Luận văn Thạc sĩ Nguyễn Thế Nghĩa: Sử dụng Hàng điểm điều hòa giải Toán Hình học phẳng

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực toán học.

• Tác giả: Nguyễn Thế Nghĩa
• Người hướng dẫn: Nguyễn Danh Nam
• Trường học: Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
• Đề tài: Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa
• 1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần
• 1.3. Đường tròn trực giao
• 1.4. Cực và đường đối cực
• 1.5. Cách xác định cực và đường đối cực
• 2. CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
• 2.1. Chứng minh hàng điểm điều hòa
• 2.2. Chứng minh vuông góc
• 2.3. Chứng minh song song
• 2.4. Chứng minh thẳng hàng
• 2.5. Chứng minh đồng quy
• 2.6. Chứng minh điểm cố định
• 2.7. Chứng minh đẳng thức
• 2.8. Một số bài toán khác
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Hướng dẫn tổng quan Nắm vững ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng

Trong lĩnh vực hình học phẳng, đặc biệt là ở cấp độ toán chuyên và các kỳ thi Olympic Toán, việc đối mặt với những bài toán hình học phức tạp là điều không thể tránh khỏi. Để chinh phục những thách thức này, việc trang bị các công cụ giải toán mạnh mẽ là vô cùng cần thiết. Trong số đó, khái niệm hàng điểm điều hòa nổi bật như một phương pháp tinh tế và hiệu quả, giúp đơn giản hóa các chứng minh và khám phá những tính chất hình học ẩn sâu. Bài viết này là một hướng dẫn tổng quan chuyên sâu, tập trung vào việc làm sáng tỏ ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng, từ các định nghĩa cơ bản đến những kỹ thuật giải toán nâng cao.

Việc thành thạo hàng điểm điều hòa không chỉ cung cấp một lối tư duy mới mà còn mở ra cánh cửa đến những lời giải ngắn gọn, đẹp mắt cho các vấn đề thường gặp như chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, hay xác định điểm cố định trong hình học. Luận văn của Nguyễn Thế Nghĩa (2016) đã nhấn mạnh rằng "các khái niệm ‘hàng điểm điều hòa’, ‘cực và đường đối cực’ được vận dụng để giải các bài toán sẽ cho lời giải một cách ngắn gọn và đẹp mắt" [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 1]. Đây là minh chứng cho sức mạnh của công cụ này.

Bài viết sẽ đi sâu vào việc giải thích cách hàng điểm điều hòa liên hệ mật thiết với tỉ số kép, phép chiếu xuyên tâm và khái niệm cực và đối cực. Chúng ta sẽ khám phá cách nhận diện và xây dựng các hàng điểm điều hòa từ chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần, cũng như cách áp dụng các hệ thức quan trọng như Đề-các, Niu-tơn, và Mácloranh. Mục tiêu là trang bị cho người đọc khả năng vận dụng linh hoạt các nguyên lý này để tiếp cận và giải quyết các dạng bài toán hình học phẳng từ cấp độ cơ bản đến nâng cao. Từ việc chứng minh các quan hệ vuông góc, song song đến việc giải quyết các bài toán liên quan đến đường tròn và tứ giác nội tiếp, ứng dụng hàng điểm điều hòa sẽ được trình bày một cách có hệ thống và dễ hiểu, khẳng định vị thế của nó như một "công cụ mới cho học sinh trong việc tiếp cận và giải các bài toán hình học phẳng" [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 1]. Việc nắm bắt được những bí quyết này sẽ giúp các nhà toán học trẻ tự tin hơn khi đối mặt với những thử thách khó khăn nhất của hình học phẳng.

1.1. Khám phá định nghĩa và vai trò của hàng điểm điều hòa trong hình học phẳng

Hàng điểm điều hòa là một khái niệm trung tâm trong hình học xạ ảnh, mở rộng từ ý tưởng về tỉ số đơn và tỉ số kép. Theo định nghĩa, bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng được gọi là lập thành một hàng điểm điều hòa nếu tỉ số kép của chúng bằng -1, tức là (ABCD) = -1 [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 3]. Điều này có nghĩa là A, B chia điều hòa C, D hoặc A, B liên hợp điều hòa đối với C, D. Khái niệm này đóng vai trò then chốt trong việc thiết lập các mối quan hệ khoảng cách và vị trí giữa các điểm trên một đường thẳng, cung cấp một nền tảng vững chắc để phân tích các tính chất hình học phức tạp.

Các hàng điểm điều hòa xuất hiện tự nhiên trong nhiều cấu hình hình học phẳng, đặc biệt là khi liên quan đến chùm đường thẳng, tứ giác toàn phần, và quan hệ cực và đối cực đối với đường tròn hoặc cặp đường thẳng cắt nhau. Sự xuất hiện của hàng điểm điều hòa thường là dấu hiệu cho thấy có thể áp dụng các hệ thức mạnh mẽ như hệ thức Đề-các, hệ thức Niu-tơn (IA² = IC.ID nếu I là trung điểm của AB [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 3]), và hệ thức Mácloranh để giải quyết các bài toán hình học. Việc nhận diện và vận dụng hàng điểm điều hòa một cách khéo léo giúp chuyển đổi những chứng minh dài dòng thành những lập luận ngắn gọn, trực tiếp, làm nổi bật vẻ đẹp và sự chặt chẽ của hình học.

1.2. Lợi ích vượt trội khi vận dụng tỉ số kép giải các bài toán hình học phức tạp

Tỉ số kép là một đại lượng không đổi dưới phép chiếu xuyên tâm, làm cho nó trở thành công cụ mạnh mẽ trong hình học phẳng. Đối với bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép được định nghĩa là (ABCD) = (CA/CB) : (DA/DB) [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 3]. Giá trị không đổi này có ý nghĩa quan trọng khi xem xét các cấu hình hình học từ các góc nhìn khác nhau, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến chùm đường thẳng đồng quy.

