Tứ Giác: Kiến Thức Cần Nhớ và Bài Tập Vận Dụng

Tứ giác là một trong những hình học cơ bản trong toán học, bao gồm bốn đoạn thẳng nối liền với nhau. 276 trang · 2023.

• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Tứ Giác: Kiến Thức Cơ Bản và Bài Tập Vận Dụng
• Loại tài liệu: Bài Tập
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 1. CHƯƠNG I: TỨ GIÁC
• 1.1. Chuyên đề 1. Kiến thức cần nhớ
• 1.2. Bài tập vận dụng
• 1.3. Hướng dẫn giải
• 2. HÌNH THANG CÂN
• 2.1. Kiến thức cần nhớ
• 2.2. Một số ví dụ
• 2.3. Bài tập vận dụng
• 2.4. Hướng dẫn giải

Tóm tắt

I. Tổng quan về Tứ Giác Kiến thức cơ bản cần biết

Tứ giác là một trong những hình học cơ bản trong toán học, bao gồm bốn đoạn thẳng nối liền với nhau. Tứ giác có thể được phân loại thành tứ giác lồi và tứ giác lõm. Tổng các góc trong của một tứ giác luôn bằng 360 độ. Việc hiểu rõ về tứ giác là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.

1.1. Định nghĩa và phân loại các loại tứ giác

Tứ giác được chia thành nhiều loại như hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, và hình thang cân. Mỗi loại tứ giác có những đặc điểm riêng biệt và ứng dụng khác nhau trong thực tế.

1.2. Tổng quan về các đặc điểm của tứ giác

Tổng các góc trong của tứ giác là 360 độ. Đặc biệt, trong tứ giác lồi, mọi góc đều nhỏ hơn 180 độ, trong khi tứ giác lõm có ít nhất một góc lớn hơn 180 độ.

II. Vấn đề và thách thức trong việc hiểu tứ giác

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc phân biệt giữa các loại tứ giác và áp dụng các công thức tính toán liên quan. Việc hiểu rõ các đặc điểm và tính chất của tứ giác là rất cần thiết để giải quyết các bài toán hình học phức tạp.

2.1. Những khó khăn thường gặp khi học về tứ giác

Học sinh thường nhầm lẫn giữa các loại tứ giác và không nắm rõ các công thức tính diện tích và chu vi của chúng.

2.2. Tại sao việc hiểu tứ giác lại quan trọng

Hiểu biết về tứ giác giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề trong toán học, từ đó áp dụng vào các lĩnh vực khác.

III. Phương pháp giải quyết bài toán liên quan đến tứ giác

Có nhiều phương pháp để giải quyết các bài toán liên quan đến tứ giác. Việc áp dụng đúng công thức và phương pháp sẽ giúp học sinh đạt được kết quả tốt hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi.

3.1. Công thức tính diện tích tứ giác

Diện tích của tứ giác có thể được tính bằng nhiều công thức khác nhau, tùy thuộc vào loại tứ giác. Ví dụ, diện tích hình chữ nhật được tính bằng chiều dài nhân chiều rộng.

3.2. Phương pháp chứng minh các tính chất của tứ giác

Sử dụng các định lý hình học như định lý Pythagore và các tính chất của các góc để chứng minh các tính chất của tứ giác.

IV. Ứng dụng thực tiễn của tứ giác trong cuộc sống

Tứ giác không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế như trong kiến trúc, thiết kế và nghệ thuật. Việc hiểu rõ về tứ giác giúp con người áp dụng vào các lĩnh vực này một cách hiệu quả.

4.1. Tứ giác trong kiến trúc và thiết kế

Nhiều công trình kiến trúc sử dụng tứ giác để tạo ra các hình dạng và cấu trúc độc đáo, từ đó tạo nên vẻ đẹp cho công trình.

4.2. Tứ giác trong nghệ thuật

Trong nghệ thuật, tứ giác được sử dụng để tạo ra các tác phẩm có hình dạng và bố cục hấp dẫn, thu hút sự chú ý của người xem.

V. Kết luận và tương lai của nghiên cứu về tứ giác

Nghiên cứu về tứ giác vẫn đang tiếp tục phát triển, với nhiều ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững kiến thức về tứ giác sẽ giúp học sinh có nền tảng vững chắc cho việc học toán cao hơn.

5.1. Tương lai của nghiên cứu hình học

Nghiên cứu hình học, đặc biệt là tứ giác, sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các công nghệ mới và giải quyết các vấn đề phức tạp.

