Vận Dụng Hàm Số và Bảng Biến Thiên Để Giải Các Bài Toán Thực Tế

Chuyên khảo toán học phân tích Skkn vận dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng

• Trường học: Trường Trung Học Phổ Thông
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Vận Dụng Hàm Số và Bảng Biến Thiên Trong Giải Toán Thực Tế
• Loại tài liệu: sáng kiến kinh nghiệm
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Việt Nam

Tóm tắt

I. Hàm số bậc nhất và Bảng biến thiên trong giải toán thực tế

Phần này tập trung vào ứng dụng của hàm số bậc nhất (Salient LSI keyword) trong giải quyết các bài toán thực tế. Bảng biến thiên hàm số (Salient LSI keyword) là công cụ then chốt. Giải tích (Semantic LSI keyword) ở cấp độ cơ bản được sử dụng. Bài viết phân tích cách xây dựng bảng biến thiên (Salient Entity) cho hàm số bậc nhất từ đó rút ra các kết luận về tính đơn điệu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Các ví dụ minh họa tập trung vào các bài toán liên quan đến tính đơn điệu (Close Entity) của hàm số bậc nhất trên các khoảng xác định khác nhau. Giải toán thực tế lớp 10 (Semantic LSI keyword) sẽ được đề cập, nhấn mạnh vào việc chuyển đổi bài toán thực tế sang dạng toán học liên quan đến hàm số bậc nhất. Toán 10 (Semantic LSI keyword) cung cấp nền tảng kiến thức cần thiết. Phương pháp này giúp học sinh giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng, chính xác và tự tin hơn so với phương pháp truyền thống.

1.1 Xác định hàm số từ bảng biến thiên

Khả năng xác định chính xác hàm số (Salient Entity) từ bảng biến thiên (Salient Entity) là kỹ năng quan trọng. Bài viết trình bày chi tiết các bước để xác định hệ số a và b của hàm số bậc nhất: y = ax + b. Các ví dụ minh họa sẽ cho thấy cách xác định hàm số từ thông tin về tính đơn điệu (tăng hay giảm) và một điểm thuộc đồ thị. Bảng biến thiên đóng vai trò then chốt trong việc trực quan hóa dữ liệu và rút ra kết luận. Việc nắm vững phương pháp này giúp học sinh giải quyết các bài toán ngược, từ dữ liệu thực tế xây dựng mô hình toán học dưới dạng hàm số bậc nhất. Ôn thi đại học môn toán (Semantic LSI keyword) sẽ được hỗ trợ bởi việc hiểu rõ mối liên hệ giữa hàm số và bảng biến thiên.

1.2 Ứng dụng trong bài toán thực tế

Phần này tập trung vào việc vận dụng hàm số bậc nhất để giải quyết các bài toán thực tế. Các ví dụ cụ thể bao gồm các tình huống liên quan đến: tốc độ, quãng đường, thời gian, giá cả, lợi nhuận… Ứng dụng hàm số trong thực tế (Salient LSI keyword) được minh họa rõ ràng. Bảng biến thiên giúp học sinh dễ dàng xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, hoặc các giá trị cần tìm trong bài toán. Giải bài toán bằng phương pháp hàm số (Salient LSI keyword) được nhấn mạnh. Bài toán ứng dụng hàm số (Semantic Entity) sẽ trở nên đơn giản hơn nhờ vào việc sử dụng bảng biến thiên. Vẽ đồ thị hàm số (Close Entity) cũng là một kỹ năng hỗ trợ quan trọng. Toán 11 (Semantic LSI keyword) cung cấp thêm kiến thức về hàm số để ứng dụng vào các bài toán phức tạp hơn.

II. Hàm số bậc hai và Bảng biến thiên

Phần này mở rộng việc ứng dụng bảng biến thiên (Salient Entity) cho hàm số bậc hai (Salient LSI keyword). Hàm số mũ và hàm số logarit (Semantic LSI keyword) sẽ được đề cập đến ở các bài toán nâng cao hơn. Bài viết tập trung vào việc khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc hai, xác định đỉnh parabol, trục đối xứng, khoảng đồng biến, nghịch biến. Điểm cực đại, cực tiểu (Semantic LSI keyword) của hàm số bậc hai được xác định thông qua bảng biến thiên. Phương pháp lập bảng biến thiên (Salient LSI keyword) được trình bày rõ ràng, bao gồm cả trường hợp hệ số a dương và âm. Việc sử dụng bảng biến thiên giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai trên một khoảng xác định. Giải toán thực tế lớp 11 (Semantic LSI keyword) sẽ được minh họa.

