britten-Jones và Neubeger (2000), bao gồm việc tìm các xác suất không rủi ro trong mô hình tam thức/nhị thức của giá tài sản.

3.1. Mô Hình Biến Động Ngẫu Nhiên Stochastic Volatility Models

Các mô hình biến động ngẫu nhiên giả định rằng độ biến động của tài sản cơ sở không phải là một hằng số mà là một quá trình ngẫu nhiên. Các mô hình này có thể giải thích hiệu ứng nụ cười bằng cách cho phép độ biến động thay đổi theo thời gian và tương quan với giá tài sản. Một số mô hình biến động ngẫu nhiên phổ biến bao gồm mô hình Heston và mô hình SABR.

3.2. Mô Hình Biến Động Cục Bộ Local Volatility Models

Các mô hình biến động cục bộ giả định rằng độ biến động của tài sản cơ sở là một hàm của thời gian và giá tài sản. Các mô hình này có thể được hiệu chỉnh để phù hợp với hiệu ứng nụ cười bằng cách chọn một hàm biến động cục bộ phù hợp. Công thức Dupire là một công cụ quan trọng để xây dựng các mô hình biến động cục bộ.

3.3. Phương Pháp Phi Tham Số Non Parametric Methods

Các phương pháp phi tham số không giả định một hình thức cụ thể cho phân phối của tài sản cơ sở. Thay vào đó, chúng sử dụng dữ liệu thị trường để ước tính phân phối một cách trực tiếp. Các phương pháp phi tham số có thể được sử dụng để định giá quyền chọn và phòng ngừa rủi ro mà không cần phải dựa vào các mô hình tham số.

IV. Ứng Dụng Công Thức Dupire Trong Hiệu Ứng Nụ Cười

Công thức Dupire cung cấp một cách tiếp cận để tính toán biến động cục bộ từ giá quyền chọn thị trường. Công thức này cho phép xác định độ biến động Black-Scholes như một hàm của giá thực thi và kỳ hạn. Tuy nhiên, phương pháp này có hạn chế cơ bản là cần nội suy trơn các giá quyền chọn giữa các giá thực thi liên tiếp để có thể lấy vi phân cấp hai theo giá thực thi. Công thức Dupire là một công cụ quan trọng trong việc xây dựng các mô hình biến động cục bộ và hiểu rõ hơn về hiệu ứng nụ cười.

4.1. Tính Toán Biến Động Cục Bộ Từ Giá Quyền Chọn

Công thức Dupire cho phép tính toán biến động cục bộ từ giá quyền chọn thị trường. Biến động cục bộ là độ biến động tức thời của tài sản cơ sở tại một thời điểm và giá cụ thể. Công thức Dupire là một công cụ quan trọng để hiểu rõ hơn về động lực của hiệu ứng nụ cười.

4.2. Hạn Chế Của Công Thức Dupire

Công thức Dupire có một số hạn chế. Thứ nhất, nó yêu cầu dữ liệu giá quyền chọn liên tục cho tất cả các giá thực hiện và thời gian đáo hạn. Thứ hai, nó nhạy cảm với nhiễu trong dữ liệu thị trường. Thứ ba, nó không thể được sử dụng để định giá các quyền chọn ngoại lai (exotic options) mà giá trị của chúng phụ thuộc vào đường đi của giá tài sản cơ sở.

4.3. Ứng Dụng Trong Xây Dựng Mô Hình Biến Động

Mặc dù có những hạn chế, công thức Dupire vẫn là một công cụ quan trọng trong việc xây dựng các mô hình biến động cục bộ. Các mô hình biến động cục bộ có thể được sử dụng để định giá quyền chọn và phòng ngừa rủi ro một cách chính xác hơn so với mô hình Black-Scholes.