5.2. Khuyến khích học sinh nghiên cứu sâu hơn về tứ giác

Khuyến khích học sinh tham gia các hoạt động nghiên cứu và thực hành để nâng cao hiểu biết về tứ giác và các khái niệm hình học khác.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Tài liệu học thuật "Chương I: Tứ Giác" thuộc phân môn Hình học phẳng trong chương trình Toán học cơ sở và nâng cao. Tài liệu đóng vai trò cầu nối quan trọng trong hệ thống hình học phẳng Euclid, mở rộng đối tượng nghiên cứu từ tam giác sang các cấu trúc đa giác phẳng nhiều cạnh, thiết lập nền tảng lý thuyết và phương pháp suy luận hình học chặt chẽ.

Mục tiêu học tập của tài liệu tập trung vào việc trang bị cho người học:

• Định nghĩa, tính chất hình học và các dấu hiệu nhận biết của hệ thống tứ giác phẳng (tứ giác lồi, hình thang, hình thang cân, hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật).
• Phương pháp ứng dụng định lý đường trung bình trong tam giác và hình thang để chứng minh quan hệ song song, tỉ lệ độ dài, quan hệ đồng quy và thẳng hàng.
• Năng lực giải quyết các bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa theo quy trình 4 bước chuẩn tắc.
• Năng lực vận dụng các phương pháp chứng minh nâng cao: bất đẳng thức hình học, cực trị hình học, nguyên lý phản chứng, phương pháp đại số hóa hình học và mô hình hóa đồ thị bằng phương pháp tô màu.

Cấu trúc giáo trình được thiết kế theo mô hình chuyên đề sư phạm tuần tự gồm 5 chuyên đề cốt lõi. Mỗi chuyên đề bao gồm 4 phần thống nhất: Kiến thức cần nhớ, Một số ví dụ (kèm phân tích Tìm cách giải và Trình bày lời giải), Bài tập vận dụng (phân loại theo dạng bài), và Hướng dẫn giải chi tiết.

Điểm đặc thù của tài liệu là cách tiếp cận phân tích tư duy hình học tường minh thông qua mục "Tìm cách giải" trước mỗi bài toán mẫu, kết hợp hướng dẫn kỹ thuật vẽ hình phụ và tích hợp các bài toán trích từ các kỳ thi học sinh giỏi (như Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2010) cùng các định lý hình học cổ điển (như Định lý Giéc-Gôn).

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung tài liệu được phân chia thành 5 chuyên đề trọng tâm thuộc Chương I:

Chương I: Tứ giác

• Chuyên đề 1: Tứ giác: Trình bày định nghĩa tứ giác $ABCD$, phân loại tứ giác lồi và tứ giác lõm, định lý tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360^\circ$. Thiết lập các bài toán xác định số đo góc (như tính góc tạo bởi các tia phân giác), quan hệ bất đẳng thức tam giác mở rộng ($MA + MC \ge AC$, $MB + MD \ge BD$), bài toán quan hệ độ dài chia hết và bài toán mô hình hóa quan hệ xã hội bằng đồ thị 9 điểm tô hai màu.
• Chuyên đề 2: Hình thang cân. Dựng hình thang: Xác định định nghĩa hình thang, hình thang vuông, hình thang cân; chứng minh các tính chất đặc trưng (hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau) và 3 dấu hiệu nhận biết hình thang cân. Trình bày phương pháp giải bài toán dựng hình bằng thước và compa gồm 4 bước chuẩn tắc: Phân tích, Cách dựng, Chứng minh, Biện luận.
• Chuyên đề 3: Đường trung bình của tam giác, của hình thang: Định nghĩa và tính chất của đường trung bình trong tam giác ($MN // BC, MN = \frac{1}{2}BC$) và trong hình thang ($MN // AB // CD, MN = \frac{AB + CD}{2}$). Phát biểu tính chất đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo ($PQ = \frac{CD - AB}{2}$); mở rộng bài toán chứng minh thẳng hàng qua tiên đề Euclid và bài toán xác định điểm cố định.
• Chuyên đề 4: Hình bình hành: Hệ thống hóa định nghĩa, tính chất cạnh đối, góc đối, giao điểm hai đường chéo và 5 dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Trình bày Định lý Giéc-Gôn về sự đồng quy của ba đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối và trung điểm hai đường chéo; bài toán xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất khi biết độ dài hai đường chéo $m, n$ và góc xen giữa $\alpha$; bài toán thực tế tìm vị trí bắc cầu qua sông ngắn nhất.
• Chuyên đề 5: Hình chữ nhật. Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước: Định nghĩa hình chữ nhật có bốn góc vuông, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm. Khảo sát định lý trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ($AM = \frac{1}{2}BC$). Trình bày tính chất tập hợp các điểm cách đều một đường thẳng cố định một khoảng $h$ không đổi; kết hợp bài toán cực trị hình học với bất đẳng thức đại số $(x+y)^2 \ge 4xy$ và bài toán phân bố 8–10 điểm trong lưới $3 \times 6$.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình xây dựng hệ thống kiến thức hình học dựa trên các nguyên lý và định lý nền tảng:

