Chuyên Đề Học Tập Toán 12: Ứng Dụng Toán Học Trong Thực Tiễn

Chuyên đề học tập Toán 12 về ứng dụng toán học trong thực tiễn không chỉ là một phần kiến thức quan trọng… 79 trang · Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên · 2023.

• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Chuyên Đề Học Tập Toán 12: Ứng Dụng Toán Học Trong Thực Tiễn
• Loại tài liệu: Chuyên Đề
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 1. CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG TOÁN HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
• 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính
• 1.2. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: Ví dụ và ứng dụng
• 1.3. Ứng dụng vào các bài toán thực tế
• 2. BÀI 2: VẬN DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
• 2.1. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu
• 2.2. Giải bài toán tối ưu trong kinh tế

Tóm tắt

I. Tổng quan ứng dụng toán học 12 trong thực tiễn đời sống

Chuyên đề học tập Toán 12 về ứng dụng toán học trong thực tiễn không chỉ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình giáo dục mà còn là cầu nối thiết yếu giữa lý thuyết hàn lâm và cuộc sống. Việc hiểu và áp dụng các công cụ toán học vào giải quyết các vấn đề thực tế giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng phân tích và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách toàn diện. Nội dung chuyên đề tập trung vào việc chuyển hóa các tình huống thực tế thành các mô hình hóa toán học, từ đó sử dụng các công cụ đã học như đạo hàm, tích phân, hàm số mũ để tìm ra lời giải tối ưu. Mục tiêu chính là giúp học sinh thấy được vẻ đẹp và sức mạnh của toán học, không chỉ để ôn thi THPT Quốc gia môn toán mà còn để chuẩn bị hành trang cho các bậc học cao hơn và định hướng nghề nghiệp tương lai, đặc biệt trong các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật và tài chính. Chuyên đề này nhấn mạnh rằng, toán học không phải là những con số khô khan, mà là ngôn ngữ để mô tả và tối ưu hóa thế giới xung quanh.

1.1. Từ lý thuyết hàn lâm đến giải quyết bài toán thực tế lớp 12

Việc chuyển đổi từ kiến thức lý thuyết sang giải quyết một bài toán thực tế lớp 12 là một bước nhảy vọt về tư duy. Thay vì làm việc với các phương trình và hàm số trừu tượng, học sinh phải học cách nhận diện các yếu tố toán học ẩn sau một tình huống đời thường. Ví dụ, một bài toán về tối ưu hóa lợi nhuận trong sản xuất kinh doanh thực chất là tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất thực tế của một hàm số biểu thị lợi nhuận. Tương tự, việc tính toán quãng đường đi được của một vật chuyển động không đều chính là một ứng dụng của tích phân trong thực tế. Quá trình này đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững công thức mà còn phải có khả năng phân tích, đặt biến, thiết lập các phương trình ràng buộc và hàm mục tiêu. Đây là kỹ năng cốt lõi giúp toán học trở nên sống động và hữu ích, phá bỏ định kiến rằng toán học chỉ tồn tại trên sách vở.

1.2. Vai trò của mô hình hóa toán học trong học tập và nghiên cứu

Mô hình hóa toán học là quá trình sử dụng ngôn ngữ toán học để biểu diễn, phân tích và đưa ra dự đoán về một hệ thống hoặc một vấn đề trong thế giới thực. Trong chuyên đề toán ứng dụng 12, kỹ năng này được xem là trọng tâm. Học sinh học cách xác định các biến số quan trọng, thiết lập các mối quan hệ giữa chúng thông qua phương trình hoặc bất phương trình, và xây dựng một mô hình hoàn chỉnh. Ví dụ, mô hình tăng trưởng dân số có thể được biểu diễn bằng hàm số mũ, trong khi bài toán phân bổ nguồn lực sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa lại dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính. Theo tài liệu "Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo", việc vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề thực tiễn góp phần "hình thành cơ sở khoa học cho giáo dục STEM", giúp học sinh hiểu rõ hơn vai trò của toán học và có định hướng nghề nghiệp rõ ràng.

II. Những thách thức phổ biến khi giải bài toán thực tế Toán 12

Mặc dù mang lại nhiều giá trị, việc tiếp cận các bài toán thực tế lớp 12 cũng đặt ra không ít thách thức cho học sinh. Khó khăn lớn nhất thường không nằm ở việc tính toán, mà ở giai đoạn đầu tiên: diễn giải và mô hình hóa bài toán. Học sinh thường lúng túng khi phải chuyển một đoạn văn mô tả tình huống thực tế sang hệ phương trình, bất phương trình hay một hàm số cụ thể. Các bài toán này thường chứa nhiều dữ kiện, đôi khi có cả những thông tin gây nhiễu, đòi hỏi khả năng đọc hiểu và chắt lọc thông tin cao. Thêm vào đó, tâm lý e ngại trước các bài toán vận dụng cao toán 12 cũng là một rào cản. Những bài toán này thường dài, phức tạp và yêu cầu sự kết hợp của nhiều mảng kiến thức khác nhau. Vượt qua những thách thức này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao mà còn rèn luyện bản lĩnh và tư duy phản biện, những kỹ năng mềm vô cùng quan trọng trong môi trường học thuật và công việc sau này.

