Khóa luận: Phương pháp khử Gauss-Jordan và ứng dụng trong giải toán

Khóa luận về phương pháp khử Gauss Jordan: Lý thuyết, thuật toán và ứng dụng giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo. Tài liệu tham khảo hữu ích.

• Người hướng dẫn: Thầy Hoàng Ngọc Tuyến
• Trường học: Trường Đại học Thủ đô Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Phương pháp khử Gauss – Joordan và ứng dụng
• Loại tài liệu: Khóa luận
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• prefix.1. Lí do chọn đề tài
• prefix.2. Mục đích nghiên cứu
• prefix.3. Đối tượng nghiên cứu
• prefix.4. Phạm vi nghiên cứu
• prefix.5. Nhiệm vụ nghiên cứu
• prefix.6. Phương pháp nghiên cứu
• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: Khái quát về hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử Gauss
• 1.1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
• 1.2. Một vài hệ phương trình đặc biệt
• 1.2.1. Hệ Crame (hệ không suy biến)
• 1.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
• 1.4. Điều kiện có nghiệm (Định lí Kronerker – Capelli)
• 1.5. Giải hệ phương trình tuyến tính
• 1.5.1. Hệ không suy biến (Hệ Cramer)
• 1.5.2. Hệ suy biến
• 1.5.2.1. Phương pháp định thức
• 1.5.2.2. Phương pháp Gauss
• 2. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GAUSS
• 2.1. Tìm hạng của ma trận
• 2.1.1. Định nghĩa
• 2.1.2. Cách tìm hạng của ma trận
• 2.1.2.1. Tìm hạng của ma trận thông qua tìm định thức con cấp cao nhất của ma trận ấy
• 2.1.2.2. Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp
• 2.1.3. Tìm hạng của hệ vectơ
• 2.1.3.1. Định nghĩa
• 2.2. Tính ma trận nghịch đảo
• 2.2.1. Định nghĩa
• 2.2.2. Tìm ma trận nghịch đảo
• 2.2.2.1. Tìm ma trận nghich đảo bằng định thức
• 2.2.2.2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
• 2.3. Tính định thức
• 2.3.1. Áp dụng phép khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột
• 2.3.2. Đưa định thức về dạng tam giác
• 2.4. Sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ
• 2.5. Biểu thị tuyến tính của hệ vectơ
• MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Phương pháp khử Gauss Jordan Nền tảng và nguyên tắc cốt lõi

Phương pháp khử Gauss-Jordan, hay còn gọi là phương pháp Gauss, là một thuật toán nền tảng trong đại số tuyến tính dùng để giải quyết các hệ phương trình tuyến tính. Đây được xem là công cụ mạnh mẽ và toàn diện, có khả năng áp dụng trên mọi hệ phương trình, từ những hệ đơn giản đến phức tạp. Nguyên tắc cơ bản của phương pháp này là sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số mở rộng về một dạng đơn giản hơn, gọi là dạng bậc thang hoặc bậc thang rút gọn. Từ đó, nghiệm của hệ phương trình có thể được tìm thấy một cách trực tiếp hoặc thông qua phép thế ngược. Sự ra đời của phương pháp khử Gauss-Jordan đã giảm tải đáng kể khối lượng tính toán so với các phương pháp truyền thống như phương pháp định thức (Cramer), đặc biệt là với các hệ có số lượng ẩn và phương trình lớn. Nó không chỉ dùng để tìm nghiệm mà còn là cơ sở cho nhiều ứng dụng quan trọng khác trong toán học và các ngành kỹ thuật.

1.1. Định nghĩa phương pháp khử Gauss và các khái niệm liên quan

Về bản chất, phương pháp khử Gauss là một quy trình có hệ thống để biến đổi ma trận hệ số mở rộng [A|B] của một hệ phương trình tuyến tính AX = B thành dạng ma trận bậc thang. Một ma trận được gọi là có dạng bậc thang nếu phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng (gọi là phần tử dẫn đầu) nằm ở cột bên phải của phần tử dẫn đầu của dòng trên nó, và tất cả các dòng toàn số 0 (nếu có) đều nằm ở dưới cùng. Phương pháp khử Gauss-Jordan là một phiên bản mở rộng, tiếp tục biến đổi ma trận bậc thang thành dạng bậc thang rút gọn, nơi mỗi phần tử dẫn đầu là 1 và là phần tử khác không duy nhất trong cột của nó. Các khái niệm cốt lõi bao gồm ma trận hệ số, ma trận hệ số mở rộng, và cột tự do. Một hệ phương trình được xác định hoàn toàn bởi ma trận hệ số mở rộng của nó.

