chương ID, ta có 11 Si —%,|<ẽ “arp (S,} hditu = VWe>0. STEN, Va>T, VpeN: nhung =[Huyi †Hạ_¬ +., ~S, +p " +p nén Su, hội tụ @ Ve>0, STEN, Vn >T, Vp e N Slee tHe Te tM p| SEO n=l Hệ quả 1: Nếu thay đổi một số hữu hạn số hạng của một chuỗi số thì tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đó không thay đối. Hệ qua 2: Nếu chuỗi (1) hội tụ thì lim „„ =0. Hy Bạn dọc tự chứng minh các hệ quả trên.
Chuỗi (1) hội tụ thì ứ„ — 0, nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng, tức là + x = » hditu & u, 0. n=l Thật vậy, chuỗi điều hòa | 1 l+—+—+. cé u, =——> Okhi no, nhung với mọi n > l ta đều có Uns) Hạn nên theo định lý 7.2, chuỗi đã cho phân kỳ. Tính chất đơn giản Định lý 7.3 í x œ > u,=S > dau, =aS ni n=] a =const œ Chứng minh.
Giả sừ S$ = Sn, = lim S, va o,, = au, + au, +.Titdd limo, = lim aS, = aS. Giả sử S,„ là tổng riêng thứ n của Yu, n=l x a S, là téng riéng thit n cua » ; ơ„ là tổng riêng thứ ø của Du, +yv,). n=l n=l Rõ ràng ta có lim ø„ = lim ($„+S„]=§+ S. CHUOI SO DUONG Chuỗi số đương là chuỗi số My $y +.
tM, ten (1) trong đó u, 20 vdi moi x. Tiéu chuan hoi tu Dinh ly 7.5 rg » hội tụ © {Š„} ={m +.+w„} bị chặn trên. n=l Chứng mình Ắt có. Nếu 4, hội tụ, thì dãy các tổng riêng {S,}c6 giới hạn; suy ra {S„} bị chặn n={ trên.
Nêu dãy {S„} bị chặn trên thì vì S„.¡ — §„ = u,,, 2Onén {S,} là dãy tăng do đó {S,,} có giới hạn, tức là chuỗi (1) hội tụ.5 rất quan trọng trong thực hành, đặc biệt khi ta chỉ cần xét tính hội tụ của một chuỗi mà không cần tính tổng của nó. Xét sự hội tụ của chuỗi số đương | ] I + +.+ 2+1 2741 2" +1 eel Ta thay | n ] ; ;. cÍ 2z 5 2+1 2741 2741 2 27 2" 2 gt 2" nén day {S,} bi chan trén. Do do chudi đã cho hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi `3 1 n=l vn là chuỗi phân kỳ. Dấu hiệu so sánh Định lý 7. Cho hai chuỗi số dương Mị +Hạ +. + Uy + (vy) Giả sử có một số € > 0 sao cho với mọi w ta đều có w„ < Cvụ.
Khi đó, nếu (v) hội tụ thì chuỗi (z) hội tụ và nếu chuỗi (z) phân kỳ thì chuỗi (v) phân kỳ. Vn:0 <w„ <€w, (x) hội tụ => (w) hội tụ (u) phan ki => (v) phan ky Chứng mình. Gọi Š„ và ø, lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi (w) và (v). Thế thì, từ u, SCv„ suy ra S„ $Co,,.
Nếu chuỗi (v) hội tu thi {o,,} bi chan trén, suy ra {S,} bi chặn trên. Do đó theo định lý 7. Ngược lại, đễ thấy nếu chuỗi () phân kỳ thì rõ ràng chuỗi (v) phân kỳ. Xét sự hội tụ của chuỗi vị nail (s là hằng số) © 14 x œ Với s< Ithì allt và chuối >- phân kỳ cho nên chuỗi 5 — (với s< I1) là s a n n n=l y=) 7 chuỗi phân kỳ.
Ta sẽ chứng minh chuỗi đã cho hội tụ với s >1. Thật vậy, với mọi + mà I< v< # (k eÑ)ta có THÍ 1 | ] — Ts : “s+ ], s-] (s—1)n`” s-l Vay voi s > 1 thi day cdc tong riêng của chuỗi đã cho bị chặn trên nên chuỗi hội tụ. Tóm lại yl hoi tu vdi s > 1 — > phanky vois <1 n=| Ấp dụng. Xét sự hội tụ của Đà Dưới đây ta chứng minh một dấu hiệu so sánh khác sử dụng thuận tiện hơn.