2.1. Khó khăn trong việc chuyển đổi ngôn ngữ đời thường sang toán

Rào cản chính khi giải toán ứng dụng là việc "dịch" các yêu cầu từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học. Các thuật ngữ như "lợi nhuận cao nhất", "chi phí thấp nhất", "tốc độ thay đổi" cần được liên kết ngay với các khái niệm toán học tương ứng là "giá trị lớn nhất", "giá trị nhỏ nhất" hay "đạo hàm". Ví dụ, một bài toán yêu cầu tìm phương án sản xuất sao cho "tối thiểu hoá chi phí và tối đa hoá lợi nhuận" (Trích Chuyên đề học tập Toán 12), học sinh cần xác định được đâu là biến số (số lượng sản phẩm), đâu là các ràng buộc (nguồn lực, thời gian) và đâu là hàm mục tiêu (hàm chi phí hoặc lợi nhuận). Việc thiếu kinh nghiệm trong việc nhận diện các cấu trúc toán học này khiến nhiều học sinh cảm thấy bế tắc ngay từ bước đầu tiên, dù kỹ năng giải phương trình hay tính đạo hàm của các em rất tốt.

2.2. Rào cản tâm lý khi đối mặt bài toán vận dụng cao toán 12

Các bài toán vận dụng cao toán 12 thường có độ phức tạp cao, đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức từ nhiều chương khác nhau như hàm số, hình học, và giải tích. Độ dài của đề bài và sự đa dạng của các tình huống thực tế (từ toán kinh tế, vật lý đến sinh học) có thể gây choáng ngợp cho học sinh. Tâm lý lo sợ sai, sợ không đủ thời gian, hoặc mặc định rằng đây là câu hỏi khó chỉ dành cho học sinh giỏi đã vô tình tạo ra một rào cản lớn. Để vượt qua, cần có một chiến lược ôn tập bài bản: bắt đầu từ các dạng bài cơ bản, hiểu rõ bản chất của từng phương pháp, và luyện tập thường xuyên với các bài toán có độ khó tăng dần. Việc phân loại các dạng bài toán thực tế và nắm vững các bước giải tiêu chuẩn sẽ giúp xây dựng sự tự tin, biến nỗi sợ thành động lực chinh phục những câu hỏi khó nhất trong đề thi.

III. Bí quyết vận dụng đạo hàm để giải bài toán tối ưu hóa

Ứng dụng của đạo hàm là một trong những công cụ mạnh mẽ nhất để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tiễn. Về bản chất, các bài toán tìm kiếm "lớn nhất", "nhỏ nhất", "tối ưu nhất", "hiệu quả nhất" đều có thể quy về việc tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định. Chuyên đề học tập Toán 12 cung cấp một phương pháp luận rõ ràng: từ một vấn đề thực tế, học sinh cần xác định đại lượng cần tối ưu và biểu diễn nó dưới dạng một hàm số theo một biến số duy nhất. Sau đó, bằng cách sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có thể dễ dàng tìm ra điểm cực trị và xác định được giá trị tối ưu cần tìm. Phương pháp này được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ việc xác định kích thước sản phẩm để chi phí vật liệu là thấp nhất đến việc lên kế hoạch sản xuất để lợi nhuận đạt mức cao nhất, thể hiện rõ sức mạnh của toán ứng dụng 12.

3.1. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất thực tế trong kinh doanh

Trong lĩnh vực kinh tế, việc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất thực tế là yêu cầu cốt lõi. Ví dụ, một công ty muốn xác định mức giá bán sản phẩm để doanh thu là lớn nhất, hoặc cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là thấp nhất. Những vấn đề này đều được giải quyết hiệu quả bằng ứng dụng của đạo hàm. Bước đầu tiên là xây dựng hàm số mục tiêu, chẳng hạn hàm doanh thu R(x) hoặc hàm chi phí C(x), trong đó x là biến số (giá bán hoặc số lượng sản phẩm). Sau đó, ta tiến hành tìm đạo hàm, giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị, và lập bảng biến thiên trên miền xác định của biến x. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận được giá trị tối ưu. Tài liệu gốc đã nêu rõ: "Bằng cách sử dụng đạo hàm, ta có thể giải nhiều bài toán tối ưu (...) xuất hiện trong khoa học và cuộc sống".

3.2. Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề chuyển động và vận tốc

Trong vật lý, đạo hàm là công cụ không thể thiếu để mô tả các bài toán về chuyển động và vận tốc. Nếu một hàm số S(t) biểu thị quãng đường của một vật di chuyển theo thời gian t, thì đạo hàm cấp một của nó, S'(t), chính là vận tốc tức thời v(t) của vật tại thời điểm t. Tương tự, đạo hàm cấp hai, S''(t), là gia tốc tức thời a(t). Dựa trên nguyên lý này, ta có thể giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Ví dụ, để tìm thời điểm mà vật đạt vận tốc lớn nhất, ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số v(t) bằng cách khảo sát đạo hàm v'(t) (tức là a(t)). Hoặc để xác định khi nào vật đổi chiều chuyển động, ta cần tìm thời điểm mà vận tốc v(t) đổi dấu, tức là giải phương trình v(t) = 0. Đây là một ví dụ điển hình cho thấy sự giao thoa mạnh mẽ giữa toán học và các môn khoa học tự nhiên.

