Đặt vấn đề Phần này được trình bày dựa trên nghiên cứu [1] của tác giả và nhóm nghiên cứu. Hiện nay, những vấn đề trong xây dựng thuật toán điều khiển dự báo vẫn còn được quan tâm và nghiên cứu nhiều, đặc biệt về tính ổn định. Tác giả đề xuất một cách tiếp cận khác tới chủ đề điều khiển bền vững dự báo theo mô hình hệ thống phi tuyến với ràng buộc tín hiệu điều khiển và nhiễu phụ thuộc trạng thái. Lớp hệ phi tuyến được xét đến trong đồ án này được chia thành hai phần: phần tuyến tính tại giá trị trạng thái thời điểm trích mẫu, phần mô hình sai lệch giữa phi tuyến và tuyến tính và nhiễu tác động hệ thống thông qua mô hình động học là phụ thuộc biến trạng thái, trong đó nhiễu này được giả sử thuộc lớp.
Tín hiệu điều khiển phản hồi trạng thái nhận được từ việc giải bài toán tối ưu của hàm chặn trên của hàm mục tiêu với tầm dự báo vô hạn và ràng buộc tín hiệu điều khiển bằng cách sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequalities - LMI). Trong đồ án này, để đảm bảo tính ổn định bền vững, cách tiếp cận được đề xuất này sẽ tạo ra miền khả thi để đảm bảo việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu và bao miền ổn định. Hơn nữa, hai miền này có khả năng thu nhỏ lại sau mỗi chu kì trích mẫu để chứng mình được tính ổn định bền vững của toàn hệ thống. Một số kết quả mô phỏng chứng minh kết quả rất khả quan của cách tiếp cận này tới điều khiển bền vững dự báo theo mô hình hệ phi tuyến.
Điều khiển dự báo (Model predictive control – MPC) là một phương pháp điều khiển có nhiều ưu điểm trong thiết kế điều khiển hệ có đặc tính động học vừa và chậm. Hàm mục tiêu thể hiện chất lượng hệ thống sẽ được tối ưu hóa để tính ra chuỗi tín hiệu điều khiển tối ưu bao gồm tại thời điểm trích mẫu đó và cả các thời điểm trích mẫu trong tương lai, nhưng chỉ có duy nhất giá trị điều khiển đầu tiên được áp vào hệ để điều khiển hệ thống và phần còn lại bị bỏ đi, công việc này được lặp lại ở chu kì trích mẫu sau đó. Hơn nữa, MPC có thể xử lý các ràng buộc của hệ thống ví dụ như ràng buộc về tín hiệu điều khiển, biến trạng thái hay đầu ra, những 1 phương pháp điều khiển khác sẽ gặp khó khăn trong việc xử lý các ràng buộc này. Rõ ràng rằng, các ràng buộc này là rất quan trọng trong việc thiết kế điều khiển vì nó liên quan đến hệ thống thực tế.
Những năm 1970, MPC được trình bày lần đầu tiên để điều khiển cho hệ tuyến tính và vẫn còn được nghiên cứu cho tới ngày nay. Một vài tác giả nổi tiếng trong lĩnh vực này như Rawlings[3], Allowger[4,5], Mayne [3,5] và Slotine đã có những nghiên cứu và phát triển MPC cho hệ phi tuyến với những lý thuyết mới như ống tube, tầm dự báo tựa vô hạn. Trong thế kỉ 21, những nhà nghiên cứu đã phát triển MPC cho điều khiển bền vững MPC cho hệ phi tuyến với bất định và nhiễu phụ thuộc trạng thái. Rawlings, Mayne [3] đã áp dụng lý thuyết về ống tube, lý thuyết co, lý thuyết min-max (được đề xuất bởi Raimondo) để điều khiển hệ phi tuyến.
