Chương 1. Giới thiệu về dé tài, về mục tiêu và cau trúc của luận văn. Trình bày về tổng quan tinh hình nghiên cứu liên quan gồm có giới thiệu một số nghiên cứu trong và ngoài nước, một số phương pháp để xác định hư hại kết cấu, ưu nhược điểm của SEM và các bước tính toán. Nêu cơ sở lý thuyết của bài toán trong luận văn: Lý thuyết phân tích tín hiệu phổ, xây dựng mô hình, lập phương trình dầm Euler- Bernoulli chịu tải trọng điều hòa.
Xây dựng công thức xác định hư hại kết câu dầm Euler- Bernoulli. Rút ra các kết luận từ kết qua thu được của dé tài và đưa ra hướng phát triển trong tương lai. Phan cuối cùng là tài liệu tham khảo. CHƯƠNG 2 TONG QUAN 2.1 Phương pháp Phan tử hữu han (Finite Element Method - FEM) Như ta đã biết FEM là một phương pháp tính toán hiệu quả và phổ biến, nó được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kĩ thuật.
Tuy nhiên, với các mô hình Phần tử hữu hạn thông thường được xây dựng bằng cách sử dụng tần số độc lập (nh hoặc cô định), dạng đa thức được nội suy từ các hàm, thì FEM không thé sử dụng dé bắt toàn bộ các dạng sóng ứng với tan số cao. Vì vậy, các nghiệm FEM trở nên không chính xác đặc biệt là ở tần số cao vì bước sóng liên quan là rất ngăn. Cái gọi là phương pháp h-FEM là một trong những phương pháp nỗi tiếng dé cải thiện tính chính xác của FEM bằng cách chỉnh các mắt lưới. Đáng tiếc cách tiếp cận này sẽ làm cho khối lượng tính toán trở nên vô cùng lớn và do đó trên phương diện tính toán thì FEM thông thường không được áp dụng để tính toán cho các kết cấu dao động với tần số cao.
Đề áp dụng h-FEM thì kích thước mắt lưới phải nhỏ hơn bước sóng từ 10-20 lần [1, 13].2 Phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method - DSM) Một phương pháp khác để cải thiện tính chính xác các nghiệm là sử dụng các hàm dạng, có thé thay đổi tùy theo tần số dao động. Theo đó, các hàm dạng phụ thuộc vào tần số và chúng được gọi là hàm dạng động. Các hàm dạng động có thé dé dàng biểu diễn toàn bộ các dang tần số cao cân thiết, các nghiệm này cực kỳ chính xác để có thể thu được tần số cao, khi đó việc chỉnh lại mắt lưới như phương pháp Phần tử hữu hạn là không còn cân thiết. khắc phục nhược điểm của FEM thi phương pháp độ cứng động luc (DSM) ra đời [14, 15].
Ma trận độ cứng động lực được xây dung trong miễn tần số bang cach sử dung các hàm dang động và bat nguồn từ các nghiệm sóng trong phương trình vi phân chủ đạo. Dé có được những nghiệm sóng chính xác theo tần số thì phương trình vi phân chủ đạo theo thời gian được chuyển thành tần số băng cách giả định các nghiệm điều hòa ứng với các tần số riêng. Các ma trận độ cứng và khói lượng phụ thuộc vào tần số và được gọi là ma trận độ cứng động lực. Các giá tri tần số riêng thu được bang cách cho định thức cua các ma trận độ cứng động lực bang không.
Tat nhiên, độ chính xác tuyệt đối của DSM sé phụ thuộc vào phương trình vi phân chu đạo. Ví dụ, các DSM dựa trên mô hình dầm Timoshenko sẽ cho ta các nghiệm trên miền tần số chính xác hon khi sử dụng mô hình dầm Euler-Bernoulli. Khi đó, các dạng dao động tự nhiên có thể được tìm thấy khi gán các điều kiện biên động lực. Như vậy, các tính năng chia lưới và ghép nối Phần tử của FEM có thể được áp dụng ở phương pháp độ cứng động lực DSM.
Sự khác biệt với FEM là quá trình ghép nỗi các Phần tử phải được lặp nhiều lần để thu được các giá trị tần số riêng.3 Phương pháp Phân tích phố (Spectral Analysis Method - SAM) Các nghiệm từ phương trình vi phân chủ đạo được xây dựng trong miễn thời gian có thể được phân loại thành hai nhóm chính. Nhóm thứ nhất bao gôm các nghiệm trên miễn thời gian, chang hạn như các nghiệm tích phân số và các nghiệm phân tích da thức, chúng thường được sử dụng dé phân tích các dạng dao động. Nhóm thứ hai gồm các nghiệm trên miễn tần số, trong SAM các nghiệm của phương trình vi phần chủ đạo được thể hiện bang cach chồng một số lượng vô hạn các dạng sóng ứng với các tần số khác nhau (hoặc thời gian). Điều này tương ứng với các nghiệm trong biến đổi Fourier liên tục.
Cách tiếp cận này bao gom việc xác định một tập hợp vô hạn các thành phân pho (hoặc hệ số Fourier) trong miền tần số và thực hiện Fourier nghịch đảo để có được biểu thức thời gian ban đầu. -Q- Cac DFT là xap xi của một Fourier biến đổi liên tục. Ngược lại với các Fourier biến đổi liên tục, các nghiệm được biểu diễn dưới dạng tần số khi rời rạc nhưng các giá trị tần số này có giới hạn và do đó có một ưu điểm rất lớn là ta có thé sử dụng các biến đổi Fourier nhanh (FFT) dé tính toán DFT va nghịch đảo của nó về miền thời gian ban đầu. Vì vậy, việc sử dụng các thuật toán FFT có thể giải quyết hiệu quả khi kết cấu dao động dưới tần số cao.