Cho hai chuỗi số dương Дư„ (0) va Dov, ). n=l n=} Gia str lim “=A (OSAS +40). n~>% Vụ a) Nếu 0< Ä< +œ và chuỗi (v) hội tụ thì chuỗi () hội tụ. b) Nếu 0< A <+œ và chuỗi (+) phân kỳ thì chuỗi (¿) phân kỳ.
15 «itt lim—=A Nev, O0<A<+0;(1) hdi tu => (uv) hdi tu 0<A<+00: (1) phân kỳ = (uv) phan ky Chứng mình a) Giả sử chuỗi (9) hội tụ và 0< Á <+œ. tụ ` ` ut 4" H x “ ~ ~ Z 40 7 4 Vì lim + = A nén véi €) >0 nha tty y dicho, tasécé6 + <At+e, voindu lén. Từ đó, với ø đủ lớn: u, <(A + eạ)\ụ,.6, vì chuỗi (+) hội tụ nên chuỗi () hội tụ. b) Giả sử chuỗi (v) phân kỳ và 0< A <+œ.
] l Thế thì lim pala mae me en [0 v6i A = +00 tic 14 OS B< too. Từ sự phân kỳ của chuỗi (9) suy ra sự phân kỳ của chuỗi (it). Quả vậy, nếu chuỗi (w) hội tụ thì theo chứng minh trên, chuỗi (+) hội tụ; trái giả thiết. Nếu 0< A <œ thì cả hai chuỗi (w) và (v) sẽ cùng hội tụ hay cùng phân kỳ.
Xét chuỗi số S in” (<x<m) n=l a Vi sina ~~ (khi m—> œ ) và vì chuỗi >= phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau: = | al (phan ky) b. Các dấu hiệu khác Xét chuỗi số đương, 3”, (1) kel Dinh ly 7. Néu lim glu, =/ vanéu /<1 thi chudi (1) hội tụ non va />1 thì chuỗi (1) phân kỳ.
/<l =u, hội tụ lim gu, =1 a _ ~~ OS fol => Su, phan ky nel Chứng mình. Trước hết nhận xét rằng />0 vì uw, >0 với mọi ø. Chọn số e >0 đủ bé sao cho f+£e= ø< l1. Vì lim #fu„ =/ nên với n đủ lớn thì NDH Qu, <l+e=qu, <q".
Vì 0<¿<l nên chuỗi Ð "¿” hội tụ, suy ra (theo dinh ly 7.6) chudi (1) hội tụ. Từ đó, với ø đủ lớn, ta sẽ có Yu, >1=>u, >I. nD Suy ra z„ không thể dân tới 0 khi 7 > co, Vậy chuỗi du, phân kỳ. Sử dụng dấu hiệu Cauchy hãy xét sự hội tụ của các chuỗi sau: œ | ; a.
NOt uy, * = i<l => yen hoi tu lim “2h =] “ n>? uy, ise 2- ~ l>[l = » phân kì n=l Ching minh. Ta chọn số e>0 đủ bé sao cho Í+£=#<]. Vì lim -“#L =/nên với ø đủ lớn ta sẽ có —”ÈL < + 6= g Ne Uy, tụ > ty] < Hg 5 — y2 € Huy < ung — H„¿yk <u„4! 5 Vì 0<q <1 nén chuỗi Yad hdi tu, suy ra chudi (1) hội tụ. Khi đó, với ø đủ lớn ta sẽ có Đẩy, H H > = Huyi > HH, suy ra r„ không thể dần tới 0 khi » — z:.
Vậy chuỗi (1) phân kỳ. Xét sự hội tụ của chuỗi ST (2) n] ` thờ ⁄ vel. z x ; 6+ DỊ 1 nny 1)" ñ | 5 Ou Watt yf n+ n Vì wile n = l =e no ae n rN ⁄ ` Uy, x + (a+1) 1 n — P [pes ` n 4 at ` n *# ' Jean Le Rond đ'Alembert (1717 — 1783) nhà toán học Pháp 18. H Xx nên Jim th == nox U e n Do đó với 0< + <e chuỗi (2) hội tụ và với v > e chudi (2) phan ky.
