Quantum wells wires and dots theoretical and computational physics of semiconductor nanostructures 2nd edition

Tài liệu nghiên cứu Quantum wells wires and dots theoretical and computational physics of semiconductor nanostructures, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên

• Chuyên ngành: Physics
• Đề tài: Semiconductors and Heterostructures
• Loại tài liệu: N/A
• Năm xuất bản: 2005

Tóm tắt

I. Tổng quan Giếng Dây và Chấm Lượng Tử của Paul Harrison

Cuốn sách “Quantum Wells, Wires and Dots” của tác giả Paul Harrison là tài liệu nền tảng trong lĩnh vực vật lý lý thuyết và tính toán về cấu trúc nano bán dẫn. Phiên bản thứ hai cung cấp một cái nhìn sâu sắc và toàn diện về các nguyên tắc cơ bản chi phối hành vi của electron và lỗ trống trong các hệ chiều thấp (low-dimensional systems). Trọng tâm của tài liệu này là hiện tượng giam cầm lượng tử (quantum confinement), xảy ra khi các hạt tải điện bị giới hạn trong không gian ở quy mô nanomet, dẫn đến sự lượng tử hóa các mức năng lượng. Các cấu trúc như giếng lượng tử (2D), dây lượng tử (1D) và chấm lượng tử (0D) là những ví dụ điển hình. Để hiểu rõ các hệ thống này, vật lý tính toán đóng vai trò không thể thiếu. Các phương pháp mô hình hóa cấu trúc nano (nanostructure modeling) cho phép các nhà nghiên cứu giải phương trình Schrödinger và dự đoán các tính chất điện tử và quang học. Tài liệu này không chỉ giới thiệu lý thuyết mà còn đi sâu vào các kỹ thuật tính toán, từ phép gần đúng khối lượng hiệu dụng đơn giản đến các mô hình phức tạp hơn như lý thuyết k·p và Lý thuyết phiếm hàm mật độ (DFT). Sự kết hợp giữa lý thuyết vững chắc và hướng dẫn tính toán thực tế làm cho cuốn sách trở thành một nguồn tài liệu vô giá cho sinh viên, nhà nghiên cứu và kỹ sư làm việc trong lĩnh vực công nghệ nano.

1.1. Khám phá các hệ chiều thấp và giam cầm lượng tử

Các hệ chiều thấp là trọng tâm của vật lý bán dẫn hiện đại. Khi kích thước của vật liệu bán dẫn bị thu hẹp xuống thang đo nanomet theo một hoặc nhiều chiều, hành vi của các hạt tải điện thay đổi đáng kể. Hiện tượng này được gọi là giam cầm lượng tử. Trong một giếng lượng tử, hạt tải được tự do di chuyển trong hai chiều nhưng bị giam cầm ở chiều thứ ba. Điều này tạo ra các "tiểu vùng" (subbands) năng lượng rời rạc. Tương tự, dây lượng tử giam cầm hạt tải trong hai chiều, và chấm lượng tử giam cầm trong cả ba chiều, tạo ra các mức năng lượng hoàn toàn rời rạc giống như nguyên tử. Sự lượng tử hóa năng lượng này là chìa khóa để thiết kế các thiết bị có tính chất quang điện tử độc đáo. Ví dụ, năng lượng phát xạ của một chấm lượng tử có thể được điều chỉnh chính xác bằng cách thay đổi kích thước của nó. Tác phẩm của Paul Harrison giải thích chi tiết cơ sở toán học của hiện tượng này, bắt đầu từ các nguyên lý cơ học lượng tử cơ bản.