1. Mối quan hệ phân cấp hình học: Xác lập mối liên hệ logic liên tục giữa các hình phẳng: từ tứ giác tổng quát $\to$ hình thang $\to$ hình thang cân/hình thang vuông $\to$ hình bình hành $\to$ hình chữ nhật.
2. Tiên đề Euclid và quan hệ song song: Sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng song song để chứng minh các bài toán nhiều điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy.
3. Mở rộng định lý Pythagoras: Chứng minh và ứng dụng bài toán phụ cho tam giác có góc tù hoặc góc vuông ($A \ge 90^\circ \implies BC^2 \ge AB^2 + AC^2$) vào việc đánh giá khoảng cách giữa các điểm trong mặt phẳng.
4. Bất đẳng thức hình học và đại số: Vận dụng bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đoạn thẳng và bất đẳng thức đại số cơ bản $a^2 + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2}$ để giải các bài toán cực trị về độ dài, chu vi và diện tích.

Kỹ năng phát triển

Tài liệu tập trung phát triển các nhóm năng lực kỹ thuật và phân tích hình học cho người học:

• Kỹ năng vẽ hình phụ: Kỹ thuật kẻ đường thẳng song song với một cạnh bên của hình thang, dựng trung điểm của đoạn thẳng, dựng hình bình hành phụ, kẻ đường vuông góc phụ để chuyển giao các giả thiết phân tán về cùng một tam giác.
• Kỹ năng tư duy dựng hình và quỹ tích: Thực hiện chính xác quy trình 4 bước dựng hình bằng dụng cụ hình học cơ bản (thước và compa), biện luận số nghiệm hình theo tham số thực.
• Kỹ năng lập luận logic và biến đổi đại số trong hình học: Biến đổi hệ thức góc, đặt ẩn số đo góc ($\alpha, m^\circ, n^\circ$) để biểu diễn các góc phụ thuộc, quy đổi bài toán cực trị hình học sang bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Tài liệu áp dụng phương pháp tiếp cận sư phạm định hướng giải quyết vấn đề (Problem-Solving Approach). Quy trình học tập và giảng dạy được triển khai theo cấu trúc logic:

Lý thuyết cốt lõi (Định nghĩa, Tính chất, Dấu hiệu)

Hệ thống bài tập mẫu và bài tập thực hành được phân loại theo chủ đề rõ ràng:

• Chủ đề tính toán số đo góc và quan hệ góc: Ứng dụng tổng các góc của tứ giác ($360^\circ$), tính chất tia phân giác trong, phân giác ngoài, và các cặp góc so le trong, đồng vị.
• Chủ đề tính toán và so sánh độ dài: Sử dụng định lý Pythagoras, bất đẳng thức tam giác, định lý đường trung bình tam giác và hình thang.
• Chủ đề dựng hình: Dựng tam giác, hình thang, hình bình hành theo các yếu tố góc, độ dài cạnh, hiệu độ dài hai cạnh ($AC - AB = 2\text{ cm}$), độ dài đường chéo và góc xen giữa.
• Chủ đề chứng minh hình học thuần túy: Chứng minh tứ giác là hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật; chứng minh tính đồng quy của các đường trung trực, đường cao, đường chéo (như Định lý Giéc-Gôn).

Phương pháp đánh giá kết quả học tập được xây dựng thông qua mức độ hoàn thành các bài toán chứng minh độc lập, khả năng lập luận biện luận số nghiệm hình trong bài toán dựng hình, và khả năng giải quyết các bài toán nâng cao đòi hỏi phương pháp phản chứng hoặc mô hình hóa tổ hợp.