IV. Hướng dẫn giải bài toán lãi suất kép và ứng dụng tài chính

Toán tài chính là một mảng cực kỳ quan trọng của toán ứng dụng 12, với trọng tâm là các bài toán liên quan đến lãi suất. Việc nắm vững cách giải bài toán lãi suất kép không chỉ giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trong đề thi mà còn cung cấp kiến thức tài chính cá nhân cơ bản. Lãi suất kép, hay "lãi mẹ đẻ lãi con", là nguyên tắc mà tiền lãi của kỳ trước được cộng vào vốn gốc để tính lãi cho kỳ tiếp theo. Sức mạnh của nó nằm ở sự tăng trưởng theo hàm mũ. Chuyên đề này tập trung vào việc xây dựng công thức tính, phân tích các yếu tố ảnh hưởng như vốn gốc, lãi suất, và số kỳ hạn. Thông qua đó, học sinh có thể áp dụng vào các tình huống thực tế như gửi tiết kiệm ngân hàng, vay vốn mua nhà, hoặc thậm chí là phân tích các kế hoạch đầu tư đơn giản, cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa toán học và lĩnh vực toán kinh tế.

4.1. Công thức và phương pháp tính lãi kép trong ngân hàng

Phương pháp tính lãi kép được mô tả qua công thức kinh điển: F = P(1 + r)^n. Trong đó, F là tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau n kỳ hạn, P là số vốn gốc ban đầu, và r là lãi suất trên mỗi kỳ hạn. Theo tài liệu "Chuyên đề học tập Toán 12", việc "tính tiền lãi bằng cách lấy số tiền lãi của chu kì trước nhập vào vốn để tính lãi cho chu kì tiếp theo gọi là phương thức tính lãi kép". Để giải quyết các bài toán lãi suất kép, học sinh cần xác định chính xác các đại lượng P, r, n từ dữ kiện đề bài. Một lưu ý quan trọng là phải đồng bộ đơn vị của lãi suất và kỳ hạn. Nếu lãi suất cho theo năm nhưng kỳ hạn tính lãi là theo quý, ta phải quy đổi lãi suất về đơn vị theo quý (r_quý = r_năm / 4) và số kỳ hạn n là tổng số quý. Nắm vững công thức và cách biến đổi này là chìa khóa để xử lý mọi dạng bài tập liên quan.

4.2. Ứng dụng hàm số mũ và logarit vào bài toán tăng trưởng

Bản chất của lãi suất kép là sự tăng trưởng theo cấp số nhân, do đó nó gắn liền với ứng dụng hàm số mũ và logarit. Ngoài các bài toán tài chính, hàm mũ còn được dùng để mô hình hóa nhiều hiện tượng tăng trưởng dân số, sự phát triển của vi khuẩn, hay sự phân rã của các chất phóng xạ. Ví dụ, dân số của một quốc gia sau n năm có thể được ước tính bằng công thức S = A * e^(rn), với A là dân số ban đầu và r là tỉ lệ tăng dân số. Ngược lại, khi cần tìm thời gian để một khoản đầu tư đạt đến một giá trị nhất định, hoặc thời gian để dân số tăng gấp đôi, ta sẽ cần đến logarit để giải phương trình mũ. Sự kết hợp giữa hàm số mũ, logarit và các bài toán thực tiễn cho thấy tính hệ thống và khả năng ứng dụng mạnh mẽ của kiến thức toán 12 trong việc mô tả các quy luật của tự nhiên và xã hội.

V. Top các dạng toán ứng dụng 12 trong ôn thi THPT Quốc gia

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn toán, việc hệ thống hóa các dạng bài toán ứng dụng là một chiến lược hiệu quả. Các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao thường tập trung vào một số chủ đề quen thuộc, nơi kiến thức toán học được áp dụng để giải quyết các vấn đề cụ thể. Nắm vững các dạng bài này không chỉ giúp học sinh tự tin hơn mà còn tiết kiệm thời gian trong phòng thi. Các chủ đề phổ biến bao gồm ứng dụng của tích phân trong thực tế để tính diện tích, thể tích; ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị tối ưu; các bài toán liên quan đến hàm số mũ và logarit như lãi suất, tăng trưởng; và ứng dụng hình học không gian trong các bài toán thực tế. Việc luyện tập có định hướng theo từng dạng bài, nhận biết các dấu hiệu đặc trưng và ghi nhớ các bước giải tiêu chuẩn sẽ là chìa khóa để chinh phục những điểm số cao nhất trong kỳ thi quan trọng này.

5.1. Phân tích bài toán tích phân trong thực tế Vật lý xây dựng

Tích phân trong thực tế có nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt là trong vật lý và kỹ thuật. Ứng dụng cơ bản nhất là tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong phức tạp hoặc tính thể tích của các vật thể tròn xoay. Ví dụ, thể tích của một chiếc bình hoa hay một chi tiết máy có hình dạng đặc biệt có thể được tính chính xác bằng cách áp dụng công thức tích phân. Trong vật lý, nếu biết hàm vận tốc v(t), ta có thể dùng tích phân để tính quãng đường vật đi được trong một khoảng thời gian: S = ∫v(t)dt. Tương tự, công sinh ra bởi một lực thay đổi F(x) cũng được tính bằng tích phân. Những bài toán này yêu cầu học sinh phải thiết lập được hàm số dưới dấu tích phân và xác định đúng cận tính, một kỹ năng đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cả toán học và bối cảnh của bài toán.

