mở đầu. Các quy tắc khảo sát sự hội tụ. CHUÕI CÓ SỐ HẠNG VỚI DẤU BÁT KỲ. Chuỗi đan đầu.
c0 c2 tre re ce 281 4. Hội tụ tuyệt đồi. Sự hội tụ, miền hội tụ. Hội tụ đều.c nnn H H2 reo ren 286 4.
Tinh chat của chuỗi hàm hội tụ đều. CHUỎI LUỲ THỪA. Khái niệm chuỗi luy thừa, bán kính hội tụ. Quy tắc tìm bán kính hội tụ.
ccc nu nnnn He sec 290 4. Tính chất của chuỗi luỹ thừa. Khai triên một hàm thành chuỗi luỹ thừa. Tính tổng một số chuỗi 4.
Một số ví dụ khác. cu 22222 re se. Sự tôn tại hàm liên tục không khả vi. Chuỗi lượng giác 4.
S111 1H g sgk key che chay TOM TAT CHƯƠNG 4. 25 S2 2SS222211 02222 nnr rre ae EXERCISES - BÀI TẬP. ác nh ng z2 re ANSWERS - ĐÁP SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO. 0 2 02201 22TS nh Hee nong 333 _/ noi da Giải tích toán học hay ngắn gọn Giải tích, Giải tích toán tà bộ môn cua Toan hoc lién quan dén nhitng ván đề của biến đổi và chuyên động.
Đối tượng chủ yếu của nó là nghiên cứu các đại lượng vô cùng bé. Nó đề cập đến những đại lượng nọ tiễn đến những đại lượng kia: ý tưởng cơ bản là tỉnh toán đại lượng này thông qua giới hạn của các đại lượng khác dễ tính toán hơn. Hai nhánh chính của giải tích là phép tính vì phân và phép tính tích phân được liên hệ với nhau bởi định lý cơ bản của giải tích. Dưới dạng toán giải tich, 1 Newton da gidi thich chuyén động của các hành tỉnh xung quanh Mặt Trời.
giải tích dùng đê tính toán quỹ đạo cua các vệ tỉnh. dự bdo kích cỡ quần thê, ước lượng giá hàng hóa, dự báo thời tiết. do thông số tìm mạch. tính toán phí bảo hiểm và rất nhiều lĩnh vực khác.
Chính vi thé, giai tích chiếm phân chủ đạo trong Giáo dục toản ở bác đại học. Bộ sách Giáo trình Giải tích này nhằm giới thiệu cho người đọc những nội dung căn bản nhất của giải tích mot cach tương đối chặt chẽ, lôgic và có dong. Nó được chia lam hai quyền: quyền 1 (Giáo trình Giải tích I) va quyền 1L (Giáo trình Giải tích HỊ). Quyên I duoc chia lam bon chương.
Nội dụng thiết yếu của C "hương 1 là giới hạn và liên tục cua hàm sô với những kiến thức bố trợ là số thực và giới hạn dãy số. Các kết quả về đạo hàm, vị phân cấp mội, cấp cao. công thức Taylor, các ứng dung | cua dao ham (đặc biệt nhấn mạnh khảo sát đường cong dưới dạng tham số, dạng toạ độ cực, được trình bày ở Chương 2. Chương 3 dành cho phép tính tích phân bao gồm tích phân bất định, tích phân xác định cũng như các ung dụng hết sức đa dạng của chúng.
Ở Chương 4, độc giá được biết đến các kết quả của lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm. chuối luỹ thừa, và đặc biệt là chuỗi Fourier có rất nhiễu ứng dụng cho ngành Diện, Địa chất Công trình, Cơ khí,. Theo xu hướng tinh giản, một số nội dung, nhiều chỉ tiết đôi khi rất thủ vị về mặt ý nghĩa toán, mội số chứng mình định lý,. được lược gián, nhựng dung hượng kién thức.
tâm sâu trí tuệ tư duy lôgic vẫn hoàn toàn dam bao. đủ để sinh viên kỹ thuật và công nghệ lĩnh hội được dung lượng các môn học khác ở bậc đại học. Thay vào đó, sách đặc biệt chú trọng đến khía cạnh áp dụng của vấn đề. Những ví dụ, bài tập có tính ứng dụng cao trả lời cho người đọc câu hỏi sách này, môn học này để làm gì, tác dụng ra sao với các môn học tiếp, với năng lực người kỹ sw tương lai.
