Luận văn thạc sĩ về bài toán tổ hợp xác suất và nguyên lý Dirichlet của Nguyễn Thị Huế

Khám phá luận văn thạc sĩ về các bài toán tổ hợp xác suất và nguyên lý Dirichlet, cung cấp kiến thức sâu sắc và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Nguyễn Thị Huế
• Người hướng dẫn: PGS. Vũ Đỗ Long
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Các Bài Toán Tổ Hợp – Xác Suất Và Nguyên Lý Dirichlet
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP
• 1.1. Nhắc lại về tập hợp
• 1.2. Các phép đếm cơ bản
• 1.3. Hoán vị
• 1.4. Chỉnh hợp
• 1.5. Tổ hợp
• 1.6. Khái niệm về xác suất
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
• 2.1. Các bài toán về tổ hợp
• 2.2. Các bài toán về xác suất và phân bố xác suất
• 2.3. Các bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet trong tổ hợp
• 3. CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TOÁN KHÁC VỀ TỔ HỢP
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về bài toán tổ hợp xác suất và nguyên lý Dirichlet

Bài toán tổ hợp xác suất và nguyên lý Dirichlet là hai lĩnh vực quan trọng trong toán học, đặc biệt trong nghiên cứu xác suất và thống kê. Chúng không chỉ có ứng dụng trong lý thuyết mà còn trong thực tiễn, từ các bài toán đơn giản đến các vấn đề phức tạp hơn. Việc hiểu rõ về các khái niệm này giúp nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1.1. Khái niệm cơ bản về tổ hợp và xác suất

Tổ hợp là một phần của toán học nghiên cứu về cách chọn và sắp xếp các phần tử từ một tập hợp. Xác suất là một nhánh của toán học nghiên cứu về khả năng xảy ra của các biến cố. Hai khái niệm này thường được kết hợp để giải quyết các bài toán thực tiễn.

1.2. Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng của nó

Nguyên lý Dirichlet, hay còn gọi là nguyên lý phân bố, là một công cụ mạnh mẽ trong tổ hợp xác suất. Nó cho phép xác định số lượng phần tử trong các tập hợp và có ứng dụng rộng rãi trong các bài toán đếm và xác suất.

II. Vấn đề và thách thức trong bài toán tổ hợp xác suất

Mặc dù tổ hợp xác suất là một lĩnh vực thú vị, nhưng nó cũng đặt ra nhiều thách thức cho người học. Các bài toán có thể trở nên phức tạp khi số lượng phần tử tăng lên hoặc khi các điều kiện ràng buộc được đưa ra. Việc áp dụng nguyên lý Dirichlet cũng không phải lúc nào cũng đơn giản.

2.1. Những khó khăn trong việc áp dụng nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý Dirichlet có thể gây khó khăn cho người học khi không hiểu rõ cách thức áp dụng. Việc xác định các tập hợp và điều kiện cần thiết là rất quan trọng để đạt được kết quả chính xác.

2.2. Các dạng bài toán thường gặp và cách giải quyết

Có nhiều dạng bài toán tổ hợp xác suất khác nhau, từ bài toán đếm đơn giản đến các bài toán phức tạp hơn. Việc nắm vững các phương pháp giải quyết sẽ giúp người học tự tin hơn trong việc xử lý các bài toán này.

III. Phương pháp giải bài toán tổ hợp xác suất hiệu quả

Để giải quyết các bài toán tổ hợp xác suất, có nhiều phương pháp khác nhau có thể được áp dụng. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp sẽ giúp tiết kiệm thời gian và nâng cao hiệu quả giải quyết vấn đề.

3.1. Phương pháp đếm cơ bản trong tổ hợp

Các phương pháp đếm cơ bản như quy tắc cộng và quy tắc nhân là nền tảng trong tổ hợp xác suất. Chúng giúp xác định số lượng cách thực hiện một công việc nhất định.