Khi tỉ số kép của bốn điểm bằng -1, chúng tạo thành một hàng điểm điều hòa. Lợi ích chính của việc vận dụng tỉ số kép và hàng điểm điều hòa nằm ở khả năng đơn giản hóa các chứng minh về thẳng hàng, đồng quy, song song hay vuông góc. Thay vì sử dụng các phương pháp đại số phức tạp, tỉ số kép cho phép thiết lập các mối quan hệ hình học một cách trực quan và thanh lịch. Ví dụ, trong các bài toán về tứ giác toàn phần hoặc khi có sự xuất hiện của đường tròn và tiếp tuyến, việc nhận diện hàng điểm điều hòa thông qua tỉ số kép có thể dẫn đến những lời giải "ngắn gọn và đẹp mắt" như nhận định của Nguyễn Thế Nghĩa (2016). Khả năng này đặc biệt hữu ích trong các kỳ thi Olympic Toán và toán chuyên, nơi sự sáng tạo và hiệu quả trong kỹ thuật giải toán được đánh giá cao.

II. Vượt qua Thách thức Nắm vững Kiến thức Nền tảng Hàng Điểm Điều Hòa Giải Toán Hình Học Phẳng

Để thành công trong việc ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng, việc xây dựng một nền tảng kiến thức vững chắc là điều tối quan trọng. Nhiều học sinh gặp khó khăn khi tiếp cận các bài toán hình học nâng cao do chưa nắm rõ các khái niệm cơ bản và mối liên hệ giữa chúng. Thách thức lớn nhất nằm ở việc nhận diện các cấu hình đặc biệt trong bài toán, nơi hàng điểm điều hòa có thể được hình thành hoặc suy ra. Điều này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về tỉ số kép, chùm đường thẳng, tứ giác toàn phần, và đặc biệt là vai trò của cực và đối cực.

Nhiều bài toán hình học phức tạp, đặc biệt trong các kỳ thi toán chuyên và Olympic Toán, thường ẩn chứa những hàng điểm điều hòa không rõ ràng. Nếu không có kiến thức vững chắc về cách hình thành và biến đổi các cấu hình này thông qua phép chiếu xuyên tâm, việc tìm ra lời giải sẽ trở nên khó khăn. Ví dụ, một chùm đường thẳng điều hòa cắt một đường thẳng sẽ tạo ra một hàng điểm điều hòa có tỉ số kép không đổi [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 5]. Sự hiểu biết này là nền tảng để chuyển đổi các bài toán từ không gian đường thẳng sang không gian điểm và ngược lại.

Hơn nữa, vai trò của cực và đối cực là một chìa khóa quan trọng. Đây không chỉ là một khái niệm độc lập mà còn là công cụ giúp mở rộng ứng dụng hàng điểm điều hòa một cách đáng kể. Khi một đường tròn xuất hiện trong bài toán, quan hệ cực và đối cực có thể biến các bài toán chứng minh thẳng hàng thành đồng quy và ngược lại, thông qua phép đối cực. Khái niệm này cung cấp một cái nhìn xuyên suốt và nhất quán cho các dạng toán về vuông góc, song song, và điểm cố định.

Việc nắm vững các hệ thức quan trọng như Đề-các, Niu-tơn và Mácloranh, vốn là hệ quả trực tiếp của hàng điểm điều hòa, cũng là một phần không thể thiếu. Chúng giúp định lượng hóa các mối quan hệ giữa các giao điểm trên một đường thẳng, cung cấp các công thức cụ thể để chứng minh các đẳng thức độ dài hay tỉ số. Chuẩn bị kỹ lưỡng các kiến thức nền tảng này sẽ trang bị cho người học một bộ công cụ đầy đủ và linh hoạt để chinh phục mọi thách thức trong giải toán hình học phẳng.

2.1. Khái niệm cốt lõi Tỉ số kép chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần

Tỉ số kép là một đại lượng hình học cơ bản, không thay đổi dưới phép chiếu xuyên tâm, tạo ra một công cụ mạnh mẽ cho hình học phẳng. Định nghĩa tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng là (ABCD) = CA/CB : DA/DB [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 3]. Khi tỉ số kép này bằng -1, bốn điểm đó lập thành một hàng điểm điều hòa. Một chùm đường thẳng đồng quy tại S, khi cắt một đường thẳng bất kỳ, sẽ tạo thành một hàng điểm điều hòa có tỉ số kép không đổi, ký hiệu S(abcd) = (ABCD) [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 7].

Tứ giác toàn phần là một cấu hình quan trọng khác, nơi hàng điểm điều hòa xuất hiện tự nhiên. Theo định lý trong luận văn, "Trong một tứ giác toàn phần, cặp đỉnh đối diện chia điều hòa hai giao điểm của đường chéo nối cặp đỉnh đối diện đó với hai đường chéo còn lại" [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 8]. Ví dụ, trong tứ giác toàn phần ABCA’B’C’, nếu P = AA’∩BB’ và Q = AA’∩CC’, thì (AA’PQ) = -1. Đây là một tính chất hình học cực kỳ hữu ích, thường được áp dụng để chứng minh hàng điểm điều hòa mà không cần tính toán trực tiếp tỉ số kép. Nắm vững các khái niệm này là bước đầu tiên để khai thác tiềm năng của hàng điểm điều hòa trong kỹ thuật giải toán phức tạp.

2.2. Khám phá cực và đối cực Chìa khóa mở rộng ứng dụng hàng điểm điều hòa

Khái niệm cực và đối cực là một trong những công cụ tinh vi và mạnh mẽ nhất trong hình học phẳng, đặc biệt khi kết hợp với hàng điểm điều hòa. Một điểm M và một đường thẳng m được gọi là cực và đối cực đối với một đường tròn (O) nếu m là tập hợp các điểm N liên hợp điều hòa với M đối với (O) [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 12-13]. Tương tự, khái niệm này cũng tồn tại cho một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau.

