Chương 1: Giới thiệu Chương 2: Cơ sở lý thuyết về các phương pháp nội suy Chương 3: Thực nghiệm Sau những lần chỉnh sửa tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình các nội dung trong luận văn là do tôi tự viết theo suy nghĩ của mình dựa trên các tài liệu tham khảo mà tôi thu thập được. Ngoài ra tôi có một số nội dung lý thuyết từ các tài liệu khác tôi đã chỉ rõ nguồn trích dẫn. Formatted: mucchuong LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY Trong toán học việc nội suy với mục đích tìm ra những giá trị chưa biết của một hàm dựa trên những giá trị đã biết của hàm đó tại một số giá trị của biến số. Như ta đã biết một tín hiệu bất kì có thể được biểu diễn bởi một hàm của một hoặc nhiều biến độc lập.
Vì vậy, rõ ràng ta có thể sử dụng các thuật toán nội suy trong toán học vào mục đích nội suy tín hiệu trong đó có nội suy ảnh. Chương 2 bắt đầu từ việc trình bày về một số thuật toán nội suy trong toán học và sử dụng chúng trong nội suy ảnh, tiếp theo là trình bày về nội suy theo hướng - phương pháp nội suy có khai thác thông tin hình ảnh cụ thể là có sử dụng ràng buộc hình học. Sử dụng phương pháp nội suy ảnh này cho kết quả tốt hơn đối với một số dạng ảnh.1 Nội suy tuyến tính Formatted: DMC1 Trong nội suy tuyến tính thì hàm nội suy được tìm ra dựa trên việc coi mối quan hệ Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple giữa hàm và biến là quan hệ tuyến tính. 1,3 li Trường hợp đơn giản là cần tìm các giá trị của hàm f(x) tại các giá trị của x thuộc khoảng (x0,x1) khi biết f(x0) = y0 và f(x1) = y1 trong trường hợp này hàm nội suy chính là phương trình đường thẳng đi qua (x0,y0); (x1,y1) Formatted: Centered, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple 1,3 li Hình 2.1 Minh họa nội suy tuyến tính dựa trên 2 điểm đã biết[8] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 17 Khi biết nhiều hơn hai giá trị của f(x) thì việc nội suy được thực hiện bằng cách Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple nội suy tuyến tính trong từng cặp giá trị kề nhau của x.
Cụ thể là nếu biết f(x) tại các giá 1,3 li trị của x là x0, x1, x2, .,xn thì hàm f(x) là tổ hợp của các phương trình đường thẳng đi qua Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript các cặp điểm [(x0,y0) (x1,y1)]; [(x1,y1) (x2,y2)]; [(x2,y2) (x3,y3)],.,[(xn-1,yn-1),(xn,yn)] Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Font: 13 pt, Subscript Hình 2.2 Minh họa nội suy tuyến tính[8] Formatted: Font: 13 pt, Subscript Formatted: Centered, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple Thực chất nội suy tuyến tính khi biết giá trị của hàm tại nhiều điểm là nội suy 1,3 li tuyến tính từng khúc. Tức là sự tuyến tính chỉ xảy ra ở phạm vi cục bộ. Tập các giá trị đã Formatted: Centered, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple biết của hàm có ảnh hưởng đến hàm nội suy. 1,3 li Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple 1,3 li 2.2 Nội suy song tuyến tính (bilinear) Formatted: DMC1 Formatted: Justified, Line spacing: Nếu như nội suy tuyến tính áp dụng với hàm một biến thì nội suy song tuyến tính Multiple 1,3 li được dùng trong việc nội suy hàm hai biến.
