Luận văn thạc sĩ dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu dạy học ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán, rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh THCS.

• Tác giả: Phan Thị Thơm
• Người hướng dẫn: GS. TS Nguyễn Hữu Châu
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Sư phạm
• Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học
• Đề tài: Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỤC LỤC
• DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
• DANH MỤC CÁC BẢNG
• DANH MỤC HÌNH VẼ
• MỞ ĐẦU
• 0.1. Lý do chọn đề tài
• 0.2. Mục đích nghiên cứu
• 0.3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu
• 0.4. Giả thuyết khoa học
• 0.5. Nhiệm vụ nghiên cứu
• 0.6. Phương pháp nghiên cứu
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
• 1.1. Năng lực toán học
• 1.2. Năng lực suy luận
• 1.2.1. Đặc trưng chung của suy luận
• 1.2.2. Suy luận suy diễn
• 1.2.3. Suy luận quy nạp
• 1.3. Nội dung nguyên lý Dirichlet
• 1.4. Vị trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương trình trung học cơ sở
• 1.5. Ý nghĩa của việc vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại
• 1.6. Thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc rèn luyện năng lực suy luận toán học tại trường THCS hiện nay
• 1.6.1. Mục đích, mẫu khảo sát
• 1.6.2. Phương pháp điều tra
• 1.6.3. Phương pháp xử lý số liệu
• 1.6.4. Kết quả nghiên cứu
• 1.6.5. Kết luận chương 1
• 2. CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHO HS THCS
• 2.1. Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy
• 2.2. Rèn luyện cho HS các quy tắc suy luận logic
• 2.3. Rèn luyện cho học sinh biết phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong bài toán
• 2.4. Xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại
• 2.4.1. Xây dựng bài toán số học
• 2.4.2. Xây dựng bài toán hình học
• 2.5. Kết luận chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• 3.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
• 3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm
• 3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm
• 3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm
• 3.2.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
• 3.2.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm
• 3.2.5. Quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm
• 3.3. Phân tích chất lượng học sinh trước khi tiến hành thực nghiệm
• 3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm
• 3.4.1. Phân tích định tính
• 3.4.2. Phân tích định lượng
• 3.5. Kết luận chương 3
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Phương pháp dạy học ứng dụng nguyên lý Dirichlet

Phương pháp dạy học ứng dụng nguyên lý Dirichlet là một hướng tiếp cận hiệu quả trong giáo dục toán học, đặc biệt trong việc rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh THCS. Nguyên lý Dirichlet, với cách tiếp cận đơn giản nhưng sâu sắc, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Phương pháp này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về toán học mà còn áp dụng được trong các tình huống thực tế. Việc sử dụng nguyên lý Dirichlet trong giảng dạy đòi hỏi giáo viên phải thiết kế bài giảng một cách khoa học, kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.

1.1. Cơ sở lý luận của phương pháp

Nguyên lý Dirichlet được phát biểu đơn giản: 'Nếu nhốt ba con thỏ vào hai cái chuồng thì có ít nhất một chuồng nhốt hai con thỏ'. Đây là nền tảng để giải quyết các bài toán chứng minh sự tồn tại. Trong giáo dục toán học, nguyên lý này giúp học sinh phát triển kỹ năng suy luận và tư duy logic. Việc áp dụng nguyên lý Dirichlet trong dạy học đòi hỏi giáo viên phải hiểu rõ cấu trúc và cách thức vận dụng nguyên lý này vào các bài toán cụ thể.

1.2. Thực tiễn áp dụng

Trong thực tế, việc áp dụng nguyên lý Dirichlet trong giáo dục toán học đã mang lại nhiều kết quả tích cực. Học sinh không chỉ hiểu được bản chất của nguyên lý mà còn biết cách vận dụng vào giải các bài toán phức tạp. Các bài toán chứng minh sự tồn tại trở nên dễ dàng hơn khi học sinh biết cách xác định 'thỏ' và 'chuồng' trong bài toán. Điều này giúp học sinh phát triển năng lực suy luận toán học một cách toàn diện.