1.2. Vai trò của vật lý tính toán cấu trúc nano hiện đại

Vật lý tính toán nano (computational nanophysics) là một công cụ không thể thiếu để nghiên cứu các cấu trúc này. Việc giải các phương trình cơ học lượng tử một cách giải tích chỉ khả thi đối với các hệ thống đơn giản nhất. Đối với các cấu trúc dị thể bán dẫn (semiconductor heterostructures) thực tế, chẳng hạn như các giếng lượng tử được tạo ra từ gallium arsenide (GaAs) và AlGaAs, các phương pháp số là bắt buộc. Cuốn sách trình bày các phương pháp số trong vật lý (numerical methods in physics), cho phép mô phỏng chính xác cấu trúc vùng năng lượng, mật độ trạng thái và hàm sóng của hạt tải. Các mô phỏng này giúp các nhà khoa học thực hiện kỹ thuật cấu trúc vùng năng lượng (band structure engineering), tức là thiết kế các cấu trúc vật liệu để đạt được các tính chất điện tử và quang học mong muốn. Điều này có ý nghĩa sống còn đối với việc phát triển các thiết bị thế hệ mới như laser chấm lượng tử (quantum dot lasers) và các cảm biến siêu nhạy.

II. Thách thức mô hình hóa vật lý cấu trúc nano bán dẫn

Việc mô hình hóa chính xác các cấu trúc nano bán dẫn đối mặt với nhiều thách thức lý thuyết và tính toán. Một trong những khó khăn chính là sự phức tạp của thế tinh thể tuần hoàn và các tương tác nhiều hạt bên trong vật liệu. Các mô hình cổ điển hoàn toàn không thể mô tả các hiệu ứng lượng tử như hiệu ứng đường hầm và sự lượng tử hóa năng lượng. Ngay cả trong khuôn khổ cơ học lượng tử, việc giải phương trình Schrödinger cho một hệ thống gồm hàng ngàn nguyên tử là một nhiệm vụ cực kỳ tốn kém về mặt tính toán. Hơn nữa, tương tác electron-lỗ (electron-hole interaction) tạo ra các giả hạt gọi là exciton, đặc biệt quan trọng trong các chấm lượng tử. Việc mô tả chính xác năng lượng liên kết và động học của exciton trong chấm lượng tử (excitons in quantum dots) đòi hỏi các phương pháp tính toán vượt ra ngoài các phép gần đúng hạt độc lập. Các mô hình như phép gần đúng khối lượng hiệu dụng cung cấp một sự đơn giản hóa hữu ích nhưng lại có những giới hạn, đặc biệt khi các lớp dị thể trở nên rất mỏng, chỉ còn vài lớp nguyên tử. Do đó, việc lựa chọn phương pháp mô hình hóa phù hợp—từ khối lượng hiệu dụng, lý thuyết k·p, phương pháp liên kết chặt đến DFT—phụ thuộc vào sự cân bằng giữa độ chính xác và chi phí tính toán.

2.1. Giới hạn của phép gần đúng khối lượng hiệu dụng

Phép gần đúng khối lượng hiệu dụng (effective mass approximation) là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất trong vật lý thiết bị kích thước nano (nanoscale device physics). Nó thay thế thế tinh thể phức tạp bằng một tham số duy nhất: khối lượng hiệu dụng (m*), và mô tả electron như một hạt tự do với khối lượng đã được điều chỉnh này. Phương pháp này hoạt động tốt đối với các cấu trúc tương đối lớn và gần điểm gamma của vùng Brillouin. Tuy nhiên, khi kích thước của giếng lượng tử giảm xuống dưới 5 nm, các giả định của nó bắt đầu bị phá vỡ. Phép gần đúng này không tính đến sự trộn lẫn giữa các vùng năng lượng (ví dụ, vùng dẫn và vùng hóa trị) và bỏ qua cấu trúc nguyên tử chi tiết của vật liệu. Đối với các lớp vật liệu siêu mỏng, các hiệu ứng giao diện và sự bất đối xứng của liên kết hóa học trở nên quan trọng, đòi hỏi các mô hình chính xác hơn như phương pháp liên kết chặt (tight-binding method) hoặc các phương pháp dựa trên nguyên lý đầu tiên.