Theo đó, DFT/FFT dựa trên phương pháp Phân tích phố (SAM) có thể cung cấp các nghiệm rất chính xác [1, 16].4 Phương pháp Phan tứ pho (Spectral Element Method - SEM) SEM là sự kết hợp của các tinh năng chính của phương pháp Phan tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) thông thường, phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method - DSM) và phương pháp Phân tích phổ (Spectral Analysis Method - SAM). Như SEM là một phương pháp Phân tích miền tần số dựa trên lý thuyết DFT/FFT (discrete Fourier transform/ fast Fourier transform) do đó miền tần số hay miền thời gian được xác định chính xác, phương pháp này có thé chia nhỏ các thành phần kết cau với kích thước bat kỳ ma không cần quan tâm đến sự gián đoạn về kết cấu hay vật liệu bên trong, và phương pháp này làm giảm các bước tính toán [1]. pa Chia lưới Chong ca dang song va gan dựa trên ly SAM phan tử : hữu hạn‘ C sem _`)thuyết DFT/FFT Xác định ma tran độ cứng và xây dựng số ượng tôi thiểu DOFs DSM Hình. Các tính năng chính của phương pháp Phan tử phổ -10- Như thé hiện trong hình 2.1, phương pháp Phan tử phố (SEM) có thé coi là sự kết hợp những tính năng chính của FEM, DSM và SAM.
Các tính năng chính của mỗi phương pháp có thé được tóm tắt như sau: 1. Các tính năng chính cua FEM: Chia lưới (rời rac phan tử) va gan các Phan tử hữu han. Các tính năng chính cua DSM: Xác định các ma trận độ cứng động lực, xây dựng một SỐ lượng tối thiểu các bậc tự do DOFs. Các tính năng chính của SAM: Ghép nối các dạng sóng dựa trên lý thuyết DFT và thuật toán FFT.
Như vậy, các Phan tử phố có thé được ghép nối để tạo thành hệ phương trình ma trận tổng thé, bài toán này sẽ được giải bằng cách sử dụng các kỹ thuật ghép nối giống như sử dụng trong FEM thông thường. Các hệ phương trình ma trận tong thé sau đó được giải tại từng nút phố, tat nhiên chúng đều liên tục khi rời rạc trên miền tần số. Cuối cùng, ta sử dụng hàm ngược FFT (inverse FFT - IFFT) dé chuyên đôi về miền thời gian ban đầu (nghiệm trên miễn thời gian). SEM có ưu điểm và nhược điểm như sau: Ưu điểm: Nhờ những ưu điểm rõ ràng của các ma trận độ cứng động lực chính xác sử dụng kết hợp với các DFT/FFT dựa trên SAM, những ưu điểm chính của SEM có thể được tóm tắt như sau: > Độ chính xác rất cao: Trong lý thuyết, SEM cung cấp nghiệm trên miền tần số hoàn toàn chính xác, chăng hạn như các tri riêng (tần số tự nhiên, các dạng dao động) và các hàm đáp ứng tần số.
SEM cũng có thể cung cấp các nghiệm trên miễn thời gian cực kỳ chính xác bằng cách sử dụng các thuật toán IFFT. > Làm giảm các van dé kích thước và bậc tự do DOFs: SEM mô hình các Phân tử của kết cấu có kích thước bat kỳ mà không cần xét đến bat cứ sự gián đoạn về kêt câu và vật liệu bên trong. -11- > Giam các bước tính toán: Việc tính toán nhanh các dap ứng trong miễn thời gian cũng cho phép chúng ta xử lý và mô phỏng truyền sóng một cách thực tế hơn. Tuy nhiên, điều đáng nói đến là phan lớn thời gian sử dụng trong SEM là để tính toán tần số tự nhiên băng cách dùng phương pháp lặp dé tìm ra nghiệm của phương trình.
> Hiệu quả khi giải các bài toán trên miền tan số: SEM là một phương pháp giải trên miễn tần số. Theo đó, SEM có thé được áp dụng khi: (i) khi các đặc trưng của hệ (ví dụ như phương trình kết cầu hoặc sự tắt dần dao động) phụ thuộc vào tan số, và (ii) các điều kiện biên của một hệ được thiết lập trong miền tần số (ví dụ, các điều kiện biên trở kháng cho các van dé tuong tac chat long két cau). > Hiệu qua để giải quyết với các dữ liệu số: Các thuật toán FFT được sử dụng trong SEM là một công cụ hiệu quả để xử lý các dữ liệu số như sau: (i) các dữ liệu số được do từ thực nghiệm thông qua các tín hiệu tương tự của bộ chuyển đổi kỹ thuật số và (ii) đo các lực kích thích hoặc xác định trong các mẫu để có được các giá trị số tại khoảng thời gian đều khi sử dụng hàm giải tích. > Các hàm chuyền giao hệ thống (nghịch đảo của ma trận độ cứng động tong thể) là những sản phẩm phụ của phân tích Phan tử pho.
Vì vậy, nó rất dễ dàng để thực hiện bài toán nghịch đảo, chang han nhu viéc xac dinh cac điều kiện biên, mối nối kết cau, hoặc hu hại kết câu và xác định lực tại từng nút của phân tử. Mặc dù với rất nhiều những ưu điểm vượt trội của SEM nhưng nó cũng có những nhược điểm sau: > Việc xây dựng công thức Phan tử phố chính xác có thé áp dụng cho các bài toán mà trong đó các nghiệm sóng chính xác được giả định từ phương trình chủ đạo là cho trước. Tuy nhiên, các nghiệm sóng chính xác không phải là lúc nào cũng đúng cho hầu hết các bài toán phức tạp và đa chiều.