Một vài lý thuyết và kĩ thuật về LMI được đề xuất bởi Boyld [6] được kế thừa bởi Kothare [7,8] để thiết kế điều khiển cho hệ tuyến tính. Trong vài năm gần đây, kĩ thuật LMI đã tham gia vào nhiều nghiên cứu để xử lý MPC cho hệ phi tuyến như Wu, D.jia và Bigdeli [9] đã làm. Trong đồ án này, bài toán tối ưu là dạng toàn phương và là hàm chặn trên của hàm mục tiêu với tầm dự báo vô hạn, được giải bằng kĩ thuật LMI được đề xuất bởi Boyls [6] có xét đến ràng buộc tín hiệu điều khiển. Tín hiệu điều khiển có khả năng co hàm chặn trên này về gốc, do vậy rõ ràng rằng hàm mục tiêu cũng tiến tới gốc và biến trạng thái, tín hiệu điều khiển tiến về gốc, nghĩa là sẽ đảm bảo được tính ổn định bền vững của toàn hệ.
Phương pháp điều khiển được đề xuất này sẽ được áp dụng vào điều khiển cho hệ con lắc ngược 3 chiều, bao gồm: xe đẩy di chuyển trên một mặt phẳng nằm ngang theo 2 chiều và kết nối với một thanh cứng có khối lượng không đáng kể, giả sử rằng nhiễu bên ngoài sẽ tác động vào vật nặng gắn vào đầu còn lại của thanh cứng theo 3 chiều. Mục tiêu của việc áp dụng phương pháp điều khiển này là: vật nặng gắn trên đầu thanh cứng cân bằng và xe đẩy di chuyển từ một vị trí bất kì về gốc tọa độ. Hơn nữa, hệ mà ta xét là một hệ hụt cơ cấu chấp hành, có hai biến điều khiển là hai chiều di chuyển của xe đẩy để điều khiển bốn biến bao gồm hai biến vị trí xe đẩy và hai biến góc của thanh cứng. Do vậy, phương pháp điều khiển được đề xuất ở trên hoàn toàn có thể mở rộng cho nhiều hệ phi tuyến hụt cơ cấu chấp hành bị tác động bởi nhiễu bị chặn.
Điều khiển bền vững dự báo cho mô hình phi tuyến có nhiễu phụ thuộc biến trạng thái Xét mô hình động học tổng quát của hệ phi tuyến liên tục chịu tác động của nhiễu phụ thuộc hàm trạng thái như sau: (1.1) Trong đó, là vector biến trạng thái, là vector biến điều khiển, hàm là hàm phi tuyến, khả vi và liên tục, thỏa mãn. là hàm phi tuyến và liên tục, thỏa mãn. là nhiễu không đo được.1: Nhiễu tác động từ bên ngoài thuộc không gian (1.2) Sử dụng phép xấp xỉ Euler trực tiếp để rời rạc hóa mô hình (1.1) với chu kì trích mẫu ta được: (1.5) Trong đó, và Tiếp theo, mô hình trạng thái (1.5) được phân tách thành ba phần, bao gồm: phần tuyến tính tại thời điểm trích mẫu, phần sai lệch mô hình giữa tuyến tính và phi tuyến và phần nhiễu phụ thuộc biến trạng thái (1.6) 3 Trong đó, phần tuyến tính hóa: , phần sai lệch giữa tuyến tính và phi tuyến: Giả thiết 1.2: Cho trước số thực dương , sao cho: (1.8) Do là tích của nhiễu tác động từ bên ngoài và sai lệch mô hình giữa tuyến tính – phi tuyến với thời gian trích mẫu, nên ta có thể chọn thời gian trích mẫu hợp lý để thỏa mãn (1.2 là điều kiện cần thiết để tạo ra miền khả thi để đảm bảo nghiệm trong Định lý 1. Xét hàm mục tiêu với tầm dự báo vô hạn như sau: (1.9) Trong đó hai ma trận trọng số là ma trận đối xứng xác định dương Điều kiện ràng buộc của biến điều khiển (1.10) Do ta xét những hệ không có ràng buộc, nên với tín hiệu điều khiển phản hồi trạng thái tĩnh có khả năng làm hệ đạt trạng thái ổn định.
