MỞ ĐẦU 1. Lý do lựa chọn đề tài Phương pháp Sai Phân Hữu Hạn (pp SPHH) rất hữu hiệu trong việc giải nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn. Bởi vậy trong các giáo trình truyền nhiệt hiện đại, pp SPHH được trình bày khá kỹ trong chương trình đại học (sách của Holman. Và để nghiên cứu một cách tiếp cận khác các bài toán trong lĩnh vực nhiệt động mà học viên chọn hướng nghiên cứu theo hướng sử dụng thế mạnh của công cụ máy tính và ứng dụng các phương pháp toán học mới để giải quyết các vấn đề kỹ thuật.
Vì lý do trên học viên chọn đề tài "Ứng dụng phương pháp Sai Phân Hữu Hạn cho bài toán hóa rắn trong làm nước đá". Mục tiêu của luận văn Mục tiêu của luận văn là ứng dụng phương pháp số vào bài toán kỹ thuật trong ngành nhiệt. Cụ thể là học viên nghiên cứu ứng dụng phương pháp Sai Phân Hữu Hạn vào bài toán hóa rắn trong quá trình làm nước đá tinh khiết. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán hóa rắn trong làm nước đá được khởi sướng bởi nhà khoa học vật lý Josef Stefan.
Và quá trình hình thành lớp nước đá được gọi là bài toán Stefan. Học viên đã tham khảo tài liệu [1] và thấy hứng thú với cách mà tác giả Tangthieng sử dụng các công cụ toán học hiện đại để giải bài toán Stefan. Do đó học viên sẽ sử dụng những công cụ được nêu ra trong bài báo để thực hiện lại kết quả như tài liệu [1] đã trình bày. Giới thiệu nhà khoa học Josef Stefan HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ 11 ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TOÁN HÓA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ Hình 2: Josef Stefan (1835–1893) Josef Stefan (hình 2) sinh ngày 24/03/1835 và mất ngày 07/01/1893.
Là một nhà vật lý người Slovenia sinh ra ở làng Sveti Peter, ngày nay là quận Klagenfurt thuộc nước Áo. Ông có nhiều đóng góp quan trọng trong lĩnh vực vật lý năng lượng có thể kể đến định luật vật lý nổi tiếng như định luật Stefan – Boltzmann. Và có gần 80 công trình bài báo khoa học được đăng trên bản tin của viện hàn lâm khoa học Vienna. Giới thiệu bài toán Stefan Ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc 2 tổng quát của một hiện tượng vật lý như sau : x, y : là các biến độc lập chỉ không gian : là hàm số cần tìm và phụ thuộc x, y : các hàm số tuyến tính của x, y : là hàm đã xác định theo x, y Ta có cách phân loại như sau : ‒ Nếu b2 – 4ac > 0 thì bài toán có dạng Hyperbol ‒ Nếu b2 – 4ac < 0 thì bài toán có dạng Ellip HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ 12 ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TOÁN HÓA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ ‒ Nếu b2 – 4ac = 0 thì bài toán có dạng Parabol Ví dụ phương trình cho bài toán Ellip ta có : : Phương trình Laplace : Phương trình Poisson Bài toán Ellip mô tả trạng thái cân bằng.
Ví dụ phương trình cho bài toán Hyperbol ta có : : Phương trình sóng : Phương trình đối lưu Bài toán Hyperbol mô tả vấn đề lan truyền. Ví dụ phương trình cho bài toán Parabol ta có : : Phương trình Fourier Bài toán Parabol mô tả vấn đề khuếch tán. Bài toán xác định biên trong phương trình Ellip và Parabol là một bài toán hết sức quan trọng trong khoa học và công nghệ, đó là bài toán nhờ những quan sát biến đổi ở trên biên của quá trình vật lý được mô tả bằng phương trình Ellip và Parabol để xác định lại miền vật lý mà ở đó quá trình biến đổi pha xảy ra. Trong những năm qua, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu bài toán xác định biên cho phương trình đạo hàm riêng.
Người đi tiên phong trong lĩnh vực này này là Stefan. Vào những năm cuối của thế kỷ XIX, ông nghiên cứu bài toán xác định biên của một khối nước đá tan chảy do tác động của nhiệt độ bên ngoài. Kể từ đó đến nay, do đòi hỏi của khoa học kỹ thuật cũng như do đòi hỏi nội tại của chính bản thân Toán học, các bài toán biên tự do, bài toán xác định biên trong phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu sâu rộng. Các bài toán trước đây thường cho hai điều kiện bổ sung trên biên chưa biết và một điều kiện trên biên tiếp cận được.
Mặc dù đó là bài toán rất khó, độ phi tuyến HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ 13 ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TOÁN HÓA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ cao, nhưng thường là những bài toán ổn định theo nghĩa: sai số nhỏ trong dữ kiện bổ sung dẫn đến sai số nhỏ trong lời giải, tức là sai số nhỏ trong biên cần tìm. Nhưng gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu bài toán khi trên biên cần tìm chỉ có một điều kiện biên, còn trên biên tiếp cận được ta có hai điều kiện biên. Đây là bài toán rất lý thú và thường xuyên xuất hiện trong kỹ thuật hồng ngoại, thử nghiệm không phá hủy, vật lý plasma. Trong luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu bài toán Stefan về sự hình thành lớp nước đá trong máy sản xuất nước đá tinh khiết bằng phương pháp Sai Phân Hữu Hạn.