3.2. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải bài toán

Nguyên lý Dirichlet có thể được áp dụng để giải quyết nhiều bài toán tổ hợp phức tạp. Việc hiểu rõ cách thức áp dụng nguyên lý này sẽ giúp người học giải quyết các bài toán một cách hiệu quả hơn.

IV. Ứng dụng thực tiễn của bài toán tổ hợp xác suất

Bài toán tổ hợp xác suất có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu, và nghiên cứu thị trường. Việc áp dụng các phương pháp tổ hợp xác suất giúp đưa ra các quyết định chính xác hơn.

4.1. Ứng dụng trong thống kê và phân tích dữ liệu

Trong thống kê, tổ hợp xác suất được sử dụng để phân tích và dự đoán các xu hướng. Việc áp dụng các phương pháp này giúp nâng cao độ chính xác trong các nghiên cứu.

4.2. Ứng dụng trong nghiên cứu thị trường

Trong nghiên cứu thị trường, tổ hợp xác suất giúp xác định các yếu tố ảnh hưởng đến hành vi của người tiêu dùng. Điều này rất quan trọng trong việc xây dựng chiến lược kinh doanh.

V. Kết luận và tương lai của bài toán tổ hợp xác suất

Bài toán tổ hợp xác suất và nguyên lý Dirichlet là những lĩnh vực quan trọng trong toán học. Việc nghiên cứu và áp dụng chúng không chỉ giúp nâng cao kiến thức mà còn mở ra nhiều cơ hội trong các lĩnh vực khác nhau. Tương lai của nghiên cứu trong lĩnh vực này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều phát hiện mới.

5.1. Tương lai của nghiên cứu trong tổ hợp xác suất

Nghiên cứu trong tổ hợp xác suất sẽ tiếp tục phát triển, đặc biệt là trong bối cảnh công nghệ thông tin và khoa học dữ liệu ngày càng phát triển. Các ứng dụng mới sẽ được khám phá và phát triển.

5.2. Khuyến nghị cho người học và nghiên cứu sinh

Người học và nghiên cứu sinh nên tiếp tục tìm hiểu và áp dụng các phương pháp tổ hợp xác suất trong nghiên cứu của mình. Việc tham gia các khóa học và hội thảo sẽ giúp nâng cao kiến thức và kỹ năng.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Toán học tổ hợp và xác suất là lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng và giáo dục phổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và các cuộc thi quốc tế. Theo báo cáo của ngành giáo dục, các bài toán tổ hợp – xác suất chiếm tỷ lệ đáng kể trong đề thi, tuy nhiên nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc giải quyết các bài toán này. Luận văn tập trung nghiên cứu các bài toán tổ hợp – xác suất phổ biến trong toán học phổ thông, bao gồm các phương pháp đếm, ứng dụng nguyên lý Dirichlet, và các phép tính xác suất cơ bản. Mục tiêu nghiên cứu nhằm hệ thống hóa kiến thức lý thuyết, đồng thời cung cấp các phương pháp giải bài toán tổ hợp – xác suất một cách hiệu quả, giúp giáo viên và học sinh THPT nâng cao năng lực giải toán. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán tổ hợp và xác suất trong chương trình phổ thông Việt Nam, với các ví dụ minh họa thực tế và số liệu thống kê cụ thể. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc hỗ trợ cải thiện kết quả học tập và thi cử, đồng thời làm tài liệu tham khảo có giá trị cho công tác giảng dạy và học tập.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình cơ bản của toán học tổ hợp và xác suất, bao gồm:

• Lý thuyết tập hợp và các phép đếm cơ bản: Khái niệm tập con, tập hợp sắp thứ tự, quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các dạng lặp lại.
• Nguyên lý Dirichlet: Ứng dụng trong các bài toán tổ hợp để chứng minh sự tồn tại và tính toán số lượng các trường hợp thỏa mãn điều kiện.
• Lý thuyết xác suất cổ điển và thống kê: Định nghĩa xác suất, biến cố, biến cố xung khắc, biến cố độc lập, xác suất có điều kiện, công thức Bayes và công thức xác suất đầy đủ.
• Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân bố xác suất: Khái niệm biến ngẫu nhiên, bảng phân bố xác suất, kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.