Đặt tín hiệu điều khiển phản hồi trạng thái như sau: (1.11) Trong đó, ma trận là ma trận phản hồi trạng thái tĩnh. Hàm ứng viên Lyapunov (1.12) được chọn để thỏa mãn điều kiện bền vững (1.13) 4 Cho chạy từ 1 đến , rồi lấy tổng thì từ (1.13) ta nhận được (1.14) Chặn trên của hàm mục tiêu (1.9) là hàm ứng viên Lyapunov (1. Ta sẽ tối thiểu hóa hàm mục tiêu (1.9) với điều kiện bền vững (1.13) bằng cách sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính.1: (Điều kiện bền vững) Gọi là biến trạng thái tại thời điểm trích mẫu. Giả sử rằng giải được các biến ma trận đồng thời là nghiệm của của bất đẳng thức ma trận (1.
Từ đó luật điều khiển phản hồi trạng thái (1.11) sẽ giúp hệ ổn định bền vững (1.19) Chứng minh: Thay (1.20) Thay luật điều khiển phản hồi trạng thái tĩnh (1.21) Chọn ma trận đối xứng xác định dương 5 (1.21) ta sẽ được: (1.23) ta suy ra được (1.24) Đánh giá bất đẳng thức (1.25) Xét vế phải của (1.29) Đặt là giá trị riêng lớn nhất của ma trận , từ (1.19) là ràng buộc biến đầu vào (1.6) dưới tác động của tín hiệu điều khiển (1.11) với các tham số thỏa mãn định lý 1.1, tại các thời điểm trích mẫu ta thành lập miền 6 ,. Nếu trạng thái ban đầu nằm trong miền , thì tất cả các trạng thái ở thời điểm tiếp theo cũng nằm trong. Chứng minh: Do thỏa mãn Định lý 1.1, nên điều kiện bền vững được (1.13) được xét như sau: (1.2: (Tối thiểu hóa chặn trên hàm mục tiêu) Bài toán tối ưu (1.33) Sao cho thỏa mãn (1.38) Từ nghiệm của bài toán tối ưu (1.33): , các biến: , , , sẽ thỏa mãn Định lý 1.1 và chặn trên (1.12) 7 Chứng minh: Đặt (1.2: (Miền khả thi) Bài toán tối ưu từ Định lý 1.2 được giải tại mỗi thời điểm trích mẫu để tạo ra miền khả thi, nó sẽ bao gồm các nghiệm tối ưu tại những thời điểm trích mẫu sau đó. Do vậy, nếu miền khả thi được tìm thấy tại thời điểm thứ , thì miền khả thi tiếp theo cũng được tìm thấy tại thời điểm sau đó , dẫn đến sự tồn tại của nghiệm tối ưu các bước tiếp theo.
Chứng minh: Giả sử nhận được ma trận phản hồi trang thái từ bài toán tối ưu ở thời điểm đầu tiên. Trạng thái tại thời điểm thứ được bao bởi miền khả thi (1.44) Ta thấy rằng, nghiệm tối ưu tại bước thứ vẫn thỏa mãn điều kiện bền vững và miền khả thi tại thời điểm thứ , do vậy nó chỉ ra rằng hàm ứng viên Lyapunov tại thời điểm thứ như sau: (1.45) Rõ ràng rằng tại thời điểm thứ thì nghiệm tối ưu vẫn nằm trong miền khả thi trước đó 8 (1.46) Nếu ma trận phản hồi trạng thái là khả thi tại thời điểm thứ và đầu tiên, thì nó cũng tồn tại tại thời điểm thứ. Do vậy, tại các thời điểm tiếp theo đó cũng tồn tại nghiệm tối ưu.6) với tín hiệu điều khiển phản hồi trạng thái (1.11) nhận được từ Định lý 1.2 sẽ ổn định bền vững tiệm cận tại gốc. Chứng minh: Ký hiệu là nghiệm tối ưu nhận được từ Định lý 1.2 tại thời điểm thứ và giả sử rằng bài toán tối ưu từ Định lý 1.2 là khả thi tại thời điểm .2, là tồn tại cho tất cả các thời điểm trích mẫu và là tồn tại tại thời điểm.
Ta sẽ có được: (1.48) Do và Bổ đề 1.1 là đúng với , từ bất đẳng thức (1.49) Do vậy hàm Lyapunov là hàm giảm chặt. Thêm vào đó, từ (1.13), , ta sẽ có được khi ▄ 9 3.