2.2. Sự phức tạp của tương tác electron lỗ và exciton

Trong các cấu trúc nano, đặc biệt là các chấm lượng tử, tương tác electron-lỗ do lực hút Coulomb là rất mạnh. Tương tác này tạo thành các cặp electron-lỗ liên kết gọi là exciton. Năng lượng của exciton xác định các tính chất quang điện tử (optoelectronic properties) của vật liệu, chẳng hạn như vị trí của các đỉnh hấp thụ và phát xạ quang. Mô hình hóa exciton là một thách thức vì nó là một bài toán nhiều hạt. Các phép gần đúng đơn giản thường bỏ qua hoặc xử lý sự tương quan này một cách gần đúng. Để có kết quả chính xác, các phương pháp tính toán tiên tiến hơn phải được sử dụng để giải phương trình Bethe-Salpeter hoặc sử dụng các kỹ thuật như Tương tác Cấu hình (Configuration Interaction). Hiểu và mô hình hóa chính xác exciton trong chấm lượng tử là rất quan trọng để thiết kế các thiết bị phát quang hiệu quả cao và các ứng dụng trong tính toán lượng tử.

III. Hướng dẫn giải phương trình Schrödinger cho giếng lượng tử

Giải phương trình Schrödinger là bước cốt lõi để xác định các trạng thái năng lượng và hàm sóng của hạt tải trong các cấu trúc nano. Cuốn sách của Paul Harrison cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách tiếp cận bài toán này, bắt đầu từ mô hình đơn giản nhất là giếng thế vô hạn và dần tiến tới các hệ thống phức tạp hơn. Phương pháp chung bao gồm việc áp dụng phép gần đúng khối lượng hiệu dụng, cho phép viết phương trình Schrödinger cho hàm sóng bao (envelope function) thay vì hàm sóng toàn phần. Đối với một giếng lượng tử một chiều, phương trình này có dạng: [-ħ²/2m* d²/dz² + V(z)]ψ(z) = Eψ(z). Lời giải của phương trình này phụ thuộc vào hình dạng của thế năng V(z) và các điều kiện biên tại các giao diện của cấu trúc dị thể bán dẫn. Việc giải quyết các phương trình này thường đòi hỏi các phương pháp số trong vật lý, chẳng hạn như phương pháp ma trận truyền (transfer matrix) hoặc phương pháp bắn (shooting method). Các kết quả thu được là các mức năng lượng lượng tử hóa và hàm sóng tương ứng, từ đó có thể tính toán các thuộc tính quan trọng khác như mật độ trạng thái trong cấu trúc nano (density of states in nanostructures).

3.1. Mô hình giếng thế vô hạn Các bước cơ bản

Mô hình giếng thế vô hạn là điểm khởi đầu lý tưởng để hiểu về giam cầm lượng tử. Trong mô hình này, hạt tải bị giam hoàn toàn trong một vùng không gian có chiều rộng Lw, với rào thế cao vô hạn ở hai bên. Bên trong giếng, thế năng V(z) = 0, và phương trình Schrödinger trở nên đơn giản. Điều kiện biên yêu cầu hàm sóng phải bằng không tại các thành giếng (ψ(0) = ψ(Lw) = 0). Việc áp dụng các điều kiện này dẫn đến các nghiệm dạng sóng sin và các mức năng lượng bị lượng tử hóa: En = ħ²π²n²/2m*Lw², trong đó n = 1, 2, 3,... là số lượng tử chính. Mô hình này cho thấy rõ rằng năng lượng của các trạng thái bị giam cầm tỷ lệ nghịch với bình phương chiều rộng giếng. Mặc dù là một mô hình lý tưởng hóa, nó cung cấp trực giác vật lý quan trọng về cách kích thước ảnh hưởng đến các mức năng lượng trong hệ chiều thấp.