Đối với việc tự học, tài liệu cung cấp chỉ dẫn rõ ràng qua phần "Nhận xét" sau các ví dụ (như kỹ thuật đặt $\widehat{ABC} = \alpha$, kỹ thuật vẽ điểm đối xứng hoặc trung điểm phụ) và hệ thống lời giải chi tiết giúp người học tự kiểm tra, đối chiếu tiến trình suy luận.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

Nội dung tài liệu thể hiện các đặc điểm học thuật nổi bật thông qua việc kết hợp giữa lý thuyết tiêu chuẩn và các phương pháp giải toán nâng cao:

• Tích hợp các định lý và bài toán học thuật mở rộng: Tài liệu đưa vào nội dung Định lý Giéc-Gôn (nhà Toán học Pháp Gergonne) chứng minh tính đồng quy của đoạn nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn nối trung điểm hai cặp cạnh đối trong tứ giác tổng quát; tích hợp bài toán hình học từ kỳ thi Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2010.
• Ứng dụng phương pháp tổ hợp và đồ thị trong hình học: Sử dụng phương pháp tô màu đoạn thẳng (xanh - đỏ) trên mô hình đồ thị đầy đủ 9 đỉnh để giải quyết bài toán quan hệ xã hội (tồn tại 4 điểm đôi một liên kết màu đỏ), vận dụng nguyên lý Dirichlet trong đánh giá khoảng cách điểm trong hình chữ nhật $3 \times 6$.
• Mô hình hóa bài toán thực tế: Bài toán xác định vị trí bắc cầu qua sông có hai bờ song song $d$ và $d'$ với bề rộng $a$ sao cho tổng quãng đường từ điểm dân cư $A$ đến điểm dân cư $B$ là ngắn nhất ($AC + CD + DB$ nhỏ nhất), minh họa trực tiếp tính ứng dụng của phép tịnh tiến và tính chất hình bình hành.
• Chuẩn hóa phương pháp luận vẽ hình phụ: Hệ thống hóa các quy tắc kẻ đường phụ có tính ứng dụng cao:
  1. Vẽ đường thẳng song song với một cạnh bên của hình thang để tạo tam giác và hình bình hành phụ.
  2. Dựng trung điểm của đoạn thẳng để khai thác định lý đường trung bình.
  3. Dựng tam giác bằng nhau hoặc tam giác vuông cân ở phía ngoài đa giác để chuyển đổi liên hệ góc và cạnh.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

Tài liệu được biên soạn phục vụ các nhóm đối tượng cụ thể trong hoạt động đào tạo và nghiên cứu toán học sơ cấp:

• Học sinh chuyên Toán và sinh viên Sư phạm Toán: Tài liệu là tài liệu học tập nền tảng cho học sinh các lớp chuyên Toán, sinh viên đại học ngành Sư phạm Toán học, cử nhân Toán học cần nắm vững phương pháp giảng dạy hình học phẳng và kỹ năng chứng minh toán sơ cấp.
• Kiến thức tiên quyết (Prerequisites): Người học cần nắm vững toàn bộ kiến thức hình học phẳng về tam giác (các trường hợp bằng nhau của tam giác, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, định lý Pythagoras, các đường đồng quy trong tam giác: trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) và kỹ năng biến đổi bất đẳng thức đại số cơ bản.
• Giảng viên và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi: Cung cấp khung tài liệu giảng dạy chuẩn mực, nguồn bài toán mẫu phân tích tư duy ("Tìm cách giải"), hệ thống bài tập phân loại theo cấp độ để xây dựng đề kiểm tra và giáo trình chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.
• Tự học và tài liệu tham khảo: Phù hợp cho người học tự nâng cao năng lực tư duy logic, rèn luyện kỹ năng giải các bài toán hình học cực trị và bài toán dựng hình cổ điển.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với trình độ người học nào?

Tài liệu được thiết kế cho người học đã hoàn thành chương trình hình học tam giác cơ bản, muốn nâng cao kỹ năng chứng minh hình học phẳng, bồi dưỡng học sinh giỏi hoặc phục vụ công tác giảng dạy chuyên môn Toán sơ cấp.

2. Cần chuẩn bị những kiến thức nền tảng nào trước khi học tài liệu này?

Người học cần nắm vững:

• Các trường hợp bằng nhau của tam giác (c-c-c, c-g-c, g-c-g, cạnh huyền - góc nhọn, cạnh huyền - cạnh góc vuông).
• Định lý Pythagoras trong tam giác vuông.
• Các tính chất về đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác.
• Các bất đẳng thức đại số cơ bản như $(x-y)^2 \ge 0 \iff (x+y)^2 \ge 4xy$.

