Phương Pháp Đạo Hàm Tăng Cường Tseng Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân

Nghiên cứu phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân trên không gian Banach. Ứng dụng giải bài toán liên quan.

• Tác giả: Hoàng Vĩnh Linh
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Song Hà
• Trường học: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Phương Pháp Đạo Hàm Tăng Cường Tseng Xấp Xỉ Nghiệm Cho Một Lớp Bất Đẳng Thức Biến Phân Trên Không Gian Banach
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• Lời cảm ơn
• Mục lục
• Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt
• Danh sách bảng
• Mở đầu
• 1. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số vấn đề cơ bản về không gian Banach . Hàm lồi, hàm khả vi, dưới vi phân . Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu tổng quát . Ánh xạ đơn điệu và liên tục
• 2. Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân
• 2.1. Mô hình bài toán . Phương pháp TISEGHM . Ví dụ minh họa
• Kết luận chung và đề nghị
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân Giới Thiệu

Bài viết này tập trung vào bất đẳng thức biến phân (VIP), một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học và ứng dụng. Các nghiên cứu của Lion, Minty và Stampacchia vào giữa thế kỷ XX đã đặt nền móng cho lĩnh vực này, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Bài toán bất đẳng thức biến phân trở thành công cụ hữu hiệu trong nghiên cứu toán học và các lĩnh vực khoa học liên quan. Việc đề xuất các thuật toán giải xấp xỉ bài toán này đóng vai trò quan trọng trong việc đưa lý thuyết vào giải quyết vấn đề thực tiễn. Đã có nhiều phương pháp và thuật toán giải số cho bài toán VIP. Phương pháp lặp điển hình là phương pháp chiếu gradient (GM), đòi hỏi ánh xạ giá có tính chất đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Phương pháp đạo hàm tăng cường (EGM) (kiểu Korpelevich) yêu cầu tính chất giả đơn điệu của ánh xạ giá. Tuy nhiên, phương pháp này cần tính toán hai lần phép chiếu mêtric lên miền hữu hiệu, gây khó khăn khi miền có cấu trúc phức tạp. Để giảm bớt khó khăn này, phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường (SEGM) được giới thiệu, thay thế phép chiếu thứ hai bằng phép chiếu lên một nửa không gian con đóng. Nhiều phương pháp mới đã được đề xuất, cải tiến nhằm gia tăng hiệu quả và phạm vi ứng dụng của các phương pháp đã có. Luận văn này trình bày lại kết quả mới của Yoewole và cộng sự (2022) về phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng cải biên xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz trên không gian Banach 2-lồi đều và trơn đều. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 hệ thống lại kiến thức cơ bản của giải tích lồi và giải tích hàm trong không gian Banach. Chương 2 giới thiệu nội dung, sự hội tụ mạnh của phương pháp và kết quả tính toán số.

1.1. Lịch Sử Phát Triển Bất Đẳng Thức Biến Phân VIP

Bất đẳng thức biến phân (VIP) gắn liền với nhiều nghiên cứu của Lion, Minty và Stampacchia vào giữa thế kỷ XX. Từ đó, bất đẳng thức biến phân cùng nhiều bài toán liên quan đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. Đồng thời, bài toán này trở thành công cụ hữu hiệu trong nghiên cứu toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học liên quan khác nói chung.

1.2. Các Phương Pháp Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân Phổ Biến

Phương pháp lặp điển hình là phương pháp chiếu gradient (GM). Phương pháp đòi hỏi ánh xạ giá (ánh xạ mục tiêu) phải có tính chất đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Dưới giả thiết nhẹ hơn, chỉ yêu cầu tính chất giả đơn điệu của ánh xạ giá, có thể sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường (EGM) (còn được gọi là phương pháp kiểu Korpelevich).

II. Thách Thức Trong Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân Vấn Đề

Một trong những thách thức lớn nhất trong việc giải bất đẳng thức biến phân là việc tính toán phép chiếu mêtric lên miền hữu hiệu. Việc tính toán này có thể rất khó và ảnh hưởng đến hiệu quả của thuật toán khi nó có cấu trúc phức tạp. Phương pháp đạo hàm tăng cường (EGM) có một đặc điểm là ở mỗi lần lặp, ta cần phải tính toán hai lần phép chiếu mêtric lên miền hữu hiệu (miền ràng buộc). Điều này gây khó khăn khi miền có cấu trúc phức tạp. Nhằm làm giảm bớt khó khăn này, Censor và cộng sự đã giới thiệu phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường (SEGM). Ý tưởng cơ bản là thay thế phép chiếu thứ hai bởi phép chiếu lên một nửa không gian con đóng, thực tế có thể được thực hiện dễ dàng hơn.

2.1. Khó Khăn Khi Tính Toán Phép Chiếu Mêtric

Việc tính toán phép chiếu mêtric lên miền hữu hiệu có thể rất khó và có thể ảnh hưởng đến hiệu quả của thuật toán khi nó có cấu trúc phức tạp. Phương pháp đạo hàm tăng cường (EGM) có một đặc điểm là ở mỗi lần lặp, ta cần phải tính toán hai lần phép chiếu mêtric lên miền hữu hiệu.