5.2. Giải quyết bài toán ứng dụng hình học không gian thực tế

Ứng dụng hình học không gian thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến kiến trúc, xây dựng, hoặc tối ưu hóa khoảng cách. Các bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về thể tích khối đa diện, khối tròn xoay, và các hệ thức lượng trong không gian. Ví dụ, một bài toán có thể yêu cầu tính thể tích của một bể chứa nước có hình dạng phức hợp, hoặc tìm chiều cao của một ngọn tháp dựa trên các góc nhìn từ những vị trí khác nhau. Một dạng bài vận dụng cao phổ biến là tìm vị trí đặt một vật thể trong không gian (ví dụ: đặt một bóng đèn) sao cho khoảng cách tới các điểm khác là ngắn nhất, hoặc diện tích chiếu sáng là lớn nhất. Để giải quyết tốt các bài toán này, học sinh cần có trí tưởng tượng không gian tốt, khả năng vẽ hình chính xác và áp dụng linh hoạt các định lý, công thức đã học.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Tài liệu học thuật Chuyên đề học tập Toán 12 (thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo) được biên soạn bởi tập thể tác giả gồm PGS.TS Trần Nam Dũng (Tổng Chủ biên), TS. Trần Đức Huyên và ThS. Nguyễn Thành Anh (đồng Chủ biên), cùng TS. Ngô Hoàng Long, do Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam phát hành. Giáo trình được thiết kế theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tiếp nối trực tiếp hệ thống kiến thức của Chuyên đề học tập Toán 11. Trong cấu trúc đào tạo toán học, giáo trình giữ vai trò tài liệu giảng dạy và học tập phân hóa nâng cao, cung cấp các nền tảng toán ứng dụng liên môn phục vụ định hướng giáo dục STEM, đồng thời trang bị kiến thức tiền đề cho học sinh chuẩn bị bước vào các ngành học bậc đại học và cao đẳng như Kinh tế, Tài chính - Ngân hàng, Khoa học dữ liệu, Kỹ thuật và Quản trị.

Mục tiêu học tập của giáo trình hướng đến việc phát triển toàn diện năng lực mô hình hóa toán học. Cụ thể, sau khi hoàn thành tài liệu, người học có khả năng:

• Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và công cụ đạo hàm để giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán tối ưu hóa trong sản xuất, kỹ thuật, kinh doanh.
• Phân tích và tính toán các chỉ số kinh tế - tài chính cơ bản gồm tỉ giá hối đoái, lãi đơn, lãi kép, lạm phát, lãi suất thực, chi phí sử dụng thẻ tín dụng, lịch trình trả nợ vay theo dư nợ ban đầu hoặc dư nợ giảm dần, cũng như định giá danh mục đầu tư và thiết lập kế hoạch tài chính cá nhân.
• Xây dựng mô hình xác suất rời rạc, thiết lập bảng phân bố xác suất, xác định các số đặc trưng (kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn), và áp dụng phân bố Bernoulli cùng phân bố nhị thức để định lượng rủi ro và tần suất biến cố trong thực tế.

Cấu trúc giáo trình bao gồm 3 chuyên đề chuyên sâu với cách tiếp cận đi từ tình huống thực nghiệm đến khái niệm lý thuyết và áp dụng giải thuật. Điểm đặc sắc của tài liệu là việc chuẩn hóa các bước giải toán ứng dụng và tích hợp trực tiếp các văn bản quy phạm pháp luật, dữ liệu thống kê tài chính thực tế vào nội dung học thuật.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Giáo trình được phân bổ thành 3 chuyên đề trọng tâm với tính logic tịnh tiến từ tối ưu hóa giải tích, đại số tuyến tính cơ sở đến mô hình hóa tài chính và lý thuyết xác suất thống kê:

1. Chuyên đề 1: Ứng dụng toán học giải các bài toán tối ưu

   • Bài 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính. Cung cấp định nghĩa về bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến, hàm mục tiêu dạng $F(x, y) = ax + by$, các hệ thức ràng buộc dưới dạng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, và tập phương án $\Omega$ (miền nghiệm đa giác hoặc miền không là đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất với hệ số $a, b \ge 0$). Giáo trình xác lập định lý về việc hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất tại các đỉnh của miền phương án và chuẩn hóa quy trình giải hai bước trên hệ tọa độ $Oxy$. Nội dung áp dụng vào các bài toán phân bổ nguồn lực sản xuất, quy hoạch vật liệu và tối ưu hóa khẩu phần dinh dưỡng (protein, lipid, glucid).
   • Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu. Xây dựng quy trình 4 bước tìm cực trị hàm số $P = f(x)$ trên miền xác định $D$ thông qua đạo hàm và bảng biến thiên. Ứng dụng giải quyết các bài toán tối ưu hình học (diện tích rào chắn, chu vi cống dẫn nước, thể tích lồng nuôi/thùng chứa/bể bơi), bài toán tối ưu kỹ thuật - vật lý (chiều dài đường ống dẫn chất thải, công suất dòng điện $P = I^2 R$ theo điện trở $R$), và bài toán tối ưu kinh tế (hàm tổng chi phí $C(x)$, hàm chi phí trung bình $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$, hàm doanh thu $R(x)$ và tối đa hóa lợi nhuận).

