MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài: Nói về Toán học dạy ở chƣơng trình phổ thông thì có ba mặt lớn: Mặt thứ nhất là Số học, Đại số học và Giải tích; mặt thứ hai là Hình học, Đo lƣờng – trong đó có lƣợng giác; và mặt thứ ba là Xác suất – Thống kê. Hiện nay ở các nƣớc tiên tiến trên thế giới, Xác suất – Thống kê đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình giảng dạy từ cấp bậc tiểu học cho đến THPT, còn đƣa vào cấp học nào sao cho phù hợp thì còn tùy vào trình độ của giáo viên và chƣơng trình giáo dục của từng quốc gia. Lý thuyết Xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi.
Xác suất dễ gây hứng thú cho học sinh vì các bài toán về xác suất nói chung gần gũi, thiết thực và có những ứng dụng thực tế to lớn trong cuộc sống hàng ngày. Tuy nhiên học sinh vẫn khá ngại khi gặp và làm các bài toán xác suất. Nguyên nhân chính là vì khi thực hiện xong một bài toán, các em hay có những đáp số khác nhau, chính vì vậy mà các em thƣờng lúng túng trong việc tìm ra câu trả lời đúng. Và đặc biệt là trong những năm gần đây, Xác suất cũng đã đƣợc đƣa vào bài thi THPT Quốc Gia theo hình thức trắc nghiệm khách quan – một kì thi vô cùng quan trọng đối với các học sinh cấp THPT.
Điều này đòi hỏi các em không những phải hiểu rõ các bài toán xác suất mà còn đòi hỏi tƣ duy, độ nhanh nhạy và tính chính xác khi giải các bài toán ấy. Hiểu đƣợc vấn đề đó, với mong muốn giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản về Xác suất, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt và chính xác các kiến thức ấy để giải quyết các bài toán theo các mức độ và các dạng bài tập khác nhau, tôi đã chọn đề tài : “Nâng cao năng lực giải bài tập trắc nghiệm Xác suất cho học sinh THPT” 2. Mục tiêu nghiên cứu: - Đƣa ra cách giải và đảm bảo tính chính xác, giúp học sinh hiểu rõ cũng nhƣ phát triển năng lực giải các dạng toán trắc nghiệm về Xác suất. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu: - Phép thử, không gian mẫu.
- Các phép toán trên biến cố. SVTH : Dƣơng Quỳnh Tiên Trang 4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy - Định nghĩa cổ điển của xác suất. - Các quy tắc tính xác suất. - Hệ thống các dạng toán về Xác suất trong chƣơng trình Toán THPT.
Nhiệm vụ nghiên cứu: - Hệ thống các kiến thức cơ bản về Xác suất. - Phân loại các dạng bài tập trắc nghiệm về Xác suất phù hợp theo từng mức độ. - Đƣa ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về Xác suất nhằm phát triển tƣ duy và năng lực cho học sinh. Phƣơng pháp nghiên cứu: - Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu.
- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu. - Trao đổi, tham khảo ý kiến của ngƣời hƣớng dẫn. Bố cục của khóa luận: Gồm hai chƣơng: Chƣơng 1. Phép thử, không gian mẫu 1.
Các phép toán trên biến cố 1. Định nghĩa cổ điển của Xác suất 1. Các quy tắc tính Xác suất Chƣơng 2. Hệ thống các dạng toán về Xác suất nhằm nâng cao tƣ duy và năng lực giải bài toán trắc nghiệm 2.
Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu, biến cố 2. Dạng 2: Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cố 2. Dạng 3: Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phƣơng pháp gián tiếp SVTH : Dƣơng Quỳnh Tiên Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy 2. Dạng 4: Sử dụng quy tắc cộng xác suất 2.
Dạng 5: Sử dụng quy tắc nhân xác suất 2. Dạng 6: Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất 2. Một số dạng bài tập trắc nghiệm thƣờng gặp 2. Một số bài tập trắc nghiệm xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia 7.
