mở đầu CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÁC PHÉP TÍNH SAI SỐ 1. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP ĐO Những tính chất vật lý của vật thể, của trường đều được đặc trưng bởi những đại lượng vật lý. Mục tiêu của các thí nghiệm vật lý là xác định các đại lượng vật lý một cách định lượng, tức là phải đo đạc, thu được các giá trị bằng số của các đại lượng vật lý đó. Khái niệm về phép đo Trong vật lý, phép đo (measurement) là so sánh giữa đại lượng vật lý cần đo với đại lượng vật lý cùng thể loại, nhưng ở những điều kiện tiêu chuẩn (thường là không thay đổi theo thời gian) gọi là đơn vị đo.
Việc đo này đem lại một con số thể hiện mối liên hệ về độ lớn giữa đại lượng cần đo với đơn vị đo. Phân loại phép đo Về phương diện toán, người ta chia các phép đo thành hai loại: trực tiếp và gián tiếp. Phép đo trực tiếp Phép đo trực tiếp là phép đo trong đó ta đọc kết quả trực tiếp trên dụng cụ đo. Phép gián tiếp Phép đo gián tiếp là phép đo mà kết quả đo được xác định thông qua những biểu thức liên hệ giữa đại lượng cần đo với những đại lượng được đo trực tiếp hoặc gián tiếp trước đó.
Tuy nhiên, một số phép đo trực tiếp thực chất là phép đo gián tiếp. KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ PHÉP ĐO Khi đo nhiều lần cùng một đại lượng, dù cẩn thận đến mấy, kết quả giữa các lần đo cũng có sự khác nhau. Điều đó chứng tỏ rằng trong kết quả đo được luôn luôn có sai số và kết quả chúng ta nhận được chỉ là giá trị gần đúng. Xác định giá trị thực của một đại lượng vật lý với sự chính xác tuyệt đối là không thể, mà ta chỉ có thể xác định được giá trị thực của đại lượng đó nằm trong khoảng tin cậy là bao nhiêu.
Ví dụ: phép đo thời gian thu được kết quả t = (2,5 ± 0,1).100 (s) tức là thời gian t nằm trong khoảng từ 2,4 s đến 2,6 s. Định nghĩa sai số phép đo Sai số phép đo là giá trị chênh lệch giữa giá trị đo được hoặc tính được và giá trị thực hay giá trị chính xác của một đại lượng cần đo. Nguyên nhân gây ra sai số phép đo Các nguyên nhân chính gây ra sai số phép đo: - Do phương pháp đo lường không chính xác. - Do thiết bị đo không chính xác.
- Do sự vụng về hay khéo léo của người đo. - Do các yếu tố bên ngoài tác động đến phép đo. Phân loại sai số Sai số của phép đo có thể được phân loại theo cách thể hiện bằng số, theo nguyên nhân gây ra sai số hoặc quy luật xuất hiện sai số. Phân loại sai số theo quy luật xuất hiện Tùy theo quy luật xuất hiện, người ta chia sai số ra làm ba loại: sai số thô, sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên.
Sai số thô Số liệu thu được bởi phép đo có sự chênh lệch một cách rõ rệt và vô lý so với giá trị có thể có của đại lượng cần đo và chúng ta không thể sử dụng số liệu đó. Ta nói số liệu đó có chứa sai số thô. Sai số thô xuất hiện do các điều kiện cơ bản của phép đo bị vi phạm hoặc do sự sơ suất của người làm thí nghiệm, hoặc do bị chấn động đột ngột từ bên ngoài. Do thiếu ánh sáng có thể đọc nhầm 3 thành 8 hoặc 171,78 thành 1717,8, v.
Khi gặp kết quả có chứa sai số thô, chúng ta phải loại trừ nó ra khỏi kết quả đo bằng cách lặp lại nhiều lần phép đo và mạnh dạn bỏ nó ra khỏi bảng số liệu. Như vậy trong phần tính toán sai số ta luôn xem rằng các kết quả đo không chứa sai số thô. Sai số hệ thống Sai số hệ thống là sai số gây bởi những yếu tố tác động như nhau lên kết quả đo, có giá trị không đổi trong các lần đo được tiến hành bằng cùng một dụng cụ theo cùng một phương pháp. Các sai số này có thể tính được, chúng luôn làm cho kết quả đo lớn hơn hoặc nhỏ hơn một đại lượng nào đó, hoặc thay đổi theo một quy luật nhất định.
Người ta thường chia sai số hệ thống ra làm hai loại: 8 - Sai số hệ thống biết được chính xác nguyên nhân và độ lớn: sai số này xuất hiện khi dụng cụ đo đã bị sai lệch. Chẳng hạn, khi chưa có dòng điện chạy qua mà kim của ampere kế đã chỉ 0,1A; khi chưa kẹp vật cần đo chiều dài vào thước kẹp mà thước đã cho chiều dài là 0,1 mm… Sai số loại này có thể loại khỏi kết quả đo bằng cách hiệu chỉnh lại dụng cụ đo, hoặc hiệu chỉnh lại kết quả (cộng thêm hoặc trừ bớt vào kết quả thu được sai lệch ban đầu). - Sai số hệ thống biết được nguyên nhân nhưng không biết chính xác độ lớn: Sai số này phụ thuộc vào độ chính xác của dụng cụ đo. Mỗi dụng cụ đo đều có độ chính xác nhất định của nó.