2. Chuyên đề 2: Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính

   • Bài 1: Tiền tệ và Lãi suất. Giới thiệu bản chất kinh tế của tiền tệ, đơn vị tiền tệ quốc tế và cơ chế quy đổi tỉ giá hối đoái. Thiết lập công thức tính lãi đơn ($I_n = P \cdot r \cdot n$, $F_n = P(1 + nr)$) và lãi kép ($F_n = P(1+r)^n$, $I_n = P[(1+r)^n - 1]$). Trình bày tác động của lạm phát đến sức mua, công thức lãi suất thực theo tỉ lệ lạm phát $i$ và lãi suất danh nghĩa $R$: $1 + r = \frac{1+R}{1+i}$ (hoặc công thức tính gần đúng $r^* = R - i$).
   • Bài 2: Tín dụng và Vay nợ. Phân tích các đặc trưng của quan hệ tín dụng, cơ chế vận hành của thẻ tín dụng (chu kỳ miễn lãi tối đa 45 ngày, biểu phí chậm thanh toán, phí lãi suất). Mô hình hóa hai phương thức trả nợ ngân hàng: phương thức trả lãi theo dư nợ ban đầu và phương thức trả góp gốc đều đặn kết hợp lãi tính theo dư nợ giảm dần.
   • Bài 3: Đầu tư tài chính và Lập kế hoạch tài chính cá nhân. Phân loại các công cụ đầu tư (cổ phiếu, trái phiếu, chứng chỉ quỹ), cách tính tỷ suất sinh lời trên cổ tức và giá bán ($E/P$). Xây dựng công thức giá trị tương lai của dòng tiền đều $F = A \frac{(1+r)^n - 1}{r}$ để xác định số kỳ tích lũy $n$. Hướng dẫn xây dựng bảng ngân sách thu chi và kế hoạch tài chính cá nhân.

3. Chuyên đề 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

   • Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng. Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân bố xác suất $P(X = x_i) = p_i$. Xác lập công thức tính kì vọng toán học $E(X) = \sum x_i p_i$, phương sai $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i = \sum x_i^2 p_i - [E(X)]^2$, và độ lệch chuẩn $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Ứng dụng so sánh mức độ rủi ro danh mục đầu tư chứng khoán và đánh giá độ ổn định kết quả thực nghiệm.
   • Bài 2: Phân bố Bernoulli và Phân bố nhị thức. Định nghĩa phép thử Bernoulli, biến ngẫu nhiên $X \sim Ber(p)$ với $E(X) = p$, $V(X) = p(1-p)$. Thiết lập mô hình phép thử lặp độc lập $n$ lần, công thức Bernoulli $P(A_k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, và phân bố nhị thức $X \sim B(n; p)$ với $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$. Ứng dụng giải quyết các bài toán kiểm soát chất lượng sản phẩm công nghiệp, xác suất trong y học và di truyền học.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình hệ thống hóa các trụ cột lý thuyết toán học ứng dụng cơ sở:

• Lý thuyết tối ưu hóa giải tích và hình học: Dựa trên nền tảng bất đẳng thức, giải tích vi phân cổ điển (đạo hàm bậc nhất, bảng biến thiên khảo sát hàm số) và hình học giải tích phẳng $Oxy$ để xác định cực trị trên miền đóng/mở.
• Lý thuyết giá trị thời gian của tiền tệ (Time Value of Money): Xây dựng nền tảng toán tài chính về lãi suất, sự tích lũy vốn, giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ và cơ chế bù đắp trượt giá lạm phát.
• Lý thuyết xác suất cổ điển và thống kê suy luận: Xây dựng mô hình biến ngẫu nhiên rời rạc, không gian mẫu của phép thử lặp độc lập và các phân bố xác suất mẫu chuẩn mực (Bernoulli, Binomial).

Kỹ năng phát triển

Tài liệu rèn luyện cho người học các nhóm năng lực kỹ thuật và phân tích:

• Kỹ năng giải thuật và kỹ thuật tính toán: Thiết lập hệ bất phương trình ràng buộc, vẽ và xác định giao điểm các miền phẳng, giải hệ phương trình tuyến tính, tính đạo hàm hàm phân thức, giải phương trình mũ và logarit trong bài toán dòng tiền.
• Kỹ năng phân tích và thẩm định định lượng: So sánh hiệu quả tài chính giữa các gói vay ngân hàng, đánh giá mức độ phân tán số liệu và đo lường độ rủi ro giữa các phương án đầu tư dựa trên độ lệch chuẩn $\sigma$.
• Kỹ năng mô hình hóa tình huống thực tế: Chuyển đổi các phát biểu ngôn ngữ kinh tế, sinh học, vật lý thành bài toán toán học chuẩn mực với đầy đủ điều kiện biến số và tập xác định.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình triển khai phương pháp sư phạm kiến tạo và định hướng phát triển năng lực, cấu trúc hóa từng bài học thông qua 5 phân khu chức năng thống nhất:

1. Hoạt động khởi động: Đặt ra bài toán thực tiễn có tính gợi mở (như bài toán thương nhân thu mua trái cây, người chèo thuyền tìm đường ngắn nhất, nguồn gốc ra đời của tiền tệ) nhằm kích thích nhu cầu nhận thức.
2. Hoạt động khám phá: Dẫn dắt người học qua chuỗi câu hỏi phân tích từng bước để tự hình thành công thức hoặc định lý toán học mới.
3. Kiến thức trọng tâm: Đóng khung các khái niệm, định nghĩa toán học, công thức tính và quy trình giải thuật chuẩn tắc.
4. Thực hành: Cung cấp các bài toán mẫu có lời giải chi tiết, kèm theo bài tập tương tự để người học củng cố quy trình thao tác.
5. Vận dụng: Đặt người học vào các bài toán tình huống tổng hợp liên môn (kinh tế, kỹ thuật, đời sống) đòi hỏi khả năng xử lý dữ liệu phức hợp.

Hệ thống câu hỏi và bài tập đánh giá cuối mỗi bài học bao gồm hai phần tách biệt:

• Câu hỏi trắc nghiệm: Đo lường mức độ ghi nhớ công thức, nhận diện phân bố xác suất và kỹ năng giải nhanh các giá trị cực trị.
• Bài tập tự luận: Yêu cầu người học thực hiện trọn vẹn chu trình mô hình hóa, từ khâu chọn biến, lập bảng biến thiên/vẽ miền nghiệm, đến giải và biện luận kết quả thực tế.

