BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH ------------------- Chủ biên: ThS. Nguyễn Thị Mai Anh Th.S Ngô Thị Hài GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA CƠ SỞ (CHUYÊN SÂU) (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 1 BÀI 1: GIỚI THIỆU NỘI DUNG MÔN HỌC Đây là học phần chuyên sâu học thay thế làm đồ án môn học. Học phần bao gồm 3 nội dung cơ bản: + Bình sai điều kiện lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh + Bình sai gián tiếp + Bình sai lưới tự do Khi xây dựng lưới trắc địa, ngoài các trị đo cần thiết bao giờ người ta cũng đo thừa một số trị đo nhằm kiểm tra, đánh giá chất lượng kết quả đo và nâng cao độ chính xác các yếu tố của mạng lưới sau bình sai. Lưới tam giác là mạng lưới có kết cấu hình học chặt chẽ, có nhiều trị đo thừa.
Giữa các trị đo cần thiết và các trị đo thừa, các số liệu gốc luôn tồn tại các quan hệ toán học ràng buộc lẫn nhau. Biểu diễn các quan hệ ràng buộc đó dưới dạng các công thức toán học ta được các phương trình điều kiện. Trong các kết quả đo luôn tồn tại các sai số đo vì vậy chúng không thỏa mãn các điều kiện hình học của mạng lưới và xuất hiện các sai số khép. Viêc bình sai mạng lưới nhằm mục đích loại trừ các sai số khép, tìm ra trị số đáng tin cậy nhất của các trị đo và các yếu tố cần xác định trong mạng lưới tam giác Bài 2: Bình sai lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh 2.1 Thành lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh phương trình chuẩn số liên hệ 2.1 Cơ sở lý thuyết Giả sử có n dãy trị đo: L1, L2, …, giá trị sau bình sai là L1’, L2’, …, Ln’, trong đó số tương ứng là P1, P2, …, Pn.
Giữa các đại lượng đo ta lập được r phương trình toán học gọi là các phương trình điều kiện r < n, dạng ban đầu của chúng là: Fj (L1’,L2’, …, Ln’) = 0 (j=1, 2,…, n) (2.1) Trong phương trình (2.1) thì Li’ chưa biết. Bài toán bình sai cần tìm n các số hiệu chỉnh vi của các giá trị đo Li sao cho: L’i = Li + vi (2.1) t có phương trình: Fj(L1 + V1, L2 + V2,, …, Ln + Vn) = 0 Ứng dụng phương pháp khai triển chuỗi Taylor biến đổi các phương trình trên về dạng tuyến tính bỏ qua các số hạng bậc cao ta có hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh như sau: a1v1 + a2 v2 +. + an vn + wa = 0 b v + b v +. + rn vn + wr = 0 Trong đó các hệ số là đạo hàm riêng phần của các hàm Fj theo các đại lượng đo Li.
F1 F2 F ai = ; bi = , …, ri = r Li Li Li 2 Các số hạng tự do wj chính là sai số khép phương trình điều kiện, giá trị của nó được xác định bằng cách thay các trị đo vào phương trình (2., L n ) Hệ phương trình (2.3) có r phương trình, n ẩn số, vì n > r nên không giải trực tiếp được mà phải ứng dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất [pw] = min để giải theo phương pháp cực trị có điều kiện của Lagrange.3) ta phải lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ dạng: [qaa]K a + [qab]K b +. + [qrr]K r + w r = 0 1 Trong đó : q i = ; pi là trọng số trị đo thứ i Pi Hệ (3.3) là hệ phương trình tuyến tính đối xứng gồm r phương trình, r ẩn số. Giải hệ theo sơ đồ Gauss ta được các số liên hệ Ka, Kb, …, Kr. Các số hiệu chỉnh của trị đo được tính theo công thức: Vi = q i (a i K a + bi K b +.
+ ri K r ) Để đánh giá độ chính xác kết quả do sau bình sai, ta tính sai số trung phương trọng số đơn vị theo công thức: [qvv] = r Để đánh giá độ chính xác các yếu tố đặc trưng của mạng lưới ta viết chúng dưới dạng hàm số của các trị đo sau bình sai, thường gọi là hàm trong số: F = f(L1 ', L 2 ',., L n ') Biến đổi về dạng tuyến tính ta có: F = f 0 + f1v1 + f 2 v2 +. + f n vn Trong quá trình lập và giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ ta kết hợp tính được nghịch đảo trọng số của hàm F: 1 [qaf]2 [qbf.1] [qrr(r -1)] Sai số trung phương của hàm các giá trị đo sau bình sai sẽ tính theo công thức: 1 MF= . PF Nếu dùng ngôn ngữ thuật toán ma trận, ta ký hiệu ma trận hệ số trong phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là B, vectơ số hiệu chỉnh là V và vectơ số hạng tự do phương trình điều kiện là W, vectơ số liên hệ là K ta có: 3 ; ; ; Từ các công thức cơ bản ta có thể viết phương trình số hiệu chỉnh dưới dạng ma trận như sau: BV+W = 0 Phương trình chuẩn số liên hệ: B. BT, ta có: NK + W = 0 Vậy K = -N-1.
Các dạng phương trình điều kiện, phương trình điều kiện số hiệu chỉnh 1. Số lượng phương trình điều kiện Một yêu cầu rất chặt chẽ của phương pháp bình sai điều kiện là phải xác định đúng số lượng phương trình điều kiện trong lưới tam giác và phải lựa chọn để thành lập các phương trình điều kiện hoàn toàn độc lập nhau. Nếu không thực hiện đúng các yêu cầu trên thì việc bình sai không đạt hiệu quả, sau bình sai vẫn nhận được tập hợp nghiệm duy nhất nhưng có thể đó không phải là kết quả đáng tin cậy nhất. Nguyên tắc chung để tính tổng số phương trình điều kiện trong lưới là tính số lượng trị đo thừa trong mạng lưới.