Các khái niệm chính được sử dụng gồm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, biến cố, xác suất, biến cố độc lập, xác suất có điều kiện, nguyên lý Dirichlet, kỳ vọng và phương sai.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp tổng hợp lý thuyết và phân tích các bài toán minh họa cụ thể. Nguồn dữ liệu chính là các bài toán tổ hợp – xác suất trong chương trình phổ thông và các đề thi tuyển sinh đại học, được phân tích chi tiết. Phương pháp phân tích bao gồm:

• Phân tích lý thuyết: Hệ thống hóa các công thức, định nghĩa và quy tắc trong tổ hợp và xác suất.
• Phân tích bài toán thực tế: Áp dụng các phương pháp đếm, nguyên lý Dirichlet và công thức xác suất để giải các bài toán cụ thể.
• Phân tích thống kê: Tính toán xác suất dựa trên số liệu và tần suất xuất hiện trong các ví dụ minh họa.

Quá trình nghiên cứu được thực hiện trong khoảng thời gian từ năm 2015 đến 2016 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, với sự hướng dẫn của PGS.TS Vũ Đỗ Long. Cỡ mẫu nghiên cứu bao gồm hàng chục bài toán tiêu biểu, được chọn lọc từ các đề thi và tài liệu giảng dạy phổ thông. Phương pháp chọn mẫu là chọn lọc các bài toán đại diện cho các dạng toán tổ hợp và xác suất phổ biến, nhằm đảm bảo tính ứng dụng và khả năng truyền đạt hiệu quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả của các phương pháp đếm cơ bản: Qua phân tích hơn 20 bài toán tổ hợp, quy tắc cộng và quy tắc nhân được áp dụng thành công trong việc tính số lượng các trường hợp, với độ chính xác trên 95%. Ví dụ, số cách tạo số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ tập 7 chữ số là 5040, được tính chính xác bằng hoán vị 7!.

2. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong tổ hợp: Nguyên lý Dirichlet giúp giải quyết các bài toán về phân phối phần tử vào các nhóm, như bài toán phân phát 20 cái kẹo cho 4 con với 1771 cách khác nhau, hoặc phân công 15 sinh viên vào 3 xã miền núi với 151200 cách phân công.

3. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: Các bài toán xác suất được giải quyết hiệu quả bằng cách xác định không gian mẫu và tập biến cố thuận lợi. Ví dụ, xác suất lấy được 3 viên bi màu xanh trong 3 viên lấy ra từ 12 viên có 7 đỏ và 5 xanh là khoảng 0,046, tính dựa trên tổ hợp.

4. Phân bố xác suất và biến ngẫu nhiên rời rạc: Việc xây dựng bảng phân bố xác suất và tính kỳ vọng, phương sai giúp mô tả đặc điểm biến ngẫu nhiên, hỗ trợ phân tích sâu hơn các bài toán xác suất.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy các phương pháp tổ hợp và xác suất truyền thống vẫn giữ vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phổ thông. Việc áp dụng linh hoạt các quy tắc đếm, nguyên lý Dirichlet và công thức xác suất giúp giảm thiểu sai sót và tăng hiệu quả giải bài. So sánh với một số nghiên cứu gần đây, luận văn đã bổ sung các ví dụ minh họa chi tiết và phương pháp giải đa dạng hơn, phù hợp với thực tế giảng dạy và học tập. Các số liệu cụ thể như số cách sắp xếp 8 viên bi khác nhau vào 5 hộp (1.411.200 cách) hay số cách chọn đề thi có đủ các loại câu hỏi (56.875 đề) minh chứng cho tính ứng dụng thực tiễn của lý thuyết. Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng tổng hợp số liệu và biểu đồ phân phối xác suất để trực quan hóa kết quả, giúp người học dễ dàng tiếp cận và hiểu sâu hơn.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường giảng dạy phương pháp đếm và nguyên lý Dirichlet: Đề xuất các trường THPT và giáo viên tập trung giảng dạy kỹ năng đếm và ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổ hợp, nhằm nâng cao khả năng tư duy tổ hợp cho học sinh trong vòng 1-2 năm học.

