Chương 1 đã trình bày sơ lược một số vấn đề cơ bản về giá chứng khoán và chuỗi thời gian bao gồm: - Một số khái niệm cơ bản về giá chứng khoán và các nhân tố ảnh hưởng đến sự biến động giá chứng khoán. Từ đó xác định rõ mục tiêu của việc dự báo giá chứng khoán trong khuôn khổ luận văn này là việc dự báo giá thị trường của chứng khoán. - Giới thiệu mô hình toán học cho giá chứng khoán dựa trên nền tảng các quá trình ngẫu nhiên, đây chính là cơ sở để có thể xem số liệu mô tả diễn biến giá chứng khoán là một chuỗi thời gian. - Giới thiệu bài toán dự báo giá chứng khoán và hai phương pháp thông dụng dự báo giá chứng khoán dựa trên mô hình toán học, so sánh các phương pháp để từ đó làm rõ lý do tại sao tác giả chọn phương pháp chuỗi thời gian để dự báo giá chứng khoán.
- Giới thiệu một số vấn đề cơ bản về chuỗi thời gian bao gồm: Khái niệm chuỗi thời gian, vấn đề dự báo chuỗi thời gian và một số mô hình chuỗi thời gian đơn giản. - Cuối cùng, nhắc lại các khái niệm ma trận xác định dương, ma trận xác định không âm cũng như một số kết quả cơ bản có liên quan sẽ được sử dụng trong chương sau. 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2. Tính dừng của chuỗi thời gian và dự báo chuỗi thời gian dừng Trong thực tế, phần lớn các chuỗi thời gian kinh tế-tài chính, đặc biệt là giá chứng khoán được xem xét đều có chung một tính chất đó là các chuỗi thời gian có tính dừng hoặc có thể nhận được tính dừng sau một vài lần lấy sai phân.
Vì vậy, lớp các chuỗi thời gian dừng là lớp chuỗi thời gian được quan tâm nhất. Chương này sẽ tập trung làm rõ thế nào là tính dừng của chuỗi thời gian, làm thế nào để kiểm định một chuỗi thời gian cho trước là có tính dừng hay không, từ đó giới thiệu phương pháp xấp xỉ tuyến tính dự báo các giá trị tương lai của một chuỗi thời gian dừng dựa trên các số liệu đã quan sát được. Tính dừng của chuỗi thời gian Trước hết, hãy trở lại Chương 1 và quan sát các biểu đồ trong các các Hình 1. Hai hình này lần lượt thể hiện dữ liệu chuỗi thời gian về giá đóng cửa của 5 mã chứng khoán trên thị trường chứng khoán Việt Nam qua 230 phiên giao dịch liên tục từ ngày 02/01/2014 đến 08/12/2014.
Ấn tượng đầu tiên mà ta có được từ các chuỗi thời gian này đó là đồ thị của chúng dường như không tuân theo bất kỳ một quy luật nào. Các chuỗi thời gian đó thực chất là các ví dụ về các chuỗi thời gian không dừng. Khái niệm về quá trình dừng Một tập hợp dữ liệu cụ thể của bất kỳ chuỗi thời gian nào đều có thể coi là được tạo ra nhờ một quá trình ngẫu nhiên hay là một kết quả, một mẫu của quá trình ngẫu nhiên. Sự khác biệt giữa quá trình ngẫu nhiên và kết quả của nó giống như sự khác biệt giữa tổng thể và mẫu trong dữ liệu đối chiếu.
Cũng 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2: Tính dừng của chuỗi thời gian và dự báo chuỗi thời gian dừng như chúng ta sử dụng các dữ liệu mẫu để suy ra các ước lượng về một tập hợp, trong lĩnh vực chuỗi thời gian, chúng ta dùng kết quả để suy ra các ước lượng về quá trình ngẫu nhiên tương ứng. Một dạng của quá trình ngẫu nhiên được các nhà phân tích về chuỗi thời gian đặc biệt quan tâm và xem xét kỹ lưỡng là quá trình dừng. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } được gọi là dừng theo nghĩa chặt nếu như với mọi t1 < t2 <. < tk và h > 0 ta có (Xt1 , Xt2 , ., Xtk ) có cùng phân phối với (Xt1 +h , Xt2 +h ,.
Việc đòi hỏi các phân phối đồng thời của {Xt } bất biến qua phép dịch chuyển thời gian là quá mạnh nên đôi khi ta chỉ yêu cầu một vài đặc trưng yếu hơn liên quan tới các mô-men cấp 1 và cấp 2 không phụ thuộc theo thời gian như định nghĩa sau đây: Định nghĩa 2. Quá trình ngẫu nhiên {Xt } với EXt2 < +∞ được gọi là dừng theo nghĩa rộng (quá trình dừng yếu) nếu: 1) Hàm trung bình µX (t) := EXt là hằng số theo t, 2) Hàm tự hiệp phương sai γX (t + h, t) := cov(Xt+h , Xt ) = E [(Xt − µX (t)) (Xt+h − µX (t + h))] với h = 0, ±1, ±2,. là không phụ thuộc vào t, tức là γX (t + h, t) = γX (h). Một quá trình ngẫu nhiên là dừng theo nghĩa chặt với EXt2 < +∞ thì nó sẽ dừng theo nghĩa rộng.
