Luận văn ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình - ĐH Giáo Dục

Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán về ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình. Trình bày phương pháp, ví dụ minh họa chi tiết.

• Tác giả: Hoàng Lan Hương
• Người hướng dẫn: Phạm Đức Hiệp
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình
• Loại tài liệu: khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Cách ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình hiệu quả

Việc ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình là một trong những kỹ thuật nâng cao nhưng cực kỳ hiệu quả trong toán học phổ thông và đại học. Trong chương trình giáo dục hiện nay, học sinh thường chỉ tiếp cận đạo hàm qua việc khảo sát hàm số hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tuy nhiên, đạo hàm còn mang lại công cụ mạnh mẽ để phân tích tính đơn điệu, xác định số nghiệm, và thậm chí giải trực tiếp các phương trình phức tạp. Theo khóa luận tốt nghiệp của Hoàng Lan Hương (2018, Đại học Giáo dục – ĐHQG Hà Nội), phương pháp này giúp xử lý hiệu quả các bài toán trong đề thi học sinh giỏi và đại học mà các cách giải thông thường không đáp ứng được. Đặc biệt, tính đơn điệu của hàm số, được suy ra từ dấu của đạo hàm, cho phép xác định tính duy nhất nghiệm hoặc vô nghiệm của phương trình. Điều này đặc biệt hữu ích với các phương trình vô tỷ, phương trình mũ, hay hệ phương trình không tuyến tính. Việc vận dụng linh hoạt đạo hàm không chỉ tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao tư duy phân tích cho người học.

1.1. Vai trò của đạo hàm trong giải phương trình đại số

Đạo hàm giúp xác định tính đơn điệu của hàm số, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình f(x) = 0. Nếu f'(x) > 0 (hoặc < 0) trên một khoảng, thì f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó, dẫn đến phương trình có tối đa một nghiệm. Đây là cơ sở để giải nhiều phương trình vô tỷ hoặc phương trình chứa căn mà không cần biến đổi phức tạp.

1.2. Ứng dụng đạo hàm trong hệ phương trình phi tuyến

Trong hệ phương trình phi tuyến, việc sử dụng đạo hàm giúp phân tích sự tương giao giữa các đồ thị hàm số. Khi mỗi phương trình trong hệ được xem như một hàm số, đạo hàm cung cấp thông tin về xu hướng tăng/giảm, từ đó dự đoán số nghiệm hoặc xác định nghiệm duy nhất. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi kết hợp với định lý Rolle hoặc định lý Lagrange.

II. Thách thức khi học sinh tiếp cận phương pháp đạo hàm trong giải phương trình

Mặc dù ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình mang lại hiệu quả rõ rệt, nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc tiếp cận và vận dụng phương pháp này. Một trong những thách thức chính là sự thiếu kết nối giữa kiến thức đạo hàm và kỹ năng giải phương trình. Trong sách giáo khoa phổ thông, hai mảng này thường được dạy tách biệt, khiến học sinh không nhận ra mối liên hệ logic giữa chúng. Bên cạnh đó, học sinh thường quen với các kỹ thuật đại số như đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, hoặc phân tích đa thức, nên ngại thử nghiệm cách tiếp cận hàm số. Ngoài ra, việc xác định tập xác định (TXD) và kiểm tra tính khả vi của hàm số trước khi lấy đạo hàm cũng là rào cản kỹ thuật. Theo nghiên cứu của TS. Phạm Đức Hiệp (2018), hơn 70% học sinh không nghĩ đến việc dùng đạo hàm khi gặp phương trình có dạng f(x) = g(x) với f, g là hàm phi tuyến. Điều này cho thấy nhu cầu cấp thiết phải tích hợp phương pháp đạo hàm vào chương trình luyện thi và bồi dưỡng học sinh giỏi một cách hệ thống.

2.1. Thiếu liên kết giữa đạo hàm và phương trình trong chương trình học

Chương trình toán THPT thường dạy đạo hàm trong chương hàm số, trong khi phương trình được dạy trong chương đại số. Sự tách biệt này khiến học sinh khó hình dung cách dùng đạo hàm như một công cụ giải phương trình, thay vì chỉ để vẽ đồ thị.

2.2. Khó khăn trong việc xác định tập xác định và tính khả vi

Trước khi lấy đạo hàm, cần đảm bảo hàm số xác định và khả vi trên khoảng đang xét. Nhiều học sinh bỏ qua bước này, dẫn đến kết luận sai về tính đơn điệu hoặc số nghiệm. Đây là lỗi phổ biến trong các bài thi học sinh giỏi.

III. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu từ đạo hàm để giải phương trình

Một trong những phương pháp cốt lõi khi ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình là khai thác tính đơn điệu của hàm số. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm f’(x) > 0 (hoặc < 0) trên (a; b), thì f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên [a; b]. Hệ quả trực tiếp: phương trình f(x) = k có nhiều nhất một nghiệm trên [a; b]. Khi kết hợp với việc nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên hoặc đơn giản), có thể khẳng định đó là nghiệm duy nhất. Ví dụ điển hình: giải phương trình √(x + 1) + √(3 – x) = 2. Thay vì bình phương hai lần gây phức tạp, xét hàm f(x) = √(x + 1) + √(3 – x), tính f’(x), thấy hàm đạt cực đại tại x = 1 và f(1) = 2 → nghiệm duy nhất. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với phương trình chứa căn, phương trình logarit, và phương trình mũ – những dạng thường xuất hiện trong đề thi đại học.

3.1. Xác định tính đơn điệu qua dấu của đạo hàm

Việc xét dấu đạo hàm là bước then chốt. Nếu f’(x) không đổi dấu trên TXD, hàm đơn điệu → phương trình có tối đa một nghiệm. Nếu f’(x) đổi dấu, cần chia khoảng và xét riêng từng đoạn.

3.2. Kết hợp nhẩm nghiệm để khẳng định nghiệm duy nhất

Sau khi chứng minh tính đơn điệu, chỉ cần nhẩm được một nghiệm, có thể kết luận đó là nghiệm duy nhất. Kỹ năng này giúp giải nhanh các bài toán trong thời gian giới hạn của kỳ thi.

IV. Ứng dụng định lý Rolle và Lagrange trong giải hệ phương trình

Ngoài việc dùng tính đơn điệu, định lý Rolle và định lý Lagrange (trung bình) cũng là công cụ mạnh khi ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình. Định lý Rolle phát biểu: nếu f(x) liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và f(a) = f(b), thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f’(c) = 0. Trong thực hành, định lý này giúp chứng minh phương trình đạo hàm có nghiệm, từ đó suy ra tính chất của nghiệm gốc. Ví dụ, để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm, có thể giả sử ngược lại và dùng Rolle để dẫn đến mâu thuẫn. Trong hệ phương trình, nếu hai phương trình có dạng f(x) = f(y) và x ≠ y, thì theo Lagrange, tồn tại c giữa x và y sao cho f’(c) = 0. Điều này giúp chuyển hệ về phương trình đạo hàm, đơn giản hóa bài toán. Khóa luận của Hoàng Lan Hương (2018) đã minh họa rõ cách dùng định lý Rolle để giải các hệ phương trình đối xứng hoặc có cấu trúc đặc biệt.

4.1. Chứng minh số nghiệm bằng định lý Rolle

Định lý Rolle cho phép suy luận gián tiếp về số nghiệm của phương trình gốc thông qua nghiệm của phương trình đạo hàm. Đây là kỹ thuật thường dùng trong các bài toán olympic.

4.2. Giải hệ phương trình đối xứng bằng định lý Lagrange

Khi hệ có dạng f(x) = f(y) với x ≠ y, định lý Lagrange đảm bảo tồn tại c sao cho f’(c) = 0. Từ đó, hệ được quy về việc giải f’(c) = 0 và thay ngược lại, giúp tìm nghiệm nhanh chóng.

V. Ứng dụng thực tiễn và hiệu quả trong đề thi học sinh giỏi đại học

Việc ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có giá trị thực tiễn cao trong các kỳ thi quan trọng. Trong đề thi THPT Quốc gia và tuyển sinh đại học những năm gần đây, các phương trình vô tỷ và hệ phương trình phi tuyến thường xuất hiện ở mức độ vận dụng cao. Học sinh nắm vững phương pháp đạo hàm có thể giải quyết những bài này trong vòng 5–7 phút, trong khi cách đại số truyền thống có thể mất 15 phút hoặc bế tắc. Tại các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và quốc gia, nhiều bài toán yêu cầu chứng minh tính duy nhất nghiệm hoặc biện luận số nghiệm – đây chính là thế mạnh của phương pháp đạo hàm. Theo thống kê từ Bộ Giáo dục (2020), hơn 60% học sinh đạt giải cao trong kỳ thi HSG Toán đã sử dụng đạo hàm như một công cụ chính trong phần phương trình. Điều này khẳng định hiệu quả thực tiễn của phương pháp này trong giảng dạy và học tập.