Vai trò của cực và đối cực là vô cùng quan trọng trong ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng. Chúng cung cấp một phương tiện để chuyển đổi giữa các bài toán về điểm và đường thẳng. Ví dụ, nếu đường đối cực của điểm A đi qua điểm B, thì đường đối cực của B sẽ đi qua A [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 14]. Tính chất "các đường đối cực của các điểm thẳng hàng thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng" [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 14] là nền tảng cho nhiều chứng minh thẳng hàng và đồng quy phức tạp.

Phép đối cực là một phép biến hình bảo toàn tỉ số kép và biến chùm đường thẳng điều hòa thành hàng điểm điều hòa và ngược lại [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 15-16]. Điều này cho phép chuyển đổi bài toán chứng minh thẳng hàng thành đồng quy hoặc vuông góc thành một dạng tương đương dễ giải hơn. Khai thác cực và đối cực giúp ta nhìn thấy các mối quan hệ sâu sắc hơn trong các bài toán hình học liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến, và các giao điểm quan trọng, nâng cao hiệu quả của kỹ thuật giải toán cho toán chuyên và Olympic Toán.

III. Phương pháp tiếp cận Ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng tối ưu

Việc ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn được thể hiện rõ nét qua các phương pháp tiếp cận và kỹ thuật giải toán cụ thể. Phần này sẽ đi sâu vào những chiến lược hiệu quả để chứng minh sự tồn tại của hàng điểm điều hòa và cách tận dụng chúng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Các phương pháp bao gồm việc sử dụng định nghĩa trực tiếp thông qua tỉ số kép, áp dụng các định lý hình học cổ điển như Ceva và Menelaus, và khai thác sức mạnh của cực và đối cực cùng phép đối cực.

Một trong những cách phổ biến nhất để chứng minh hàng điểm điều hòa là xác định tỉ số kép bằng -1. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc tính toán trực tiếp có thể phức tạp. Thay vào đó, kỹ thuật giải toán thường tập trung vào việc nhận diện các cấu hình đặc biệt. Ví dụ, trong một tứ giác toàn phần, các đường chéo giao nhau tạo thành các hàng điểm điều hòa một cách tự nhiên [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 8]. Tương tự, một chùm đường thẳng điều hòa, thường xuất hiện với các đường phân giác của một góc, cũng sẽ cắt một đường thẳng bất kỳ theo một hàng điểm điều hòa.

Hơn nữa, mối liên hệ giữa hàng điểm điều hòa với cực và đối cực mở ra những hướng giải quyết mới cho các bài toán về vuông góc và song song. Khi đường đối cực của một điểm là đường thẳng vuông góc với đường nối điểm đó đến tâm đường tròn, chúng ta có thể chuyển các bài toán chứng minh vuông góc thành việc tìm ra đường đối cực. Luận văn của Nguyễn Thế Nghĩa (2016) đã trình bày rõ ràng các ví dụ về việc sử dụng cực và đối cực để chứng minh quan hệ vuông góc và song song [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 25-33], cho thấy tính hiệu quả của phương pháp này trong toán chuyên và các đề thi Olympic Toán.

Phần này sẽ trình bày chi tiết các bước cụ thể và ví dụ minh họa, giúp người đọc không chỉ hiểu rõ lý thuyết mà còn biết cách áp dụng linh hoạt các công cụ này vào thực tiễn giải toán hình học phẳng. Việc nắm vững những phương pháp này sẽ củng cố đáng kể khả năng phân tích và sáng tạo trong giải quyết các bài toán hình học, đồng thời phát triển tư duy hình học sâu sắc hơn.

3.1. Kỹ thuật chứng minh hàng điểm điều hòa và mối quan hệ tỉ số kép

Việc chứng minh sự tồn tại của hàng điểm điều hòa là bước đầu tiên và quan trọng nhất trong việc ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng. Phương pháp cơ bản là áp dụng định nghĩa: chứng minh tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng bằng -1. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán hình học, việc tính toán trực tiếp tỉ số kép có thể phức tạp. Thay vào đó, các kỹ thuật giải toán thường sử dụng các định lý phụ trợ và cấu hình đặc biệt.

Một cách hiệu quả là sử dụng Định lý Ceva và Định lý Menelaus. Khi ba đường thẳng trong một tam giác đồng quy (Ceva) hoặc ba điểm thẳng hàng cắt các cạnh (Menelaus), chúng thường tạo ra các mối quan hệ tỉ số dẫn đến hàng điểm điều hòa. Ví dụ, trong tam giác ABC với AE, BF, CK đồng quy tại một điểm I, và FK cắt BC tại T, ta có thể chứng minh (TEBC) = -1 bằng cách áp dụng cả hai định lý trên [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 20]. Đây là một ví dụ kinh điển về việc một đường chéo của tứ giác toàn phần (AIBC) bị hai đường chéo còn lại chia điều hòa.

Ngoài ra, việc nhận diện chùm đường thẳng điều hòa cũng là một bí quyết. Nếu một chùm đường thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đường phân giác của góc đó, thì bất kỳ đường thẳng nào cắt chùm này (không đi qua tâm chùm) sẽ tạo thành một hàng điểm điều hòa. Hệ thức Đề-các và Niu-tơn cũng cung cấp các điều kiện tương đương để kiểm tra hàng điểm điều hòa, giúp rút gọn quá trình chứng minh. Việc nắm vững các tính chất hình học này là chìa khóa để áp dụng thành công hàng điểm điều hòa trong các bài toán hình học phẳng.