Tuy nhiên, điều ngược lại chỉ đúng trong một vài trường hợp đặc biệt. Trong luận văn này khi nói đến quá trình dừng hay chuỗi thời gian dừng ta hiểu là dừng theo nghĩa rộng nếu không có giải thích gì thêm. Nếu một chuỗi thời gian không phải là dừng theo cách hiểu vừa xác định ở trên thì nó được gọi là chuỗi thời gian không dừng. Đôi khi tính không dừng của chuỗi thời gian có được là do sự dịch chuyển của giá trị trung bình.
là quá trình dừng với EXt2 < +∞ thì hàm (theo h): γX (h) := γX (t + h, t), h = 0, ±1, ±2,. được gọi là hàm tự hiệp phương sai (autocovariance) còn γX (h) cov(Xt+h , Xt ) ρX (h) := = , h = 0, ±1, ±2,. 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2: Tính dừng của chuỗi thời gian và dự báo chuỗi thời gian dừng Hàm tự tương quan hay hệ số tự tương quan là đại lượng đo sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các quan sát. Giá trị của hệ số tự tương quan tại h đo mối quan hệ giữa hai giá trị của chuỗi thời gian cách nhau một khoảng thời gian là h hay còn gọi là độ trễ h của thời gian., tn ∈ R, ma trận tự hiệp phương sai Γn = [γX (ti − tj )]ni,j=1 là xác định không âm.
1) Hiển nhiên theo Định nghĩa 2. 2) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz |γX (h)| = |E [(Xt − µX (t)) (Xt+h − µX (t + h))] | p ≤ E(Xt − µX (t))2. 3) Với mọi vector b = (b1 , b2 , ., bn )> ∈ Rn ta đều có n ! " n n # X X X 0 ≤ V ar bi Xti = cov bi Xti , bi X t i i=1 i=1 i=1 n X X n n X X n = bi bj cov[Xti , Xtj ] = bi bj γX (ti − tj ). Vậy định lý được chứng minh.
Từ kết quả trên ta thấy rằng hàm tự tương quan ρX (.) cũng là hàm chẵn và |ρX (h)| ≤ 1 ∀h ∈ R. Vì vậy, trong các lập luận về sau ta chỉ quan tâm đến các giá trị của γX (h) và ρX (h) với h ≥ 0. Dãy tiếng ồn độc lập cùng phân phối Nếu {Xt } là độc lập cùng phân phối với EXt2 < +∞ thì σ 2 nếu h = 0 γX (t + h, t) = 0 nếu h 6= 0. 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2: Tính dừng của chuỗi thời gian và dự báo chuỗi thời gian dừng Ví dụ 2.
Di động ngẫu nhiên Vì hệ số tự hiệp phương sai phụ thuộc theo t nên di động ngẫu nhiên không có tính chất dừng γX (t + h, t) = tσ 2. Cách đơn giản nhất để xây dựng chuỗi thời gian dừng theo nghĩa chặt là "lọc" nó từ quá trình ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Giả sử {Zt } là dãy độc lập cùng phân phối còn g là hàm (đo được) q biến số, khi đó Xt = g (Zt , Zt−1 ,. sẽ là chuỗi thời gian dừng theo nghĩa chặt.
Trong trường hợp này, dễ thấy Xt và Xt+h là độc lập với mọi |h| > q nên ρ(h) = 0 với mọi |h| > q. Các quá trình có tính chất này được gọi là q -tương quan. Sau đây là một trường hợp riêng quan trọng: Định nghĩa 2. Quá trình trung bình trượt M A(q): Xét {Xt } là quá trình trung bình trượt cấp q (viết tắt là M A(q)) nếu: Xt = Zt + θ1 Zt−1 + .1) trong đó {Zt } là dãy độc lập có cùng phân phối với trung bình bằng 0 và phương sai σ 2 , còn θ1 , θ2 , ., θq là các hằng số và θq 6= 0.
Tầm quan trọng của quá trình M A(q) là ở chỗ mỗi quá trình q -tương quan sẽ là một quá trình M A(q) theo mệnh đề sau: Mệnh đề 2. Mỗi quá trình dừng với trung bình bằng 0 và q -tương quan đều có thể biểu diễn được ở dạng (2. Sau đây ta sẽ luôn giả thiết chuỗi thời gian dừng {Xt } có trung bình bằng 0 và hàm tự hiệp phương sai γX (. Trong trường hợp chuỗi thời gian không có trung bình bằng 0 ta sẽ hiệu chỉnh nó bằng cách thay thế chuỗi ban đầu bằng n 1 X chuỗi mới {Yt } với Yt = Xt − X̄ , trong đó X̄ =.
Các quá trình tuyến tính Các quá trình ngẫu nhiên tuyến tính cho ta bối cảnh chung để nghiên cứu chuỗi thời gian. Thật vậy, theo khai triển Wold, mỗi quá trình ngẫu nhiên dừng có mô-men cấp 2 hữu hạn thì hoặc là tuyến tính hoặc có thể biến đổi thành quá trình tuyến tính bằng cách khử thành phần tất định trong chuỗi thời gian. 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2: Tính dừng của chuỗi thời gian và dự báo chuỗi thời gian dừng Định nghĩa 2. Chuỗi thời gian {Xt } là tuyến tính nếu nó có thể biển diễn dưới dạng +∞ X Xt = ψi Zt−i (2.2) i=−∞ với mọi t, trong đó {Zt } là chuỗi độc lập, cùng phân phối với trung bình bằng 0 và phương sai σ 2 (viết tắt là {Zt } ∼ = W N (0, σ 2 ) còn ψi là dãy các hằng số với +∞ X |ψi | < +∞.
Mỗi chuỗi thời gian tuyến tính là một chuỗi thời gian dừng. Thật vậy, giả sử {Xt } là một chuỗi thời gian tuyến tính. Khi đó {Xt } có thể biểu diễn được dưới dạng (2.2) và thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa 2. Để thuận tiện cho việc trình bày, ta đưa vào khái niệm toán tử dịch chuyển B được định nghĩa bởi BXt = Xt−1.
Với ký hiệu này (2.2) có thể được +∞ X viết lại dưới dạng Xt = ψ(B)Zt với ψ(B) = ψi B i .