CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Dạy học chủ đề phương trình và bất phương trình ở môn toán trung học phổ thông 1. Khoa học về phương trình và bất phương trình Lý thuyết phương trình có lịch sử từ rất lâu đời. Từ năm 2000 trước Công nguyên, người Ai Cập đã biết cách giải các phương trình bậc nhất, người Babylon đã biết cách giải các phương trình bậc hai và tìm được những bảng đặc biệt để giải phương trình bậc ba.
Tuy nhiên các hệ số của phương trình được xét đều là những số đã cho nhưng cách giải của người xưa chứng tỏ rằng họ cũng đã biết đến những quy tắc tổng quát. Trong nền toán học của người Hi Lạp, lý thuyết phương trình được phát triển dựa trên cơ sở hình học, liên quan đến việc phát minh ra tính vô ước của một số đoạn thẳng. Vì lúc đó, người Hi Lạp chỉ biết các số nguyên dương và phân số dương nên đối với họ, phương trình x²= 2 vô nghiệm. Tuy nhiên, phương trình đó lại giải được trong phạm vi các đoạn thẳng vì nghiệm của nó là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1.
Đến thế kỷ VII, lý thuyết của phương trình bậc nhất và bậc hai được những nhà toán học Ấn Độ phát triển, họ đã cho ra đời phương pháp giải phương trình bậc hai bằng cách bổ sung thành bình phương của một nhị thức. Sau đó, người Ấn Độ cũng sử dụng rộng rãi các số âm, số Ả Rập với cách viết theo vị trí của các chữ số. Đến thế kỷ thứ XVI, các nhà toán học La Mã là Tartlia (1500 – 1557), Cardano (1501 - 1576) và nhà toán học Ferrari (1522 - 1565) đã giải được các phương trình bậc ba và bậc bốn. Đầu thế kỷ XIX, nhà toán học người Na Uy Henrik Abel cho rằng không thể phương trình tổng quát bậc lớn hơn bốn bằng các phương toán học thông thường của đại số.
Không lâu sau đó, nhà toán học người Pháp Évariste Galois đã hoàn tất công trình lý thuyết về phương trình của loài người. Tùy theo cách nhìn nhận và định nghĩa. Theo một cách định nghĩa chuyên biêt, người ta quy các bất đẳng thức về dạng bất phương trình đặc biệt trong đó tập các biến trên bất phương trình là tập trống (Điều này cũng so sánh được như 9 khi định nghĩa phương trình và đẳng thức vậy) .Tuy nhiên, việc phân biệt các loại phương trình và đẳng thức sẽ dể dàng hơn trong việc giảng dạy và trình bày Người ta chia bất phương trình thành các loại: Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng: f(x) > g(x); f(x) < g(x); f(x) ≥ g(x); g(x) ≥ f(x) Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình Tuy nhiên các bất phương trình trên đều có thể chuyển về dạng tương đương f(x) > 0 hoặc f(x) ≥ 0 Cũng như phương trình , biến x trong bất phương trình cũng được gọi là ẩn, hàm ý là một đại lượng chưa biết. Khi đó ta phân loại của bất phương trình được quy về phân loại của hàm f(x) 1.
Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k. Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép hai căn 3. Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa) 4. Các bất phương trình logarit là các bất phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit).
Bất phương trình nhiều ẩn Khái niệm bất phương trình có thể mở rộng thành bất phương trình n biến trên trục số thực hoặc trên tập bất kỳ của biến x nhưng các hàm f(x) và g(x) phải nhận giá trị trên các tập sắp thứ tự toàn phần Hệ bất phương trình. Phương trình và bất phương trình là một trong những chủ đề trọng tâm, chủ chốt có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và trong cuộc sống đã được đưa vào DH một cách hệ thống ở trường trung học phổ thông hiện nay. Dạy học chủ đề phương trình và bất phương trình ở trung học phổ thông 1.Về kiến thức: Học sinh nắm vững khái niệm PT&BPT một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến và những khái niệm có liên quan, nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình, giải phương trình hoặc bất phương trình, quan hệ tương đương giữa 2 phương trình hoặc bất phương trình, điều kiện của PT&BPT; PT&BPT tương đương và hệ quả. Thông qua chủ đề PT, BPT cần củng cố và đào sâu một số kiến thức về tập hợp và logic toán, cụ thể là: những khái niệm tập hợp, phần tử quan hệ bao hàm, quan hệ giao nhau giữa hai tập hợp, các phép toán logic kéo theo và tương đương.
Về kĩ năng: Học sinh có kĩ năng giải và biện luận PT&BPT, thành thạo với việc giải PT&BPT theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống qui tắc biến đổi xác định, chẳng hạn như : PT&BPT bậc nhất một ẩn, hai ẩn; hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình trùng phương. đồng thời biết linh hoạt vận dụng kiến thức về giải phương trình như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình mũ, phương trình logarit. nhận biết khái niệm PT&BPT cả về mặt ngữ nghĩa lẫn cú pháp trong quá trình giải. Học sinh biết cách giải PT&BPT bằng đồ thị, thông qua đó thấy được mối quan hệ giữa PT&BPT và hàm số.Về thái độ: Học sinh được phát triển tư duy thuật giải trong việc giải PT&BPT theo thuật giải hoặc theo một hệ qui tắc xác định, được rèn luyện tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những PT&BPT theo nội dung, những PT&BPT không mẫu mực.