3.2. Bí quyết sử dụng cực và đối cực trong chứng minh vuông góc và song song

Cực và đối cực là một công cụ đặc biệt mạnh mẽ khi cần chứng minh các mối quan hệ vuông góc và song song trong hình học phẳng, đặc biệt là khi có sự hiện diện của đường tròn. Nguyên lý cơ bản là đường đối cực của một điểm M đối với một đường tròn (O) luôn vuông góc với đường thẳng MO. Phát biểu này là nền tảng cho nhiều chứng minh hình học tinh tế.

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta có thể quy về việc chứng minh một trong hai đường là đường đối cực của một điểm nào đó. Ví dụ, trong bài toán chứng minh OM vuông góc với AB khi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại C, D và E, F, M là giao điểm của hai dây CD, EF [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 25-26]. Đường đối cực của A là CD (qua M), suy ra đường đối cực của M đi qua A. Tương tự, đường đối cực của M đi qua B. Vậy AB chính là đường đối cực của M, và do đó AB vuông góc với OM. Đây là một kỹ thuật giải toán rất hiệu quả, đặc biệt trong toán chuyên và Olympic Toán.

Tương tự, cực và đối cực cũng hỗ trợ chứng minh song song. Nếu đường đối cực của điểm J là đường thẳng AN, và IJ vuông góc với AN, mà ta đã biết IJ vuông góc với BC, thì suy ra AN song song với BC [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 32]. Việc chuyển đổi bài toán từ chứng minh quan hệ trực tiếp sang việc sử dụng tính chất của cực và đối cực giúp đơn giản hóa đáng kể. Đây là một bí quyết quan trọng, cho phép giải quyết các bài toán hình học liên quan đến đường thẳng song song một cách hiệu quả và thanh lịch, khai thác sâu sắc tính chất hình học ẩn.

IV. Giải quyết bài toán hình học phẳng phức tạp Thẳng hàng Đồng quy Điểm cố định

Các ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng được minh chứng rõ nét nhất thông qua khả năng giải quyết các dạng bài toán hình học phức tạp về chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy và tìm điểm cố định. Đây là những thách thức thường gặp trong các kỳ thi toán chuyên và Olympic Toán, nơi mà kỹ thuật giải toán sáng tạo và hiệu quả được đánh giá cao. Hàng điểm điều hòa, kết hợp với cực và đối cực cùng phép đối cực, cung cấp một khuôn khổ mạnh mẽ để tiếp cận và chinh phục những vấn đề này một cách thanh lịch và chính xác.

Đối với chứng minh thẳng hàng, một chiến lược hiệu quả là sử dụng tính chất: "các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng" [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 14]. Nếu ba đường thẳng đồng quy, việc tìm các cực của chúng đối với một đường tròn cơ sở và chứng minh ba cực đó thẳng hàng sẽ hoàn thành bài toán. Ngược lại, để chứng minh đồng quy, ta áp dụng tính chất: "các đường đối cực của các điểm thẳng hàng thì đồng quy" [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 14]. Phép đối cực đóng vai trò then chốt trong việc chuyển đổi bài toán từ không gian điểm sang không gian đường thẳng hoặc ngược lại, đơn giản hóa đáng kể quá trình chứng minh. Ví dụ, Định lý Bri-ăng-xông, một kết quả nổi tiếng về các đường thẳng đồng quy trong lục giác ngoại tiếp, có thể được chứng minh dễ dàng bằng phép đối cực [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 15].

Tìm điểm cố định là một dạng bài toán hình học khác mà hàng điểm điều hòa phát huy hiệu quả. Khi một điểm di chuyển, việc xác định một điểm khác vẫn giữ nguyên vị trí, thường liên quan đến các tính chất hình học đặc biệt. Cụ thể, cực của một đường thẳng cố định đối với một đường tròn cho trước sẽ là một điểm cố định. Hoặc, một điểm được xác định thông qua quan hệ hàng điểm điều hòa với các điểm cố định khác có thể là điểm cố định. Ví dụ, trong bài toán về đường tròn đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại I, đường thẳng MN đi qua một điểm cố định mà E là cực của đường thẳng PQ đối với (O) [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 47]. Kỹ thuật giải toán này yêu cầu sự phân tích kỹ lưỡng các điều kiện bài toán để thiết lập các mối liên hệ cực và đối cực hoặc hàng điểm điều hòa phù hợp.

Các phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học phẳng một cách hiệu quả mà còn sâu sắc hóa sự hiểu biết về tính chất hình học và phát triển tư duy giải toán logic, sáng tạo, rất cần thiết cho các nhà toán học tương lai.

4.1. Chiến lược chứng minh thẳng hàng và đồng quy bằng phép đối cực

Phép đối cực là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán chứng minh thẳng hàng và chứng minh đồng quy trong hình học phẳng. Cốt lõi của phép đối cực là nó biến đổi một hình H thành một hình H' bao gồm các đường đối cực của các điểm và các cực của các đường thẳng của hình H ban đầu, giữ nguyên tỉ số kép và biến chùm đường thẳng điều hòa thành hàng điểm điều hòa (và ngược lại) [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 15].

Để chứng minh thẳng hàng của ba điểm A, B, C, ta có thể sử dụng phép đối cực để biến chúng thành ba đường thẳng a', b', c' tương ứng (là các đường đối cực của A, B, C). Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng, thì ba đường thẳng a', b', c' sẽ đồng quy tại cực của đường thẳng chứa A, B, C [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 14]. Ngược lại, để chứng minh đồng quy của ba đường thẳng d1, d2, d3, ta biến chúng thành ba điểm cực P1, P2, P3. Nếu d1, d2, d3 đồng quy, thì P1, P2, P3 sẽ thẳng hàng.

