Chương 1. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn. Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua các bài toán tỉ lệ. Thực nghiệm sư phạm.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THUC TIEN 1. Mô hình hóa toán học và một số khái niệm liên quan 1. Mô hình và mô hình toán học 1. Mô hình Mô hình có thể hiểu là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thong, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống [7].
Theo ý nghĩa vật lí của nó, mô hình còn có thé hiểu là một ban sao nhỏ hơn của đối tượng, mang những đặc trưng (đặc điểm, màu sắc, chức năng) của đối tượng mà nó biểu dién [1] và thông qua mô hình đó, ta có thê thao tác và khám phá thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật [13]. Về mặt trực giác, mô hình thường được hiểu là một đối tượng vật lý, một bản sao, khác về kích thước nhưng có cấu trúc, tính chất và cách thức vận hành như đối tượng sốc mà mô hình đó thê hiện (như mô hình không gian vũ trụ, mô hình tên lửa nước, mô hình thuyền buồm. Tuy nhiên, mô hình còn có thé được hình thành trong trí não sử dụng với nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như hệ tiên đề của hình học Oclit). Như vậy, mô hình là một hình thức mô tả, minh họa thay thé mà qua đó ta thay được các đặc điểm, đặc trưng của vật thể thực tế.
Mô hình toán hoc Từ định nghĩa về mô hình đã có, mô hình toán học được định nghĩa là một biểu diễn cho các phần quan trọng của một hệ thông có sẵn hoặc sắp được xây dựng nhằm biểu diễn tri thức về hệ thống đó dưới dang có thé dùng được. Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, mô hình toán học là mô hình dé mô tả gần đúng một lớp nào đó các hiện tượng của thế giới xung quanh, được diễn đạt bằng các kí hiệu toán học [7]. Theo tác giả Lê Văn Hồng, mô hình toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này [9]. Như vậy, mô hình toán học là mô hình để mô tả, giải thích bằng toán học cho các hiện tượng thé giới xung quanh, được biểu đạt bằng ngôn ngữ toán học.
Trong đó, ngôn ngữ toán học có thể là các ki hiệu toán học, thuật ngữ toán học, hình vẽ, bảng biểu, sơ đô toán học hoặc thậm chí là các mô hình ao trên máy vi tính. Mô hình hóa toán học và qua trình mô hình hóa toán học Mô hình hóa có thé hiểu là một quá trình chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mô tả thế giới trực giác bằng ngôn ngữ tự nhiên. Có nhiều định nghĩa và chia sẻ khác nhau về mô hình hóa toá học trong giáo dục của các tác giả trong và ngoài nước tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà tác giả hướng tới. Sơ dé về quá trình mô hình hóa toán học của Pollak (1979) là một trong những sơ đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyên đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả hai chiều khi thực hiện mô hình hóa.
Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong thế giới thực, người mô hình hóa thực hiện chuyền đổi sang ngôn ngữ toán hoc hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải bài toán trong thế giới toán học, bằng ngôn ngữ toán học, và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho phép sự lặp đi lặp lại nhiều lần giữa thế giới thực và thế giới toán học. Quá trình mô hình hóa toán học mô phỏng theo Pollak (1979) Thế giới toán học Thế giới thực Theo sơ đồ trên, mô hình hóa toán học là một quá trình tạo ra các mô hình dé giải quyết van đề thực tiễn, được xây dựng bang cách phiên dịch các van dé từ thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu dé giải quyết van đề trong môi trường toán học. Tiếp thu quan điểm của Pollak, Lalina Coulange (1997) đã định nghĩa quá trình mô hình hóa toán học một vẫn đề, tình huống thực tiễn và mô tả quy trình mô hình hoá toán học theo sơ đồ với các bước cụ thé như sau: Sơ do 1.
Qua trình mô hình hóa toán học mô phỏng theo Lalina Coulange (1997) HỆ THÔNG NGOAI TOAN HỌC Trả lời cho những câu hải Những câu hỏi liên quan đến hệ thông ban đâu l Thu hẹp hệ thông vảo những khía cạnh thích đáng đối với các cầu hỏi (Những) mô hình trung gian giữ những mối liên hệ ngữ nghĩa với mỗ hình ma người ta tìm cách mô hình hóa | | Lam việc toán học Trình bảy các câu hoi Trả lời cho van đề thảnh một van dé toán học toán hoc MO HINH TOAN HOC (Nguồn: Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2014) Theo quan điểm trên, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã định nghĩa trong nghiên cứu của mình là: Quá trình mô hình hóa là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho van đề ngoài toán học, giải quyết van đề trong mô hình đó, rôi thê hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tê, cải tiên mô hình nếu cách giải quyết không thé chấp nhận [7].Và theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Thị Nga [7], [15] quá trình này gồm 4 bước (như sơ đồ). Theo tác giả Nguyễn Thị Tân An, mô hình hóa toán học là quá trình chuyền đôi một van đề thực tế sang một vấn đề toán học băng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thé hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu các giải quyết không thê chấp nhận [2]. Ở nghiên cứu của tác giả năm 2013, quy trình mô hình hóa được thê hiện qua 6 bước mô phỏng theo quá trình mô hình hóa cua Stillman & Galbraith: So đồ 1. Quá trình mô hình hóa mô phỏng theo Stillman & Galbraith (2016) 7 => Q) E1 Mộ 2 Mô hình TH a toan hoc Ilo Ea giải E KếtE ee _ 6) 7.