2. Phát triển tài liệu tham khảo có ví dụ minh họa đa dạng: Xây dựng bộ tài liệu bài tập tổ hợp – xác suất với các ví dụ thực tế, số liệu cụ thể và lời giải chi tiết, giúp học sinh và giáo viên dễ dàng áp dụng, thực hiện trong 6 tháng tới bởi các nhà xuất bản giáo dục.

3. Ứng dụng công nghệ hỗ trợ học tập: Khuyến khích sử dụng phần mềm toán học và các ứng dụng trực tuyến để mô phỏng các bài toán tổ hợp và xác suất, giúp học sinh hình dung trực quan và tăng cường thực hành, triển khai trong 1 năm với sự phối hợp của các trung tâm công nghệ giáo dục.

4. Tổ chức các khóa đào tạo nâng cao cho giáo viên: Tổ chức các khóa bồi dưỡng chuyên sâu về toán tổ hợp – xác suất cho giáo viên THPT nhằm cập nhật kiến thức và phương pháp giảng dạy mới, nâng cao chất lượng giảng dạy trong vòng 1 năm, do các trường đại học và sở giáo dục chủ trì.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán THPT: Nâng cao kiến thức chuyên môn và phương pháp giảng dạy các bài toán tổ hợp – xác suất, giúp cải thiện hiệu quả giảng dạy và hỗ trợ học sinh trong các kỳ thi.

2. Học sinh THPT: Tài liệu tham khảo hữu ích để luyện tập và nâng cao kỹ năng giải các bài toán tổ hợp – xác suất, đặc biệt trong chuẩn bị thi đại học và các kỳ thi học sinh giỏi.

3. Sinh viên ngành Toán ứng dụng và Sư phạm Toán: Cung cấp nền tảng lý thuyết và bài tập thực hành về tổ hợp và xác suất, hỗ trợ học tập và nghiên cứu chuyên sâu.

4. Nhà nghiên cứu giáo dục và phát triển chương trình học: Tham khảo để xây dựng và điều chỉnh chương trình giảng dạy phù hợp với thực tế và nhu cầu học tập của học sinh, đồng thời phát triển tài liệu giảng dạy hiệu quả.

Câu hỏi thường gặp

1. Toán tổ hợp – xác suất có vai trò gì trong giáo dục phổ thông?
   Toán tổ hợp – xác suất giúp phát triển tư duy logic, kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề cho học sinh, đồng thời là phần quan trọng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và các cuộc thi học sinh giỏi.

2. Nguyên lý Dirichlet được ứng dụng như thế nào trong các bài toán tổ hợp?
   Nguyên lý Dirichlet giúp chứng minh sự tồn tại của các trường hợp nhất định và tính toán số lượng các trường hợp thỏa mãn điều kiện, đặc biệt trong các bài toán phân phối phần tử vào nhóm.

3. Làm thế nào để tính xác suất của một biến cố trong bài toán tổ hợp?
   Xác suất được tính bằng tỷ lệ giữa số phần tử thuận lợi (biến cố) và tổng số phần tử trong không gian mẫu, thường sử dụng các công thức tổ hợp để xác định số lượng các trường hợp.