1.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Chìa khóa thành công

Sức mạnh của phương pháp khử Gauss nằm ở việc sử dụng ba loại phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Các phép biến đổi này không làm thay đổi tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu. Chúng bao gồm: 1) Đổi chỗ hai dòng cho nhau. 2) Nhân tất cả các phần tử của một dòng với một số khác không. 3) Cộng một bội số của một dòng vào một dòng khác. Việc áp dụng tuần tự và hợp lý các phép biến đổi này cho phép loại bỏ dần các ẩn số khỏi các phương trình, đưa ma trận về dạng tam giác trên (dạng bậc thang). Theo tài liệu nghiên cứu, "Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho". Điều này đảm bảo rằng nghiệm tìm được từ ma trận đã biến đổi chính là nghiệm của hệ phương trình gốc, làm cho phương pháp này trở nên chính xác và đáng tin cậy.

II. Hướng dẫn giải hệ phương trình tuyến tính bằng khử Gauss

Giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss là một quy trình từng bước rõ ràng. Mục tiêu cuối cùng là đơn giản hóa hệ phương trình đến mức có thể dễ dàng tìm ra nghiệm. Quá trình này bắt đầu bằng việc biểu diễn hệ phương trình dưới dạng một ma trận duy nhất, gọi là ma trận hệ số mở rộng. Sau đó, các phép biến đổi sơ cấp trên dòng được áp dụng để khử các ẩn số một cách có hệ thống. Khi ma trận đạt đến dạng bậc thang, việc biện luận số nghiệm của hệ trở nên trực quan. Dựa vào Định lí Kronecker–Capelli, ta có thể xác định hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hay vô nghiệm. Cụ thể, hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng. Nếu hạng bằng số ẩn, hệ có nghiệm duy nhất. Nếu hạng nhỏ hơn số ẩn, hệ có vô số nghiệm. Nếu hạng của hai ma trận này khác nhau, hệ vô nghiệm.

2.1. Lập ma trận hệ số mở rộng từ hệ phương trình ban đầu

Bước đầu tiên và quan trọng nhất trong việc áp dụng phương pháp khử Gauss-Jordan là chuyển đổi hệ phương trình tuyến tính thành dạng ma trận. Một hệ gồm m phương trình và n ẩn số có thể được biểu diễn bởi một ma trận hệ số mở rộng, ký hiệu là [A|B]. Ma trận A, kích thước m x n, chứa các hệ số của các ẩn. Ma trận cột B, kích thước m x 1, chứa các hằng số ở vế phải của mỗi phương trình (cột tự do). Việc kết hợp chúng tạo thành ma trận mở rộng [A|B] kích thước m x (n+1). Ví dụ, hệ phương trình {2x + y = 5; x - 3y = 1} sẽ có ma trận mở rộng là [[2, 1 | 5], [1, -3 | 1]]. Ma trận này chứa đựng toàn bộ thông tin của hệ và là đối tượng chính cho các bước biến đổi tiếp theo.

2.2. Quy trình đưa ma trận về dạng bậc thang Khử xuôi

Sau khi có ma trận hệ số mở rộng, quá trình khử xuôi bắt đầu. Mục tiêu là tạo ra các số 0 bên dưới phần tử dẫn đầu (pivot) của mỗi dòng. Bắt đầu từ dòng đầu tiên, sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để biến tất cả các phần tử bên dưới pivot của cột đầu tiên thành 0. Sau đó, chuyển sang dòng thứ hai và lặp lại quy trình cho cột thứ hai, và cứ thế tiếp tục cho đến khi toàn bộ ma trận có dạng bậc thang. Ví dụ, ta có thể nhân dòng đầu tiên với một số thích hợp rồi cộng vào các dòng bên dưới để khử ẩn đầu tiên. Quá trình này được lặp lại cho đến khi không thể khử thêm. Kết quả là một hệ phương trình tương đương nhưng dễ giải hơn rất nhiều.