Đóng góp của khóa luận: - Về mặt lí luận: Tổng hợp các kiến thức cơ bản cũng nhƣ phân loại các dạng toán về Xác suất trong chƣơng trình toán THPT và phân tích ý nghĩa của Xác suất trong cuộc sống. - Về mặt thực tiễn: Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên sắp ra trƣờng và các bạn đọc quan tâm về Xác suất trong chƣơng trình toán THPT. SVTH : Dƣơng Quỳnh Tiên Trang 6 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy NỘI DUNG CHƢƠNG 1. Phép thử, không gian mẫu 1.
Phép thử: Một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là phép thử. Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tƣợng nào đó, … đƣợc hiểu là phép thử. Chẳng hạn nhƣ việc gieo một đồng tiền xu, rút một quân bài từ cỗ bài 52 lá hay bắn một viên đạn vào bia, … là những ví dụ về phép thử. Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trƣớc đƣợc mặt ghi số (mặt ngửa, viết tắt là N) hay mặt kia (mặt sấp, viết tắt là S) sẽ xuất hiện.
Đó là ví dụ về phép thử ngẫu nhiên. Một cách tổng quát: “Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trƣớc đƣợc kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.” Trong "Xác suất" ở trƣờng phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có và gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử. Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra ở một phép thử đƣợc gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω (đọc là ô-mê-ga). Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền xu.
Đó là phép thử với không gian mẫu Ω = {S, N}. Ở đây, S kí hiệu cho kết quả “Mặt sấp xuất hiện” và N kí hiệu cho kết quả “Mặt ngửa xuất hiện”. Ví dụ 2: Nếu phép thử là gieo một con súc sắc một lần thì không gian mẫu gồm 6 phần tử tƣơng ứng với 6 mặt của con súc sắc là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Định nghĩa biến cố: Giả sử Ω là không gian mẫu của phép thử T.
Nếu A là tập con của Ω thì ta nói A là biến cố (liên quan đến phép thử T). Vậy ta hiểu đơn giản: Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Cần chú ý rằng biến cố đôi khi đƣợc cho dƣới dạng một mệnh đề xác định tập hợp. SVTH : Dƣơng Quỳnh Tiên Trang 7 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy Ví dụ nhƣ trong phép thử gieo một con súc sắc, biến cố A: “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” đƣợc cho dƣới dạng mệnh đề để xác định tập con A = {2, 4, 6} của không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Biến cố thƣờng đƣợc kí hiệu bằng chữ cái in hoa A, B, C,… 1. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn: Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn đƣợc mô tả bởi tập Ω và đƣợc kí hiệu là Ω. Biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử.
Biến cố không thể đƣợc mô tả bởi tập rỗng và đƣợc kí hiệu là ∅. Ví dụ 3: Khi gieo một con súc sắc, biến cố : “Con súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể (biến cố không), còn biến cố : “Con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vƣợt quá 6” là biến cố chắc chắn. Các phép toán trên biến cố 1. Biến cố đối: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.
Tập Ω \ A đƣợc gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là ̅. Hay ta hiểu đơn giản : A xảy ra thì ̅ không xảy ra và ngƣợc lại. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A ∪ B đƣợc gọi là hợp của hai biến cố A và B.
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2,…, Ak cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố A1, A2,…, Ak xảy ra”, kí hiệu là A1∪ A2∪…∪ Ak đƣợc gọi là hợp của k biến cố đó. Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là A ∩ B (hay A.B) đƣợc gọi là giao của hai biến cố A và B.
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2,…, Ak cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “Tất cả k biến cố A1, A2,…, Ak xảy ra”, kí hiệu là A1. Ak đƣợc gọi là giao của k biến cố đó. Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T.
Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra, hay A ∩ B = ∅. SVTH : Dƣơng Quỳnh Tiên Trang 8 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngô Thị Bích Thủy Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc, nhƣng ngƣợc lại thì chƣa chắc đúng. Biến cố độc lập: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của biến cố này không ảnh hƣởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2,…, Ak cùng liên quan đến một phép thử T. k biến cố này đƣợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hƣởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại. Bảng kí hiệu ngôn ngữ biến cố: Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố A⸦Ω A là biến cố A=∅ A là biến cố không A=Ω A là biến cố chắc chắn C=A∪B C là biến cố : “A hoặc B” C=A∩B C là biến cố : “A và B” A∩B=∅ A và B xung khắc B=̅ A và B đối nhau 1. Định nghĩa cổ điển của Xác suất 1.
Định nghĩa: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).