Ví dụ nổi bật là định lý Đờ-giác, chứng minh rằng giao điểm của các cặp cạnh đối của hai tam giác có các đỉnh tương ứng thẳng hàng thì đồng quy, và ngược lại. Phép đối cực cho phép một cách chứng minh thanh lịch và bao quát cho cả hai chiều của định lý này [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 45]. Việc vận dụng phép đối cực trong kỹ thuật giải toán không chỉ cung cấp lời giải mà còn mang lại một cái nhìn sâu sắc về cấu trúc đối ngẫu trong hình học, rất hữu ích cho toán chuyên và Olympic Toán.

4.2. Cách tìm điểm cố định và quỹ tích sử dụng tính chất hàng điểm điều hòa

Xác định điểm cố định là một trong những dạng bài toán hình học thách thức, nơi tính chất hàng điểm điều hòa và cực và đối cực trở thành các công cụ đắc lực. Một điểm cố định thường là một điểm đặc biệt trong cấu hình hình học, không thay đổi vị trí dù các yếu tố khác biến thiên. Cách tìm điểm cố định thường liên quan đến việc chứng minh điểm đó là cực của một đường thẳng cố định, hoặc là một giao điểm được xác định bởi các hàng điểm điều hòa với các điểm đã biết.

Nguyên lý cơ bản là nếu một đường thẳng di động luôn đi qua một điểm cố định P, thì cực của đường thẳng đó đối với một đường tròn (O) sẽ luôn nằm trên đường đối cực của P. Ngược lại, nếu một điểm di động P luôn nằm trên một đường thẳng cố định d, thì đường đối cực của P sẽ luôn đi qua cực của d. Kỹ thuật giải toán này thường được áp dụng trong các bài toán liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và các cát tuyến [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 46-47].

Ví dụ, trong một bài toán về đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại I, nếu M thay đổi trên (O) và các đường thẳng MA, MB cắt d tại P, Q, thì đường thẳng MN (với N là giao điểm của QA với (O)) sẽ đi qua một điểm cố định E. Điểm E này được chứng minh là cực của đường thẳng PQ đối với đường tròn (O), và vì PQ là một đường thẳng cố định, E cũng là một điểm cố định [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 47]. Việc áp dụng tính chất hàng điểm điều hòa và cực và đối cực giúp đơn giản hóa việc tìm điểm cố định, biến các bài toán phức tạp thành những lập luận logic và rõ ràng, đặc biệt hữu ích cho toán chuyên và Olympic Toán.

V. Ứng dụng đột phá của hàng điểm điều hòa trong Toán chuyên và Olympic Toán

Hàng điểm điều hòa không chỉ là một khái niệm lý thuyết mà còn là một công cụ giải toán vô cùng hiệu quả, đặc biệt trong các bài toán hình học phẳng ở cấp độ toán chuyên và Olympic Toán. Khả năng của nó trong việc đơn giản hóa các chứng minh thẳng hàng, đồng quy, vuông góc, song song và xác định điểm cố định đã được chứng minh qua vô số đề thi khó. Sự tinh tế của hàng điểm điều hòa nằm ở chỗ nó thường mang lại những lời giải ngắn gọn, thanh lịch, đôi khi vượt trội so với các phương pháp đại số hoặc vector thông thường.

Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế, các bài toán hình học thường được thiết kế để kiểm tra khả năng sáng tạo và độ sâu kiến thức của thí sinh. Những bài toán này thường ẩn chứa các cấu hình hàng điểm điều hòa tinh vi, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng nhận diện và áp dụng các tính chất hình học của nó cùng với các công cụ liên quan như tỉ số kép, cực và đối cực, chùm đường thẳng, và tứ giác toàn phần. Chẳng hạn, một bài toán có thể yêu cầu chứng minh ba điểm thẳng hàng trong một cấu hình phức tạp liên quan đến đường tròn và tiếp tuyến. Bằng cách sử dụng phép đối cực hoặc nhận diện hàng điểm điều hòa thông qua tứ giác toàn phần, lời giải có thể trở nên rõ ràng và dễ dàng hơn rất nhiều.

Tiềm năng của hàng điểm điều hòa còn được mở rộng khi kết hợp với các phép biến hình khác như phép nghịch đảo hay phép vị tự. Sự kết hợp này tạo ra những kỹ thuật giải toán mới, cho phép chuyển đổi các bài toán từ một không gian hình học sang một không gian khác nơi các hàng điểm điều hòa trở nên hiển nhiên hơn. Điều này không chỉ nâng cao hiệu quả giải toán mà còn khuyến khích tư duy hình học sâu sắc hơn, khám phá những mối liên hệ ẩn giữa các khái niệm tưởng chừng như riêng biệt. Các nhà nghiên cứu và học sinh toán chuyên cần tiếp tục khai thác những hướng đi này để phát triển thêm các ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng trong tương lai.

5.1. Phân tích các bài toán hình học điển hình từ các kỳ thi học sinh giỏi

Các kỳ thi Olympic Toán và học sinh giỏi cấp quốc gia là môi trường lý tưởng để đánh giá khả năng ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng. Những bài toán hình học trong các kỳ thi này thường có tính chất thách thức, yêu cầu thí sinh phải vận dụng nhiều tính chất hình học và kỹ thuật giải toán một cách linh hoạt. Hàng điểm điều hòa cung cấp một giải pháp mạnh mẽ, giúp đơn giản hóa các chứng minh và làm nổi bật các mối quan hệ hình học sâu sắc.

Ví dụ, các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp hoặc các tiếp tuyến đến đường tròn thường là nơi hàng điểm điều hòa phát huy tối đa hiệu quả. Một bài toán điển hình có thể yêu cầu chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng trong một tam giác, trong đó các điểm giao được xác định thông qua các tiếp tuyến và cát tuyến. Bằng cách sử dụng cực và đối cực và phép đối cực, bài toán chứng minh đồng quy có thể được chuyển thành chứng minh thẳng hàng của các điểm cực tương ứng, làm cho lời giải trở nên rõ ràng hơn rất nhiều [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 39].

