Chương 1, Chương 2 là phương pháp bổ trợ để nghiên cứu. Đó là một chút kiến thức về hệ nhiều hạt, biểu diễn các số lấp đẩy và phương pháp lượng tử hoá thứ cấp cho hệ boson và hệ fermion. _ Chương 4 trình bày về tương tác electron_phonon trong kim loại. Trong phần này, tiến hành tính toán ti mỉ, cụ thể theo cách dễ tiếp nhận nhất khi chưa có kiến thức về phương pháp hàm Green.
__— Chương 5 trình bày về lý thuyết BCS. Ở chương này, chỉ trình bày hoàn chỉnh quá trình tìm được Tc và hiệu ứng đồng vị theo đúng cách trình bày của các tác giả lý thuyết này. Tuy nhiên, các tác giả sử dụng phương pháp Hatree_Like để xây dựng hàm sóng mà tôi không tìm thấy tài liệu về phương pháp này nên đã mạnh dạn chuyển cách xây đựng hàm sóng khác, đó là cách tổ hợp tuyến tính các trạng thái khả di của hệ như chúng ta đã quen biết Xét hệ gồm có N hạt đồng nhất, không phân biệt được, hàm sóng của hạt thứ ¡ ở trạng thái k, là: ,,€,)= (6,|k,) Ễ, là đại lượng xác định toa trong không gian và cả biến số spin hạt thif i. N Hamilton của hệ là H= x fi, , trong đó AA, là hamilton của hạt thứ i.
Giả sử hạt thứ ¡ ở trạng thái k, lúc đó ,(E, |k,)=e, 46. kỳ Xét: Wien 3 ods [1% lk,) Lúc đó: Ay, ., €, vob )= SA] & |k,) " Yell &, \k,) = EY, 4. ) Như vậy, Wy, .Š„,) là hàm sóng của hệ hạt trên. Ta có thể viết tường mỉnh hàm sóng này như sau: Xa.1) Nếu hoán vị hạt thứ i và hạt thứj ta có hàm sóng: Wisc (-š,~$,~)= ~4E,|k,)--4E,|k je (1.2) Vì là hệ hạt đồng nhất nên hai hàm sóng trên phải mô tả cùng một trạng thái, do đó; ); P.4) ta suy ra CẺ = 1 hay C = +] "Trường hợp C=1 thì hệ hat được gọi là hệ Boson, hàm sóng có tính đối xứng.
Thực tế cho thấy những hạt có spin nguyên là hạt boson. Số hạt ở mdi trạng thái có thể tùy ý, tuân theo thống kê Bose- Einstein. Còn với C=-1 thì hàm sóng có tính phản đối xứng, và hệ hạt được gọi là hệ fermion. Thực tế cho thấy, các hạt fermion là các hạt có spin bán nguyên, số hạt ở mỗi trạng thái chỉ có thể là 0 hay 1, các hạt này tuân theo thống kê Fermi-Dirac, và nguyên lý loại trừ Pauli.
Đến đây ta có nhận xét rằng, trong phép hoán vị trên thay vì hoán vị các tọa độ của hạt ta có thể hoán vị các trạng thái k,,k, kết quả vẫn không đổi. Dé đó có thể kết luận rằng hàm sóng của hệ sẽ được tạo thành bằng cách tổ hợp tuyến tính tất cả hoán vị có thể của các chỉ số trạng thái của hàm sóng (1. Vậy hàm sóng của hệ boson là: Weis, 6.5) trong đó >A là phép lấy tổng theo tất cả các hoán vị của các chỉ số k,. Gọi n, là số chỉ số trạng thái nhận giá trị i, lúc đó số số hạng trong tổng trên là số hoán vị có thể của các chỉ số k,: N' Khi chuẩn hóa, nhờ iw tính trực giao chuẩn hóa của các hàm sóng (€,|k,) ta suy được: N 2 IIn.7) Khi chuẩn hóa ta thu được: äy “1N (1.8) DE tiện lợi ta thay: (1.9) Khi nghiên cứu hệ hạt đồng nhất người ta thường đồng nhất nó với một trường lượng tử mà trong đó mỗi hạt sẽ là mỗi lượng tử của trường (cũng như trường điện từ, các photon là các lượng tử).