3. Điểm khác biệt của tài liệu này so với các sách bài tập thông thường là gì?

Tài liệu không chỉ đưa ra đề bài và đáp án mà luôn cung cấp phần Tìm cách giải phân tích rõ nguyên nhân tại sao lại vẽ thêm đường phụ, tại sao chọn định lý cụ thể, đồng thời tích hợp các bài toán thi Olympic và các định lý mở rộng như Định lý Giéc-Gôn, phương pháp tô màu đồ thị.

4. Làm sao để tự học hiệu quả các chuyên đề dựng hình trong tài liệu?

Người học cần thực hiện nghiêm ngặt quy trình 4 bước:

1. Phân tích: Giả sử hình đã dựng để tìm mối liên hệ với các yếu tố cố định.
2. Cách dựng: Nêu rõ các bước dựng bằng thước kẻ và compa.
3. Chứng minh: Chứng minh hình vừa dựng thỏa mãn mọi điều kiện của đề bài.
4. Biện luận: Xác định số lượng nghiệm hình dựa trên các điều kiện tham số cho trước.

5. Tài liệu có cung cấp lời giải cho toàn bộ bài tập không?

Tất cả các bài tập vận dụng trong tài liệu đều có mục Hướng dẫn giải đi kèm ở cuối mỗi chuyên đề, trình bày chi tiết các bước biến đổi, cách vẽ hình phụ và đáp số cụ thể.

---

Kết luận

Tài liệu "Chương I: Tứ Giác" là một tài liệu học thuật hoàn chỉnh về hình học phẳng, kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết cấu trúc đa giác, phương pháp giải toán hình học kinh điển và các dạng toán mở rộng nâng cao.

Lộ trình học tập đề xuất:

1. Nắm chắc định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết ở phần Kiến thức cần nhớ.
2. Đọc kỹ mục Tìm cách giải ở phần Một số ví dụ để hiểu bản chất việc vẽ hình phụ trước khi đọc bài giải chi tiết.
3. Tự thực hiện các bài toán trong phần Bài tập vận dụng và đối chiếu với phần Hướng dẫn giải.

Nguồn tài liệu bổ trợ khuyến nghị tiếp theo bao gồm các chuyên đề về Đa giác - Diện tích đa giác, Đường tròn, và Các phép biến hình trong mặt phẳng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I Chuyên đề 3 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG A.Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa • Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h.1) • Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang (h. Tính chất • Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. BC Trên hình 3.1 thì MN //BC và MN = 2 • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

AB + CD Trên hình 3.2 thì MN //AB //CD và MN = 2 3. Định lí • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng AG chia đôi MN .3) * Tìm cách giải Kết luận của bài toán gợi ý cho ta dùng định lý đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Gọi H là trung điểm của BG thì ta có thể dùng định lý đường trung bình để chứng minh.

* Trình bày lời giải Gọi O là giao điểm của AG và MN. Trang 1 Gọi H là trung điểm của BG. Theo tính chất của trọng tâm, ta có: BH = GN. = HG Xét ∆ABG có MH là đường trung bình ⇒ MH //AG.

Xét ∆HMN có AG //MH và NG = GH nên ON = OM. Vậy AG chia đôi MN. Nhận xét: Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng là cách vẽ hình phụ thường dùng để vận dụng định lý đường trung bình của tam giác. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có chu vi là 4a.

Gọi E, F , G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EG và HF có một đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a .4) * Tìm cách giải Để chứng minh một trong hai đoạn thẳng EG và HF có độ dài không lớn hơn a , ta chứng minh tổng của hai đoạn này không lớn hơn 2 a. Khi đó một trong hai đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a. * Trình bày lời giải Gọi M là trung điểm của BD.

AB Xét ∆ABD có HM là đường trung bình nên HM =. 2 CD Xét ∆BDC có MF là đường trung bình nên MF =. 2 AB + CD Xét ba điểm M ,H ,F có HF ≤ MH + MF =. 2 AD + BC Chứng minh tương tự, ta được: EG ≤.

2 AB + CD + AD + BC 4a Vậy HF + EG ≥ = = 2a. 2 2 Suy ra một trong hai đoạn thẳng HF ,EG có độ dài không lớn hơn a. Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này vẫn là vẽ trung điểm của đoạn thẳng BD. Cũng có thể vẽ trung điểm của đoạn thẳng AC thay cho trung điểm của đoạn thẳng BD.

1 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , BC = 6 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Vẽ 3 DE //BC ( E ∈ AC ). Tính độ dài DE .5) * Tìm cách giải Trang 2 1 Vì AD = DB nên ta vẽ trung điểm F của DB.

