Chương 1. Giới thiệu về hệ chuyển mạch. 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2 Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý 2.1 Một số khái niệm cơ bản Trong chương này, chúng ta sử dụng thuật ngữ "tính ổn định đảm bảo" để mô tả tính ổn định của hệ chuyển mạch khi sự chuyển mạch xuất hiện một cách tùy ý. Xét hệ chuyển mạch cho bởi: x+ (t) = fσ(t) (x(t)), (2., m} là trạng thái rời rạc, fi : Rn 7→ Rn là trường vectơ.
Trong chương này, chúng ta giả thiết rằng: 1) fi (0) = 0 với mọi i ∈ M, điều kiện này suy ra gốc tọa độ là điểm cân bằng. 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2. Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý 2) Các hàm fi(x) là liên tục Lipchitz toàn cục, tức là tồn tại một hằng số L sao cho: |fi (x) − fi (y)| ≤ L|x − y| ∀x, y ∈ Rn , i ∈ M .2) Điều kiện này đảm bảo tính hoàn toàn xác định của hệ chuyển mạch. Chúng ta kí hiệu φ(t; t0 , x0, σ) là quỹ đạo trạng thái liên tục của hệ (2.1) tại thời điểm t với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 và quỹ đạo chuyển mạch σ; kí hiệu φ(t; x0, σ) khi t0 = 0.
Sự tiến hóa của quỹ đạo trạng thái có thể biểu diễn trực tiếp qua các trường vectơ fi , i ∈ M. Thật vậy, với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 và thời điểm t > t0 bất kì, trong trường hợp rời rạc ta có: φ(t; t0, x0, σ) = fσ(t−1) ◦. Với hệ chuyển mạch liên tục, ta có: f fi f i1 f i0 is φ(t; t0 , x0, σ) = Φt−t s −ts−1 ◦. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, ta không biết biểu thức giải tích của đường cong Φft (x0).
Để trình bày tính ổn định của hệ chuyển mạch, chúng ta đưa thêm một số khái niệm. Cho d(x, y) là khoảng cách Euclid giữa hai vectơ x và y. Cho tập Ω ⊂ Rn và một vectơ x ∈ Rn , khi đó: |x|Ω = inf d(x, y) = d(x, Ω). y∈Ω Đặc biệt |x|{0} kí hiệu bởi |x|.
Cho tập Ω ⊂ Rn và một số thực dương τ , B(Ω, τ ) được gọi là τ -lân cận của Ω, tức là: B(Ω, τ ) = {x ∈ Rn : |x|Ω ≤ τ }. 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2. Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý Tương tự, H(Ω, τ ) được gọi là τ -mặt cầu của Ω, tức là: H(Ω, τ ) = {x ∈ Rn : |x|Ω = τ }. Đặc biệt, hình cầu đóng B({0} , τ ) được kí hiệu bởi Bτ và mặt cầu H({0} , τ ) kí hiệu bởi Hτ.
Điểm cân bằng gốc của hệ (2.1) được gọi là: 1) Hút toàn cục đảm bảo nếu: lim |φ(t; x, σ)| = 0 ∀x ∈ Rn , σ ∈ S. t→+∞ 2) Hút đều toàn cục đảm bảo nếu với δ > 0 và ǫ > 0 bất kì, tồn tại T > 0 sao cho: |φ(t; x, σ)| < ǫ ∀t ∈ TT , |x| ≤ δ, σ ∈ S. 3) Ổn định đảm bảo nếu với ǫ > 0 và σ ∈ S bất kì, tồn tại δ > 0 sao cho: |φ(t; x, σ)| ≤ ǫ ∀t ∈ T0 , |x| ≤ δ. 4) Ổn định đều đảm bảo nếu tồn tại δ > 0 và γ ∈ K sao cho: |φ(t; x, σ)| ≤ γ(|x|) ∀t ∈ T0 , |x| ≤ δ, σ ∈ S.