Với xv=e, ta có ⁄ H oe. 7 | vì với moi ø tá có [1+ <e fl Vì vậy w„,¡ > u„ niên u, khong thé dan toi 0 khi n> 00, suy ra chudi (2) phân kỳ. Sử dụng dấu hiệu d'Alembert, xét tính hội tụ của các chuỗi sau xm on a) [+ >— (hội tụ) n=l We b) bà (x>0) (phân kỳ nếu x > l, hội tụ nếu n=| v<l) ay". 7 l ¬ d) > (1 >0) (hội tụ nếu .v <—, phân kỳ nếu na HỈ e x >—) l l F 1.
Trong các câu b, c không có kết luận nếu + = l, trong câu d nếu x=— cũng không e có kết luận. Với 1 =1, ca hai dấu hiệu Cauchy và đ'Alembert không cho ta kết luận gì về sự hội tụ của chuỗi. Trong trường hợp này ta phải dùng các dấu hiệu khác, tỉnh tế hơn. Dưới đây ta nêu hai dấu hiệu như thế.
19 x I>i => Su, hoitu ian an nt) e a io i<l > yu, phan ky n=] Chứng minh 4) >1. Chọn e> 0 đủ nhỏ sao cho r=—e£> Ì. H aA 7 u Vì lim vn} — — 1Ì Liên với đã lớn ta có n| — “1 prot he GieC K Uns) \ Hm¿i ul a => —>l+— ! n tài Chọn một số dương s ở khoảng giữa các số I và r như hình sau: r / : = € (l<s<r) va dat p(r)=(1+ x)". ⁄ xã l+ ty | Khi đó rõ ràng lim ` =00)= s<r nên với ø đủ lớn thì nan n z 1) “ Do đó 2 "tr 5) u n ; i =u, >(n+ l)Ì My.
atl a Điều đó chứng tỏ rằng dãy (n°, | véi n du 1én 1a mot day den diéu giam. Vi vay nó bị chăn trên khi ø —> œ. nt ae : R oe c Nói cách khác, tồn tai sé «© >0 sao cho n®u,<c (n=1,2,. 20 Vì chuỗi Soi s > [là chuỗi hội tụ cho nên, theo định lý 7.6, chuỗi ss, hoi tu.
Te gia thiết ⁄. H lim n| —*--] |=!<! ie Ana suy ra rằng với ø đủ lớn ta có 2 ‘ u H n+] n|— -I|<t> —< => nu, (nt lun) Ang | Uns| h Điều đó chứng tỏ rằng dãy {mu„} không giảm với đủ lớn (n > nạ). ` owas sas ⁄ c Vì vậy nếu đặt ngư, =c thì với nñ> nạ ta CÓ nưụ, 2c>u, 2—. 0 n Vi chuỗi điều hòa 2 là chuỗi phân kỳ cho nên +n, cũng phân kỳ.
n= ag n=} Thí dụ. Xét tính hội tụ của chuỗi số oem (Qn=1)! 1 (2n)!! n+l ` Trước hết nhận xét rằng Binal 2n+1 u 2(n+2) n —> l khi n >œ cho nên không thé 4p dung dau hiéu d'Alembert. ( Hạ : 2(n+2) ] 3n 3 -ll=n ~—l/= —>—>] L Una 2n+] 2n+I 2 nên theo định lý 7.10, chuỗi đã cho hội tụ. Áp dụng dấu hiệu Raabe, xét tinh hội tụ của chuỗi số ` x>0).
Vì a n=l Giả sử ƒ là một hàm số liên tục, dương, giảm trong nửa khoảng [a,+œ), trong đó đ là một số nguyên dương và 21 F(y) = foods a Khi đó, nếu tích phân suy rộng J fide (3) hoi ty thi chudi s6 duong )) f(a+k)= fla) + flat D+. Nếu tích phân (3) phân kỳ thì chuỗi (4) phân kỳ ƒ: liên tục, dương, giảm trong [4,+o), ø Ñ* x [ ƒ(0áv hội tụ — => 3` /0a +) hội tụ Fi kz0 [rene phanky => flak) phan ky k=0 Ching minh. Vi ham sé f giam cho nén a+k<x<a+k*+l => ƒ(a+k)> ƒ(Œ+)> ƒ(a+k+]) a+k+l a+k+l atk+t =flath= [ flatkdre [ feoare [ flatkeNde = flatk+)).