Do đó, để tiện lợi hơn người ta sử dụng một biểu diễn mới thay cho biểu diễn tọa độ, đó là biểu diễn dựa theo biến số là số hạt ở mỗi trạng thái, gọi là biểu diễn các số lấp đây. Nếu chọn hệ hàm cá, salen.", sol) làm cơ sở để khai triển hàm sóng bất kỳ ®ÍE,.„t)= Cen, WIMgone Gt)( ok orcBy eel eect 0,2) (L241) Ry la Lúc đó C(.;f) có đặc điểm là nhận số hat n, làm biến số, nó chính là hàm sóng trong biểu diễn các số lấp đầy. Từ đây về sau một cách tiện lợi ta ký hiệu: Thay (1.1) vào phương trình schrodi nger tổng quát ñÑ®=¡n oe Ta thu được: (1.) he Aj Vi Hamilton của hệ H bằng tổng các hamilton của từng hạt thành phần R, nên ta có thể viết lại (1.2) với li An Nhu): chú ý rằng biến số chạy khi lấy tổng là n,,n;,. và tính trực giao của các hàm sóng ta thu được: (w5- D4] > eo lenin" a.3) Một cách tổng quát, ta bỏ dấu “phẩy() ” đi: | ine Da, | 3 C(n,,n, g§;()= 0 (13.4) Lađa Như đã nói ở phần trước, ta có thể thay C(n,,n,„.), lúc đó ta thu được phương trình schrodinger trong biểu diễn các số lấp đây: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG TỪ HÓA THỨ CẤP CHO HỆ BOSON VÀ HỆ FERMION.
TOÁN TU SINH VÀ TOÁN TU HUY HAT BOSON. Trong phương pháp lượng tử hóa thứ cấp người ta đưa hai toán tử làm cơ sở cho phương pháp này, hai toán tử này tác dụng trong không gian các số lấp đầy gọi là toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt. Đối với các hạt boson người ta định nghĩa: "Toán tử sinh hạt boson và toán tử hủy hạt boson ở trang thái k được ký hiệu 4}, 4, sao cho: Â,|.â, cho ta số hạt ở trang thái k gọi là toán tử số hạt. (Thật Hà = =ja|~.n, 2 =n,loon, _ Ta xét các hệ thức giao hoán quan trong của âŸ, â, : J=1 i> |â,„⇠(11.3) That vậy, â, af |.
= fa, Fg, Flom, sas) aff] athgew) = |-.m, asa) hay lR,âr|=I ii> |â, ,â, J=|a* ,â; |=0 (11.4) ta dễ dang chứng kiến các hệ thức giao hoán này, ngoài ra ta cũng có thể chấp nhận các hệ thức trên với lý do là sự sinh và hủy các hạt ở mỗi trạng thái hoàn toàn độc lập nhau. Chú ý rằng, khi định nghĩa các toán tử sinh và hủy người ta không cần biết chính xác dang tường minh của chúng chỉ cần biết các tính chất của chúng như (II.4), và biết rằng nó tác dụng lên biến số là số hạt ở mỗi trạng thái. Đâu tiên với các toán tử có dạng A= bà Â,(,). tức là toán tử của hệ i=} bằng tổng các toán tử của từng hạt trong hệ.
Phin tử ma trận của Â,&,) là: Ke 8: (0 , 1, mi A, €, Xé , s% (0 , :h; | ,đễ ; eee (H.1 ) ta có thể viết: Â, 3 Xe, 6, |, on, se) = E ) o m e _H/7C |AB » [| oe (.2) tính tích phân ta sẽ nhận được kết quả. Trong đó, tích phân theo biến số Š, có dang: (,4 chess, sep gs) ~( = stent) sa (E, |kc, 48, |Ik).5) Do đó tích phân ở ( 1. 1 ) c h ỉ k h á c 0 k h i Tee ee Vậy mang các hàm sóng (11.1) ta sẽ tính được tích phân trên, nó chính là: (n,+1,n, -1|Â,(€,}n,,n,)= (n, +1,n, —1|Â, snes= 5 pe es —-:| (EYE, XE,Ik) ,-1}n! m—x a trong đó Ik lấy N giá trị có thé trùng nhau và cũng có thể nhận giá trị i ny (n,>1) lần. Từ kết quả này, ta có thể viết toán tử Â,(Š,) như sau: Â,&)= VDA Gara, (128 bởi vì phần tử ma trận hoàn toàn trùng nhau.