2.3. Biện luận nghiệm qua phép thế ngược hoặc khử hoàn toàn

Khi ma trận đã ở dạng bậc thang, có hai cách để tìm nghiệm. Cách thứ nhất là phép thế ngược: từ phương trình cuối cùng (chỉ còn một ẩn), tìm giá trị của ẩn đó rồi thế ngược lên các phương trình trên để tìm các ẩn còn lại. Cách thứ hai, đặc trưng của phương pháp khử Gauss-Jordan, là tiếp tục quá trình khử (khử ngược). Quá trình này biến đổi ma trận bậc thang thành dạng bậc thang rút gọn, nơi mỗi cột chứa pivot chỉ có một số 1 và còn lại là 0. Khi đó, nghiệm của hệ phương trình sẽ hiện ra trực tiếp trên cột tự do. Trong quá trình biến đổi, nếu xuất hiện một dòng có dạng [0 0 ... 0 | k] với k khác 0, có thể kết luận ngay hệ phương trình vô nghiệm.

III. Bí quyết tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss Jordan

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của phương pháp khử Gauss-Jordan là tìm ma trận nghịch đảo. Một ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận nghịch đảo A⁻¹ sao cho A * A⁻¹ = A⁻¹ * A = I, với I là ma trận đơn vị. Theo định lý, một ma trận vuông có nghịch đảo khi và chỉ khi định thức của nó khác 0 (det(A) ≠ 0). Phương pháp Gauss-Jordan cung cấp một thuật toán hiệu quả để tính toán A⁻¹ mà không cần thông qua định thức hay ma trận phụ hợp, vốn rất phức tạp với các ma trận cấp cao. Kỹ thuật này dựa trên việc áp dụng đồng thời các phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho cả ma trận A và ma trận đơn vị I tương ứng. Mục tiêu là biến đổi ma trận A thành ma trận đơn vị I. Khi đó, ma trận I ban đầu sẽ biến thành ma trận nghịch đảo A⁻¹.

3.1. Điều kiện để một ma trận vuông có ma trận nghịch đảo

Không phải mọi ma trận vuông đều có nghịch đảo. Điều kiện tiên quyết để một ma trận A cấp n có ma trận nghịch đảo là nó phải không suy biến, tức là định thức của nó khác không (det(A) ≠ 0). Một cách tương đương, hạng của ma trận A phải bằng cấp của nó (hạng(A) = n). Nếu trong quá trình áp dụng phương pháp khử Gauss-Jordan để tìm nghịch đảo, ta thu được một dòng toàn số 0 ở ma trận bên trái (ma trận A ban đầu), điều này chứng tỏ det(A) = 0 và ma trận không khả nghịch. Việc kiểm tra điều kiện này là bước quan trọng, giúp tránh các tính toán không cần thiết nếu ma trận không đáp ứng yêu cầu.

3.2. Các bước tìm ma trận nghịch đảo với ma trận đơn vị

Quy trình tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp khử Gauss-Jordan rất trực quan. Bước 1: Lập ma trận mở rộng [A | I], trong đó A là ma trận cần tìm nghịch đảo và I là ma trận đơn vị cùng cấp. Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi ma trận A ở vế trái thành ma trận đơn vị I. Cần lưu ý rằng bất kỳ phép biến đổi nào áp dụng cho các dòng của A cũng phải được áp dụng đồng thời cho các dòng tương ứng của I. Bước 3: Khi vế trái đã trở thành ma trận đơn vị I, vế phải sẽ chính là ma trận nghịch đảo A⁻¹. Cụ thể, ma trận mở rộng ban đầu [A | I] sẽ được biến đổi thành dạng [I | A⁻¹]. Phương pháp này rất hiệu quả vì nó tích hợp cả quá trình khử và tìm kiếm vào một thuật toán duy nhất.

IV. Cách tính hạng của ma trận và hệ vectơ hiệu quả nhất

Xác định hạng của ma trận là một bài toán cơ bản trong đại số tuyến tính với nhiều ứng dụng thực tiễn. Hạng của một ma trận được định nghĩa là số lượng tối đa các dòng (hoặc cột) độc lập tuyến tính trong ma trận đó. Theo một định nghĩa khác, hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của định thức con khác không của nó. Tuy nhiên, việc tính toán tất cả các định thức con là không khả thi với ma trận lớn. Phương pháp khử Gauss cung cấp một cách tiếp cận hiệu quả hơn nhiều. Bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang, hạng của ma trận ban đầu chính là số dòng khác không trong ma trận bậc thang thu được. Phương pháp này không làm thay đổi hạng, như trích dẫn: "Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận thì hạng của ma trận bằng hạng của ma trận đã cho".