Sách được soạn thảo kỹ đề sinh viên chỉ với hướng dẫn nhất định của giáo viên có thể tự đọc, tự nghiên cứu, phù hợp với phương thức đào tạo theo học chế tín chỉ hiện nay. Với trợ giúp của các phân mềm tính toán hiện đại, các hình vẽ được thê hiện phong phú, rõ ràng, minh hoạ sinh động cho các ý tưởng khoa học, chắc chắn sẽ làm hài lòng cả những người đọc cần trọng. Tuy nhiều định lý không dẫn ra chứng minh, nhưng những chứng mình ở các định lý còn lại là ngắn gọn, dễ tiếp cận, nhiều vấn đề toán học khác được trình bày rõ ràng, đủ độ chính xác, độc đáo và rất dễ năm bắt. Theo }ÿ nghĩa đó, sách cũng là tài liệu tham khảo có giá trị cho sinh viên ngành Toán.
Ở cuối mỗi chương là hàng loạt vi dụ mình hoa cho lý thuyết chu dao cũng như những ví đụ áp dụng thực tiễn. Phần bài tập cuối chương được viết bằng tiếng Anh dạng song ngữ có tỉnh giản công thức đối với tiếng Việt, với hy vọng mang đến cho sinh viên hứng khởi và giúp sinh viên làm quen với các thuật ngữ. Toán tiếng Anh. Những mục, phân,.
nâng cao, có tính chất tham khảo có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên được in nhỏ hơn và bắt đầu bởi (), kết thúc bởi (x). Bên cạnh một thuật ngữ hay ký hiệu chủ đạo, chúng tôi cũng giới thiệu những thuật ngữ, ký hiệu tương tự thường được sử dụng ở các tài liệu khác đê người đọc dễ tiếp nhận khi tiếp xúc với những lài liệu đỏ. Tác giá tỏ lòng cảm ơn chân thành đến Hội dong xél đuyệt giáo trình đã đọc kỹ bán thảo. cho những đóng góp quý báu về cấu trúc, trình bày, nội dụng chỉ tiết,.
đề cuốn sách được hoàn thiện. Trong quá trình soạn thảo, các đồng nghiệp ở Bộ môn Toản đã cô vũ, đọc kỹ bản thảo và cho những góp ÿ thiết thực; Ban lãnh đạo Khoa Công nghệ thông tin: Ban lãnh đạo Học viện Kỹ thuật Quân sự đã tạo mọi điều kiện để giáo trình sớm ra mắt bạn đọc: các biên tập viên NXB Giáo dục Việt Nam đã làm cho cuốn sách có một chất lượng mới. Những sự cổ vũ, ủng hộ ấy, khó có thể nói hết bắng một lời vô cùng cảm ơn của tác giả. Hà Nội, tháng 03 — 2012 TÁC GIẢ KÝ HIỆU HAY SỬ DỤNG Ký hiệu Ý nghĩa IR, Ry Tập các số thực; tập các số thực đương.
NN" Tập các s6 tu nhién 0, 1, 2, .; tap cac số 1, 2,. Z Tập các số nguyên {0, + 1, +2,. Q Tập các số hữu tỷ. | Khoảng suy rộng: khoảng: đoạn; nửa khoảng.
la| Trị tuyệt đối của số thực a. [x| Phần nguyên của số thực x. Max(A); Min(A) lim x, nyo lim f(x); lim f(x) Koa xa f(x) f(x) f:A~>B rj; dx f(x); f(Xp) d"f(x) n f(x); dx df; d7f;. Phan tử lớn nhất; nhỏ nhất của tập A.
Giới hạn của day sé {Xp}. Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a; giới hạn một phía. Hàm số; giá trị của hàm f tại điểm x. Ánh xạ từ A vào B; hàm số với tập xác định là A, tập giá trỊ chứa trong B.