Do tính đồng nhất và không phân biệt được của các hạt nên một điều chắc chắn rằng phẩn tử ma trận của các toán tử A,(E,) hoàn toàn giống hệt nhau, do đó: =) l€)| 27, (11. = ƒ4|š)€&|k)d là phần tử ma trận tương ứng cho một hạt. Đối với toán tử có dạng B=) ô(.š,) tức là tổng của các toán tử Ww} HÀTT G: Mes gees ‘AC NHÀ như toán tử của một toa độ còn lại, ta thu được kết quả như (11.9) một lần nữa, do đó: B= ®' (. (b;p|8(,ÿ}a›k)= [(|6)(p| XEš) |a)(E| Ê( k)d ,ššdE Như vậy ta đã biểu diễn toán tử Â, theo các toán tử sinh hủy hạt boson, tức là ta đã chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn các số lấp đầy.
Vecter trạng thái lúc này là |n,„n;›. Người ta gọi sự biểu diễn đó là biểu diễn lượng tử hóa lần hai.11) ý'€)= > v;€, thì ta có thể biểu diễn: "`. ô =[#'€M'€ BEE WE W€daE' đa» Thuật ngữ lượng tử hóa lần hai có thể được lý giải như sau: Hàm sóng Wy, (,) là kết quả của quá trình thay thế đại lượng vật lý thành toán tử, nó gắn liên với tính sóng của hạt. Đây có thể được gọi là quá trình lượng tử hóa lần thứ nhất.
Đây giờ ta lại chuyển nó thành toán tử \ỳ(Š) tác dung trong không gian các số lấp đây cho phép ta nghiên cứu về số hạt ở mỗi trạng thái, thể hiện tính hạt của vật chất. Như vậy rõ ràng có sự chuyển đổi hàm sóng sang toán tit. Do đó người ta gọi là sự lượng tử hóa lần hai hay còn gọi là sự lượng tử hóa thứ cấp (lượng từ hóa thêm một lân nữa). Các toán tử \ÿ(É), WE) được gọi là toán tử trường.
Ta có thể thu được các hệ thức giao hoán sau cho các toán tử trường nhờ vào các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh và hủy các hạt boson: Cuối cùng, ta có thể biểu diễn Hamilton của hệ boson tương tác trong phép lượng tử hóa lần hai như sau: f= fo" ©, Eve + fw EWE WEE WÉ eases (H.15) trong đó ñ,€), WEE) lần lượt là tóan tử Hamilton của từng hat khi không có tương tác lẫn nhau và toán tử thế năng tương tác giữa hai hạt có tọa độ Š È. Và toán tử số hạt của hệ là: §Ñ=[#'€wŒ)& q2i9 Nếu chọn w, (Š,) là các hàm riêng của chính H, (E) thì: 2 Bằng lý luận tương tự ta cũng có thể nhận được kết quả tương tự (H.7) cho hệ fermion. Tuy nhiên chú ý rằng số hạt ở mỗi trạng thái chỉ có thể là 0 hoặc 1 nên sự dịch chuyển trạng thái chỉ có thể xảy ra khi n, =l,n, =0, do đó, đối với hệ fermion ta có thể có biểu thức tương tự như (11.0 Do đó để có thể biểu diễn giống như (11.8) ta chỉ cần định nghĩa lại các toán tử sinh,hủy hat fermion C?,C, sao cho phù hợp với (H.2) và tương ứng ta cũng có : Â=Š lÂ@J.3) Việc còn lại cho chúng ta lúc này là tìm định nghĩa cho C?,C,. Người ta định nghĩa: Ê,|.5) Sự xuất hiện của (1 —n, ) và n, thể hiện sự tuân thủ nguyên lý Pauli cud hệ hat fermion.