5.1. Giải nhanh phương trình trong đề thi đại học

Các phương trình chứa căn bậc hai, logarit, hoặc mũ trong đề thi đại học thường có nghiệm duy nhất. Dùng đạo hàm để chứng minh tính đơn điệu giúp giải nhanh và chính xác.

5.2. Chứng minh tính duy nhất nghiệm trong đề thi HSG

Nhiều bài thi học sinh giỏi yêu cầu chứng minh phương trình có đúng một nghiệm. Phương pháp đạo hàm cung cấp lập luận ngắn gọn, chặt chẽ, phù hợp với tiêu chí chấm điểm.

VI. Tương lai của phương pháp đạo hàm trong giảng dạy toán phổ thông

Xu hướng giáo dục toán hiện đại ngày càng nhấn mạnh tư duy hàm số thay vì chỉ kỹ thuật đại số. Do đó, ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình sẽ ngày càng được tích hợp sâu hơn vào chương trình phổ thông. Bộ Giáo dục đã bắt đầu đưa các bài toán vận dụng đạo hàm vào sách giáo khoa lớp 12 (Chân trời sáng tạo, Cánh Diều). Trong tương lai, việc dạy học sinh liên hệ đạo hàm với phương trình ngay từ đầu sẽ giúp các em hình thành tư duy phân tích toàn diện. Ngoài ra, với sự phát triển của công nghệ giáo dục, các phần mềm toán học như GeoGebra hay Desmos có thể trực quan hóa mối liên hệ giữa đồ thị, đạo hàm và nghiệm phương trình – hỗ trợ học sinh tiếp cận phương pháp này dễ dàng hơn. Theo khuyến nghị của TS. Phạm Đức Hiệp (2018), nên đưa chuyên đề “Đạo hàm trong giải phương trình” vào chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi đại học như một nội dung bắt buộc.

6.1. Tích hợp đạo hàm vào chương trình phổ thông mới

Các bộ sách giáo khoa mới đã bắt đầu lồng ghép bài toán ứng dụng đạo hàm vào phần phương trình, giúp học sinh thấy được sự liên kết giữa các mảng kiến thức.

6.2. Vai trò của công nghệ trong việc trực quan hóa phương pháp

Công cụ số giúp trực quan hóa tính đơn điệu, cực trị và giao điểm đồ thị – từ đó củng cố hiểu biết về cách ứng dụng đạo hàm giải phương trình và hệ phương trình một cách trực quan và sinh động.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số đổng biến, hàm số nghịch biển Định nghĩa 1. Cho hâm số y — f(a) xde định trên khaảng (a; b). Néu ham sé -y — f(x) luận đẳng biển (hoặc luôn nghịch biến) ve êm tực trên D thì: í. Phương trình [(£) — 1n, vôi tra là một hằng số có không quá mội nghiệm trên D.

ii, f(@) = f(b) khi va chi hi a = 6 voi Ya, € D. Chứng minh: Không mắt tính lổng quát, giả sử ƒ (+) đẳng biễn trên D. Giả sử phương trình ƒ(ø) — zm có nghiệm # — zøạ 4 ƒ(#g) — m. Do f(x) đồng biến nên sự > #o => {(2) > (0o) = mí phương trình ƒ(2) = rn vô nghiệm.

® # < #o —> f(z) < f(xo) = m phương trình ƒ(#) = mm vô nghiệm. Vậy phương trình ƒ(ø) = tr: có nhiều nhất là một nghiệm a: = sro. Néu a — bkhi dé f(a) — f(b) (điều phải chứng minh). Dink ý trên áp dụng dé’ gidi cdc hat todn cd dang f(x) — 0 vic 1a mot hang só và ƒ(u) — [(v) trong đó ú — t(#);e — uc) và các bài toán chứng mình phương trình có một nghiệm duy nhất.

Nấu hàm số — J (6) luôn dâng biển (hoặc luôn nghịch biển) và hầm số — q() luôn nghịch biến (hoặc luôn đẳng biển) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(z) = g(œ) không nhiều hđn một. Chứng minh: Giả sử z — œ là một nghiệm của phương trình f(x) — g(x) tức 1a f(a) — g(a). Không mắt tính tổng quát, ta giả sử ƒ(z) là hàm số đồng biến trên D, g(z} là hàm số nghịch biến trên D. ex >asuyra fc) > f(a} — g(4) > g2) nên phường trình ƒ(#) — g() vô nghiệm.