Từ F vẽ một đường thẳng song song với BC thì 2 DE chính là đường trung bình của một tam giác. Từ đó sẽ tính được độ dài của nó. * Trình bày lời giải Gọi F là trung điểm của DB. Khi đó: AD = DF = FB.

Vẽ FH //BC ( H ∈ AC ). Xét ∆AFH có DE //FH và AD = DF nên AE = EH. Xét hình thang DECB có FH //BC và DF = FB nên EH = HC. Ta đặt DE = x.

1 Ta có DE là đường trung bình của ∆AFH ⇒ DE= FH ⇒ FH = 2 x. 2 Ta có FH là đường trung bình của hình thang DECB DE + BC x+6 ⇒ FH = ⇒ 2= x x 2( cm ). ⇒= 2 2 Vậy DE = 2cm. Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này là ngoài việc vẽ trung điểm của một đoạn thẳng ta còn thêm đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD , AB là đáy nhỏ. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC. a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N , P, Q thẳng hàng; CD − AB b) Chứng minh PQ //CD và PQ = ; 2 c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN Giải (h.6) * Tìm cách giải Trong hình vẽ có nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng nên có thể vận dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh thẳng hàng. * Trình bày lời giải a) Xét ∆ABD có MP là đường trung bình ⇒ MP //AB ⇒ MP //CD.

Xét ∆ADC có MQ là đường trung bình ⇒ MQ //CD. Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình ⇒ MN //CD. Qua điểm M có các đường thẳng MP,MQ,MN cùng song song với CD nên các đường thẳng này trùng nhau, suy ra bốn điểm M ,N ,P,Q thẳng hàng. CD AB CD − AB b) Ta có: MN //CD nên PQ //CD; PQ = MQ − MP = − =.

2 2 2 Trang 3 AB AB CD − AB c) Ta có: MP = NQ = .MP = PQ ⇔ = 2 2 2 ⇔ AB = CD − AB ⇔ 2 AB = CD (đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ). Nhận xét: Đường trung bình MN của hình thang và đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai đường chéo có tính chất giống nhau là cùng song song với hai đáy, có tính chất khác nhau là MN bằng nửa tổng hai đáy còn PQ bằng nửa hiệu hai đáy. Bài tập vận dụng • Đường trung bình của tam giác 3. Cho tứ giác ABCD, đường chéo BD là đường trung trực của AC.

Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Vẽ ME ⊥ BC và NF ⊥ CD ( E ∈ BC,F ∈ CD ). Chứng minh rằng ba đường thẳng ME,NF và AC đồng quy. Cho tam giác ABC.

Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q. Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A ? 3.

Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy. a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang; b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để hình thang BCKH là hình thang cân? 3.

Cho tam giác ABC , trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH và đường phân giác BD.

Biết rằng AH = BD , tính 2 số đo các góc của tam giác ABC 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D ở trong tam giác. Vẽ tam giác ADE vuông cân tại A sao cho D và E thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC.

Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CD và DE. Tính số đo các góc của tam giác MNP. Cho hình thang cân ABCD ( AB //CD ) , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi G, E, F lần lượt là = 60° , tính các góc của tam giác GEF.

trung điểm của OA, OD và BC. Cho biết COD 3. Cho tam giác ABC , góc A nhọn. Vẽ về phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ABM và CAN theo thứ tự có cạnh đáy là AB và AC.

Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác vuông cân. Tam giác ABC, AB < AC. Trên cạnh AB lấy điểm E , trên cạnh AC lấy điểm F sao cho BE = CF.

Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng khi E và F di động trên AB, AC thì trung điểm M của EF nằm trên một đường thẳng cố định. Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1 ,O2 ,.,On không nằm giữa A và B sao cho O1 A + O2 A +. Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho O1M + O2 M +.

Cho tam giác ABC,C  ≤ A. Biết trung điểm của ba đường cao thẳng hàng. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. • Đường trung bình của hình thang 3.

Cho hình thang cân ABCD ( AB < CD ). Vẽ AH ⊥ CD. Chứng minh rằng: a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; b) HC bằng đường trung bình của hình thang. Cho tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho 1 1 BO = BC. Đường thẳng OM cắt OC tại N. Chứng minh rằng: AN = AC.

Cho tam giác ABC , cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B , tam giác CAN vuông cân tại C. Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Trên =D cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho C . Gọi 1 H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: HF = CD .