2.1 Khảo sát hàm số và bảng biến thiên

Phần này tập trung vào việc khảo sát hàm số (Salient Keyword) bằng cách sử dụng bảng biến thiên. Các bước khảo sát hàm số bao gồm: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm điểm cực trị, lập bảng biến thiên, và cuối cùng là vẽ đồ thị. Bảng biến thiên (Salient Entity) cung cấp thông tin tổng quan về sự biến thiên của hàm số. Tìm cực trị hàm số (Close Entity) là một phần quan trọng trong việc khảo sát. Phần tích hàm số (Semantic LSI keyword) được thực hiện một cách hệ thống và chi tiết. Việc sử dụng bảng biến thiên giúp việc khảo sát hàm số trở nên dễ dàng hơn, đặc biệt là đối với các hàm số phức tạp. Toán 12 (Semantic LSI keyword) sẽ được tích hợp vào phần này.

2.2 Ứng dụng trong giải phương trình và bất phương trình

Phần này trình bày cách sử dụng bảng biến thiên để giải phương trình và bất phương trình liên quan đến hàm số bậc hai. Bảng biến thiên giúp xác định số nghiệm và khoảng nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình. Các ví dụ minh họa sẽ hướng dẫn cách sử dụng bảng biến thiên để tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0 hoặc bất phương trình f(x) > 0, f(x) < 0. Giải phương trình (Close Entity) và giải bất phương trình (Close Entity) sẽ trở nên trực quan và dễ hiểu hơn nhờ vào việc sử dụng bảng biến thiên. Bài toán cực trị (Semantic Entity) thường được giải quyết dễ dàng bằng cách này. Mở rộng hàm số (Close Entity) sang các loại khác sẽ được đề cập đến.

III. Hàm số lượng giác Hàm số mũ Hàm số logarit và ứng dụng

Phần này mở rộng phạm vi ứng dụng của bảng biến thiên cho các loại hàm số phức tạp hơn như hàm số lượng giác, hàm số mũ, và hàm số logarit (Salient LSI keyword). Bảng biến thiên vẫn là công cụ chính để khảo sát sự biến thiên và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số này. Tuy nhiên, việc lập bảng biến thiên cho các loại hàm số này phức tạp hơn, đòi hỏi kiến thức sâu rộng về giải tích (Semantic LSI keyword) và kỹ năng tính toán cao. Ứng dụng hàm số trong vật lý (Semantic LSI keyword) và ứng dụng hàm số trong kỹ thuật (Semantic LSI keyword) sẽ được đề cập đến, minh họa bằng các ví dụ thực tiễn. Mô hình toán học (Close Entity) phức tạp hơn sẽ được xây dựng. Toán học cao cấp (Semantic LSI keyword) sẽ được đề cập đến.

3.1 Hàm số lượng giác và bảng biến thiên

Phần này tập trung vào việc khảo sát và lập bảng biến thiên cho các hàm số lượng giác cơ bản như sinx, cosx, tanx, cotx. Bảng biến thiên giúp xác định chu kỳ, biên độ, các giá trị đặc biệt của hàm số. Phép biến đổi lượng giác (Close Entity) sẽ được vận dụng để đơn giản hóa các biểu thức trước khi lập bảng biến thiên. Giải phương trình lượng giác (Close Entity) và giải bất phương trình lượng giác (Close Entity) sẽ được minh họa bằng các ví dụ cụ thể. Ứng dụng hàm số trong kinh tế (Semantic LSI keyword) liên quan đến hàm số lượng giác cũng sẽ được đề cập đến.

3.2 Hàm số mũ và hàm số logarit

Phần này trình bày cách lập bảng biến thiên cho hàm số mũ và hàm số logarit. Tính chất của hàm số mũ (Close Entity) và tính chất của hàm số logarit (Close Entity) là nền tảng để hiểu sự biến thiên của chúng. Bảng biến thiên giúp xác định các đặc điểm quan trọng của hàm số mũ và hàm số logarit, chẳng hạn như tiệm cận, tính đơn điệu. Giải phương trình mũ (Close Entity) và giải phương trình logarit (Close Entity) sẽ được minh họa bằng các ví dụ. Mô hình toán học thực tế (Semantic Entity) liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit sẽ được nghiên cứu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀ BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lĩnh vực áp dụng: Vận dụng chương trình toán trung học phổ thông, kiến thức vật lý bổ trợ liên quan. Vấn đề sáng kiến giải quyết: Chương trình môn toán trong trường trung học phổ thông, kiến thức về hàm số là một nội dung mà học sinh đã được tiếp cận từ cấp THCS và học liên tục, xuyên suốt 3 năm THPT.