II. Rèn luyện năng lực suy luận toán học

Rèn luyện năng lực suy luận toán học là một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục toán học ở bậc THCS. Việc sử dụng nguyên lý Dirichlet trong dạy học giúp học sinh phát triển các kỹ năng suy luận cần thiết. Học sinh được rèn luyện cách tư duy logic, phân tích vấn đề và đưa ra các giải pháp hiệu quả. Phương pháp này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn áp dụng được trong các tình huống thực tế.

2.1. Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

Việc rèn luyện kỹ năng suy luận thông qua nguyên lý Dirichlet giúp học sinh thực hiện các thao tác tư duy một cách hiệu quả. Học sinh học cách phân tích bài toán, xác định các yếu tố cần thiết và áp dụng nguyên lý để tìm ra lời giải. Điều này không chỉ giúp học sinh giải quyết bài toán mà còn phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo.

2.2. Phát triển tư duy logic

Nguyên lý Dirichlet là công cụ hữu ích để phát triển tư duy logic cho học sinh. Thông qua việc giải các bài toán chứng minh sự tồn tại, học sinh học cách suy luận một cách hệ thống và chặt chẽ. Điều này giúp học sinh không chỉ giải quyết được các bài toán trong sách giáo khoa mà còn áp dụng được trong các tình huống thực tế, từ đó phát triển năng lực suy luận toán học một cách toàn diện.

III. Ứng dụng trong giáo dục toán học

Giáo dục toán học ở bậc THCS đang ngày càng chú trọng đến việc phát triển năng lực suy luận toán học cho học sinh. Việc áp dụng nguyên lý Dirichlet trong giảng dạy không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về toán học mà còn phát triển các kỹ năng suy luận cần thiết. Phương pháp này giúp học sinh tiếp cận các bài toán một cách khoa học và logic, từ đó nâng cao chất lượng học tập và khả năng ứng dụng toán học trong thực tế.

3.1. Xây dựng hệ thống bài toán

Việc xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet là một phần quan trọng trong giáo dục toán học. Các bài toán này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng suy luận và phát triển tư duy logic. Giáo viên cần thiết kế các bài toán từ đơn giản đến phức tạp, giúp học sinh dần dần nắm vững nguyên lý và biết cách áp dụng vào các tình huống khác nhau.

3.2. Thực nghiệm sư phạm

Các thực nghiệm sư phạm đã chứng minh tính hiệu quả của việc áp dụng nguyên lý Dirichlet trong giáo dục toán học. Kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phát triển được năng lực suy luận toán học. Điều này khẳng định giá trị thực tiễn của phương pháp dạy học này trong việc nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở bậc THCS.

Nội dung chính

## Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 đang tác động mạnh mẽ đến mọi lĩnh vực, giáo dục Việt Nam đứng trước thách thức lớn trong việc đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao, đặc biệt là phát triển năng lực tư duy và suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở (THCS). Theo khảo sát tại trường THCS Trần Đăng Ninh và THCS Phùng Chí Kiên, có khoảng 72% học sinh còn gặp khó khăn trong việc lập luận và trình bày lời giải toán, trong khi 80% giáo viên đánh giá năng lực suy luận của học sinh ở mức trung bình. 

Nguyên lý Dirichlet, một nguyên lý toán học cơ bản nhưng có tính ứng dụng cao trong việc chứng minh sự tồn tại, được xem là công cụ hiệu quả để rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh THCS. Luận văn tập trung nghiên cứu việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm nâng cao năng lực suy luận toán học cho học sinh THCS khá, giỏi tại các trường trung học cơ sở ở Thái Nguyên trong năm học 2018-2019. 

Mục tiêu nghiên cứu là phân tích lý luận về năng lực suy luận toán học và nguyên lý Dirichlet, khảo sát thực trạng dạy học nội dung này, từ đó đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực suy luận toán học cho học sinh. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán, phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay.

## Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

### Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình sau:

- **Lý thuyết năng lực**: Năng lực được hiểu là khả năng thực hiện thành công các nhiệm vụ trong các tình huống xác định, bao gồm bốn thành phần chính: năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội và năng lực cá thể. Năng lực toán học là một loại năng lực chuyên môn, bao gồm tám thành tố như năng lực tư duy, giải quyết vấn đề, mô hình hóa, giao tiếp toán học, và đặc biệt là năng lực suy luận toán học.