4. Phương pháp đếm loại trừ là gì và khi nào nên sử dụng?
   Phương pháp đếm loại trừ tính số trường hợp không thỏa mãn rồi lấy tổng số trường hợp trừ đi, thường dùng khi việc đếm trực tiếp quá phức tạp hoặc có nhiều trường hợp loại trừ.

5. Làm sao để áp dụng các kiến thức tổ hợp – xác suất vào thực tế?
   Các kiến thức này được ứng dụng trong thống kê, phân tích dữ liệu, lập kế hoạch, quản lý rủi ro và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, giúp đưa ra quyết định dựa trên cơ sở xác suất và tổ hợp.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và nâng cao về toán học tổ hợp – xác suất, phù hợp với chương trình phổ thông và nhu cầu giảng dạy.
• Các phương pháp đếm, nguyên lý Dirichlet và công thức xác suất được minh họa qua nhiều bài toán thực tế với số liệu cụ thể, giúp nâng cao hiệu quả học tập và giảng dạy.
• Nghiên cứu góp phần làm rõ vai trò của toán tổ hợp – xác suất trong giáo dục và đề xuất các giải pháp cải thiện chất lượng giảng dạy.
• Các đề xuất về đào tạo giáo viên, phát triển tài liệu và ứng dụng công nghệ được kỳ vọng sẽ nâng cao năng lực giải toán tổ hợp – xác suất trong thời gian tới.
• Khuyến khích các nhà giáo dục, học sinh và nhà nghiên cứu tiếp tục khai thác và phát triển các nội dung liên quan để đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.

Hành động tiếp theo là triển khai các giải pháp đề xuất, đồng thời mở rộng nghiên cứu về các bài toán tổ hợp – xác suất phức tạp hơn nhằm nâng cao hơn nữa chất lượng giáo dục toán học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP 1.1 Nhắc lại về tập hợp Tập hợp con Định nghĩa: Cho tập hợp A. Tập hợp B gọi là tập con của tập A khi mọi phần tử của tập B đều thuộc A. B ⊂ A ⟺ ( ∀ x ∈ B ⟹ x ∈ A) Tính chất: - Mọi tập hợp A đều có 2 tập con là tập rỗng và A. - Tập A có n phần tử thì số tập con của A là 2𝑛.

Tập hợp sắp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m, sao cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau. Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai bộ sắp thứ tự ( a1 , a2 , … , am ) và (b1 , b2 , … , bm ) bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau. Số phần tử của một số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A được kí hiệu là: |A| hoặc n(A). A, B, C là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Tổng quát: Cho A1 , A2 , … , An là n tập hợp hữu hạn (𝑛 > 1) Khi đó: n n |A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = ∑|Ai | − ∑ |Ai ∩ Ak | + i=1 1≤i<k≤n n ∑ |Ai ∩ Ak ∩ Al | + ⋯ + (−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An |.2 Các phép đếm cơ bản 1.1 Quy tắc cộng Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi m + n cách.

Quy tắc cộng cho công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1 , A2 , … , Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1 , có n2 cách thực hiện phương án A2 , … và nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + ⋯ + nk cách. Chú ý Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là: |A ∪ B| = |A| + |B|.

4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2 Quy tắc nhân Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n.

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 , A2 , … , Ak. Công đoạn A1 có thể được thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, …, công đoạn Ak có thể được thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 .3 Hoán vị a, Hoán vị Định nghĩa: Cho một tập hợp A có n ( n ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).3: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) … 1.

Chứng minh Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của A là một công việc gồm n công đoạn. Công đoạn 1 là chọn số phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ hai, công đoạn 3 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ ba,…,công đoạn n là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ n. Ở công đoạn 1 ta có thể chọn bất kì phần tử nào trong n phần tử của A nên có n cách thực hiện. Sau khi chọn xong phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, ở công đoạn 2 ta có thể chọn bất kì phần tử nào trong n − 1 phần tử còn lại của A để xếp vào vị trí thứ hai nên có n − 1 cách thực hiện.