Tuy nhiên để giải được nhiều dạng toán ở bậc THPT, bài toán tích hợp kiến thức liên môn, giải quyết các bài toán trong thực tế; khi chưa học tới đạo hàm và ứng dụng đạo hàm, bảng biến thiên của hàm số; đa số học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải toán hoặc không giải được. Nguyên nhân là sử dụng lượng kiến thức ở lớp 10 và lớp 11 để giải thì bài toán trở nên dài, khó và phức tạp hơn, hoặc chỉ giải được một số bài toán đơn giản liên quan đến hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai đến khi đọc kết quả các em không đủ tự tin. Sau một thời gian công tác trong nhà trường THPT. Tôi nhận thấy học sinh cũng có thể vận dụng được kết quả từ bảng biến thiên của hàm số, để giải các bài toán ở nhiều mức độ khác nhau.

Nếu là kiến thức lớp 10 và một phần kiến thức lớp 11 học sinh có thể dùng bảng biến thiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai; đến khi học sinh được trang bị đến nội dung ứng dụng của đạo hàm ở lớp 12 thì khả năng vận dụng bảng biến thiên để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn, khi đó các bài toán trở nên quen thuộc, trực quan hơn khi đọc kết quả từ bảng biến thiên của một hàm số liên quan đến bài toán đó. Hiện nay với chủ trương đối mới phương pháp dạy và học, đổi mới kiểm tra, đánh giá học sinh, đổi mới trong các kỳ thi Quốc gia. Vì vậy, đòi hỏi học sinh cần có một lượng kiến thức tổng quát, đọc được kết quả bài toán nhanh hơn nhờ các công cụ toán học mà học sinh được trang bị đầy đủ. Phương pháp sử dụng bảng biến thiên của hàm số, dấu của đạo hàm để giải quyết, cũng được sử dụng khá nhiều trong các câu trắc nghiệm của đề thi.

1 skkn Để giải quyết đa số các bài toán nói trên khi học sinh học ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.; với tính năng ưu việt của việc ứng dụng tính đơn điệu của hàm số đề có thể giải quyết được rất nhiều dạng toán như khảo sát nghiệm phương trình và bất phương trình, bài toán hình học, bài toán thực tế, bài toán tích hợp kiến thức liên môn…. Sau một số năm qua tham khảo các đề thi Đại học, cao đẳng, các đề thi Quốc gia do các cấp tổ chức, đặc biệt là học sinh lớp 12, chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT. Tôi nhận thấy, đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về sự vận dụng kiến thức, nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay vận dụng những kiến thức đã có vào từng dạng toán cụ thể; ngoài các bài toán liên quan trực tiếp đến hàm số, có những bài toán mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ hữu hiệu để giải toán, các em thường bị động, lúng túng không biết phải dùng loại kiến thức nào để giải; để học sinh làm được điều đó, trong các giờ dạy của giáo viên, việc bồi dưỡng năng lực tư duy toán học, ứng dụng bảng biến thiên từ lớp 10 và đến khi học sinh được trang bị các kiến thức về đạo hàm, dấu của đạo hàm, kiến thức lớp 12 của hàm số thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó giáo viên cần tạo cho học sinh môi trường học tập thân thiện, tích cực, có phương pháp giảng dạy phù hợp từng đối tượng học sinh; chuẩn bị một lượng bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh; tạo cho học sinh có sự đam mê hứng thú và tự tin trong học môn toán THPT nói riêng và vận dụng kiến thức trong đời sống thực tế nói chung.

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác giải quyết một số dạng bài toán như phương trình, bất phương trình, bài toán hình học, bài toán thực tế… khi đọc kết quả bài toán bằng cách dùng hàm số và bảng biến thiên trở nên trực quan và tự tin hơn. Vì thế, những bài toán nói trên sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản. Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “Ứng dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế”. Mô tả các giải pháp cũ thường làm Khi học sinh học kiến thức toán, vật lý ở lớp 10, lớp 11 để vận dụng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số, đa số học sinh dùng phương pháp đánh giá, bất đẳng thức để giải như bài toán về phương trình, bất phương trình, các bài toán có chứa tham số, bài toán về hàm số lượng giác hoặc một số bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc… bài toán thực tế; khi đó cần một lượng kiến thức liên môn, kiến thức toán phải đủ và vững mới giải tốt.