2.2. Giải Pháp Thay Thế Phép Chiếu Mêtric Bằng Nửa Không Gian

Nhằm làm giảm bớt khó khăn này, Censor và cộng sự đã giới thiệu phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường (SEGM). Ý tưởng cơ bản là thay thế phép chiếu thứ hai bởi phép chiếu lên một nửa không gian con đóng, thực tế có thể được thực hiện dễ dàng hơn.

III. Phương Pháp Tseng Giải Pháp Giải Bất Đẳng Thức VIP

Luận văn sẽ trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng cải biên xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz trên không gian Banach 2-lồi đều và trơn đều. Phương pháp này được đề xuất bởi Yoewole và cộng sự (2022). Cụ thể, luận văn sẽ trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng cải biên xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz trên không gian Banach 2-lồi đều và trơn đều.

3.1. Ưu Điểm Của Phương Pháp Đạo Hàm Tăng Cường Tseng

Luận văn sẽ trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng cải biên xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz trên không gian Banach 2-lồi đều và trơn đều.

3.2. Giả Định Cần Thiết Để Áp Dụng Phương Pháp Tseng

Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng cải biên xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz trên không gian Banach 2-lồi đều và trơn đều.

IV. Thuật Toán Tseng Cải Biên Hướng Dẫn Chi Tiết Dễ Hiểu

Phương pháp Tseng được thực hiện thông qua một số bước. Bước 0: Lấy phần tử u ∈ C cố định và chọn các điểm ban đầu x0 và x1 tùy ý thuộc C. Bước 1: Chọn θk sao cho 0 ≤ θk ≤ θ̄k. Bước 2: Xác định các nửa không gian đóng Cki và đặt Ck. Tính yk. Bước 3: Tính zk. Bước 4: Tính xk+1. Bước 5: Gán k := k + 1 và quay lại thực hiện Bước 1.

4.1. Chi Tiết Từng Bước Trong Thuật Toán Tseng

Các bước thực hiện thuật toán Tseng được mô tả chi tiết để người đọc có thể dễ dàng theo dõi và áp dụng. Các bước bao gồm khởi tạo, tính toán các tham số trung gian và cập nhật nghiệm.

4.2. Điều Kiện Dừng Thuật Toán Tseng

Nếu wk = yk thì dừng (đó là nghiệm cần tìm). Ngược lại thực hiện các bước tiếp theo.

V. Ứng Dụng Thực Tế Ví Dụ Số Cho Phương Pháp Tseng

Các kết quả tính toán được lập trình trên phần mềm MATLAB 14a và chạy thử nghiệm trên máy tính ASUSPRO, CPU Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @ 1.40 GHz, 4GB RAM. Xét mô hình bài toán với các giả thiết như dưới đây: E = R2 là không gian 2-lồi đều và trơn đều. h : R2 → R xác định bởi h(x) = ∥x∥2 − 1, ∀x = (u, v) ∈ R2, là hàm lồi, khả vi Gâteaux, nửa liên tục dưới yếu và có đạo hàm ∇h = I là hàm 1-liên tục Lipschitz. A(x) = (u + v, u + v), ∀x = (u, v) ∈ C. A cũng là 2-liên tục Lipschitz vì ∥A(x) − A(y)∥2 = ∥A(x − y)∥2 = (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) = 2∥x − y∥2. Lấy dãy các tham số thỏa mãn điều kiện (B1)-(B4) là βk = 1/(k + 1).

5.1. Thiết Lập Mô Hình Bài Toán Ứng Dụng Phương Pháp Tseng

Mô hình bài toán và các giả thiết được thiết lập cụ thể để minh họa ứng dụng của phương pháp Tseng trong giải bài toán thực tế. Các giả thiết bao gồm không gian Banach, hàm lồi, ánh xạ Lipschitz.

5.2. Kết Quả Tính Toán Ví Dụ Minh Họa

Các kết quả tính toán trên phần mềm MATLAB 14a được trình bày để minh họa hiệu quả của phương pháp Tseng trong giải bài toán đặt ra. Các kết quả bao gồm số vòng lặp và sai số.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Bất Đẳng Thức Biến Phân

Luận văn đã nghiên cứu và trình bày lại có hệ thống một số vấn đề cơ bản sau đây: Một là, hệ thống lại một số kết quả cơ bản của giải tích lồi và giải tích hàm trong không gian Banach ở Chương 1, nhằm phục vụ cho việc chi tiết hóa các nội dung chính của luận văn ở Chương 2. Hai là, giới thiệu mô hình bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cùng một số bài toán liên quan như bài toán bù, bài toán điểm bất động. Ba là, trình bày nội dung cùng chứng minh chi tiết sự hội tụ mạnh của phương pháp TISEGHM (kết hợp giữa phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng cường Tseng có quán tính và phương pháp lặp Halpern) xấp xỉ nghiệm của bài toán nêu trên. Bốn là, xây dựng một ví dụ số cụ thể nhằm minh họa và làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập.

6.1. Tóm Tắt Các Kết Quả Chính Của Nghiên Cứu

Luận văn đã hệ thống lại các kiến thức cơ bản, giới thiệu mô hình bài toán và trình bày phương pháp TISEGHM. Đồng thời, luận văn cũng cung cấp ví dụ số minh họa.

6.2. Gợi Ý Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo

Nghiên cứu có thể được mở rộng để áp dụng cho các lớp bài toán phức tạp hơn, các không gian Banach khác hoặc các phương pháp giải khác.