V. Định Giá Với Nụ Cười Trong Mô Hình Thị Trường LIBOR

Luận văn này cố gắng định nghĩa các vấn đề liên quan đến mô hình FLM (Forward LIBOR Model) để thay thế cho mô hình loga chuẩn cổ điển, và truy lại các cấu trúc độ biến động như đã quan sát trên thị trường. Mô hình LIBOR ký kết trước (FLM) là sự lựa chọn thuận tiện nhất trong nhiều tình huống. Việc đưa ra một mô hình tổng quát hơn là cần thiết, tuy nhiên bài toán định giá cho các hợp đồng quyền chọn là một bài toán mở có nhiều hướng giải quyết.

5.1. Mô Hình Thị Trường LIBOR Ký Kết Trước FLM

Mô hình thị trường LIBOR ký kết trước (FLM) là một mô hình lãi suất được sử dụng để định giá các công cụ phái sinh lãi suất. Mô hình này giả định rằng lãi suất LIBOR kỳ hạn tuân theo một quá trình ngẫu nhiên. FLM có thể được sử dụng để định giá các hợp đồng hoán đổi lãi suất (interest rate swaps), các hợp đồng kỳ hạn lãi suất (forward rate agreements) và các quyền chọn lãi suất (interest rate options).

5.2. Thay Thế Mô Hình Lôga Chuẩn Cổ Điển

Mô hình lôga chuẩn cổ điển là một mô hình đơn giản để mô tả sự biến động của lãi suất. Tuy nhiên, mô hình này không thể giải thích hiệu ứng nụ cười trong thị trường quyền chọn lãi suất. FLM cung cấp một cách tiếp cận linh hoạt hơn để mô tả sự biến động của lãi suất và có thể được hiệu chỉnh để phù hợp với hiệu ứng nụ cười.

5.3. Cấu Trúc Độ Biến Động Quan Sát Trên Thị Trường

Thị trường quyền chọn lãi suất cho thấy một cấu trúc độ biến động phức tạp. Độ biến động của các quyền chọn lãi suất khác nhau tùy thuộc vào thời gian đáo hạn và giá thực hiện. FLM có thể được sử dụng để mô tả cấu trúc độ biến động này và định giá các quyền chọn lãi suất một cách chính xác hơn.

VI. Kết Luận Và Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Về Nụ Cười

Bài toán tìm phân phối không rủi ro để định giá nhất quán cho tất cả các quyền chọn dường như có nhiều điểm không xác định. Một lời giải có thể được đưa ra nếu có giả thiết về sự phụ thuộc phân phối không rủi ro có tham số cụ thể với một số tham số, chẳng hạn phụ thuộc thời gian, và khi đó ta sử dụng các tham số này cho phù hợp với độ biến động. Bằng cách áp dụng cách tương tự như của Dupire (1994, 1997), ta đặt bài toán này và tìm lớp mô hình đầu tiên dẫn tới phân phối không rủi ro có tham số đủ linh hoạt cho mục đích thực hành.

6.1. Phân Phối Không Rủi Ro Và Định Giá Nhất Quán

Việc tìm kiếm một phân phối không rủi ro để định giá nhất quán cho tất cả các quyền chọn là một vấn đề phức tạp. Phân phối không rủi ro là một phân phối xác suất mà các nhà đầu tư sử dụng để định giá các tài sản trong một môi trường không có rủi ro. Việc tìm kiếm một phân phối không rủi ro phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo rằng các quyền chọn được định giá một cách chính xác.

6.2. Mô Hình Tham Số Linh Hoạt

Một cách tiếp cận để giải quyết vấn đề này là sử dụng các mô hình tham số linh hoạt. Các mô hình tham số linh hoạt cho phép phân phối không rủi ro thay đổi theo thời gian và theo các yếu tố khác. Điều này có thể giúp các nhà đầu tư định giá quyền chọn một cách chính xác hơn trong một môi trường thị trường thay đổi.

6.3. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai

Nghiên cứu về hiệu ứng nụ cười vẫn là một lĩnh vực năng động. Các hướng nghiên cứu tương lai bao gồm phát triển các mô hình phức tạp hơn để mô tả sự biến động của thị trường, tìm kiếm các phương pháp hiệu quả hơn để hiệu chỉnh mô hình và nghiên cứu tác động của hiệu ứng nụ cười đến các quyết định đầu tư.