Để tự học hiệu quả, giáo trình cung cấp bảng thuật ngữ giải thích khái niệm ở cuối sách và hệ thống dẫn chiếu bài tập từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao, cho phép người học tự kiểm tra và đánh giá tiến độ tiếp thu.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

Giáo trình thể hiện rõ tính hiện đại và tính quy chuẩn học thuật thông qua việc tích hợp các tư liệu và căn cứ thực tế:

• Tính chuẩn xác về mặt pháp lý và học thuật chuyên ngành: Nội dung tài chính được biên soạn căn cứ theo các văn bản luật hiện hành tại Việt Nam, bao gồm Luật Các tổ chức tín dụng (Luật số 47/2010/QH12, Luật số 17/2017/QH14, Văn bản hợp nhất số 07/VBHN-VPQH), Luật Chứng khoán năm 2019 (Luật số 54/2019/QH14), và Thông tư 39/2016/TT-NHNN của Ngân hàng Nhà nước Việt Nam.
• Nguồn tài liệu tham khảo phong phú và uy tín: Giáo trình trích dẫn kiến thức từ các giáo trình chuyên khảo như Giáo trình Kinh tế chính trị Mác - Lê-nin (PGS.TS Ngô Tuấn Nghĩa, NXB Chính trị quốc gia Sự thật, 2019), Toán tài chính ứng dụng (Nguyễn Tấn Bình, NXB Thống kê, 2009), Toán tài chính (Bùi Hữu Phước, NXB Phương Đông, 2012), How Money Works (DK, Penguin Random House, 2019), và Vật lí 11 (NXB Giáo dục Việt Nam, 2012).
• Dữ liệu thực nghiệm cập nhật: Sử dụng bảng tỉ giá giao ngay thực tế của Sở giao dịch Ngân hàng Nhà nước Việt Nam (dữ liệu tháng 3 và tháng 6/2023), cùng số liệu thống kê chỉ số lạm phát của Tổng cục Thống kê Việt Nam năm 2021.
• Chuyển dịch trọng tâm sang giải quyết vấn đề: Thay vì tập trung thuần túy vào kỹ thuật biến đổi đại số trừu tượng, giáo trình tập trung vào việc mô hình hóa các bài toán quản trị sản xuất, chi phí vận tải, dinh dưỡng học, tối ưu hóa công suất điện và quản lý thẻ tín dụng.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

Tài liệu được thiết kế nhằm phục vụ các nhóm đối tượng cụ thể sau:

• Học sinh lớp 12: Học sinh học chuyên đề tự chọn môn Toán theo Chương trình GDPT 2018 có nguyện vọng nâng cao năng lực toán học và định hướng thi tuyển/xét tuyển vào các ngành đại học khối A, A1, B, D.
• Sinh viên năm nhất đại học: Sinh viên các trường đại học chuyên ngành Kinh tế, Quản trị kinh doanh, Tài chính - Ngân hàng, Kỹ thuật, Khoa học dữ liệu sử dụng làm tài liệu nhập môn bổ trợ cho các học phần Toán cao cấp, Toán kinh tế, Lý thuyết xác suất và Thống kê toán.
• Yêu cầu kiến thức tiên quyết: Người học cần nắm vững kiến thức giải tích và đại số cơ bản gồm phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đạo hàm và khảo sát hàm số, cấp số cộng, cấp số nhân, cùng các quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp và xác suất sơ cấp.
• Giáo viên và cán bộ nghiên cứu phương pháp dạy học: Sử dụng làm tài liệu chuẩn mực để thiết kế bài giảng chuyên đề phân hóa, xây dựng các dự án học tập STEM liên môn và biên soạn đề kiểm tra đánh giá năng lực.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với ai?
Giáo trình được biên soạn chuyên biệt cho học sinh lớp 12 định hướng học phân hóa chuyên sâu, giáo viên giảng dạy môn Toán THPT, và sinh viên năm nhất khối ngành Kinh tế, Tài chính, Kỹ thuật cần tài liệu tham khảo về toán ứng dụng.

2. Cần kiến thức nền tảng nào để học tốt giáo trình này?
Người học cần hoàn thành chương trình môn Toán lớp 10, lớp 11 và phần kiến thức cốt lõi lớp 12, đặc biệt là kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, phép tính đạo hàm, cấp số nhân và xác suất cổ điển.

3. Điểm khác biệt cơ bản giữa chuyên đề này với sách giáo khoa Toán thông thường là gì?
Khác với sách giáo khoa tập trung vào kiến thức hàn lâm cốt lõi, chuyên đề học tập đi sâu vào các mô hình ứng dụng chuyên ngành: giải bài toán quy hoạch tuyến tính thực nghiệm, tính toán nghiệp vụ tài chính - ngân hàng và phân tích phân bố xác suất nhị thức trong kỹ thuật và đời sống.

4. Làm thế nào để tự học giáo trình đạt hiệu quả cao?
Người học nên tiếp cận tuần tự theo quy trình 5 bước sư phạm trong sách: đọc kỹ tình huống khám phá, nắm vững công thức trọng tâm, giải lại các ví dụ mẫu trước khi làm bài tập vận dụng, và sử dụng bảng tra cứu thuật ngữ ở trang 73–75 để chuẩn hóa khái niệm.