- **Lý thuyết suy luận toán học**: Suy luận được chia thành suy luận suy diễn (từ cái chung đến cái riêng) và suy luận quy nạp (từ cái riêng đến cái chung). Các quy tắc logic như quy tắc khẳng định, phủ định, tam đoạn luận được vận dụng để rút ra kết luận chính xác.

- **Nguyên lý Dirichlet**: Nguyên lý cơ bản phát biểu rằng nếu đặt n+1 đối tượng vào n nhóm thì ít nhất một nhóm chứa ít nhất hai đối tượng. Nguyên lý này có nhiều dạng mở rộng và ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại trong toán học, đặc biệt trong số học, hình học và đại số.

- **Mô hình phát triển năng lực toán học**: Theo chuẩn của Bộ Giáo dục và Đào tạo, năng lực toán học bao gồm năng lực tư duy và lập luận, mô hình hóa, giải quyết vấn đề, giao tiếp và sử dụng công cụ học toán.

### Phương pháp nghiên cứu

- **Nguồn dữ liệu**: Dữ liệu được thu thập từ khảo sát 50 học sinh và 20 giáo viên Toán tại hai trường THCS Trần Đăng Ninh và Phùng Chí Kiên, cùng với phân tích bài kiểm tra, vở viết của học sinh và tài liệu chuyên môn.

- **Phương pháp chọn mẫu**: Mẫu được chọn theo phương pháp ngẫu nhiên có chủ đích nhằm đảm bảo tính đại diện cho học sinh khá, giỏi và giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy môn Toán.

- **Phương pháp phân tích**: Sử dụng phương pháp phân tích định tính và định lượng, bao gồm phân tích thống kê tỉ lệ phần trăm, so sánh kết quả trước và sau thực nghiệm sư phạm, đồng thời áp dụng các quy tắc logic để đánh giá năng lực suy luận toán học.

- **Timeline nghiên cứu**: Nghiên cứu được thực hiện trong năm học 2018-2019, bao gồm giai đoạn khảo sát thực trạng, xây dựng biện pháp sư phạm, thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết quả.

## Kết quả nghiên cứu và thảo luận

### Những phát hiện chính

- **Năng lực suy luận toán học của học sinh**: Khoảng 72% học sinh gặp khó khăn trong việc lập luận và trình bày lời giải, chỉ có 18% học sinh trình bày bài toán dễ dàng. 80% giáo viên đánh giá năng lực suy luận của học sinh ở mức trung bình, 20% ở mức tốt.

- **Thực trạng dạy học nguyên lý Dirichlet**: 100% giáo viên khẳng định việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet giúp rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh. Tuy nhiên, 100% giáo viên cũng cho biết việc giảng dạy nội dung này gặp nhiều khó khăn như chuẩn bị bài tốn thời gian, học sinh chưa thành thạo thao tác tư duy và quy tắc suy luận logic, thời gian giảng dạy hạn chế.

- **Mức độ yêu thích và thực hành suy luận của học sinh**: 32% học sinh thích học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet, 52% bình thường và 16% không thích. Về việc nêu suy luận khi giải toán, 30% học sinh thường xuyên thực hiện, 50% thỉnh thoảng, 20% không thực hiện. Về suy luận quy nạp, 24% thường xuyên, 26% thỉnh thoảng, 50% không thực hiện.

- **Hiệu quả thực nghiệm sư phạm**: Sau khi áp dụng các biện pháp sư phạm, kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của học sinh tăng khoảng 15%, tỉ lệ học sinh đạt loại khá, giỏi tăng từ 40% lên 65%.

### Thảo luận kết quả

Kết quả khảo sát và thực nghiệm cho thấy việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet có tác động tích cực đến năng lực suy luận toán học của học sinh THCS. Nguyên nhân chính là nguyên lý Dirichlet giúp học sinh phát triển kỹ năng suy luận suy diễn và quy nạp thông qua việc xác định yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong bài toán, từ đó rút ra kết luận sự tồn tại một cách logic và ngắn gọn.