4.1. Hạng của ma trận và ý nghĩa trong đại số tuyến tính

Hạng của một ma trận (ký hiệu là rank(A) hoặc r(A)) là một con số phản ánh nhiều thuộc tính quan trọng. Nó cho biết số chiều của không gian sinh bởi các vectơ dòng (hoặc cột) của ma trận. Trong bối cảnh giải hệ phương trình tuyến tính AX = B, hạng của ma trận đóng vai trò quyết định theo Định lí Kronecker–Capelli. Nếu rank(A) = rank([A|B]) = n (số ẩn), hệ có nghiệm duy nhất. Nếu rank(A) = rank([A|B]) < n, hệ có vô số nghiệm. Nếu rank(A) < rank([A|B]), hệ vô nghiệm. Do đó, việc xác định chính xác hạng là bước không thể thiếu để hiểu cấu trúc và nghiệm của hệ phương trình.

4.2. Tìm hạng của hệ vectơ thông qua ma trận tương ứng

Một hệ vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng các dòng (hoặc cột) của một ma trận. Hạng của hệ vectơ đó chính là hạng của ma trận tương ứng. Để tìm hạng của một hệ vectơ, ta chỉ cần lập một ma trận với các vectơ này là các dòng, sau đó áp dụng phương pháp khử Gauss để đưa ma trận về dạng bậc thang. Số dòng khác không của ma trận bậc thang cuối cùng chính là hạng của hệ vectơ. Đây cũng là số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa trong hệ. Phương pháp này đơn giản và hiệu quả hơn nhiều so với việc kiểm tra tổ hợp tuyến tính trực tiếp, đặc biệt với các hệ vectơ trong không gian nhiều chiều.

V. Ứng dụng khử Gauss xét độc lập và biểu thị tuyến tính

Ngoài việc giải hệ phương trình và tìm hạng, phương pháp khử Gauss-Jordan còn là một công cụ đắc lực để phân tích cấu trúc của các hệ vectơ. Hai trong số các ứng dụng quan trọng nhất là kiểm tra sự độc lập tuyến tính và biểu diễn một vectơ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác. Một hệ vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu không có vectơ nào trong hệ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Ngược lại, hệ được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Việc xác định tính chất này rất quan trọng trong việc xây dựng cơ sở của một không gian vectơ. Phương pháp khử Gauss giúp đơn giản hóa bài toán này bằng cách chuyển nó về việc giải một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

5.1. Kiểm tra sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ

Để kiểm tra sự độc lập tuyến tính của một hệ gồm m vectơ trong không gian n chiều, ta xét phương trình c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₘvₘ = 0. Hệ vectơ này độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường (tất cả các cᵢ = 0). Đây thực chất là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, với các vectơ vᵢ là các cột của ma trận hệ số A. Ta có thể áp dụng phương pháp khử Gauss cho ma trận A. Nếu sau khi đưa về dạng bậc thang, hạng của ma trận bằng số vectơ m (rank(A) = m), thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường và do đó các vectơ là độc lập tuyến tính. Nếu rank(A) < m, hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường), suy ra hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.

5.2. Biểu diễn một vectơ qua tổ hợp tuyến tính của hệ

Bài toán biểu diễn vectơ v qua tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ {v₁, v₂, ..., vₘ} là việc tìm các hệ số c₁, c₂, ..., cₘ sao cho v = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₘvₘ. Bài toán này hoàn toàn tương đương với việc giải một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, trong đó các vectơ vᵢ là các cột của ma trận hệ số A và vectơ v là cột tự do B. Ta lập ma trận mở rộng [A|v] và sử dụng phương pháp khử Gauss-Jordan để giải. Nếu hệ có nghiệm, các giá trị c₁, c₂, ..., cₘ tìm được chính là các hệ số của tổ hợp tuyến tính. Nếu hệ vô nghiệm, điều đó có nghĩa là vectơ v không thể được biểu diễn qua hệ vectơ đã cho.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1. Khái quát về hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử Gauss. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình có dạng: Trong đó là các ẩn và là các hằng số, được gọi là hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số. Ma trận được gọi là ma trận các hệ số của hệ (1).

Ma trận là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1). Nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định nếu ta biết được ma trận hệ số mở rộng của nó. Cột được gọi là cột tự do của hệ (1). 1 Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.