5. Giáo trình có tích hợp các số liệu và công cụ thực tế không?
Có. Giáo trình dẫn chiếu trực tiếp các biểu mẫu bảng tỉ giá ngoại tệ thực tế từ Ngân hàng Nhà nước, công thức tính phí thẻ tín dụng theo ngày, bảng phân bổ dinh dưỡng thực phẩm, và các số liệu kiểm định thực nghiệm từ các ngành sản xuất.

---

Kết luận

Giáo trình Chuyên đề học tập Toán 12 (Bộ sách Chân trời sáng tạo) là tài liệu học thuật hoàn chỉnh, cung cấp cấu trúc kiến thức toán ứng dụng có tính hệ thống cao trong ba lĩnh vực: tối ưu hóa, tài chính thực nghiệm và biến ngẫu nhiên rời rạc. Lộ trình học tập được thiết kế khoa học, kết nối chặt chẽ giữa lý thuyết giải tích, xác suất với các tình huống kinh tế - kỹ thuật thực tế. Để hỗ trợ tối đa quá trình giảng dạy và học tập, giáo trình được tích hợp đồng bộ cùng hệ sinh thái sách giáo khoa Chân trời sáng tạo và cổng học liệu số Hành trang số của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Trích đoạn nội dung tài liệu

TRẦN NAM DŨNG (Tổng Chủ biên) 'TRẦN ĐỨC HUYÊN - NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên) NGO HOANG LONG CHUYEN DE HOC TAP TOAN Chan tri LT O TRẦN NAM DŨNG (Tổng Chủ biên) 'TRẦN ĐỨC HUYÊN - NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên) NGÔ HOÀNG LONG CHUYÊN ĐỀ HỌC TẬP TOÁN NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Mỗi bài học trong sách Chuyên đề học tập Toán 12 thường có các phần như sau: Gợi mở, kết nối người học vào chủ để bài học. Hoạt động khởi động Gợi ý để người học tìm ra kiến thức mới. Hoạt động khám phá Nội dung kiến thức cần lĩnh hội. Kiến thức trọng tâm Ọ Các bài tập cơ bản theo yêu cầu cần đạt.

Thực hành fe; Ứng dụng kiến thức để giải quyết vấn đề. Vận dụng Hãy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng các em học sinh lớp sau! Loi noi dau Các bạn học sinh, quý thầy, cô giáo thân mến! Tiếp nói sách Chuyên đề học tập Toán 11, sách Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc bộ sách Chan trời sáng tạo được biên soạn theo Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Sách bao gồm ba chuyên đề: Chuyên dé 1. Ung dụng toán học giải các bài toán tối ưu.

Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc. Các chuyên đề này nhằm mục đích: — Cung cấp thêm một số kiến thức và kĩ năng toán học nhằm đáp ứng yêu cầu phân hoá, tạo cơ hội cho học sinh vận dụng Toán học đề giải quyết các vấn đề liên môn và thực tiễn, góp phần hình thành cơ sở khoa học cho giáo dục STEM.

~ Giúp học sinh hiểu rõ vai trò và những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn; làm cơ sở. cho định hướng nghề nghiệp sau Trung học phô thông; tạo cơ hội cho học sinh nhận biết năng khiếu, sở thích của mình, từ đó tạo đam mê khi học Toán. Mỗi chuyên đề đều có nêu các kiến thức cơ bản sẽ học và các yêu cầu cần đạt của chuyên đề. Các bài học đều xây dựng theo tính thần định hướng phát triển năng lực và thường được thống nhất theo các bước: khởi động, khám phá, thực hành, vận dụng.

Chúng tôi hi vọng rằng sách Chuyên đề học tập Toán 12 sẽ hỗ trợ quý thầy cô trong. quá trình dạy học, đồng thời giúp các bạn học sinh hứng thú hơn khi học tập bộ môn Toán Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn học sinh đề sách được ngày. cảng hoàn thiện hơn: CÁC TÁC GIẢ Trang Chuyên đề I ỨNG DỤNG TOÁN HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU Trong đời sống, đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế, thường xuyên xuất hiện bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó. Trong chuyên để này, chúng ta làm quen với việc giải những bài toán như vậy (gọi là bài toán tối ưu) bằng cách vận dụng những kiến thức đã học về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và về đạo hàm.

Nhằm đạt hiệu quả kinh tế cao nhất, người ta tìm những phương án sản xuất sao cho tối thiểu hoá chỉ phí và tối đa hoá lợi nhuận. ~ Vận dụng kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán. quy hoạch tuyến tính. ~ Vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu xuất hiện trong.

'thực tiễn, bao gồm những bài toán tối ưu trong kinh tế.BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH “Từ khoá: Bài toán quy hoạch tuyến tính; Hàm mục tiêu; Ràng buộc, Tập phương án. ®) Một thương nhân sử dụng 120 triệu đồng tiền vốn để mua tối đa § tấn trái cây. Thương nhân đó thu mua hai loại trái cây là A với giá 12 triệu đồng/tấn vàB với giá 20 triệu đồng/tắn. Lợi nhuận thương nhân.

đó thu được sau khi bán mỗi tấn hàng đối với loại A là 1,1 triệu đồng, đối với loại B là 1,5 triệu đồng. Thương nhân đó nên mua khối lượng bao nhiêu mỗi loại để thu được lợi nhuận cao nhất khi bán hết hàng đã thu mua? 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính a Xétbai todn: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức + + 2y với (x; y) là nghiệm. của hệ bất phương trình 8 x-2y+4>0 x+y-5<0 x>0 Oo y>0 d:x+2y-E=0 Hình1 Miền nghiệm © của hệ (1) la miền tứ giác 448C (được tô màu) trên Hình 1.