3.2. Mô phỏng phương trình Schrödinger cho giếng thế hữu hạn

Trong thực tế, các giếng lượng tử được tạo ra từ các cấu trúc dị thể bán dẫn như gallium arsenide (GaAs)/AlGaAs có rào thế hữu hạn. Điều này có nghĩa là hàm sóng của hạt tải có thể "rò rỉ" vào vùng rào cản. Việc mô phỏng phương trình Schrödinger (Schrödinger equation simulation) cho giếng thế hữu hạn phức tạp hơn. Hàm sóng bên trong giếng vẫn có dạng dao động (sin và cos), nhưng ở vùng rào cản, nó có dạng suy giảm theo hàm mũ. Các mức năng lượng được xác định bằng cách áp dụng các điều kiện biên liên tục cho hàm sóng và đạo hàm của nó (được hiệu chỉnh bởi khối lượng hiệu dụng) tại các giao diện. Không giống như giếng vô hạn, bài toán này không có nghiệm giải tích đơn giản và phải được giải bằng các phương pháp số. Một kết quả quan trọng là số lượng các trạng thái bị giam cầm trong giếng là hữu hạn và phụ thuộc vào chiều cao và chiều rộng của giếng thế.

IV. Các phương pháp tính toán nâng cao trong vật lý nano

Trong khi phép gần đúng khối lượng hiệu dụng là một công cụ mạnh mẽ, nó không phải lúc nào cũng đủ chính xác, đặc biệt là đối với các vật liệu và cấu trúc phức tạp. Vật lý tính toán nano đã phát triển nhiều phương pháp nâng cao để cung cấp một mô tả chi tiết hơn về cấu trúc điện tử. Lý thuyết k·p là một phương pháp bán thực nghiệm mở rộng từ phép gần đúng khối lượng hiệu dụng, bằng cách tính đến sự tương tác giữa nhiều vùng năng lượng. Nó đặc biệt hữu ích để mô tả cấu trúc vùng hóa trị phức tạp và các hiệu ứng phi parabolic. Đối với các hệ thống mà cấu trúc nguyên tử đóng vai trò quyết định, phương pháp liên kết chặt (tight-binding method) cung cấp một mô hình ở cấp độ nguyên tử, mô tả các electron như là các hàm sóng được định xứ trên các nguyên tử và tương tác với các hàng xóm gần nhất. Phương pháp mạnh mẽ nhất là Lý thuyết phiếm hàm mật độ (DFT), một phương pháp dựa trên nguyên lý đầu tiên (ab-initio) có thể tính toán cấu trúc điện tử từ các thông tin cơ bản về các nguyên tử cấu thành mà không cần tham số thực nghiệm. Mỗi phương pháp có ưu và nhược điểm riêng về độ chính xác và chi phí tính toán.

4.1. Lý thuyết k p và kỹ thuật cấu trúc vùng năng lượng

Lý thuyết k·p là một kỹ thuật nhiễu loạn được sử dụng để tính toán cấu trúc vùng năng lượng của tinh thể gần các điểm đối xứng cao trong vùng Brillouin (như điểm Γ). Bằng cách bao gồm tương tác giữa các vùng năng lượng khác nhau, nó có thể mô tả chính xác hơn độ cong của các vùng (liên quan đến khối lượng hiệu dụng) và sự trộn lẫn giữa chúng. Ví dụ, mô hình k·p 8-band thường được sử dụng để mô tả sự tương tác giữa vùng dẫn và các vùng hóa trị lỗ nặng, lỗ nhẹ và vùng tách do spin-quỹ đạo trong các vật liệu như gallium arsenide (GaAs). Phương pháp này là công cụ cốt lõi cho kỹ thuật cấu trúc vùng năng lượng (band structure engineering), cho phép các nhà khoa học dự đoán và thiết kế các tính chất của cấu trúc dị thể bán dẫn phức tạp, bao gồm cả các hiệu ứng do biến dạng (strain) gây ra.