Học sinh được rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỷ luật trong việc giải PT, BPT theo thuật giải, theo công thức , theo công thức hoặc theo một 11 hệ thống qui tắc biến đổi xác định, được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải PT, BPT nói chung, đó là những phẩm chất không thể thiếu của con người trong lao động Học sinh thấy rõ ý nghĩa thực tế của PT&BPT thông qua việc giải những bài toán có nội dung vật lý, kĩ thuật và thực tế thấy được quan hệ mật thiết giữa toán học và đời sống, toán học xuất hiện do nhu cầu từ đời sống. Giá trị: Góp phần phát triển năng lực tư duy, năng lực phân tích, tổng hợp, khả năng suy luận hợp lý, và diễn đạt chúng (nói và viết); Biết cách phát hiện và giải quyết những vấn đề đơn giản, gần gũi trong cuộc sống. Nội dung chương trình PT&BPT là một trong những nội dung cơ bản của chương trình môn Toán ở trường phổ thông hiện nay. Cùng với sự mở rộng của hệ thống số là việc giải PT&BPT trong từng tập hợp số tương ứng.Trước khi học tường minh về PT&BPT học sinh đã được làm quen một cách ẩn tàng với những PT&BPT, kể cả việc giải chúng ngay từ bậc tiểu học Ở toán lớp 1 có các bài toán “ điền vào ô trống”: 1+ =5 + 3=8 Ở lớp 2 có các bài toán “tìm x trong các biểu thức”dạng: a a − x = b, a.
x = b, =b x hay dạng các bài toán “tìm số tự nhiên x sao cho: x + 4 ≤ 10 ” Chương trình lớp 7 có: Khái niệm biểu thức đại số, giá trị của một biểu thức đại số. Khái niệm đơn thức, đơn thức đồng dạng, các phép toán cộng, trừ, nhân các đơn thức. Khái niệm đa thức nhiều biến. Nghiệm của đa thức một biến.
Những nội dung này học sinh đều cần biết khái niệm nghiệm của đa thức một biến, biết tìm nghiệm của đa thức một biến bậc nhất. Đó là những kiến thức tàng ẩn về phương trình. 12 Ở lớp 8: Khái niệm PT&BPT được chính thức định nghĩa, ẩn số, nghiệm phương trình và giải phương trình; học sinh còn được học về hai phương trình, bất phương trình tương đương, một số định lý về phếp biến đổi tương đương, nhưng chưa được học về phương trình hệ quả. Ở lớp 9 : học sinh được học về phương trình bậc nhất 2 ẩn; hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; giải toán bằng cách lập hệ phương trình; phương trình bậc hai một ẩn; phương trình qui về phương trình bậc hai như: phương trình trùng phương, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức; giải toán bằng cách lập phương trình.
Ở Lớp 10 : Tổng kết và nâng cao những kiến thức về phương trình mà học sinh đã học ở trường THCS. Cụ thể :Trình bày lại đại cương về PT&BPT ( gồm khái niệm nghiệm, nghiệm gần đúng, điều kiện, phương trình nhiều ẩn, phương trình chứa tham số.) phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương phương trình, phương trình hệ quả và các phép biến đổi hệ quả; phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai (phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn thức, phương trình và hệ phương trình nhiều ẩn.) Trong khi ở trường THCS học sinh làm việc chủ yếu với những PT&BPT có hệ số bằng số thì ở lớp 10 học sinh còn được học về những phương trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận khi giải. Ở lớp 11: học sinh được học về phương trình lượng giác. Ở lớp 12 : Học sinh học về phương trình, bất phương trình mũ, logarit, phương trình nghiệm phức 1.
Thực trạng DH chủ đề phương trình và bất phương trình ở THPT Những năm gần đây giáo dục nước ta đã có nhiều cố gắng trong việc thay đổi phương pháp truyền thụ kiến thức và đã thu được nhiều thành quả về triển khai một số lí thuyết dạy học tích cực. Tuy nhiên sự đổi mới đó cũng gặp không ít khó khăn. Khó khăn chủ yếu do một bộ phận GV chưa tích cực hưởng ứng, chưa thể hiện sự nhiệt huyết đối với sự nghiệp giáo dục. Hoạt động bồi dưỡng giáo viên chưa đáp ứng hết yêu cầu đổi mới phương pháp, vì thế chất lượng và 13 hiệu quả giáo dục chưa theo kịp với yêu cầu đổi mới của đất nước.
Nhìn chung chất lượng giáo dục còn ở mức thấp so với các nước trong khu vực và trên thế giới. Đặc biệt trong dạy học Toán ở nước ta còn chú trọng nhiều về thuật toán, kiến thức truyền thụ cho HS còn có tính chất áp đặt, các câu hỏi đặt ra thường riêng lẻ, mang tính gợi nhớ và nhắc lại về kiến thức.