Voi giatri F cho trước, xét đường thẳng đ: x + 2y — Trả lời các câu hỏi sau để giải bai toán trên. a) Với giá trị nào của Ƒ thì đường thẳng đ đi qua điểm O, điểm 8? b) Khi giá trị của Ƒ tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của ở với trục Óy thay đôi như thế nào? Khi đó, phương của đường thăng ở có thay đổi không? ©) Với điều kiện nào của # thì đường thẳng đ và miền nghiệm © có điểm chung? d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêu thức # = x + 2y trên miền nghiệm ©. Biểu thức Ƒ đạt được các giá trị đó tại điểm nào? Bài toán tìm giá trị lớn nhát, giá trị nhỏ nhất của biêu thức # = x + 2y trén mién nghiém Q của hé bat phương trình bậc nhất (1) gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính. Biểu thức F gọi là hàm mục tiêu, hệ (1) gọi là rằng buộc, miền nghiệm © của hệ (1) gọi là tập phương án của bài toán.

Tổng quát, ta có định nghĩa sau: *®_ˆ Bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến) là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. của biểu thức dạng #'= Fx, y) = ax + by (4 và b là các số thực không đồng thời bằng 0) trên miền nghiệm © của một hệ bắt phương trình bậc nhất hai ân (x và y) Biểu thức Ƒ{x, y) gọi là hàm mục tiêu, hệ bắt phương trình bậc nhất gọi là ràng buộc, miền nghiệm © gọi là sập pliương án của bài toán quy hoạch tuyến tính đó. Trong ,Ê, ta thấy tập phương án © là miền đa giác (tứ giác O4ZC) và hàm mục tiêu F =x + 2y dat giá trị lớn nhát, giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của ©. Tổng quát, người ta chứng minh được rằng khi tập phương án © của bài toán quy hoạch tuyến tính là miền đa giác thì hàm mục tiêu luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của © 'Từ đó, đề giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong trường hợp tập phương án là miền đa giác, ta thực hiện các bước như sau: # Bước I: Biêu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phăng toạ d6 Oxy.

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của ©. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của #ˆ trên Q. Chú ý: a) Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, ta viết F = ax + by~> max (hoặc min) để thê hiện tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của Ƒ. Nếu tìm cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Ƒ thì ta viết = ax + by ~> max, min b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Ƒ trên © được kí hiệu lần lượt là max F va min F.

Với hai số thy xo, yo cho true, ta viét F(x; yu) để chỉ giá trị của hàm mục tiêu #'= ax + by khi x =x,y =y Ví dụ 1. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: ƑƑ=2x~ 5y > max, min với ràng buộc 2x+y-4>0 2x-y>0 2x+3y-12<0 yo. Giải Tập phương án © là miễn tứ giác 48CD. trên Hình 2 Toạ độ giao điểm 4 của hai đường thing 2x—y = 0 và 2x + y~ 4 = 0 là nghiệm của hệ phương trình 2x-y=0 xel ° = ACI;2) 2x+y~4=0"”Ìy=2 Tương tự, ta tìm được al: 3).

Tir d6, max Ñ F = F(6; 0)=12; min2 =F (3:2 3)>- 2 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính: F=2x+y— max, min với ràng buộc. x+y-4>0 3x-y20 ụ x>0 a yl Tập phương án © của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm 4(1; 3) và 8G; 1) gọi là các đình của ©. Với giá trị F cho trước, xét đường thẳng d:2x+y=F hay d:y=—2x+ F.

Trả lời các câu hỏi sau dé giải bài toán trên a) Tìm giá trị của # đề đường thẳng đ đi qua điểm 4(1; 3). Gọi giá trị tìm được là Z, b) Khi giá trị của Ƒ tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của ở với trục Óy thay đôi như thế nào? Khi đó, phương của đường thăng ở có thay đổi không? ©) Nếu Ƒ < F, thì đ và © có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiéu F= 2x + y trên Q đ) Với giá tri nao cia F thi d va Q có điểm chung? Hàm mục tiêu # = 2v + y đạt giá trị lớn nhất trên © hay không? Trong ,Ê, tập phương án © không phải là miền đa giác; hàm mục tiêu Ƒ chỉ đạt giá trị nhỏ nhất (ại điểm A) ma khong dat giá trị lớn nhất trên €2 Trong trường hợp tổng quát, nếu tập phương án © không phải là miễn đa giác thì hàm mục tiêu / = ay + ðy của bài toán quy hoạch tuyến tính có thể không đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên ©. Tuy nhiên, người ta chứng mình được rằng néu F dat giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất trên © thì 7 đạt giá trị đó tại đỉnh của ©. Chú ý: Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính xuất phát từ tình huống thực tế có phương án © (không là miền đa giác) nằm trong góc phần tư thứ nhất (của mặt pl toạ độ Øxy) và hàm mục tiêu F = ax + by có các hệ số ø, không âm.

Khi đó, người ta chứng minh được rằng # luôn đạt giá trị nhỏ nhất trên © tại đỉnh nào đó của ©. Từ đó, đối với bài toán quy hoạch tuyến tính F=ax+by> min với tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số ø và b không âm, ta có thể giải bằng cách thực hiện các bước như sau: *® _ Bước 1: Biểu diễn tập phương án © của bài toán trên mặt phẳng toạ độ Øxy. Bước 2: Tinh giá trị của biểu thức Ƒ tại các đình của ©. Gia tri nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của F trên ©.

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: F=3x+5y— min với ràng buộc.