Phương pháp nghiên cứu Dựa trên kết quả của các nhà khoa học trong và ngoài nước để phát triển mở rộng bài toán cho trường hợp hình thành lớp nước đá trên bề mặt phía trong của ống làm nước đá. Để đạt được mục tiêu đó cần có hiểu biết sâu sắc về lý thuyết “sai phân”; Cần sử dụng thành thạo các công cụ của phương pháp sai phân hữu hạn, các thuật toán giải hệ phương trình đại số; Biết thực hiện các tính toán số minh họa cho tính hữu hiệu của phương pháp qua chương trình tính toán được viết bằng ngôn ngữ lập trình hiện đại (ví dụ: Matlab…). Thông qua việc mô phỏng trên phần mềm mô phỏng đã được thương mại (ví dụ: Ansys Fluent…) để nhìn thấy trực quan quá trình hình thành chiều dày lớp nước đá trong không gian 1 chiều, 2 chiều. Và để phần mềm mô phỏng chạy ra kết quả đúng thì cần hiểu rõ hoạt động của phần mềm, cũng như cách thức xây dựng mô hình, thiết lập các điều kiện ràng buộc cho mô hình trong không gian mô phỏng.
Kết quả nghiên cứ sẽ được đúc kết từ việc so sánh giữa kết quả lập trình với kết quả mô phỏng, thực nghiệm. Ý nghĩa khoa học Kết quả của luận văn cho thấy hướng tiếp cận mới – dùng pp SPHH để giải các bài toán có biên tự do – là đơn giản hơn, và có thể mở rộng để áp dụng cho các dạng bài toán phức tạp khác mà phương pháp giải tích gặp khó khăn. Bài toán biên tự do là bài toán mà trong đó một bộ phận của biên không được cho trước. Biên chưa biết này gọi là biên tự do (vì vị trí của chúng thay đổi theo thời gian) và người ta phải tìm nó cùng với nghiệm của phương trình.
Bài toán biên tự do xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học như: vật lý, cơ học môi trường liên tục, trong công nghiệp hóa học, … HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ 14 ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TOÁN HÓA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ Mô hình đầu tiên của các bài toán biên tự do là bài toán về sự nóng chảy hoặc đông đặc của những chất tinh khiết. Nó thường được gọi là bài toán Stefan do J. Stefan công bố vào những năm 1890 – 1891. Đó là bài toán về hiện tượng tan băng.
Giả sử có một thanh băng mỏng, vô tận về một phía, chiếm một khoảng a ≤ x < ∞ , và giả thiết rằng nhiệt độ của băng ở khắp nơi đều bằng 0℃ và tại điểm x = a luôn duy trì nhiệt độ T , với T > 0℃. Khi đó thanh băng bắt đầu tan (chuyển từ trạng thái rắn sang trạng thái lỏng) và vào mỗi thời điểm t > 0 pha nước sẽ chiếm một khoảng a ≤ x < s (t ). Kí hiệu u ( x, t ) là nhiệt độ trong pha nước tại điểm x , ở thời điểm t. Khi đó ta có 2 u xx ut 0 a x st , t 0 ua, t T t>0 ust , t 0 t > 0 (1.1) k1 Trong đó α là hằng số ≠ 0, 2 , k1 là hệ số truyền nhiệt của nước, ρ1 là khối 1c1 lượng riêng của nước, c1 là nhiệt dung riêng của nước.
Hình 3 thể hiện vị trí biên thay đổi theo thời gian. Trong đó đường x = s (t ) chính là biên tự do, phần không biết trước của biên, ngăn cách giữa pha nước và pha rắn.1) thể hiện nhiệt độ tan của thanh băng tại biên tự do là 0℃. Tuy nhiên, vì biên tự do là chưa biết trước, do đó muốn cho bài toán được đặt đúng người ta phải bổ sung thêm một điều kiện trên biên tự do. Điều kiện đó được suy ra từ định luật bảo toàn năng lượng gọi là điều kiện Stefan (1.2) t Lỏng Hình 3: Vị trí biên thay đổi theo thời gian HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ 15 ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TOÁN HÓA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ 1.
Tổng quan về các công trình liên quan CFD là lĩnh vực đã được phát triển mạnh mẽ ở một số nước trên thế giới như Mỹ, Nga, Đức. Sự phát triển của lý thuyết CFD bắt đầu nhờ sự xuất hiện của máy tính vào những năm 1950. Công cụ đầu tiên được phát triển để giải các phương trình vi phân từng phần nói chung và CFD nói riêng là phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Methods – FDM). Tangthieng, Effect of tube diameter on the specific energy consumption of the ice making process, Applied Thermal Engineering 31, 701 – 707.
Bài báo trình bày nội dung áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán truyền nhiệt không ổn định một chiều ở điều kiện lớp biên di động. 2006: André Cliche, Optimization of ice making in laminar falling films, Energy conversion and Management 47, 2260 – 2270. Bài báo phân tích phương trình năng lượng và phương trình động lượng để đưa ra mô hình toán tối ưu cho bài bài toán hình thành lớp băng trên tấm phẳng đặt đứng. Caldwell, Starting solutions for the boundary immobilization method, Communicat- ions in numerical methods in engineering (2005) 21, 289 – 295.
Bài báo trình bày nội dung biến đổi điều kiện biên di động thành điều kiện biên cố định để giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Parra, Numerical model for two-phase solidification problem in a pipe, Applied Thermal Engineering 24, 2501 – 2509.