4.2. Giới thiệu phương pháp liên kết chặt và DFT

Phương pháp liên kết chặt (tight-binding method) xây dựng hàm sóng của tinh thể từ tổ hợp tuyến tính các quỹ đạo nguyên tử. Nó là một cầu nối giữa các mô hình hàm sóng bao và các phương pháp nguyên lý đầu tiên. Phương pháp này có thể nắm bắt được cấu trúc vùng năng lượng trên toàn bộ vùng Brillouin và rất hiệu quả để nghiên cứu các hệ thống lớn hoặc các cấu trúc có hình dạng phức tạp như các chấm lượng tử không đều. Mặt khác, Lý thuyết phiếm hàm mật độ (DFT) là một phương pháp cơ học lượng tử dựa trên định lý Hohenberg-Kohn, phát biểu rằng tất cả các tính chất của trạng thái cơ bản của một hệ nhiều electron có thể được xác định duy nhất bởi mật độ electron. DFT rất mạnh mẽ để tính toán các tính chất cấu trúc và điện tử từ các nguyên tắc cơ bản nhưng đòi hỏi tài nguyên tính toán đáng kể. Nó thường được sử dụng để xác thực các tham số cho các mô hình đơn giản hơn như k·p hoặc liên kết chặt.

V. Ứng dụng thực tiễn của giếng dây và chấm lượng tử

Lý thuyết và các phương pháp tính toán được trình bày trong "Quantum Wells, Wires and Dots" không chỉ là những bài tập học thuật mà còn là nền tảng cho vô số ứng dụng công nghệ. Khả năng kiểm soát các tính chất quang điện tử (optoelectronic properties) thông qua kỹ thuật cấu trúc vùng năng lượng đã tạo ra một cuộc cách mạng trong lĩnh vực quang điện tử. Giếng lượng tử là thành phần cốt lõi trong hầu hết các diode laser bán dẫn và đèn LED hiệu suất cao hiện nay. Việc giam cầm hạt tải giúp tăng hiệu suất tái hợp bức xạ, dẫn đến các thiết bị sáng hơn và hiệu quả hơn. Chấm lượng tử, với các mức năng lượng rời rạc có thể điều chỉnh, đã mở ra những khả năng mới. Chúng được sử dụng trong màn hình QLED để tạo ra màu sắc sống động và tinh khiết, trong các ứng dụng sinh học như đánh dấu huỳnh quang, và trong các tấm pin mặt trời để tăng hiệu suất chuyển đổi năng lượng. Laser chấm lượng tử (quantum dot lasers) hứa hẹn hiệu suất vượt trội, với ngưỡng dòng điện thấp và độ nhạy với nhiệt độ giảm. Vật lý thiết bị kích thước nano là một lĩnh vực đang phát triển nhanh chóng, trực tiếp hưởng lợi từ những hiểu biết sâu sắc về các hệ chiều thấp.

5.1. Phân tích tính chất quang điện tử trong cấu trúc nano

Các tính chất quang điện tử của cấu trúc nano được quyết định bởi cấu trúc năng lượng lượng tử hóa của chúng. Sự hấp thụ và phát xạ ánh sáng xảy ra khi các electron chuyển đổi giữa các mức năng lượng. Do mật độ trạng thái trong cấu trúc nano (density of states in nanostructures) bị thay đổi bởi sự giam cầm, các quá trình này trở nên hiệu quả hơn nhiều so với vật liệu khối. Ví dụ, mật độ trạng thái dạng bậc thang của giếng lượng tử và dạng delta của chấm lượng tử tập trung các trạng thái có sẵn tại các năng lượng cụ thể, làm tăng xác suất chuyển đổi quang học. Exciton trong chấm lượng tử cũng đóng vai trò trung tâm, vì sự tái hợp của chúng tạo ra các photon đơn lẻ, một yêu cầu quan trọng cho các ứng dụng trong truyền thông lượng tử. Các mô hình tính toán cho phép dự đoán chính xác phổ hấp thụ và phát xạ, giúp tối ưu hóa thiết kế thiết bị cho các bước sóng cụ thể.