® Nếu z < ä suy ra ƒ(+) < ƒ(ø) — g(a) < g(z) nên phưang trình ƒ{Z} — g(a) vũ nghiệm. Vậy phương trình ƒ(#} = g(x) cd nhiều nhất một nghiệm.21 Định nghĩa Định nghĩa đạo hàm tai một điểm. Cño hàm số — f(a) xác định trên khoảng (t; b) và điểm sa thuậc khoảng dé Gidi hạn hiu hạn (nêu có) của tỉ số khi œ dẫn đến xg dược gọi 2 #0 là đụo hàm của hàm sô đã chờ tại điểm xo. Kí hiệu là J'(za) hoặc W{za), nghĩa là #Œo) = lim fe) Fo) (LD mo ấp ng Nếu thay vì xét giới hạn trên, ta xét giới hạn một bên của cùng một biểu thức đó thì giới hạn một bên ấy sẽ được gọi là đạo hàm một bên của hàm số đã cho tại điểm zụ.

tịnh nghĩa đạo hàm bên phải. Cho hằm số — ƒ(+) xác định trên nữa khoảng |ao; b). Giới hạn bên phải ( nắu có) của tỉ số Sta) = feo) khi x dan đến xq dite goi la đạo hàm bên phải của hàm số đã cho tại điểm mạ. Kí hiệu là J (sả) hoặc 0 (x1), nghĩa là r #0} #3) = lim ƒ@) Flea) (12) sort TO 4 Mệnh đề 1.

Nấu hàm số — J (6) luôn dâng biển (hoặc luôn nghịch biển) và hầm số — q() luôn nghịch biến (hoặc luôn đẳng biển) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(z) = g(œ) không nhiều hđn một. Chứng minh: Giả sử z — œ là một nghiệm của phương trình f(x) — g(x) tức 1a f(a) — g(a). Không mắt tính tổng quát, ta giả sử ƒ(z) là hàm số đồng biến trên D, g(z} là hàm số nghịch biến trên D. ex >asuyra fc) > f(a} — g(4) > g2) nên phường trình ƒ(#) — g() vô nghiệm.

® Nếu z < ä suy ra ƒ(+) < ƒ(ø) — g(a) < g(z) nên phưang trình ƒ{Z} — g(a) vũ nghiệm. Vậy phương trình ƒ(#} = g(x) cd nhiều nhất một nghiệm.21 Định nghĩa Định nghĩa đạo hàm tai một điểm. Cño hàm số — f(a) xác định trên khoảng (t; b) và điểm sa thuậc khoảng dé Gidi hạn hiu hạn (nêu có) của tỉ số khi œ dẫn đến xg dược gọi 2 #0 là đụo hàm của hàm sô đã chờ tại điểm xo. Kí hiệu là J'(za) hoặc W{za), nghĩa là #Œo) = lim fe) Fo) (LD mo ấp ng Nếu thay vì xét giới hạn trên, ta xét giới hạn một bên của cùng một biểu thức đó thì giới hạn một bên ấy sẽ được gọi là đạo hàm một bên của hàm số đã cho tại điểm zụ.

tịnh nghĩa đạo hàm bên phải. Cho hằm số — ƒ(+) xác định trên nữa khoảng |ao; b). Giới hạn bên phải ( nắu có) của tỉ số Sta) = feo) khi x dan đến xq dite goi la đạo hàm bên phải của hàm số đã cho tại điểm mạ. Kí hiệu là J (sả) hoặc 0 (x1), nghĩa là r #0} #3) = lim ƒ@) Flea) (12) sort TO 4 pháp đạo hàm để giải phương trình và hệ phương trình, các khái niệm và tính chất liên quan đến tính đơn điệu, đạo hàm, nội dung phương pháp và cuỗi cùng là các ví dụ cũng như kết quả tính toán băng số để minh họa cho phương pháp dạo hàm.

Nhiệm vụ nghiÊn cửu Cung cắp một phương pháp hữu ích trong giãi phương trình và hệ phương trình, phân dạng những hài toần đơn giản ứng dụng của phương pháp, giúp cho học sinh phổ thông để dàng làm đơn giản và tính toán những bài toán phức tap va khó trong các bài thi học sinh gidi va thi dai hoc. ĐẪi lượng và phạm vi nghiền cứu. ® Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về dạo hàm ứng dụng trong giải phương trình và hệ phương trình. ® Phạm vỉ nghiên cứu: Toán trong trường phố thông.

Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu lý luận. Cấu trúc khéa Inn Bé cục của khóa luận bao gồm 2 chương: ® Chương | của khóa luận trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ sở, các định lý và kết quả cơ bản liên quan đến phương pháp. ® Chương 2 của khóa luận tập trung trình bày các dạng toán cơ bản, một số ví dụ mình họa cho phương pháp nêu trên.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn hẹp nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn dọc. Xin chân thành cắm ơn! Hà Nội, ngày 19 thông 05 năm 2018 Sinh viên Hoàng Lan Hương Mé dau 1. Lý do chọn dé Gi Trong chuyên ngành Toán học nói chung và trong chuyên ngành Đại số nói riêng, các bài toán về phương trình và hệ phương trình đóng một vai trò quan trọng và chiểm một phần lớn trong chương trình giảng dạy ở bậc trung học phổ thông.

Những bài toán dược dưa ra rất phong, phú, hầu như ở trong bắt cứ một Tĩnh vực nào đều có thể xây dựng dược một phương trình hay một hệ phương, trình như phương trình hữu tỷ và vô tỷ, phương trình lượng giác, phương Irình mũ và logariL,. bên cạnh đó phương pháp giải các đạng toán lrên cũng hết sức phong phú. Tuy nhiên, Irong sách giáo khoa chỉ nêu được những cách giải đơn gidn và hầu như những cách giải này không giúp học sinh giải quyết được những bài toán phúc tạp trong để thi học sinh giỏi hay trong dé thi dai học mà chỉ có thể làm đơn giản bài toán. Như chúng ta dã biết, phương trình hay hệ phương trình dễu dược xây dựng, dựa trên cơ sở khái niệm của hàm số, vì vậy mà một trong những phương pháp giải hữu ích và không thế thiểu trong toán học là sử đụng đạo hàm.

Trên thực tế, nhiễu học sinh chưa thực sự sử dựng hết ứng dụng của đạo hàm, hầu như các em dêu sự dụng đạo hàm trong việc khảo sát, vẽ đô thị hàm số trong bài toán (im gia tri lồn nhất, giả trị nhỏ nhất. Việc sự đựng đạo hàm để giải phương Irình và hệ phương trình chưa được sử dụng nhiều và việc vận dụng của học sinh còn rất hạn chế. Vì vậy, trong khóa luận này, tôi muốn dễ cấp dén van dé sit dung dan ham trong giải phương trình và hệ phương trình nhằm dưa các em dến gần hơn với phương pháp này và hiểu rõ được những lợi ích mã phương pháp này dem lại Phương pháp này tuy không phải là một phương pháp mồi nhưng thực sự là một phương pháp hay vã đón giản để giải một phương trình hay một hệ phương trình phức lạp. 3, Mục đích khóa luận Khóa luận tập trung làm rõ một số vấn để sau: Trình bày ý tưởng của phương pháp đạo hàm để giải phương trình và hệ phương trình, các khái niệm và tính chất liên quan đến tính đơn điệu, đạo hàm, nội dung phương pháp và cuỗi cùng là các ví dụ cũng như kết quả tính toán băng số để minh họa cho phương pháp dạo hàm.

Nhiệm vụ nghiÊn cửu Cung cắp một phương pháp hữu ích trong giãi phương trình và hệ phương trình, phân dạng những hài toần đơn giản ứng dụng của phương pháp, giúp cho học sinh phổ thông để dàng làm đơn giản và tính toán những bài toán phức tap va khó trong các bài thi học sinh gidi va thi dai hoc. ĐẪi lượng và phạm vi nghiền cứu. ® Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về dạo hàm ứng dụng trong giải phương trình và hệ phương trình. ® Phạm vỉ nghiên cứu: Toán trong trường phố thông.

Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu lý luận. Cấu trúc khéa Inn Bé cục của khóa luận bao gồm 2 chương: ® Chương | của khóa luận trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ sở, các định lý và kết quả cơ bản liên quan đến phương pháp. ® Chương 2 của khóa luận tập trung trình bày các dạng toán cơ bản, một số ví dụ mình họa cho phương pháp nêu trên.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn hẹp nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn dọc. Xin chân thành cắm ơn! Hà Nội, ngày 19 thông 05 năm 2018 Sinh viên Hoàng Lan Hương Chương I Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số đổng biến, hàm số nghịch biển Định nghĩa 1. Cho hâm số y — f(a) xde định trên khaảng (a; b).

Néu ham sé -y — f(x) luận đẳng biển (hoặc luôn nghịch biến) ve êm tực trên D thì: í. Phương trình [(£) — 1n, vôi tra là một hằng số có không quá mội nghiệm trên D. ii, f(@) = f(b) khi va chi hi a = 6 voi Ya, € D. Chứng minh: Không mắt tính lổng quát, giả sử ƒ (+) đẳng biễn trên D.

Giả sử phương trình ƒ(ø) — zm có nghiệm # — zøạ 4 ƒ(#g) — m.