So với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã bổ sung hệ thống bài tập vận dụng nguyên lý Dirichlet đa dạng, phù hợp với trình độ học sinh khá, giỏi, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm cụ thể nhằm khắc phục khó khăn trong giảng dạy. Việc rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng quát hóa và đặc biệt hóa được chú trọng, giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy phản biện và sáng tạo.

Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ tỉ lệ phần trăm học sinh yêu thích, mức độ thực hành suy luận và bảng so sánh điểm kiểm tra trước và sau thực nghiệm để minh họa hiệu quả của biện pháp.

## Đề xuất và khuyến nghị

- **Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng nguyên lý Dirichlet đa dạng và có kịch bản giảng dạy chi tiết** nhằm tối ưu hóa thời gian giảng dạy và nâng cao hiệu quả rèn luyện năng lực suy luận toán học. Thời gian thực hiện: 6 tháng; Chủ thể: Ban giám hiệu và giáo viên Toán.

- **Tổ chức tập huấn nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên về phương pháp dạy học tích cực và vận dụng nguyên lý Dirichlet** để giảm bớt khó khăn trong chuẩn bị bài và giảng dạy. Thời gian: 3 tháng; Chủ thể: Sở Giáo dục và Đào tạo, trường THCS.

- **Phát triển kỹ năng tư duy cho học sinh thông qua các hoạt động nhóm, thảo luận và thực hành các thao tác tư duy logic** như phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng quát hóa, đặc biệt hóa. Thời gian: liên tục trong năm học; Chủ thể: Giáo viên bộ môn.

- **Áp dụng phương pháp đánh giá năng lực suy luận toán học định kỳ** để theo dõi tiến bộ của học sinh và điều chỉnh phương pháp dạy học phù hợp. Thời gian: mỗi học kỳ; Chủ thể: Giáo viên và Ban giám hiệu.

- **Khuyến khích học sinh tham gia các cuộc thi toán học sử dụng nguyên lý Dirichlet** nhằm tạo động lực học tập và phát triển năng lực tư duy sáng tạo. Thời gian: hàng năm; Chủ thể: Nhà trường và phụ huynh.

## Đối tượng nên tham khảo luận văn

- **Giáo viên Toán trung học cơ sở**: Nắm vững phương pháp dạy học ứng dụng nguyên lý Dirichlet để rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy và hiệu quả học tập.

- **Nhà quản lý giáo dục và cán bộ chuyên môn**: Sử dụng kết quả nghiên cứu để xây dựng chương trình đào tạo, tập huấn giáo viên và phát triển tài liệu giảng dạy phù hợp với xu hướng đổi mới giáo dục.

- **Sinh viên ngành Sư phạm Toán học**: Tham khảo để hiểu rõ hơn về lý thuyết năng lực toán học, phương pháp dạy học tích cực và ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giảng dạy.

- **Các nhà nghiên cứu giáo dục và phát triển chương trình học**: Áp dụng mô hình và kết quả nghiên cứu để phát triển các chương trình đào tạo năng lực tư duy toán học cho học sinh phổ thông.

## Câu hỏi thường gặp

1. **Nguyên lý Dirichlet là gì và tại sao nó quan trọng trong dạy học Toán?**  
Nguyên lý Dirichlet phát biểu rằng nếu đặt n+1 đối tượng vào n nhóm thì ít nhất một nhóm chứa ít nhất hai đối tượng. Đây là công cụ quan trọng giúp học sinh chứng minh sự tồn tại trong toán học, phát triển năng lực suy luận logic và tư duy phản biện.

2. **Làm thế nào để phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet?**  
Học sinh cần xác định các đối tượng xuất hiện trong bài toán, đếm số lượng từng loại và so sánh để phân loại tập có nhiều phần tử là “thỏ”, tập có ít phần tử là “chuồng”. Việc này giúp vận dụng nguyên lý Dirichlet hiệu quả.

3. **Các thao tác tư duy nào được rèn luyện khi dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet?**  
Bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng quát hóa, đặc biệt hóa và trừu tượng hóa. Những thao tác này giúp học sinh phát triển kỹ năng suy luận và giải quyết vấn đề một cách logic và sáng tạo.