5.2. Nguyên lý hoạt động của laser chấm lượng tử QD Lasers

Laser chấm lượng tử tận dụng các ưu điểm độc đáo của giam cầm lượng tử ba chiều. Trong các laser thông thường, sự phân bố năng lượng của các hạt tải theo hàm Fermi-Dirac đòi hỏi phải bơm một lượng lớn hạt tải để đạt được sự đảo ngược mật độ (population inversion). Ngược lại, mật độ trạng thái giống như hàm delta của chấm lượng tử cho phép đạt được sự đảo ngược mật độ với ngưỡng dòng điện rất thấp. Điều này dẫn đến các laser hiệu quả hơn, tiêu thụ ít năng lượng hơn. Hơn nữa, do các mức năng lượng được cách ly tốt, hiệu suất của laser chấm lượng tử ít bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi nhiệt độ. Các mô hình lý thuyết về động học hạt tải, độ khuếch đại quang học và cấu trúc điện tử là rất cần thiết để thiết kế và tối ưu hóa các thiết bị này, nhằm đạt được các đặc tính như công suất cao, độ rộng vạch phổ hẹp và hoạt động ổn định ở nhiệt độ cao.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHAPTER 1 SEMICONDUCTORS AND HETEROSTRUCTURES 1 .1 THE MECHANICS OF WAVES De Broglie (see reference [4]) stated that a particle of momentum p has an associated wave of wavelength A given by the following A=� (1.1) p Thus, an electron in a vacuum at a position r and away from the influence of any electromagnetic potentials, could be described by a state function which is of the form of a wave, i.2) where t is the time, w the angular frequency and the modulus of the wave vector is given by: k = Ikl = 211' (1. Wires and Dots. Harrison @2005 John Wiley & Sons, Ltd. 2 SEMICONDUCTORS AND HETEROSTRUCTURES The quantum mechanical momentum has been deduced to be a linear operator [12] acting upon the wavefunction 'I/J, with the momentum p arising as an eigenvalue, i.5) oxay az which when operating on the electron vacuum wave function in equation (1.2) would give the following: _ili\7ei(kor-wt) = ei(kor-wt) (1.

-iii (ikxi + ikyj + ikji:) ei(k",x+kyy+k. 8) Thus the eigenvalue: (1.9) which not surprisingly can be simply manipulated (p = lik = (h/27r)(27r/>") to reproduce de Broglie's relationship in equation (1. Following on from this, classical mechanics gives the kinetic energy of a particle of mass m as (mv)2 p2 1 T = -mv2 = 2 2m =--- 2m (LlO) Therefore it may be expected that the quantum mechanical analogy can also be rep­ resented by an eigenvalue equation with an operator: 1. (Ll2) where T is the kinetic energy eigenvalue, and given the form of \7 in equation (1.5) then: 02 02 02 \72 = + + (Ll3) ax2 ay2 az 2 When acting upon the electron vacuum wave function, i.com THE MECHANICS OF WAVES 3 then � (i2k2 + i2k2y + i2k2) ei (k.15) 2m _ Thus the kinetic energy eigenvalue is given by: h2k2 T= (1.16) 2m - For an electron in a vacuum away from the influence of electromagnetic fields, then the total energy E is just the kinetic energy T.

Thus the dispersion or energy versus momentum (which is proportional to the wave vector k) curves are parabolic, just as for classical free particles, as illustrated in Fig.1 The energy versus wave vector (proportional to momentum) curve for an electron in a vacuum In summary, the equation describing the total energy of a particle in this wave description is called the time-independent Schrooinger equation and for this case with only a kinetic energy contribution can be summarised as follows: _�'V21{J = E1{J (1.17) 2m A corresponding equation also exists which includes the time-dependency explicitly; this is obtained by operating on the wave function by the linear operator ino/ at, i.19) Clearly this eigenvalue ru.,; is also the total energy but in a form usually associated with waves, e. These two operations on the wave function represent the two complimentary descriptions associated with wave-particle duality. Thus the second, i., time-dependent, SchrOdinger equation is given by the following: (1.com 4 SEMICONDUCTORS AND HETEROSTRUCTURES 1 .2 CRYSTAL STRUCTURE The vast majority of the mainstream semiconductors have a face-centred cubic Bravais lattice, as illustrated in Fig 1. The lattice points are defined in terms of linear combinations of a set of primitive lattice vectors, one choice for which is: (1.21) The lattice vectors then follow as the set of vectors: (1.2 The face-centred cubic Bravais lattice The complete crystal structure is obtained by placing the atomic basis at each Bravais lattice point.