Tiếp tục như vậy ở bước thứ 3 ta có n − 2 cách thực hiện, …, và ở bước thứ n (bước cuối cùng) ta chỉ còn 5 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] 1 cách thực hiện. Theo quy tắc nhân, ta có: n(n − 1)(n − 2) … 1 = n! cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có n! hoán vị. b, Hoán vị có lặp Có n vật ( n ≥ 1) được sắp vào n vị trí trong đó: Có n1 vật loại 1. … Có nk vật loại 3.

Mỗi cách sắp thứ tự n vật như trên vào n vị trí gọi là hoán vị có lặp của n phần tử đó. n! Công thức xác định: Số hoán vị có lặp của n vật là n1 !.n2 !…nk ! Chứng minh Do có n1 vật giống nhau nên số phương án sắp n1 vật vào n1 vị trí chỉ là một phương án cần tìm. Tương tự… Pn n! Từ đó suy ra có = số hoán vị.n2 !…nk ! c, Hoán vị vòng tròn Khái niệm: Có n vật được sắp vào n vị trí theo một đường tròn. Công thức xác định: Số hoán vị vòng tròn là Pn = (n − 1) … 3.1 = (n − 1)! 6 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Chứng minh Cố định một điểm trên đường tròn, sắp n − 1 vật vào n − 1 vị trí còn lại.

Như vậy chúng ta có (n − 1)! số hoán vị vòng tròn.4 Chỉnh hợp a, Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho một tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với (1 ≤ k ≤ n). Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).1: Số các chỉnh hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp có n phần tử là: Akn = n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1) (1.1) Chứng minh Việc lập một chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử được coi như một công việc gồm k công đoạn. Công đoạn 1 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai, …, công đoạn k là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ k. Vì tập hợp có n phần tử nên công đoạn 1 có n cách thực hiện.

Sang công đoạn 2 chỉ còn n − 1 phần tử chưa chọn cho nên có n − 1 cách thực hiện. tương tự công đoạn 3 có n − 2 cách thực hiện, … và ở công đoạn cuối (công đoạn thứ k) ta có n − k + 1 cách thực hiện. Theo quy tắc nhân, ta có n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1) cách lập ra một chỉnh hợp chập k. Đó cũng chính là số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử.

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của một tập hợp n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên Ann = Pn = n!. 7 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Chú ý Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức 1.1 dưới dạng n! Akn = (n − k)! Ta quy ước 0! = 1 và A0n = 1. Khi đó công thức trên đúng cho cả k = 0 và k = n. Vậy công thức trên đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n.

b, Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử có thể lặp lại của một tập n phần tử được gọi là một chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử. Nếu A là tập gồm n phần tử đó thì mỗi chỉnh hợp như thế là một phần tử của tập Ar. Ngoài ra, mỗi chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử là một hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử. Vì vậy số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử là nr .2: Số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng nr.

Chứng minh Rõ ràng có n cách chọn một phần tử từ tập n phần tử cho mỗi một trong r vị trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp. Vì vậy theo quy tắc nhân, có nr chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử. Chú ý Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là np. Như vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng.

8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.5 Tổ hợp a, Tổ hợp Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử phân biệt và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con gồm k phần tử phân biệt không sắp thứ tự lấy trong số n phần tử đã cho được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). Kí hiệu Cnk (hoặc (nk)) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.1: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là: Ak n(n−1)(n−2)…(n−k+1) Cnk = n = (1.1) k! k! Chứng minh Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A. Nói cách khác, mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A.

Vậy từ một tổ hợp chập k của A ta lập được k! chỉnh hợp chập k của A. Vậy ta có: Ak n(n−1)(n−2)…(n−k+1) Akn = Cnk. k! và Cnk = n = k! k! Chú ý Với 1 ≤ k ≤ n, ta có thể viết công thức (1.1) dưới dạng n! Ckn = k! (n − k)!