Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài nghiên cứu. Chương 2: Một số biện pháp sư phạm trong dạy học chủ đề: “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” theo hướng phát triển năng lực MHHTH cho học sinh lớp 10. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.
Khái niệm mô hình và mô hình hóa toán học 1. Khái niệm mô hình MHHTH được nhen nhóm, phát triển và nghiên cứu trong những năm thập niên 70 của thế kỉ trước. Những nhà nghiên cứu nổi tiếng trong lĩnh vực này không thể không nói đến Pollak, Blum Niss, Lesh & Doerr. Có rất nhiều khái niệm về mô hình nói riêng và MHHTH nói chung, phải kể đến trong đó là phát biểu của Swetz và Hartzler (1991) đưa ra khái niệm “mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm”.
Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý [40]. Theo từ điển tiếng Việt: “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, 8 ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật” [20]. Từ các khái niệm trên tác giả đúc kết khái niệm: “Mô hình là một vật mẫu đại diện cho một vật thể thực tế, đã được đơn giản hóa nhưng vẫn giữ được các tính chất chính phản ánh sự vật ban đầu”.
Khái niệm mô hình toán học Theo từ điển Bách khoa toàn thư, MHHTH là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ thống các phương trình…Hiểu một cách nôm na, MHHTH là việc người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt lại một tình huống thực tiễn (có thể trong phạm vi toán học hay ngoài toán học như vật lí, sinh học…), chuyển tình huống đó thành một mô hình toán học. Sau đó, sử dụng công cụ toán học để giải quyết mọi vấn đề trên mô hình toán học vừa nhận được và cuối cùng mới quay trở lại trả lời cho những câu hỏi được đặt ra từ bài toán ban đầu. Trong nghiên cứu của Niss, M.
& Hojgaard Jensen, T, (2007) [36] nói rằng “Mô hình toán học là một hoạt động liên ngành phức tạp, được kết nối với việc học tập toán học”. Lesh và Doerr (2003) [32], mô tả mô hình toán học là một quá trình trong đó các hệ thống khái niệm và mô hình hiện có được sử dụng để tạo ra và phát triển các mô hình mới trong bối cảnh mới. Theo các nghiên cứu của Lehrer và Schauble (2007) [33], cùng Lesh và Doerr (2003) [32], “Mô hình toán học đặt trọng tâm vào việc phác thảo cấu trúc và nguyên tắc chức năng của các đối tượng và tình huống trong thực tế”. Hệ thống phân loại của Lehrer và Schauble nhấn mạnh rằng mô hình toán học không bao gồm toàn bộ các đặc điểm của thực tế, mà thay vào đó, tập trung vào việc mô tả ý tưởng của tình huống trong ngữ cảnh toán học.
Nghiên cứu của Niss và Hojgaard Jensen (2007) [36], đưa ra quan điểm rằng mô hình toán học là một hoạt động phức tạp liên quan đến việc học tập toán học. Ang Keng Cheng (2001) kết nối mô hình toán học với vấn đề thế giới thực, xem nó như một quá trình biểu diễn và giải quyết các vấn đề toán học từ thực tế. Hernández, Rachel Levy, Mathew D. Felton-Koestler, and Rose Mary Zbiek, (2016) [34] cho rằng, mô hình toán học có sử dụng phương pháp toán học để chuyển đổi và đưa ra quyết định, như vậy “Mô hình toán học là một quá trình có sử dụng toán học để biểu diễn, phân tích, đưa ra dự đoán hoặc cung cấp cái nhìn sâu sắc vào các hiện tượng thực tế”.
Đặc biệt quan trọng là sự nhấn mạnh vào mô hình toán học như một quá trình, lặp đi lặp lại và liên quan đến sửa đổi thường xuyên. Theo Lê Thị Hoài Châu (2014) [6], “Mô hình toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học bằng những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này”. Vậy mô hình toán học là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn. Từ các khái niệm trên tác giả đúc kết khái niệm: “Mô hình toán học là một phương pháp sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học để mô tả, phân tích và dự đoán hành vi của một hệ thống hoặc một vấn đề cụ thể trong thế giới thực”.
