mở đầu, coi f(x) là hàm só xác định với x > 1. Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chát khử trùng (hoà tan). a) Tinh thé tích nước và khối lượng chát khử trùng có trong bể sau f phút.
Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau f phút. b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(f) với £ > 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này. c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chát khử trùng tăng theo nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gamilit.
Š F & ax? + bx +c oie b} Hàm số phân thức a ý 0, p# 0, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu} 5 ¬". Khảo sát và vé dé thị của hàm sốy=— x Giai 1. Tập xác định của hàm só: ïR \ {2}. Sự biến thiên: Viết y = x+ 1+ :.
x-2 a= $7 + Tad: y’=1-—L_, =X 48 yay yr og X 4X48 9 & x= 1 node x=3. (x2 (x-2) (x-2) + _ Trên các khoảng (~z; 1) và (3; + ), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng nay. Trên các khoảng (1 2) và (2; 3), z' <0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này. + _ Hàm số đạt cực đại tại x = 1với ve; = 1; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với yạr = 5.
lim y= lim ——=lim =-0; lim y = lim ——— = lim se oe XRD) a ysie” XE XD 2 ¬. ý 1 Ỷ A 1 5 _ Tiệm cận: lim y = lim | x+1+ =-o; lim y= lim| x+1+ =+; xe x¬2- x-2 x92 x2" £-2 xelim [y~(x+1)|= x¬te lim X—2 | So x0 lim [y=(x+1)]= x0 lim X —5-0. Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2, tiệm cận xiên là đường thẳng y=x+t. * Bang bién thiên: x |-0 1 2 3 +0 7 y + 0 = = 0 + y HN Ả 3.31): + _ Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm(«3}.
ai hoặc x= ies, Do đó giao điểm của đò thị 2 = = = > Pa + Ta có y=0<> = hàm số với trục hoành là các điểm (284) và ( nh 3) + Đồ thị hàm số nhận giao điểm /(2; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x+1 ` Giải 1. Tập xác định của hàm số: IR \ {~1). Sự biến thiên:.
VIẾ #=g—-Z- , ta có y'=1+ z >0 với mọi x z -1. + _ Hàm số không có cực trị. lim y= lim sa x eo a lim y = lim ———— xexaa = lim Xt! x =+z. xe xa x+me x ee Xow KH X+ x40 1 x Pd an cận: pk l li 2 ! : 2 * Tiệm lim y= lim | x-—— |=+0; lim y= lim |x-——|=-»; xo xo x41) xt x¬-Tt x+1 lim [y- x]= xo lim(- xt x41 2 }=0 lim [y-x]= XD lim (-4)-° X00 x+1 Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1, tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.
+ Bang bién thiên: X | 0 -1 +00 7 3.32): + Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là -6 -5 -4 -3 Wy 123465 6% diém (0; -2). sử x+1 Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm (-2; 0) và (1; 0).32 + Đồ thị hàm số nhận giao điểm /(—1; -1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng. Đồ thị của hàm số phân thức y =#⁄ †?X*#Ê (2 +0, p¿0, đa thức tử không chia 4 nye nk px+q hết cho đa thức mẫu): + _ Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng, + _ Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của ham sé y = x- 5 BÀI TẬP 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y=-X$+3x+1; b) y=x° +3x?-x-1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm só sau: _ 2x+1, x+3 a )y b) Rees y= i x+1” 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: _ 2x? -x4+4, p)y-X 12x+1 a Dy x-1 x+3 1. Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml.
Một bình chứa dung dịch KOH khác với nòng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc. a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x). b) Coi C(x) là hàm số xác định với x > 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
©) Giải thích tại sao nòng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml. Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở apy R, và R, thì điện trở tương đương E của mạch điện được hms —— x tinh theo céng thc R= HỘ, (theo Vật !í đại cương, “NXXx—_— R.33 Giả sử một điện trở 8 © được mắc song song với một biến trở như Hình 1. Nếu điện trở đó được kí hiệu là x (O) thì điện trở tương đương E là hàm só của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 ©. THUẬT NGỮ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT - MOT SO VAN DE LIEN QUAN DEN THUC TIEN KIEN THUC, Ki NANG K “ Tốc độ thay đổi tức thò Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn + Bài toán tối ưu hoá để liên quan đến thực tiễn. Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người.
Qua thăm dò dự luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhát? 1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG = Giả sử y là một hàm số của x và ta viết y = f(x). Nếu x thay đổi từ x, dén x,, thi sy thay đổi của x là lW= Xy —Ấu và sự thay đổi tương ứng của y là Ay =f (x,)-f (x).
tisé AY Te -FOe)-F%4) ae được gọi là đốc độ thay đỗi trung bình của y a6i voi x trén doan [x,;x, ]. 224 f -f v Giới hạn mm = lim HC Tiếu được gọi là tốc độ thay đỗi tức thời của y đối với x tai on XI diém x= x,. Nhw vay, dao ham f’(a) la tc độ thay đổi tức thời của đại lượng y = x) đối với x tại điểm x= a. Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế: » _ Nếu s= s(0 là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v = s(/) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tóc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian).
Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a( = (0 = S”(0. + Néu C= C( là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm ¿, thì C') là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm. - - Nếu P= Pí) là số lượng cá thể trong một quân thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm f, thì P'{) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm í. Nếu C= C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời C'(x) của chỉ phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi la chi phi biên.
+ Véy nghia kinh tế, chi phí bién C(x) x4p xi voi chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x + 1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối trí thức với cuộc sống). Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đát 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là h(†) =2 + 24,5f - 4,9/2 (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhát và độ cao lớn nhát đó là bao nhiêu? c) Khi nào thì vật chạm đắt và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu? Giải a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận téc ctia vat la v = h'(t) = 24,5 — 9, 8f (m/s).
Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) = 24,5 - 9,8-2 = 4,9 (m/s). b) Vì n) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên ñ() đạt giá trị lớn nhất tại f= -_ sáo = =2,5 (giây). Khi đó, độ cao lớn nhát của vật là A(2,5) = 32,625 (m). c) Vat cham dat khi độ cao bằng 0, tức là h =2+ 24,5t - 4,9/? =0, hay £ x 5,08 (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đắt là v(5,08) = 24,5 - 9,8. Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật). Giả sử số lượng của một quần thể nám men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm sé P(t) “Tra+ 8 trong đó thời gian £ được tính bang gid. Tai thoi diém ban dau t= 0, quàn thể có 20 té bào và tăng với tóc độ 12 té bào/giờ.
Tìm các giá trị của a và b. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nám men về lâu dài? Giải -0,75f Ta có: Pl(()=0/586—— r. Do đó, ta có hệ phương trình: =5xi .