tế —! (4) toán học Két qua (Nguồn: Tạp chi Khoa học Dai học Su phạm TP.Hồ Chí Minh năm 2013) Trong khi đó, tác giả Nguyễn Danh Nam lại cho rằng mô hình hóa toán học được hiểu là sử dung công cụ toán học được thé hiện dưới dạng ngôn ngữ toán học, tạo ra mô hình dé giải quyết các vấn đề toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn [13]. Tác giả đã xuất phát từ tình huống thực tiễn và phân chia quá trình mô hình hóa từ 4 bước cơ bản (theo Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Thị Nga) hoặc 6 bước (theo Nguyễn Thị Tân An) thành 7 bước chỉ tiết (theo quan điểm của Blum & Leib năm 2006). Quá trình mô hình hóa toán học mô phỏng theo Blum & Leib (2006) Toan hee hoa Mé hinh 3 +2. Tinhthựchuồngag "mà Mõtuông Mồ hình toán Kết quả toán Thể giới thực Thé giới toán học (Nguôn: Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2015) Tất cả các quá trình trên cũng được thé hiện to ong tự trong khung đánh giá PISA ở lĩnh vực Toán học [6], [16], [17], quá trình mô hình hóa với 4 bước nêu trên được thé hiện bởi sơ đồ sau: So đồ 1.
Chu trình toán học hóa (OECD/PISA) 5 ' Lời giải thực tế H Lời giải toán học 5 | 4 12,3 | Van dé thực tế Vấn dé toán hoc Thể giới hiện thực h Một số tác giả dùng thuật ngữ “chu trình” thay cho “quá trình” bởi muốn mô tả quá trình trên theo “vòng lặp” khép kín đi từ các tình huống được nảy sinh trong thực tiễn và kết quả được dùng để giải thích, cải thiện các vân dé trong chính thực tiên. Khi đưa ra mô hình toán học nao đó và giải quyết van đề nhờ mô hình đó, thì bước “rút kinh nghiệm” được tiến hành dé đưa ra mô hình khác nhằm mô tả hiện thượng tốt hơn và giải quyết tốt hơn. Lúc đó từ “chu trình” phù hợp hơn từ quá trình. Hai từ quá trình và chu trình này đều gắn với mô hình hóa.
Từ các nghiên cứu quá trình mô hình hóa toán học, luận văn lựa chọn xây dựng định nghĩa về mô hình hóa toán học theo 4 giai đoạn như sau: Mô hình hóa toán học là một chu trình giải quyết các vấn dé thực tiễn, các ý tưởng, hiện tượng về thé giới xung quanh thông qua mô hình toán hoc gom 4 giai đoạn: Giai đoạn 1: Quan sát, tìm hiểu, khám phá tình huống thực tiễn và xác định các yếu tố quan trọng (biến, tham số) có tác động đến van dé. Giai đoạn 2: Xây dựng giả thiết về moi quan hệ giữa các yếu tô bằng toán học và phác họa mô hình toán học tương ứng. Giai đoạn 3: Sử dụng phương pháp và các công cụ toán học phù hop dé phân tích và giải quyết mô hình toán học. Giai đoạn 4: Thông bảo kết quả và đối chiếu kết quả với thực tế.
Đôi khi can phải diéu chỉnh các mô hình, lặp lại các bước nhiều lần cho đến khi có được kết quả hợp ly. Mô hình hóa toán học trong dạy học phố thông Mô hình hóa toán học trong giáo dục đã được xuất hiện trên thế giới từ những năm 1968 tại hội nghị của Freudenthal. Tại đây nhiều nhà khoa học đã ra các câu hỏi liên quan đến mô hình hóa, về việc giúp học sinh áp dụng kiến thức toán vào những tình huống đơn giản cuộc sống. Năm 1977, hội nghị các nước nói tiếng Đức cũng thảo luận một số nội dung về ứng dụng của toán học trong giáo dục.
Nghiên cứu của Pollak năm 1979 về ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trường đã đánh dau moc quan 10 trọng trong việc đưa mô hình hóa toán học vào nhà trường. Ông khang định, giáo dục toán học phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán trong cuộc sông hàng ngày. Từ đó, dạy và học mô hình hóa trong nhà trường trở thành một chủ dé nổi bật trên phạm vi toàn cầu [1]. Ở các nước Pháp, Uc, Đức, Canada và Anh đã có nhiều tài liệu về dạy học mô hình hóa được phát hành chính thức ở tất cả các cấp học và mô hình hóa toán học là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán.