Chương 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ Nhà toán học người Ý R. Bombelli (1526 - 1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số“không thể có ” hoặc “số ảo ” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của -1 Trong chương này ta trình bày các kiến thức cơ bản về số phức là các phép toán trên tập hợp, các dạng biểu diễn của số phức.nhằm mục đích tao cơ sở cấp thiết cho các chương sau. Nội dung ở chương này chủ yếu được trích dẫn trong tài liệu [5], [6], [8).1 Biểu diễn đại số của số phức 1.1 Định nghĩa số phức Giả sử rằng định nghĩa và các tính chất cơ bản của tập hợp các số thực IR đã được biết.
Chúng ta hãy xem xét tập: Rˆ=RxR={(z,;)|z, € R}. Hai phan tit (21, 9) va (x9, y2) cua R? 1& bằng nhau néu va chi néu 21 = 22 va Y1 —= 12. Các phép tinh của phép cộng và phép nhân được định nghĩa trên tap R? như sau: zy + 22 = (a1, y1) + (2, yo) = (a1 + 22, + 9a) € R’, va £1 ° 22> (#1, 1) , (#2, 9a) — (12 — 9/112; 112 + 2/1) C R’, Oo với mọi 2; = (21, y1) € R? va 2 = (2, yo) € R?. Phần tử z¡ + z¿ € R? duoc gọi là tổng của 2, 22 va phan ttt z+ 2 € R? được gọi là tích của zỊ, 22.
Tập lIR? cùng với các phép toán cộng và nhân được gọi là tập các số phức, kí hiệu C. Mọi phần tử z = (z,) € C được gọi là một số phức. Kí hiệu C* được sử dụng để biểu thị tập hợp Œ \ {(0,0)}.2 Tính chất liên quan đến phép cộng Phép cộng của số phức thỏa mãn các tính chất sau: a) Tính chất giao hoán Z1 + Z2 = Z2 + ZỊ, VỚI mỌi z2, z2 € tŒ. b) Tính chất kết hợp (zy ++ Z2) + 23 = 2+ (z2 + 23), VỚI mỌI 21, 22 € C.
c) Cộng với 0 Có một số phức duy nhất 0 = (0,0) sao cho: z+0=U+z=z, với mọi z = (z,) € Œ. d) Cộng với số đối Với bất kì số phức z = (z,ÿ) cũng có duy nhất —z = (—z, —) € sao cho: z+(—z) =(—z)+z=0.3 Tinh chất liên quan đến phép nhân Phép nhân các số phức thỏa mãn các tính chất sau: a) Tính chất giao hoán Z1 * Z2 —= Z2 ' 2, VỚI mỌi 2, z2 € Œ. b) Tính chất kết hợp (2, - Z3) - Z3 — ZI- (Z2 - Z3), VGi moi 21, 2, 23 € C. c) Nhân với 1 Có một số phức duy nhất 1 = (1,0) sao cho: z+l=l-z=z, với mọi z = (z,) CC.
d) Nhân với số nghịch đảo Với bất kì số phức z = (z,) € (* cũng có một số duy nhất z” = (z,) €C sao cho: z:z 1—z !1. Các tính chất sau cố định cho tất cả các số phức z, zị, z2 € C* va tat cả các số nguyên ?n,„ n: 1) ze 2% gt, Z 1h 2) — on = 2"; gyn = gin. M\T __ TH? Khi z = 0, ta dinh nghia 0” = 0 cho tat cả số nguyên n > 0. e) Tính chất phân phối Z1 ' (Z2 † Z3) — Z1 - Z2 T Z4: 22, VỚI mọi 2, 22, 23 € C.
Các tính chất trên của phép cộng và phép nhân cho thấy tập C của tất cả các số phức, cùng với các phép toán này, tạo thành một trường.4 Số phức dưới dạng đại số Đối với thao tác đại số, nó không thuận tiện để biểu diễn một số phức như một cặp thứ tự. Vì lí do này, một hình thức viết khác được ưa thích. Để giới thiệu biểu diễn đại số mới này, xem xét tập R x {0}, cùng với các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên IRỶ. Hàm số: ƒ: R —›Rx{0} x t+ f(x) = (2,0).
là song ánh và hơn thế nữa: (z,0) + (0,0) = (z+ø,0) và (z,0). Người đọc sẽ không nhận thấy rằng, các phép toán đại số trên R x {0} tương tự như các phép toán trên IR, do đó chúng ta có thể xác định cặp thứ tự (+, 0) với số + cho tất cd x € R. Do đó, chúng ta có thể sử dụng, bằng cách chọn hàm số ƒ ở trên, ký hiệu (z,0) = z. Bằng cách này chúng ta có được: Mệnh đề 1.
Bất k số phức z — (%,) có thể được biểu diễn duy nhất ỏ dạng: z—=# + 0t, trong dé x,y là các số thực. Mối quan hệ ;ˆ = —l1. Công thức ¿ˆ = —1, suy ra trực tiếp từ định nghĩa của phép nhân: 7 = ¿ : ¿ = (0,1) - (0,1) = (—1,0) = -—1. Biểu thức z + 1⁄2 được gọi là biểu diễn đại số của số phức z = (z, ), vì vậy chúng ta có thể viết C = {z + |z €lR, € R,7 = —-1}.
Từ giờ chúng ta sẽ biểu thị số phức z = (+, 1) bởi x + yi. S6 thuce x = Re(z) được gọi là phần thực của số phức z và tương tự, = Ïm(z) được gọi là phần ảo của z. Số phức có dạng ¿, € IR - nói cách khác, số thực có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo. Mặt khác, số phức có dạng ?, € IR* được gọi là phần ảo và số phức ¡ được gọi là đơn vị ảo.