For materials such as Si, Ge, GaAs, AlAs, loP, etc., this consists of two atoms, one at (�,�,�) and the second at (-�,-�,-�), in units of Ao. For the group IV materials, such as Si and Ge, as the atoms within the basis are the same then the crystal structure is equivalent to diamond (see Fig. For III-V and II-VI compound semiconductors such as GaAs, AlAs, loP, HgTe and CdTe, the cation sits on the(-�,-�,-�) site and the anion on (+ �,+�,+k); this type of crystal is called the zinc blende structure, after ZnS, see Fig 1. The only exception to this rule is GaN, and its important lnxGa l-xN alloys, which have risen to prominence in recent years due to their use in green and blue light emitting diodes and lasers (see for example [13]) these materials have the wurtzite structure (see reference [2] p.com CRYSTAL STRUCTURE 5 Figure 1.3 The diamond (left) and zinc blende (right) crystal structures Figure 1.4 Schematic illustration of the ionic core component of the crystal potential across the {OO I} planes-a three-dimensional array of spherically symmetric potentials From an electrostatics viewpoint, the crystal potential consists of a three-dimen­ sional lattice of spherically symmetric ionic core potentials screened by the inner shell electrons (see Fig.4), which are further surrounded by the covalent bond charge distributions which hold everything together.com 6 SEMICONDUCTORS AND HETEROSTRUCTURES 1 .3 THE EFFECTIVE MASS APPROXIMATION Therefore the crystal potential is complex; however using the principle of simplicity * imagine that it can be approximated by a constant! Then the Schrooinger equation derived for an electron in a vacuum would be applicable.

Clearly though, a crystal isn't a vacuum so allow the introduction of an empirical fitting parameter called the effective mass, m *. Thus the time-independent Schrodinger equation becomes: ( 1.23) and the energy solutions follow as: ( 1.24) This is known as the effective mass approximation and has been found to be very suitable for relatively low electron momenta as occur with low electric fields. Indeed, it is the most widely used parameterisation in semiconductor physics (see any good solid state physics book, e. Experimental measurements of the effective mass have revealed it to be anisotropic-as might be expected since the crystal po­ tential along say the [001] axis is different than along the [1 1 1] axis.

In GaAs, the reported effective mass is around 0.067 m o , where mo is the rest mass of an electron.5 plots the dispersion curve for this effective mass, in comparison with that of an electron in a vacuum.5 The energy versus wave vector (proportional to momentum) curves for an electron in GaAs compared to that in a vacuum • Choose the simplest thing first; if it works use it, and if it doesn't, then try the next simplest! www.com BAND THEORY 7 1 .4 BAND THEORY It has also been found from experiment that there are two distinct energy bands within semiconductors. The lower band is almost full of electrons and can conduct by the movement of the empty states. This band originates from the valence electron states which constitute the covalent bonds holding the atoms together in the crystal. In many ways, electric charge in a solid resembles a fluid, and the analogy for this band, labelled the valence band is that the empty states behave like bubbles within the fluid-hence their name holes.

! conduction band V k valence band Figure 1.6 The energy versus wave vector curves for an electron in the conduction band and a hole in the valence band of GaAs In particular, the holes rise to the uppennost point of the valence band and just as it is possible to consider the release of carbon dioxide through the motion of beer in a glass, it is actually easier to study the motion of the bubble (the absence of beer), or in this case the motion of the hole. In a semiconductor, the upper band is almost devoid of electrons. It represents excited electron states which are occupied by electrons promoted from localised covalent bonds into extended states in the body of the crystal. Such electrons are readily accelerated by an applied electric field and contribute to current flow.