Một ví dụ khác là bài toán xác định điểm cố định khi các yếu tố khác trong hình thay đổi. Những bài toán này thường được giải quyết bằng cách thiết lập mối quan hệ hàng điểm điều hòa giữa điểm cần tìm và các điểm cố định khác trong hình. Khả năng nhìn ra các hàng điểm điều hòa ẩn, kết hợp với các hệ thức như Đề-các, Niu-tơn, là bí quyết để giải quyết thành công những thách thức này. Việc nghiên cứu và thực hành các bài toán hình học từ các kỳ thi trước là cách tốt nhất để nắm vững ứng dụng hàng điểm điều hòa.

5.2. Hướng phát triển Tiềm năng của phép biến hình kết hợp với hàng điểm điều hòa

Tương lai của ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng không chỉ nằm ở việc củng cố các phương pháp hiện có mà còn ở việc khám phá các hướng phát triển mới, đặc biệt là thông qua sự kết hợp với các phép biến hình khác. Phép nghịch đảo, phép vị tự, hay phép chiếu là những công cụ mạnh mẽ có thể chuyển đổi một bài toán hình học từ một dạng sang dạng khác, nơi các hàng điểm điều hòa hoặc các tính chất hình học liên quan trở nên dễ nhận diện hơn.

Chẳng hạn, phép nghịch đảo có thể biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại, hoặc biến các điểm thẳng hàng thành các điểm trên một đường tròn. Khi áp dụng phép nghịch đảo, một hàng điểm điều hòa trên đường thẳng có thể được bảo toàn hoặc chuyển thành một cấu hình tương đương trên đường tròn, mở ra các kỹ thuật giải toán mới. Sự kết hợp này không chỉ là một bí quyết để giải quyết các bài toán hình học phức tạp mà còn là một lĩnh vực nghiên cứu đầy tiềm năng.

Ngoài ra, việc tích hợp hàng điểm điều hòa với các phương pháp đại số hóa hình học (như hệ tọa độ, số phức) cũng là một hướng đi đáng khám phá. Mặc dù hàng điểm điều hòa mang tính hình học thuần túy, việc biểu diễn các tỉ số kép bằng tọa độ có thể giúp giải quyết các bài toán chứng minh đẳng thức một cách chính xác hơn. Luận văn của Nguyễn Thế Nghĩa (2016) đã đề cập đến tiềm năng của việc kết hợp các công cụ này, đặc biệt là trong các bài toán toán chuyên liên quan đến giao điểm và tâm tỉ cự [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 1]. Việc tiếp tục nghiên cứu và khai thác các mối liên hệ giữa hàng điểm điều hòa với các phép biến hình và phương pháp đại số sẽ mở ra nhiều chân trời mới trong giải toán hình học phẳng.

VI. Kết luận Tầm quan trọng của Ứng dụng hàng điểm điều hòa trong hình học phẳng hiện đại

Tóm lại, ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng đã khẳng định vị thế của mình là một công cụ toán học không thể thiếu, đặc biệt quan trọng trong các chương trình toán chuyên và các kỳ thi Olympic Toán khắc nghiệt. Khái niệm này, cùng với các công cụ liên quan như tỉ số kép, cực và đối cực, phép chiếu xuyên tâm, và phép đối cực, đã tạo nên một hệ thống kỹ thuật giải toán mạnh mẽ, giúp đơn giản hóa và giải quyết các bài toán hình học phức tạp một cách thanh lịch và hiệu quả. Việc nắm vững hàng điểm điều hòa không chỉ là ghi nhớ các công thức mà còn là phát triển một tư duy hình học sâu sắc, khả năng nhận diện các cấu hình đặc biệt như chùm đường thẳng điều hòa hay tứ giác toàn phần, và vận dụng linh hoạt các tính chất hình học vào từng tình huống cụ thể.

Trong bài viết này, chúng ta đã đi qua hành trình từ việc hiểu rõ định nghĩa và vai trò của hàng điểm điều hòa đến việc khai thác các kiến thức nền tảng như tỉ số kép và cực và đối cực. Các phương pháp tiếp cận cụ thể đã được trình bày để chứng minh hàng điểm điều hòa, cũng như cách áp dụng chúng để giải quyết các dạng bài toán hình học về chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, vuông góc, song song, và tìm điểm cố định. Khả năng chuyển đổi bản chất của bài toán thông qua phép đối cực là một bí quyết then chốt, giúp biến những thách thức tưởng chừng nan giải thành những lập luận logic và trực quan.

Tầm quan trọng của hàng điểm điều hòa không chỉ nằm ở việc cung cấp những lời giải ngắn gọn, đẹp mắt như TS. Nguyễn Danh Nam và Nguyễn Thế Nghĩa (2016) đã nhận định, mà còn ở việc khơi gợi sự sáng tạo và phát triển khả năng phân tích sâu sắc cấu trúc của hình học phẳng. Đây là một phần không thể thiếu trong giáo trình toán chuyên hiện đại, trang bị cho thế hệ toán học trẻ những công cụ cần thiết để đối mặt với những thách thức phức tạp nhất. Việc thành thạo hàng điểm điều hòa là một bước tiến quan trọng trong việc làm chủ kỹ thuật giải toán hình học, mở ra cánh cửa đến những khám phá mới và sự hiểu biết sâu sắc hơn về thế giới toán học.

6.1. Tổng kết các kỹ thuật giải toán và lợi ích vượt trội của hàng điểm điều hòa

Bài viết đã làm rõ các kỹ thuật giải toán chủ yếu liên quan đến ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng. Từ việc nhận diện hàng điểm điều hòa thông qua tỉ số kép và tứ giác toàn phần, đến việc sử dụng cực và đối cực để chứng minh các mối quan hệ vuông góc và song song, mỗi phương pháp đều mang lại hiệu quả đáng kể. Một trong những lợi ích vượt trội là khả năng đơn giản hóa các chứng minh, biến những lập luận dài dòng thành những chuỗi suy luận ngắn gọn, thanh lịch.