Ví dụ: đối với các dụng cụ đo điện hiện kim thì sai số hệ thống có thể gặp hai loại như sau: sai số thứ nhất là sai số do nhà sản xuất quy định (sai số dụng cụ), sai số thứ hai là sai số ở vạch chia nhỏ nhất của thang đo (sai số làm tròn). Sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên là sai số còn lại của phép đo sau khi đã loại trừ hết sai số thô và sai số hệ thống. Sai số ngẫu nhiên gây nên bởi một số rất lớn các nhân tố mà ta không thể tách riêng và tính riêng biệt cho chúng được. Có thể xem sai số ngẫu nhiên là tác dụng tổng hợp của các nhân tố đó.
Chẳng hạn do giác quan của người làm thí nghiệm không tinh, không nhạy dẫn đến không phân biệt được đúng chỗ trùng nhau của hai vạch chia trên thước kẹp, do điều kiện thí nghiệm thay đổi một cách ngẫu nhiên ta không thể biết được mà dẫn đến kết quả đo mắc sai số,…Ví dụ, đo cường độ dòng điện trong mạch có điện áp luôn thăng giáng hoặc nhiệt độ, áp suất trong phòng luôn luôn thay đổi mà ta không phát hiện được làm cho kết quả đo bị thăng giáng… Sai số ngẫu nhiên có độ lớn và chiều thay đổi hỗn loạn. Chúng ta không thể loại trừ chúng ra khỏi kết quả đo vì không biết chắc chắn, mà chúng ta chỉ có thể sử dụng các phương pháp toán học, như các lý thuyết xác suất để tính ảnh hưởng của chúng đến việc ước lượng các giá trị chân thực của các đại lượng. Và thường sai số ngẫu nhiên của các phép đo được phân bố theo phân bố chuẩn Gauss. Có thể thấy rằng sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống luôn tồn tại trong các phép đo vật lý.
Chúng ta có thể làm giảm sai số ngẫu nhiên bằng cách đo nhiều lần một phép đo, nhưng sai số hệ thống thì không thể giảm bằng cách đo nhiều lần mà chỉ có thể giảm bằng cách thay bằng các dụng cụ có độ chính xác hơn, dụng cụ có sai số nhỏ hơn hoặc canh chỉnh các dụng cụ chính xác, lựa chọn thang đo hợp lý. Phân loại theo cách thể hiện bằng số Theo cách thể hiện bằng số, người ta chia sai số ra làm hai loại: sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Sai số tuyệt đối Sai số tuyệt đối là giá trị tuyệt đối (module) của hiệu số giữa giá trị thực của x và giá trị đo được X của nó và được kí hiệu: (1) Khi đó khoảng sẽ bao quanh giá trị thực x, nghĩa là: (2) Vậy sai số tuyệt đối cho biết độ lớn của sai số, nó chứa cả sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống. Ví dụ: Khi xác định khối lượng của một vật, người ta dùng cân và được kết quả: g điều này có nghĩa là khối lượng thực của vật được xác định trong khoảng giới hạn: 15,2 g m1 15,8g b.
Sai số tương đối Sai số tương đối là tỉ số phần trăm giữa sai số tuyệt đối và giá trị đo được X, ký hiệu là ε: (3) Sai số tương đối cho biết độ chính xác của một phép đo, nó cũng chứa cả sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống. Muốn đánh giá đầy đủ kết quả của phép đo một đại lượng vật lý, chúng ta cần phải xác định được sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép đo đó. CÁCH TÍNH SAI SỐ Sai số ngẫu nhiên của phép đo vật lý sẽ được tính toán thông qua giá trị độ lệch chuẩn (SD – standard deviation of mean). Sai số của phép đo trực tiếp 3.
Sai số hệ thống Đối với các thiết bị đo, trong catalog hoặc trên dụng cụ có chỉ ra giới hạn sai số của dụng cụ Δmax, số này có nghĩa là giá trị sai số lớn nhất (giới hạn sai số) khi dụng cụ hoạt động ở điều kiện nhà sản xuất đề ra. Và thông thường sai số dụng cụ cũng được phân bố theo phân bố chuẩn, vì 10 vậy nhà sản xuất xác định giá trị Δmax, được đặc trưng bằng độ lệch chuẩn của sai số dụng cụ (đối với phân bố chuẩn theo quy tắc 3σ thì độ tin cậy đạt tới 0,997) : (4) Ví dụ : Đối với thước kẹp, trên thước có ghi 0,05 thì đó là giới hạn sai số của phép đo Δmax=0,05 mm, và độ lệch bình phương trung bình của thước kẹp : Ngoài ra, như đã trình bày ở trên, trong đo đạc chúng ta còn gặp sai số làm tròn, sai số chủ quan,… Sai số làm tròn được tính từ vạch chia nhỏ nhất của thang đo ω, do đó độ lệch chuẩn của sai số làm tròn : (5) Ví dụ : Trở lại với thước kẹp ở trên, vạch chia nhỏ nhất của thước kẹp đó sẽ là 0,05 mm, do đó độ lệch chuẩn của sai số làm tròn của thước sẽ là : Sai số hệ thống được tính theo công thức, độ lệch chuẩn của sai số hệ thống nhân với hệ số bất đẳng thức Chebyshev : (6) (7) với γα là hệ số của bất đẳng thức Chebyshev (xem bảng 1), trong đó α là độ tin cậy. Tiếp tục ví dụ trên, vậy thước kẹp sẽ có sai số hệ thống (nếu lấy độ tin cậy là 0,7) : 3. Sai số ngẫu nhiên Như đã nói ở trên, sai số ngẫu nhiên của các phép đo thường tuân theo các định luật thống kê.
Giả sử chúng ta đo n lần một đại lượng vật lý X và thu được các giá trị X1, X2, …Xn .