5) Ổn định tiệm cận toàn cục đảm bảo nếu nó vừa ổn định đảm bảo, vừa hút toàn cục đảm bảo. 6) Ổn định tiệm cận đều toàn cục đảm bảo nếu nó vừa ổn định đều đảm bảo, vừa hút đều toàn cục đảm bảo. 7) Ổn định mũ toàn cục đảm bảo nếu với σ ∈ S bất kỳ, tồn tại α > 0 và β > 0 sao cho: |φ(t; x, σ)| ≤ βe−αt |x| ∀t ∈ T0 , x ∈ Rn. 8) Ổn định mũ đều toàn cục đảm bảo nếu tồn tại α > 0 và β > 0 sao cho: |φ(t; x, σ)| ≤ βe−αt |x| ∀t ∈ T0 , x ∈ Rn σ ∈ S.
17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2. Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý Chú ý: Ta nói rằng hệ ổn định (hút) đảm bảo nếu điểm cân bằng gốc là ổn định (hút) đảm bảo. Trong chương này, chúng ta sẽ đặt trọng tâm vào tính ổn định đảm bảo và tính hút toàn cục. Để ngắn gọn, ta sẽ lược bỏ các từ "đảm bảo" và "toàn cục".2 Hệ chuyển mạch phi tuyến Trong mục này, chúng ta nghiên cứu tính ổn định của hệ chuyển mạch phi tuyến x+(t) = fσ(t) (x(t)) (2.3) dưới sự chuyển mạch bất kì.
Giả thiết rằng mỗi trường vectơ fi là khả vi liên tục.1 Hàm Lyapunov chung Định nghĩa 2. Cho Ω là một lân cận của gốc. Một hàm V : Ω 7→ R được gọi là hàm Lyapunov chung yếu của hệ (2.3) nếu: (1) Nó là nửa liên tục dưới trên Ω. (3) Đạo hàm Dini dưới của V dọc theo mỗi vectơ fi không dương, tức là với ∀x ∈ Ω và i ∈ M, ta có: V (φ(τ ; 0, x, î)) − V (x) D+ V (x)|fi = lim sup ≤0 τ →0+ τ trong trường hợp liên tục, trong đó î kí hiệu cho tín hiệu chuyển mạch hằng σ(t) = i ∀t và D+ V (x)|fi = V (fi(x)) − V (x) ≤ 0 trong trường hợp rời rạc.
18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2. Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý Định nghĩa 2. Một hàm V : Rn 7→ R được gọi là hàm Lyapunov chung (mạnh) của hệ chuyển mạch (2.3) nếu: (1) Nó liên tục mọi nơi và khả vi liên tục có thể trừ điểm gốc. Chú ý: Trong trường hợp liên tục, ta có: V (x + fi(x)τ ) − V (x) D+ V (x)|fi = lim sup ∀x ∈ Rn , i ∈ M, τ →0+ τ do tính liên tục Lipchitz địa phương của V .2 Định lý Lyapunov Mệnh đề 2.
Hệ chuyển mạch (2.3) ổn định đều nếu nó có một hàm Lyapunov chung yếu, và ổn định tiệm cận đều nếu nó có một hàm Lyapunov chung. Giả sử hệ (2.3) có một hàm Lyapunov chung yếu V. Khi đó với quỹ đạo trạng thái x(t) = φ(t; x0, σ) bất kì trong Ω, chúng ta có: V (x(t)) ≤ V (x0) ∀t ≥ 0. Với ǫ > 0 bất kì, chọn δ sao cho Bδ ⊂ Ω, {x : V (x) ≤ δ} ⊂ Bǫ.
Khi đó ta có |x(t)| ≤ ǫ với ∀t ≥ 0 nếu x0 ∈ Bδ. Do đó hệ ổn định đều Tiếp theo, giả sử hệ (2.3) có một hàm Lyapunov chung V. Ta sẽ chỉ 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2. Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý ra rằng hệ này ổn định tiệm cận đều.