Để tính trị đo thừa, ta sẽ tính tổng trị đo và tổng số trị đo cần thiết. Tổng trị đo thừa cũng chính là tổng số phương trình điều kiện trong lưới được tính bằng công thức: r=n-t Trong đó: n là số trị đo, t là trị đo cần thiết và r là số trị đo thừa Tuỳ thuộc vào mạng lưới tự do hay phụ thuộc mà ta sẽ tính được số lượng các phương trình điều kiện. - Lưới tự do: Là lưới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ hoặc thiếu để xác định vị trí và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định. - Lưới phụ thuộc: Là lưới có số liệu gốc nhiều hơn số lượng gốc tối thiểu để xác định vị trí và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định.
h1 A P1 h2 h4 B h5 P2 D P3 h6 h3 Với lưới độ cao ta có tổng số trị đo n = 6, tổng số điểm trong lưới p = 5, số điểm đã biết k = 2, trị đo cần thiết t = 5 - 3 = 3. Do đó, số lượng phương trình có trong lưới là: 4 r = 6 - 3 = 3 phương trình Với lưới mặt bằng ta có tổng số trị đo là n = 20, tổng số điểm trong lưới p = 7, số điểm đã biết k = 4, trị đo cần thiết t = 2(7 - 4) = 6. Do đó, số lượng phương trình có trong lưới là: r = 20 - 6 = 14 phương trình (gồm 7 phương trình điều kiện hình, 1 phương trình điều kiện vòng, 2 phương trình điều kiện cực, 2 phương trình điều kiện góc cố định, 2 phương trình điều kiện cạnh cố định) 2. Lưới mặt bằng tự do: + Lưới mặt bằng đo góc, đo góc - cạnh.
Các lưới tự do mà chúng ta có thể gặp có nhiều dạng đồ hình khác nhau. Ở lưới mặt bằng tự do ta thường gặp các phương trình điều kiện sau: a. Phương trình điều kiện hình: + Đối với mạng lưới tam giác đo góc, góc - cạnh Phương trình điều kiện hình được lập cho các hình đa giác đo góc khép kín, có thể là hình tam giác, tứ giác trong lưới tam giác đo góc, cũng có thể là hình đa giác khép kín trong lưới đường chuyền. Nội dung của phương trình điều kiện hình là : Tổng giá trị bình sai của các góc trong những hình đa giác khép kín phải đúng bằng trị lý thuyết đã biết của nó.
Chẳng hạn tổng ba góc đã B bình sai trong hình tam giác phẳng phải đúng bằng 3 C 0 180. 2 4 ’ ’ ’ 5 Nếu kí hiệu β1 , β2 ,…, βn là các giá trị sau bình sai của n góc trong hình đa giác khép kín, β1, 12 11 13 β2,…, βn là các góc đo, vi là số hiệu chỉnh cho các A 1 10 15 14 6 góc đo, h là sai số khép hình thì phương trình điều 7 D kiện hình sẽ được viết: β1’ + β2’ +…+ βn’ - (n-2).1800 = 0 9 8 Ta có quan hệ: βi’ = βi + vi E Từ phương trình trên ta dễ dàng viết được phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng: Hình 2-5:Xác định điều kiện V1 + V2+…+ Vn + h = 0 hình trong đa giác trung tâm h= β1+ β2+…+ βn -(n-2).1800 Công thức tính số lượng phương trình điều kiện hình như sau: rhình = (n1-n’) - q+1 Trong đó: n1- Tổng số trị đo góc trong tam giác n’- Tổng số cạnh của lưới q- Là số điểm trung tâm tại đó ta đo tổng các hướng Ví dụ 1: Cho lưới mặt bằng đa giác trung tâm như hình vẽ. Biết A, B là hai điểm gốc, tiến hành đo 15 góc. Ta sẽ tính và viết được phương trình điều kiện hình như sau: n1=15 n’=10 q=1 Vậy rhình=(15-10) – 1+1 =5 phương trình 5 Phương trình điều kiện hình: 1’+2’+3’-1800 =0 4’+5’+6’-1800 =0 7’+8’+9’-1800 =0 10’+11’+12’-1800 =0 13’+14’+15’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+1= 0 ; 1=1+2+3-1800 V4+V5+V6+2= 0 ; 2=4+5+6-1800 V7+V8+V9+3= 0 ; 3=7+8+9-1800 V10+V11+V12+4= 0 ; 4=10+11+12-1800 V13+V14+V15+5= 0 ; 5=13+14+15-1800 Ví dụ 2: Cho mạng lưới tứ giác trắc địa như hình vẽ, có 8 góc đo.
Ta sẽ tính được số lượng phương trình điều kiện hình là: n1=8 n’=6 q=0 rhình = (n1-n’) - q+1 Vậy rhình = 8 - 6 - 0 +1 =3 phương trình Phương trình điều kiện hình: 1’+ 2’+3’+4’-1800 =0 3’+4’+5’+6’-1800 =0 5’+ 6’+7’+8’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+ V4 +1= 0 ; 1=1+2+3+4-1800 V3+ V4+V5+V6 +2= 0 ; 2=3+4+5+6-1800 V5+ V6 +V7+V8 +3= 0 ; 3=5+6+7+8-1800 b. Phương trình điều kiện vòng: Ý nghĩa của phương trình điều kiện vòng là tổng trị bình sai của các góc tại trung tâm của các hình đa giác trung tâm phải đúng bằng 3600.