Đạo hàm bậc nhất của hàm f(x). Đạo hàm phía phải; phía trái của hàm Í(x) tại xạ. Đạo hàm bậc n của hàm f(x).| Vi phân cấp một, cấp hai;. Vô cùng bé; vô cùng lớn.
Kết thúc chứng minh. Kết thúc ví dụ. Bắt đầu (kết thúc) mục, phân. có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiền.
10 , Chuong | GIOI HAN, LIEN TUC §1. Giới thiệu về các tập số Chúng ta đã có những hiểu biết khá tốt về số hữu tỷ ngay từ thời học phô thông; chúng ta cũng có những hiệu biết nhật định vê sô vô ty. Dé hi€u chung sâu sắc, người ta phải xây dựng hệ thông tiên đê chính xác cho số thực. Sau đây là các loại sô mà loài người nhận thức được trong lịch sử phát triên của mình: e Các số tự nhiên khác không I.
® Các số tự nhiên 0. e Irong Ñ thiếu các phần tử mà cộng với nhau băng 0: người ta dưa vào các số nguyên âm, được. e Trong Z2 không có các phân tử mà nhân với 2, 3,. bang 1; người ta đưa thêm vào trong Z2 các phần tử dạng Pe được các sô hữu tỷ l qeN’, pew}: ký hiệu là Q.
Trong đại số ta biết Q là q một trường. Trong Q không có các phần tử kiều như V2, ©, 7,., ĐỌI là các só vỏ tý. Cần đưa vào Q các số vô tý để duge R — tap cac số thực — rộng hơn Q. Có nhiều cách xây dựng tập các số thực như dùng các số thập phân vô hạn.
lat cat Dedekin, " Chúng ta đưa ra phương pháp xây dựng sô thực sau dây, để hiểu và được châp nhận rộng rãi. Tiên đề số thực Chúng ta công nhận sự tồn tại và duy nhất tập hợp các số thực. ký hiệu là R, ở đó có trang bị phép cộng +, phép nhân + va mot quan hệ thứ tự < thoả mãn các tiên đê (1) — (iv) dưới đây: (i) (R, +, s) là một trường, cụ thể là: (#) 1) Phép cộng có tính chất kết hợp: Va,b,cclR, (a+b)+c=a+(b+c). 2) Phép cộng có tính chất giao hoán: Va,belR, a+b=b+a.
3) R cé phần tử trung hoà với phép cộng, gọi là phẩm từ không, ký hiệu là 0, thoả mãn điều kiện: VaelR, a+0=0+a=a. 4) Vae đều có phẩn tử đối, ký hiệu là —a, thoả mãn điều kiện: a+(-a)=(-a)+a =Ô. 5) Phép nhân có tính chất kết hợp: Va,b,ce R, (asb)ec = de(bec). 6) Phép nhân có tính chất giao hoán: Va,belR, asb =b»a.
7) R có phân tử trung hoà với phép nhân, gọi là phần ne đơn vị, ký hiệu là 1, thoả mãn điều kiện: ael =lea =a. 8) Moi phan tir ac R—{0} đều có phân tử nghịch đảo, ký hiệu là a |, hoặc z , thoa man diéu kién: a ava! =a lea =l. 9) Phép nhân phân phối với phép cộng: Va,b,celR, as(b+c)= aeb + asc. CS (ii) < la mOt quan hệ thir ty toan phan trong R, cu thẻ là: 1) < có tính chất phản xạ: VacR, a<a.
2) < có tính chất phản đối xứng: Ja <b >a=b |b<a Va, beR, 12 3) < cé tinh chất bắc cầu: |a<b Va, b, ceR, lb< =a<c. <c 4) < là quan hệ thứ tự toàn phân: la<b Va. Néu a, be R va a<b, a #b, ta nói a nhỏ hơn b và viết a<b. (iv) Méi tap không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng.
Riêng tiên để (iv) cần có những giải thích tỷ mỉ hơn sau đây. Cận, bị chặn _ Ta nói xelR là một cận trên (hay biên trên) của tap hop ACR nều VaeA, a<x. Ta nói y eR 1a mét can dưới (hay biên đưới) của tập hợp A C ]R nếu VaeA, va.