4. **Khó khăn thường gặp khi dạy học nguyên lý Dirichlet là gì?**  
Giáo viên thường mất nhiều thời gian chuẩn bị bài, học sinh chưa thành thạo các thao tác tư duy và quy tắc suy luận logic, nội dung dạy học nhiều trong thời gian ngắn, gây khó khăn trong việc truyền đạt và tiếp thu.

5. **Làm thế nào để đánh giá hiệu quả của việc dạy học ứng dụng nguyên lý Dirichlet?**  
Có thể đánh giá qua kết quả kiểm tra năng lực suy luận toán học của học sinh trước và sau khi áp dụng biện pháp, khảo sát mức độ yêu thích và thực hành suy luận của học sinh, cũng như quan sát sự tiến bộ trong quá trình học tập.

## Kết luận

- Luận văn đã làm rõ vai trò quan trọng của nguyên lý Dirichlet trong việc rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở.  
- Kết quả khảo sát và thực nghiệm sư phạm cho thấy việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet nâng cao đáng kể năng lực suy luận và khả năng giải toán chứng minh sự tồn tại.  
- Đề xuất các biện pháp sư phạm cụ thể, bao gồm xây dựng hệ thống bài tập, tập huấn giáo viên, phát triển kỹ năng tư duy cho học sinh và đánh giá định kỳ.  
- Nghiên cứu góp phần bổ sung lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học tích cực trong giáo dục toán học phổ thông.  
- Khuyến nghị các nhà quản lý, giáo viên và sinh viên ngành sư phạm áp dụng kết quả nghiên cứu để nâng cao chất lượng giáo dục toán học trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay.

Hành động tiếp theo: Triển khai áp dụng các biện pháp đề xuất tại các trường THCS, đồng thời mở rộng nghiên cứu sang các cấp học khác để phát triển năng lực toán học toàn diện cho học sinh.  
Hãy bắt đầu áp dụng nguyên lý Dirichlet trong giảng dạy để nâng cao năng lực suy luận toán học cho học sinh ngay hôm nay!

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Năng lực Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh “competentia”. Ngày nay, khái niệm năng lực được hiểu nhiều nghĩa khác nhau. Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công việc.

Năng lực bao gồm các kiến thức, kỹ năng cũng như quan điểm và thái độ mà một cá nhân có để hành động thành công trong các tình huống mới. Năng lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn sàng để giải quyết các tình huống. Theo John Erpenbeck, “năng lực được tri thức làm cơ sở, được sử dụng như khả năng, được quy định bởi giá trị, được tăng cường qua kinh nghiệm và được thực hiện hóa qua ý chí”. Weinert (2001) định nghĩa: “năng lực là những khả năng nhận thức và kỹ năng vốn có hoặc học được của cá thể nhằm giải quyết các vấn đề xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, ý chí, ý thức xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề trong những tình huống thay đổi một cách thành công và có trách nhiệm”.

Theo Từ điển Bách khoa Việt nam: “Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo - tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn - một hay một số dạng hoạt động nào đó”. Hoàng Hòa Bình, năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Hai đặc trưng cơ bản của năng lực là: Được bộc lộ, thể hiện qua hoạt động; Đảm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết quả mong muốn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn Như vậy, năng lực là khả năng thực hiện thành công và có trách nhiệm các nhiệm vụ giải quyết các vấn đề trong các tình huống xác định cũng như các tình huống thay đổi trên cơ sở huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính tâm lý khác như động cơ, ý chí, quan niệm, giá trị…, suy nghĩ thấu đáo và sự sẵn sàng hành động.

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng. Cấu trúc chung của năng lực (năng lực hành động) được mô tả là sự kết hợp của bốn năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể. Năng lực Năng lực chuyên môn phương pháp Năng lực hành động Năng lực Năng lực cá thể xã hội Hình 1. Các thành phần của năng lực Năng lực chuyên môn: là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn.

Nó được tiếp nhận thông qua việc học nội dung - chuyên môn và chủ yếu gắn với các khả năng nhận thức và tâm lý vận động. Năng lực phương pháp: là khả năng đối với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chuyên và phương pháp chuyên môn. Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức.

Nó được tiếp nhận qua việc học phương pháp luận - giải quyết vấn đề. Năng lực xã hội: là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống giao tiếp, ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác. Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp. Năng lực cá thể: là khả năng xác định, đánh giá được cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhận, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ và hành vi ứng xử.

Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc - đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm. Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn mục tiêu giáo dục theo Tổ chức Giáo dục, Khoa học và Văn hóa Liên hợp quốc (UNESCO): Các thành phần năng lực Các mục tiêu giáo dục theo UNESCO Năng lực chuyên môn Học để biết Năng lực phương pháp Học để làm Năng lực xã hội Học để cùng chung sống Năng lực cá thể Học để tự khẳng định Hình 1. Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục Mô hình năng lực theo OECD: Trong các chương trình dạy học hiện nay của các nước thuộc khối OEDC, người ta sử dụng mô hình đơn giản hơn, phân chia năng lực thành hai nhóm chính: các năng lực chung và các năng lực chuyên môn. Nhóm năng lực chung bao gồm:  Sử dụng một cách tương tác các phương tiện thông tin, giao tiếp và các phương tiện làm việc (ví dụ như ngôn ngữ, công nghệ);  Tương tác trong các nhóm xã hội không đồng nhất; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn  Khả năng hành động tự chủ.

Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt. Ví dụ mô hình năng lực trong môn Toán (theo chuẩn của Đức năm 2012) bao gồm các năng lực sau:  Các năng lực toán học chung: lập luận toán học; giải quyết các vấn đề toán; mô hình hóa toán học; sử dụng các cách trình bày biểu đồ, đồ thị, bảng biểu, sử dụng các kí hiệu, công thức, các yếu tố kỹ thuật; giao tiếp toán học.  Các tư tưởng toán học chủ đạo: thuật toán và số học; đo lường; không gian và hình học; quan hệ hàm số; dữ liệu và ngẫu nhiên [3]. Năng lực toán học Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học.

Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Hiệp hội giáo viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán”. Ở Việt Nam trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm về năng lực toán học của các nhà giáo dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam). Theo Blohm & Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”.

Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai cụm. Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học. Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học.

Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau. Năng lực tư duy Năng lực toán học giải quyết vấn đề Năng lực toán học biểu diễn Năng lực Mô hình Năng lực hóa toán sử dụng ngôn ngữ học và kí hiệu hình thức Năng lực suy luận Năng lực sử Năng lực toán học dụng công cụ, giao tiếp phương tiện toán học toán học Hình 1. Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học thông qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học; năng lực học tập độc lập và hợp tác” [10]. Một trong những mục tiêu chung của Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.vn năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) là hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Năng lực suy luận 1. Đặc trưng chung của suy luận Sự hiểu biết của con người về thời gian khách quan được phản ánh bằng các khái niệm và phán đoán. Con người không những biết kết hợp các khái niệm với nhau để xây dựng phán đoán, mà còn sử dụng các phán đoán để rút ra phán đoán mới. Hầu hết các luận điểm khoa học được phát hiện nhờ hình thức này của tư duy.

Dựa vào các tri thức đã biết con người rút ra tri thức mới theo các quy tắc xác định. Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó rút ra phán đoán mới từ một hay nhiều phán đoán theo các quy tắc logic xác định. Bất kỳ suy luận nào cũng bao gồm tiền đề, lập luận và kết luận. Tiền đề: là một hay một số phán đoán đã được thực tiễn thừa nhận hoặc được khoa học chứng minh là đúng.

Trên cơ sở giá trị đúng của các tiền đề có thể rút ra các phán đoán mới, chứa đựng tri thức mới mà bản thân riêng rẽ từng tiền đề không thể có được. Lập luận: là phương pháp logic rút ra kết luận từ các tiền đề. Các phương pháp logic này không chỉ thể hiện trình tự sắp xếp các phán đoán thuộc tiền đề mà còn bao gồm cả những quy luật mà những quy tắc logic chi phối trình tự sắp xếp để đưa ra phán đoán mới một cách tất yếu. Kết luận: là phán đoán mới thu được từ các tiền đề thông qua lập luận.

Kết luận có nhiều dạng khác nhau, có kết luận phù hợp, có kết luận không phù hợp với hiện thực khách quan, có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu từ những lập luận logic của các tiền đề. Nếu ký hiệu tiền đề hay tập hợp tiền đề là X1 , X 2 ,.