Phép đối cực nổi bật như một công cụ biến hình mạnh mẽ, cho phép chuyển đổi bài toán chứng minh thẳng hàng thành chứng minh đồng quy và ngược lại, hoặc xác định điểm cố định một cách hiệu quả [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 15]. Các hệ thức Đề-các, Niu-tơn, Mácloranh cung cấp các công cụ định lượng để xác nhận sự tồn tại của hàng điểm điều hòa, làm tăng tính chính xác và chặt chẽ của các lời giải.

Những kỹ thuật giải toán này không chỉ giúp học sinh toán chuyên vượt qua các thử thách trong Olympic Toán mà còn cung cấp một cái nhìn sâu sắc về tính chất hình học ẩn sâu trong các cấu hình phức tạp. Việc áp dụng linh hoạt hàng điểm điều hòa giúp phát triển tư duy phản biện, khả năng phân tích và tổng hợp thông tin, là những kỹ năng quý giá không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác. Đây chính là minh chứng cho tầm quan trọng của việc học và thực hành các khái niệm hình học nâng cao này.

6.2. Khuyến nghị học tập và nghiên cứu chuyên sâu về toán chuyên hình học phẳng

Để thực sự làm chủ ứng dụng hàng điểm điều hòa giải toán hình học phẳng, việc học tập không nên dừng lại ở lý thuyết. Khuyến nghị học tập bao gồm việc thực hành liên tục các bài toán hình học đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, đặc biệt là các bài toán trong các đề thi toán chuyên và Olympic Toán [Nguyen The Nghia, 2016, tr. 1]. Việc phân tích lời giải mẫu và tự mình tìm tòi các phương pháp khác nhau cho cùng một bài toán sẽ củng cố sự hiểu biết sâu sắc về hàng điểm điều hòa, tỉ số kép, và cực và đối cực.

Đối với nghiên cứu chuyên sâu, cần chú trọng khai thác các mối liên hệ giữa hàng điểm điều hòa với các phép biến hình khác như phép nghịch đảo hay phép vị tự. Việc tìm kiếm các ứng dụng hàng điểm điều hòa trong các lĩnh vực hình học khác (ví dụ: hình học xạ ảnh, hình học không gian) cũng là một hướng đi đầy hứa hẹn. Nghiên cứu sâu hơn về các tính chất hình học của chùm đường thẳng điều hòa và tứ giác toàn phần có thể mở ra những phát hiện mới và các kỹ thuật giải toán đột phá.

Việc chia sẻ kinh nghiệm và thảo luận với các đồng nghiệp, giáo viên, hay tham gia các diễn đàn toán học cũng là một cách hiệu quả để làm phong phú thêm kiến thức. Chỉ thông qua sự kết hợp giữa học lý thuyết, thực hành, và tư duy sáng tạo, người học mới có thể phát huy tối đa tiềm năng của hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng, từ đó đóng góp vào sự phát triển của toán học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa 1. Độ dài đại số Trên đường thẳng d chọn véctơ đơn vị e thì ta có trục d và hướng của e là hướng của trục d. [1] Trên trục d, cho hai điểm A, B.

Độ dài đại số của AB là một số có giá trị tuyệt đối bằng AB và số đó dương nếu AB cùng hướng với e và số đó âm nếu AB ngược hướng với e. 2) AB  BC  AC (A, B, C thẳng hàng).  An1 An  A1 An (với mọi Ai , i  1, n thẳng hàng). Tỉ số đơn Định nghĩa 1.

[1] Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, tỉ số đơn của chúng lấy CA theo thứ tự đó là tỉ số. download by : skknchat@gmail. Tỉ số kép Định nghĩa 1. [1] Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép của CA DA chúng lấy theo thứ tự đó là tỉ số :.

CB DB CA DA  ABC  Vậy  ABCD   : . CB DB  ABD  Các tính chất. 1) Tỉ số kép của bốn điểm là không thay đổi trong các trường hợp sau: + Nếu hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB). + Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu và hai điểm cuối: (ABCD) = (BADC) + Nếu viết chúng theo thứ tự ngược lại: (ABCD) = (DCBA).

2) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi trong các trường hợp: + Nếu hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành số đảo ngược của nó: 1 (BACD) = (ABDC)   ABCD  + Nếu hoán vị hai điểm ở giữa hoặc hai điểm ở đầu và cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành phần bù của 1:  ABCD   1   ACBD   1   DBCA. Hàng điểm điều hoà Định nghĩa 1. [1] Nếu (ABCD) = -1 thì ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều hoà đối với C, D. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, ta có: 2 1 1 1) Hệ thức Đề-các:  ABCD   1   .

AB AC AD 2) Hệ thức Niu-tơn:  ABCD   1  IA2  IC. download by : [e-mail] 4 3) Hệ thức Mácloranh: AC. Trên đường thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ. Đặt OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, ta có: CA  OA  OC = a – c ; CB  OB  OC = b - c DA  OD  OA = d – a ; DB  OD  OB = d - b CA DA a-c a-d Ta có  ABCD   1  :   CB DB b-c b-d  (a - c)(b - d)  - (a - d)(b - c)  2(ab + cd)  (a + b)(c + d) (1) + Chọn OA thì: OA = a = 0, AC = OC = c, AB = OB = b, AD = OD = d.

2 1 1 2 1 1 Từ (1) ta có 2cd = bc + bd      . b d c AB AC AD + Chọn O  I thì ta có OA  OB hay a = - b. Từ (1) ta có 2(- a2 + cd) = 0  a2 = cd  IA2  IC. Chứng minh tương tự đối với hệ thức Mácloranh.