Ta nói là một nghiệm của hệ (1) nếu khi thay thì tất cả các phương trình trong hệ (1) đều thỏa mãn. Nếu và thì hệ phương trình có thể viết được dưới dạng: AX = B. Ví dụ: Hệ phương trình là một hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn trên R. Hệ phương trình này còn có thể được viết dưới dạng hoặc Trong đó là một nghiệm của hệ phương trình trên.

Một vài hệ phương trình đặc biệt 1. Hệ Crame (hệ không suy biến) 5 Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu m = n (tức là số phương trình bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A không suy biến (hay. Hệ phương trình là hệ Cramer. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Nếu cột tự do của hệ bằng 0 (tức là ) thì hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Hệ này được gọi là hệ thuần nhất liên kết với hệ phương trình (1). Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất 1 nghiệm là và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ. Định lý: Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường hợp nghiệm xảy ra là: - Có một nghiệm duy nhất; - Vô nghiệm; - Có vô số nghiệm. Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm Ví dụ 1.

Để giải hệ phương trình ta tiến hành ma trận hóa và sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hóa về dạng đơn giản. 6 Vậy hệ đã cho tương đương với 1. Điều kiện có nghiệm (Định lí Kronerker – Capelli) Cho hệ phương trình tuyến tính Định lí Crônecke Capelli Hệ phương trình truyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng (A) = hạng ( ). A và lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng.

Khi đó: i) Nếu thì hệ (1) vô nghiệm; ii) Nếu thì hệ (1) có nghiệm. Hơn nữa:  Nếu r = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất. Ta kí hiệu là hệ vectơ cột của ma trận A, là hệ vectơ cột của ma trận bổ sung của hệ phương trình , U là không gian sinh bởi hệ vectơ A, W là không gian sinh bởi hệ vectơ B. Giả sử hệ có nghiệm.

Khi đó Điều này có nghĩa là ta đã thêm vào vào hệ A vectơ là tổ hợp tuyến tính của hệ 7 A để được hệ B. Theo mệnh đề ta có hạng (A) = hạng (A) = hạng (B) = hạng ( ). Giả sử hạng (A) = hạng ( ). Thế thì hạng (A) = hạng (B).

Suy ra dimU = dimW. Vì W nên theo định lí ta có U = W. Vì thế tồn tại bộ n số sao cho Vậy hệ có nghiệm. Giải hệ phương trình tuyến tính 1.

Hệ không suy biến (Hệ Cramer) Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau: 1. Định lý: Cho hệ Cramer trong đó là ma trận các hệ số. Khi đó, - Nếu thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức sau: 8 , trong đó chính là ma trận thu được ma trận A bằng cách thay cột i bởi cột hệ số tự do - Nếu detA = 0 và tồn tại sao cho thì hệ phương trình vô nghiệm - Nếu detA = 0 và thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất (nghĩa là vô nghiệm hoặc vô số nghiệm). Nếu xảy ra trường hợp này thì ta sẽ dùng phương pháp Gauss (được nêu trong phần tiếp theo) để giải hệ phương trình này.

Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n phương trình n ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0. Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn. Giải hệ phương trình sau: với a, b, c là các số khác 0. Ta có nên đây là hệ Cramer.

Hơn nữa 9 Do đó, hệ có nghiệm duy nhất ; ; Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: Lời giải. Ta có |A|=0 và nên hệ phương trình vô nghiệm. Giải hệ phương trình sau: 10 Ta có Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất tức là hệ có vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.

Đối với trường hợp này thì phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình trên. Hệ suy biến 1. Phương pháp định thức Ta đã biết định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận A cho ta biết số chiều và cơ sở của không gian sinh bởi hệ vectơ dòng của ma trận A. Giả sử hạng (A) = hạng = r, và không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết định thức con cấp cao nhất khác 0 của A và là: Nếu thì hệ phương trình đã cho là hệ Cramer, nó có nghiệm duy nhất.

Nếu r < n thì ta xét hệ phương trình gồm r phương trình đầu. Mọi vectơ dòng của ma trận bổ sung là tổ hợp tuyến tính của r vectơ dòng đầu. Vì thế mỗi nghiệm của hệ trên cũng là nghiệm của mỗi phương trình từ thứ đến thứ m, do đó là nghiệm của hệ. Ngược lại hiển nhiên mỗi nghiệm của hệ là nghiệm của hệ trên.