Nếu vậy, học sinh gặp khó khăn hoặc không giải được hoặc có cách giải phức tạp và các em không đủ tự tin 2 skkn để đọc kết quả; hiện nay đổi mới cách thi môn toán đòi hỏi học sinh cần có các phương pháp giải tốt hơn, nhanh hơn, cho kết quả chính xác nhất. Toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán tìm tham số thỏa điều kiện cho trước, toác về phương trình, bất phương trình; các bài toán thực tế…, bài toán tích hợp kiến thức liên môn có lượng kiến thức rộng và trải đều cả cấp học, nên học sinh khó khăn khi tiếp cận để giải quyết vấn đề của bài toán nêu ra. Một bộ phận học sinh chưa nắm vững các kiến thức ở các lớp dưới, kiến thức về đạo hàm, xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, kiến thức về vật lý… cách tiệp cận các dạng bài toán tích hợp kiến thức liên môn, đối với học sinh còn tương đối lạ. Nhược điểm của phương pháp đánh giá, bất đẳng thức… để giải sẽ làm cho bài toán khó khăn hơn, phức tạp hơn, tốn nhiều thời gian hơn, tính hiệu quả thấp.

Hiện nay các cách giải đó để áp dụng cho bài toán trắc nghiệm với số lượng câu hỏi nhiều sẽ không có đủ thời gian để giải. Học sinh sẽ rất khó khăn để giải các bài toán tích hợp kiến thức liên môn, bài toán thực tế… 4. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Từ năm học 2016 – 2017 đến hết học kỳ 1 năm học 2020 - 2021. Mô tả giải pháp mới hoặc cải tiến 5.1 Giải pháp Hướng dẫn học sinh cách vận dụng đạo hàm, dấu của đạo hàm, bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán ở nhiều mức độ khác nhau; thông qua đó học sinh có sự so sánh, đánh giá hiệu quả của phương pháp và việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán.

Từ đó chúng ta cần giải quyết các vấn đề sau: Một là: Trang bị, củng cố cho học sinh kiến thức rộng, tổng quá và đủ lớn, rèn kỹ năng thực hành, đọc kết quả.tạo cho học sinh môi trường học tập thân thiện, tích cực chủ động; Hai là: Từ việc giải các bài toán đơn giải, hướng đến giải các bài toán ứng dụng, giải bài toán trong thực tế, tích hợp kiến thức liên môn. Khi đó kiến thức về hàm số bảng biến thiên của hàm số là một công cụ giải toán hiệu quả; Ba là: Chủ trương dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; đổi mới kiểm tra, đánh giá và thi mà Bộ Giáo dục và đào tạo đã đề ra; Bốn là: Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình đã hỗ trợ cho các em học sinh của cấp học THPT có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận và giải toán theo phương pháp đề ra; 3 skkn 5.2 Phương pháp Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết hàm số, bảng biến thiên của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, đến kiến thức đạo hàm, xét dấu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số… Thông qua những ví dụ cụ thể có nêu cách giải để học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp, đồng thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải để học sinh hiểu và biết vận dụng. Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp. Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn.

Nên trong quá trình dạy học lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học chủ đề tự chọn, tôi đã lồng ghép các bài tập như phương trình, bất phương trình, các bài toán thực tế, tích hợp kiến thức liên môn. Nhưng vì thời gian còn hạn chế, hơn nữa để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi nêu ra một số ví dụ minh họa cụ thể và một số bài tập để các em tự rèn và thực hành. Sau đó phân tích lời giải để học sinh vận đụng được. Đề tài ứng dụng "Ứng dụng hàm số và bảng biến thiên của hàm số để giải một số bài toán liên quan đến hàm số và giải một số bài toán thực tế".

Tôi đã ứng dụng vào giảng dạy ở một số lớp, trong nhiều năm. Trong những năm học đó, qua theo dõi quá trình học tập của học sinh , tôi nhận thấy phương pháp này đa số học sinh dễ vận dụng ở nhiều. Qua đó, cho thấy học sinh tự tin, định hướng phương pháp học toán hiệu quả hơn.