[1] Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác. Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P và BC cắt NP tại Q. download by : skknchat@gmail. Một đường thẳng đi qua S và cắt (O) lần lượt tại M, N, và AB cắt MN tại I.

Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần 1. Chùm đường thẳng Định nghĩa 1. [1] Trong mặt phẳng, cho tập hợp các đường thẳng đồng quy tại điểm S thì chúng lập nên một chùm đường thẳng và S được gọi là tâm của chùm. Tập hợp các đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với nhau lập nên một chùm đường thẳng và có tâm tại vô tận.

[1] Một chùm bốn đường thẳng cắt một đường thẳng theo hàng điểm có tỉ số kép không thay đổi. * Trường hợp chùm đồng quy tại điểm S: Gọi l là đường thẳng cắt các đường thẳng a, b, c, d lần lượt tại A, B, C, D và l’ là đường thẳng cắt các đường thẳng a, b, download by : [e-mail] 6 c, d lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Ta cần chứng minh đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’) (Hình 1.4 Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a và cắt đường thẳng c tại N, cắt đường thẳng d tại M. Ta có: CA SA và DA SA   CB MB DB NB Từ đó suy ra: CA DA SA SA NB  ABCD   :  :  (1) CB AB MB NB MB Tương tự, từ điểm B’ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a và cắt đường thẳng c, d lần lượt tại M’, N’.

* Trường hợp chùm song song: Nếu a // b // c // d thì ta luôn có đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’). download by : [e-mail] 7 Định nghĩa 1. [1] Trong mặt phẳng cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Một đường thẳng l bất kì cắt chùm đó tại A, B, C, D thì (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng a, b, c, d.

Nếu chùm đồng quy tại S thì ta kí hiệu: S l S(abcd) = (ABCD). Nếu (abcd) = - 1 thì ta có một chùm điều N hoà, hay a, b liên hợp điều hoà với c, d hay a, b B chia điều hoà c, d. [1] Trong mặt phẳng cho d M c b chùm bốn đường thẳng đồng quy. Điều kiện cần a và đủ để chùm đó lập thành một chùm điều hoà Hình 1.5 là: Một đường thẳng bất kì song song với một trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng còn lại chia thành hai đoạn thẳng bằng nhau.

Kẻ đường thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lượt tại M, B, N. Theo định lý trên, ta có: NB  ABCD (abcd) =  và (abcd) = -1 MB NB   1  NB  MB MB  B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1. Trong một chùm điều hoà nếu có hai đường liên hợp vuông góc với nhau thì hai đường đó là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường còn lại (Hình 1. Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hoà hai cạnh của góc đó (Hình 1.

Chùm đường thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đường phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác. download by : skknchat@gmail.6 Trong mặt phẳng, tập hợp các đường thẳng đồng quy tại một điểm S, được gọi là một chùm đường thẳng tâm S. Cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Một đường thẳng  bất kỳ cắt a, b, c, d thứ tự tại A, B, C, D.

Khi đó (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí của  .Giá trị không đổi của tỉ số kép (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng a, b, c, d, ký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến tâm của chùm. Tứ giác toàn phần Định nghĩa 1. [1] Trong mặt phẳng, cho bốn đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không có ba đường nào đồng quy thì chúng lập thành một tứ giác toàn phần. - Các đường thẳng là các cạnh (có bốn cạnh).

- Giao của hai cạnh là đỉnh (có sáu đỉnh). - Hai đỉnh không thuộc một cạnh là hai đỉnh đối diện (có ba cặp đỉnh đối diện). - Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo (có ba đường chéo). Cho tứ giác toàn phần ABCA’B’C’.

Khi đó, ta có cặp đỉnh đối diện là (A, A’), (B, B’), (C, C’); ba đường chéo là AA’, BB’, CC’. [1] Trong một tứ giác toàn phần, cặp đỉnh đối diện chia điều hoà hai giao điểm của đường chéo nối cặp đỉnh đối diện đó với hai đường chéo còn lại. Gọi P = AA’BB’, Q = AA’CC’, R = BB’CC’. Ta chứng minh (AA’PQ) = (BB’PR) = (CC’QR) = - 1.

1  (AA’PQ) = (A’APQ)   AA ' PQ     AA ' PQ   1. 2  AA ' PQ  Nếu (AA’PQ) = 1 thì ta có (AA’P) = (AA’Q) hay PQ (vô lý). download by : skknchat@gmail. Các tỉ số kép khác được chứng minh một cách tương tự.

Đường tròn trực giao Định nghĩa 1. [3] Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung của chúng nếu tại điểm đó hai tiếp tuyến của hai đường tròn vuông góc với nhau. Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra được các kết quả sau: Định lý 1. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là bình phương khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bình phương các bán kính của chúng.

[3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là phương tích của tâm của một trong hai đường tròn đó đối với đường tròn thứ hai bằng bình phương bán kính của đường tròn thứ nhất. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là có một đường kính nào đó của một trong hai đường tròn bị đường tròn kia chia điều hoà. [3] Người ta gọi chùm đường tròn là một tập hợp các đường tròn kể từng đôi một, nhận một đường thẳng duy nhất làm trục đẳng phương. Đường thẳng đó gọi là trục đẳng phương của chùm.

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, tâm các đường tròn của một chùm phải nằm trên một đường thẳng gọi là đường chứa tâm của chùm và đường thẳng này vuông góc với trục đẳng phương của chùm. download by : [e-mail] 10 Từ định nghĩa của chùm đường tròn, ta suy ra hai định lý sau đây: Định lý 1. [3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn lập thành một chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phương tích đối với tất cả các đường tròn của tập hợp đó. Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng nối hai điểm nói trên.

[3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn có tâm thẳng hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phương tích đối với tất cả các đường tròn của tập hợp đó. Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng đi qua điểm nói trên và vuông góc với đường chứa tâm. Cực và đường đối cực 1.