Các mối quan hệ sau đây là dễ dàng để xác minh: a) 2, = 2) néu và chi néu Re(z,) = Re(z2) va Im(z,) = Im(z2). b) z € R néu va chỉ nếu Im(z) = 0. c) z € C\R néu va chi néu Im(z) 4 0. 8 Sử dụng biểu diễn đại số, các phép toán thông thường các số phức có thể được thực hiện như sau: 1.
Phép cộng Z4 + Z2 —= (xy + U12) + (x2 + 2i) = (xy -F Z2) + (Y1 + 2i) EC. Nó thì dễ dàng để quan sát rằng tổng của hai s ố Pp phức là một số phức có phần thực (ảo) là tổng của các phần thực (ảo) của các số đã cho: Re(z + z2) = ]Tte(zi) + Re(2a), Im(z, + 22) = Im(z,) + Im(z2). Nói cách khác: Re(z122) = Re(z1) - Re(z2) — Im(z) - Im(z2), va Im(2122) = Im(z) - Re(z2) + Im(z2) - Re(z1). Đối với số thực À và số phức z = # + 1¿, A-z=A-(«+yi) =Ar+AYi EC, là tích của một số thực với một số phức.
Các tính chất sau đây là rõ ràng: 1) À(z¡ + z2) = Az + AZ; 2) Ài(Azz) = (Ài22)z; 3) (Ai + Àa2)z = À¡z + Àaz với mọi z, z¡, z2 € E và À, À¡, Àa E R. Trên thực tế, quan hệ 1) và 3) là trường hợp đặc biệt của tính chất phân phối và quan hệ 2) xuất phát từ tính chất kết hợp của phép nhân đối với các sô phức. Phép trừ Z1 — Z2 — (xy — U12) + (x2 — 2?) — (xy — £2) + (Y1 — Ua2)i EC. Điêu này có nghĩa là Re(z, — 22) = Re(z¡) — Re(z2), Im(z, — 22) = Im(z) — Im(z2).5 Lũy thừa của số ¡ Các công thức tính lũy thừa của số phức với số mũ nguyên là bảo toàn cho dạng đại số z — z + ¿.
Đặt z = ¡, ta thu được: Người ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng với bất kì số nguyên dương n thì ta có các đẳng thức sau: fray. Py, ae — Do đó i” € {—1,1,—¡,?} cho tất cả số nguyên mø > 0. Nếu ø là số nguyên âm, ta có j" = (¡ 1)" = (=) : = (-i)~™.6 Liên hợp một số phức Với một số phức z = z + ¡, sỐ Z = + — 1¿ được gọi là số phức liên hợp của z. 1) Hệ thúc z = z đúng nếu uà chỉ nếu z € R.
9) Với bất kà số phúc z nào ta luôn có đẳng thúc z = Z. 3) Với bắt kà sô phúc z nào, số z.z € ]R là số thực không âm. 6) Dối với số phúc z bắt kà khác 0 đẳng thức sœu z~! = (Z)~! luôn đứng. 10 8) Các công thúc Re(2) == va Im(z) = c6 gid tri vdi moi z EC.7 Médun cia sé phiic Số |z| = +Ÿ + 0 được gọi là môdun của số phức z = # + ÿ.
Các tính chất sau đâu là thoả mãn: (1) —|2| < Re(z) < |2| va —|z| < Im(z) < |Z]. Hơn nữa, ta có |z| = 0 néu va chi néu z = 0.2 Sự biểu diễn hình học của các phép toán đại số 1.1 Biều diễn hình học của số phức Chúng ta đã định nghĩa một số phức z = (z, ) = + + là một cặp số thực có thứ tự (z, ) c RxR, vì vậy việc đặt một số phức z = (+, ) = + -+1⁄2 tương ứng với một điểm Ä⁄/(z, ) trong mặt phẳng (z, ) € R x R là hiển nhiên. Chúng ta xét P là tập hợp các điểm thuộc một mặt phẳng cho trước có hệ trục tọa độ Oxy. Xét ham song ánh: @: (Œ —>ƒ 11 z —>ý(2z) = M(z,y).
Điểm Ä⁄ được gọi là ảnh hình học của số phức z = (#, y) = z + ¡. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu Ä⁄(z) để chỉ ra rằng toa độ độ phức của Ä⁄ là số phức z. Ảnh hình học của số phức liên hợp z của số phức z = z + yi 1a diém đối xứng Ä//(z, —) qua trục Óz của điểm M(z, y). Ảnh hình học của số đối —z của một số phức z = x + ¿ là điểm đối xứng M”(—z, —) qua gốc tọa dd O cia M(x, y).
Ảnh hành học của Hình 1. Ảnh hành học của số phức z. Tra = P sô phúc liên hop Z. Ảnh hành học của số phúc đối —z.2 Biều diễn hình học của môđun Chúng ta xét một số phức z = # + ¿ và ảnh hình học M(x, y) trong mặt phẳng phức.
Khoảng cách OM được tính theo công thức: OM = WACaN — £0)? + (ym — 9o)? 12 Do đó: OM = w+?+ 2 = |z|. Nói cách khác, môđun |z| của số phức z—z + ¿ là độ dài cha doan thang OM.3 Biểu diễn hình học của các phép toán đại số a) Cộng và trừ Xót các số phức z¡ = #¡\ -È ¡¿ Và Z2 —= #2 + a¿ và các vectơ tương ứng _y — > __5 > > UỊ —=2đ1? +01) Và U2 —=2a2? T12}. Tổng của các số phức là: zy + 22 = (đi +22) + (yi + 9)?