Mô hình toán học thường bao gồm các yếu tố chính sau: - Biến số: Đây là các yếu tố hoặc thông số mà mô hình mô tả và phân tích. Chúng có thể là các đại lượng vật lý như thời gian, không gian, nhiệt độ, hay các thông số trừu tượng như tỷ lệ tăng trưởng dân số, lợi nhuận kinh doanh. - Phương trình hoặc bất phương trình: Đây là các quy tắc hoặc mối quan hệ giữa các biến số trong mô hình. Các phương trình và bất phương trình này được xây dựng dựa trên kiến thức và lý thuyết về vấn đề cụ thể.
- Điều kiện ban đầu và điều kiện giới hạn: Đây là các điều kiện mà mô hình cần phải thỏa mãn tại thời điểm ban đầu và tại các giới hạn cụ thể. - Phương pháp giải và phân tích: Một mô hình toán học thường đi kèm với các phương pháp để giải quyết nó, bao gồm cả phương pháp phân tích và phương pháp số học. - Kiểm tra và đánh giá: Sau khi xây dựng mô hình và giải quyết, nó cần phải được kiểm tra và đánh giá để xác định tính chính xác và tính ứng dụng của nó đối với vấn đề cụ thể. Khái niệm mô hình hóa toán học Theo Barreto (1976), Mô hình hóa toán học được định nghĩa là một quá trình mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học như đồ thị, hàm số, phương trình, hệ 10 phương trình, bất phương trình, kí hiệu toán học,… để biểu diễn và mô tả đặc điểm của một sự vật, hiện tượng hoặc đối tượng nghiên cứu cụ thể [23].
Sự trình bày định nghĩa MHHTH như trên cũng tương tự của Edwards và Hamson (2001), Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [31]. Trong tài liệu Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học toán, hai tác giả Vũ Như Thư Hương và Lê Thị Hoài Châu (2013), sau khi phân tích quá trình MHHTH, đã đưa ra nhận xét như sau: “Mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp. Quá trình ấy được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” hay ngược lại bổ sung thông tin để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học. Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế” [12].
Theo Nguyễn Danh Nam (2015), Mô hình hóa toán học bao gồm việc chuyển đổi toàn bộ từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học và ngược lại. Quá trình này đi kèm với nhiều yếu tố quan trọng, bao gồm việc xây dựng lại tình huống thực tế, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, giải thích và đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế, cùng với việc điều chỉnh mô hình cho đến khi đạt được kết quả có logic và hợp lí. Ông đưa ra quan niệm: “Mô hình hóa toán học không chỉ là việc áp dụng công cụ và ngôn ngữ toán học để khám phá tình huống thực tế, mà còn là quá trình giúp học sinh tìm hiểu sâu rộng các vấn đề phức tạp. Quá trình mô hình hóa đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng và thao tác tư duy toán học, như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, và trừu tượng hóa”.
Trong cấp học THPT, mô hình hóa không chỉ là việc biểu diễn mối quan hệ giữa thực tế với kiến thức toán học, mà còn là quá trình hệ thống hóa ý tưởng, khái niệm toán học thông qua ngôn ngữ toán học, như kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, và phương trình [18]. Theo Trần Vui (2015), tr 79) cho rằng: “Nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán; hay mô hình 11 hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại, cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần đến khi có được một kết quả hợp lí” [21]. Từ các phát biểu trên về MHHTH, tác giả đưa ra một định nghĩa tổng quát về MHHTH như sau: " Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề hoặc tình huống nảy sinh từ thực tiễn sang một bài toán toán học, bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học như đồ thị, hàm số, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, kí hiệu toán học, và các công cụ toán học khác để biểu diễn, mô tả các đặc điểm, quy luật của vấn đề đó. Quá trình này bao gồm việc tái cấu trúc tình huống thực tế, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, hoạt động trong môi trường toán học, giải thích và đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế, điều chỉnh mô hình để đạt được kết quả hợp lí và logic”.
Như vậy, người thực hiện MHHTH phải giải quyết vấn đề thực tế trong môi trường toán học, sau đó quay trở lại thực tế, đối chiếu, nếu chưa phù hợp thì phải thay đổi mô hình toán học ban đầu.