This band is therefore known as the conduction band.6 illustrates these two bands. Notice how the valence band is inverted-this is a reflection of the fact that the 'bubbles' rise to the top, i. their lowest energy states are at the top of the band. The energy difference between the two bands is known as the bandgap, labelled as Egap on the figure.

The particular curvatures used in both bands are indicative of those measured experimentally for GaAs, namely effective masses of around 0.067 mo for an electron in the conduction band, and 0.6 mo for a (heavy-)hole in the valence band. The convention is to put the zero of the energy at www.com 8 SEMICONDUCTORS AND HETEROSTRUCTURES the top of the valence band. Note the extra qualifier 'heavy'. In fact, there is more than one valence band, and they are distinguished by their different effective masses.

Chapter 1 1 will discuss band structure in more detail; this will be in the context of a microscopic model of the crystal potential which goes beyond the simple ideas introduced here.7 Two dissimilar semiconductors with different bandgaps joined to form a heterojunction; the curves represent the unrestricted motion parallel to the interface The effective mass approximation is for a bulk crystal, which means the crystal is so large with respect to the scale of an electron wave function that it is effectively infinite. Within the effective mass approximation, the Schr6dinger equation has been 1i2 {)2 found to be as follows: {) 2 ---1jJ(z) = E1jJ(z) Z ( 1.25) 2m* When two such materials are placed adjacent to each other to form a heterojunction, then this equation is valid within each, remembering of course that the effective mass could be a function of position. However the bandgaps of the materials can also be different (see Fig. The discontinuity in either the conduction or the valence band can be represented by a constant potential term.

Thus the SchrOdinger equation for any one of the bands, taking the effective mass to be the same in each material, would be generalised to ( 1.com HETEROSTRUCTURES 9 v conduction band valence band v Figure 1.8 The one-dimensional potentials V (z) in the conduction and valence band as might occur at a heterojunction (marked with a dashed line) between two dissimilar materials In the above example, the one-dimensional potentials V (z) representing the band discontinuities at the heterojunction would have the form shown in Fig.8, noting that increasing hole energy in the valence band is measured downwards.,; � � B A B B B l� conduction band __�_1���� Egap ____ V_al_e_nCe _b_an_d ____ ��� _______ Figure 1.9 The one-dimensional potentials V(z) in the conduction and valence bands for a typical single quantum well (left) and a stepped quantum well (right) Heterostructures are formed from multiple heterojunctions, and thus a myriad of possibilities exist. If a thin layer of a narrower-bandgap material 'A' say, is sandwiched between two layers of a wider-bandgap material 'B', as illustrated in Fig.9 (left) then they form a double heterojunction. If layer 'A' is sufficiently thin for quantum properties to be exhibited, then such a band alignment is called a single quantum well. If any charge carriers exist in the system, whether thermally produced intrinsic or extrinsic as the result of doping, they will attempt to lower their energies.

Hence in this example, any electrons (solid circles) or holes (open circles) will collect in the quantum well (see Fig. Additional semiconductor layers can be included in the www.com 10 SEMICONDUCTORS AND HETEROSTRUCTURES B A B A B • • • • Figure 1.10 The one-dimensional potentials V(z) in the conduction and valence band for typical symmetric (left) and asymmetric (right) double quantum wells heterostructure, for example a stepped or asymmetric quantum well can be formed by the inclusion of an alloy between materials A and B, as shown in Fig.11 The one-dimensional potentials V(z) in the conduction and valence band for a typical multiple quantum well or superlattice Still more complex structures can be formed, such as symmetric or asymmetric double quantum wells, (see Fig.10) and multiple quantum wells or superlattices (see Fig.