Thật vậy, ta sẽ chứng minh cho trường hợp hệ liên tục, trường hợp hệ rời rạc được chứng minh tương tự. Cố định trạng thái ban đầu x0 6= 0 và một tín hiệu chuyển mạch σ, kí hiệu x(t) = x(t; x0, σ). Từ Định nghĩa (2. Xây dựng hàm η : R+ 7→ R cho bởi: R − t 1 1 min(τ,α4 (τ )) dτ, t ∈ (0, 1), η(t) = − R t 1 dτ, t ≥ 1.4) ta thấy: Z t η(V (x(t))) − η(V (x0)) = η̇(V (x(τ )))dV (x(s)) 0 Z t ≥ 1ds = t ∀t ≥ 0.5) 0 Cho hàm π : R+ × R+ 7→ R+ xác định bởi: 0, s = 0, π(s, t) = η −1(η(s) + t), s > 0.
Ta thấy π thuộc lớp KL. Vì η tăng chặt nên từ (2. Lấy hàm β thuộc lớp KL xác định bởi công thức: β(s, t) = α1−1 (π(α2 (s), t)), s, t ∈ R+. 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2.
Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý Có thể thấy rằng |x(t)| ≤ β(|x0|, t) ∀t ≥ 0. Bây giờ ta sẽ chứng minh hệ ổn định đều. Thật vậy, với ǫ > 0 bất kì, lấy δ = β̄ −1(ǫ) với β̄(. Từ đó suy ra hệ ổn định đều.
Mặt khác, với ǫ > 0 và δ > 0 bất kì, cho T = β̂ −1(ǫ) với β̂(.) suy ra: |φ(t; 0, x, σ)| ≤ ǫ ∀x0 ∈ Bδ , t ∈ TT , σ ∈ S. Vậy hệ là hút đều. Từ đó suy ra hệ ổn định tiệm cận đều. Cho hệ chuyển mạch liên tục 2−dạng, phẳng: d x(t) = fσ (x(t)) dt với −x2 x2 f1(x) = , f2 (x) = , x1 − xk2 k −x1 − x2 trong đó k là số tự nhiên lẻ bất kì.
Ta có thể kiểm tra rằng hàm V (x1, x2) = x21 + x22 là hàm Lyapunov chung yếu của hệ trên.3) ta có hệ ổn định đều. Tuy nhiên, hệ này không có một hàm Lyapunov chung nào. Thật vậy, nếu hệ thừa nhận một hàm Lyapunov chung thì hệ tạo bởi tổ hợp lồi bất kì của các hệ con đó phải ổn định tiệm cận, tức là hệ ẋ(t) = ωf1(x(t)) + (1 − ω)f2(x(t)) là ổn định tiệm cận với ω ∈ [0, 1] bất kì. Cho ω = 12 , ta có thể thấy rằng trạng thái bất kì trên trục x1 là một điểm cân bằng, do đó hệ tổ hợp lồi không ổn định tiệm cận.
Điều này 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương 2. Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch tùy ý mâu thuẫn với giả thiết phản chứng. Vậy hệ ban đầu không có một hàm Lyapunov chung nào.3) thì sự tồn tại của hàm Lyapunov chung yếu/mạnh sẽ đảm bảo tính ổn định đều/tiệm cận đều của hệ chuyển mạch. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu rằng mệnh đề đảo lại có đúng không? Câu hỏi này sẽ được trả lời trong mệnh đề dưới đây.
Hệ chuyển mạch ổn định đều bất kì sẽ có một hàm Lyapunov chung yếu và hệ chuyển mạch ổn định tiệm cận đều bất kì có một hàm Lyapunov chung. Trước tiên ta sẽ chứng minh khẳng định thứ nhất. Giả sử hệ ổn định đều. Lấy ǫ > 0 cố định, và δ > 0 được xác định như trong Định nghĩa (2.
Ta xây dựng hàm V : Bδ 7→ R+ xác định bởi : V (x) = sup |φ(t; 0, x, σ)|.6) t∈T0 ,σ∈S Rõ ràng rằng, hàm này hoàn toàn xác định và xác định dương trong Bδ. Cho Ω = Boδ , với Do là kí hiệu cho phần trong của tập D.