Vì thế chỉ cần chỉ giải hệ trên. 11 Ta viết nó dưới dạng: Và gọi các ẩn là ẩn tự do. Với mỗi bộ số các vế phải của r phương trình này là những hằng số. Vì định thức nên khi đó hệ trên trở thành một hệ Cramer, ta tìm được giá trị duy nhất của chẳng hạn,.

Khi đó là một nghiệm của hệ trên.Như vậy các giá trị phụ thuộc vào tham số. Do có thể nhận vô số giá trị nên hệ phương trình trên vô số nghiệm. Vậy khi r < n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số. Nếu coi rằng nhận giá trị tùy ý thì nghiệm được gọi là nghiệm tổng quát.

Nếu cho mỗi một số trị xác định thì ta được một nghiệm riêng. Giải hệ phương trình tuyến tính: Ta có ma trận Có định thức bằng 0 nhưng định thức con 12 Ma trận bổ sung có định thức cấp ba. Nghĩa là hạng(B) = 3 hạng(A). Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Giải hệ phương trình tuyến tính: Lời giải. Tìm hạng của các ma trận: Định thức Do đó hạng(A) = 3. Để tính hạng của B ta chỉ cần tính các định thức con của B bao quanh D. Đó là: 13 Vì thế hạng(A) = hạng(B) = 3.

Vậy hệ có nghiệm. Giải hệ phương trình (gồm các phương trình ứng với các dòng của định thức D):. Đó là một hệ Carame vì. Áp dụng công thức Carame ta tìm nghiệm là: Ví dụ 1.

Giải hệ phương trình: Lời giải. Tìm hạng của ma trận: , Ta thấy định thức: 14 Tính các định thức con cấp ba của A bao quanh D. Chúng đều bằng 0. Làm tương tự ta tìm được hạng(B) = 2.

Vậy hệ có nghiệm. Viết hệ này dưới dạng: Cho , ta có hệ Cramer: Giải hệ này ta được Nghiệm tổng quát: Nếu cho, chẳng hạn, thì được nghiệm riêng: 1. Phương pháp Gauss Lập ma trận các hệ số mở rộng. Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang.

Giả sử ma trận bậc thang cuối cùng có dạng: Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Do đó: 15 1) Nếu tồn tại ít nhất với khác 0 thì hệ vô nghiệm. 2) Nếu thì hệ có nghiệm. Khi đó các cột (là các cột được đánh dấu * ) được giữ lại bên trái và các là các ẩn, còn các cột còn lại thì được chuyển sang bên phải, các ẩn tương ứng với các cột này sẽ trở thành tham số.

Vậy ta sẽ có n – r tham số và hệ đã cho tương ứng với hệ Trong đó là các hàm tuyến tính của với. Hệ phương trình (3) là hệ phương trình dạng tam giác ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế dần từ dưới lên, tức là tính lần lượt. Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái bằng 0 còn bên phải là số khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm và không cần làm gì tiếp. Nhận xét: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss có dạng A’| B’ thì A’ được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc hay đơn giản là ma trận rút gọn, ký hiệu.

Khi đó hạng của ma trận A bằng hạng của. Cụ thể: Xét hệ phương trình m phương trình n ẩn số 16 Bước 1. Có thể giả sử rằng (bằng cách đổi chỗ các phương trình nếu cần ). Nhân phương trình đầu với rồi cộng vào phương trình thứ i (với ).

Ta có hệ phương trình sau Giữ nguyên phương trình thứ nhất tiến hành bước 2. Có thể giả sử rằng (bằng cách đổi chỗ các phương trình và nếu mọi thì đổi thứ tự ẩn cho nếu cần Áp dụng cách làm bước 1 cho phương trình cuối với với nhân tử ta có hệ phương trình 17 Lặp lại bước 2 nếu trong các phương trình tiếp theo các hệ số của ẩn có hệ số khác không. Cuối cùng ta được hệ có dạng như sau: Định lí 1) Nếu đổi chỗ một phương trình trong hệ thì được một hệ tương đương với hệ đã cho. 2) Nếu nhân một phương trình với một số khác 0 thì được một hệ tương đương với hệ đã cho.

3) Nếu nhân một phương trình với một số khác 0 rồi cộng vào một phương trình trong hệ thì được một hệ tương đương với hệ đã cho. Giải hệ phương trình tuyến tính sau: Lời giải. 18 Cộng dòng thứ ba vào dòng thứ hai:. Cộng dòng thứ hai vào dòng thứ nhất: .