Giả sử biết giá trị của hàm f tại các điểm Q11, Q12, Q21, Q22 cần tìm giá trị của hàm tại điểm P(x,y). Với P nằm trong hình vuông tạo bởi Q11, Q12, Q21, Q22 việc nội suy được thực hiện qua hai bước: Bước 1: Nội suy theo trục x để tìm ra f(R1), f(R2) Bước 2: Nội suy theo trục y để tìm ra f(P) Việc nội suy theo trục x trước hay nội suy theo trục y trước đều cho cùng một kết quả. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 18 Formatted: Centered, Line spacing: Multiple 1,3 li Hình 2.3 Minh họa nội suy song tuyến tính[10] Ta có thể áp dụng nội suy song tuyến tính vào việc nội suy ảnh vì nội suy song Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple tuyến tính là nội suy cho hàm hai biến mà ảnh số cũng có thể biểu diễn dưới dạng hàm hai 1,3 li biến. Thực hiện một thực nghiệm nhỏ trên matlab để quan sát kết quả của việc nội suy ảnh sử dụng nội suy song tuyến tính.
Nội dung của thực nghiệm như sau: +Đọc ảnh Lena +Hạ mẫu với hệ số 2 +Nội suy phóng to ảnh hạ mẫu theo kiểu bilinear +Hiển thị ảnh gốc và ảnh nội suy +Quan sát và so sánh Thực nghiệm cho ta hai ảnh như hình vẽ dưới đây: Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple 1,3 li LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.4 Ảnh Lena nội suy bilinear Formatted: Centered, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple 1,3 li LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple 1,3 li Formatted: Line spacing: Multiple 1,3 li Hình 2.5 Ảnh Lena gốc Quan sát hai ảnh ta thấy độ sắc nét của ảnh nội suy không thể bằng so với ảnh gốc, Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple ngoài ra trên ảnh nội suy xuất hiện những chi tiết lạ mà ảnh gốc không có. Điều này có 1,3 li thể giải thích là do việc hạ mẫu đã làm xuất hiện những phổ lạ và chính những phổ lạ này phát sinh ra những chi tiết lạ mà ảnh gốc không có. Formatted: Justified, Line spacing: Multiple 1,3 li 2.3 Nội suy spline Formatted: DMC1 Formatted: Justified, Line spacing: Multiple 1,3 li Trong nội suy việc lựa chọn quy luật biến thiên của hàm nội suy theo biến ảnh hưởng tới kết quả nội suy. Người ta luôn cố gắng tìm ra các quy luật gần với tự nhiên.
Nội suy spline (nội suy ghép trơn) phỏng theo quy luật uốn cong của thước đàn hồi khi ta ép nó chạy qua các điểm cố định. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 Formatted: Centered, Line spacing: Multiple 1,3 li Hình 2.6 Minh họa uốn cong thước đàn hồi qua các điểm cố định[10] Thực chất nội suy spline là nội suy đa thức trong từng khúc. Những đa thức này Formatted: Justified, Indent: First line: 1,27 cm, Line spacing: Multiple phải chịu một số ràng buộc và dựa vào chính những ràng buộc này ta có thể xác định 1,3 li được hàm nội suy. Quy luật nội suy spline phức tạp hơn so với quy luật trong nội suy tuyến tính nhưng bằng thực nghiệm cho thấy nội suy spline cho ta các giá trị nội suy có sai số nhỏ hơn.
Thực hiện một thực nghiệm nhỏ trên matlab. Nội dung của thực nghiệm như sau: +Đọc ảnh Lena +Hạ mẫu với hệ số 2 +Nội suy phóng to ảnh hạ mẫu theo kiểu spline +Hiển thị ảnh gốc và ảnh nội suy +Quan sát và so sánh Thực nghiệm cho ta hai ảnh như hình vẽ dưới đây: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.7 Ảnh Lena gốc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.8 Ảnh Lena nội suy ghép trơn Quan sát ảnh gốc và ảnh thực nghiệm ta thấy ảnh nội suy bằng phương pháp spline không tốt hơn ảnh gốc và cũng có những chi tiết lạ xuất hiện trong ảnh. Điều này có thể được giải thích là khi ta hạ mẫu ảnh gốc xảy ra hiện tượng chồng phổ và phép nội suy không tạo được ra ảnh có phổ như phổ của ảnh gốc dẫn tới việc ảnh nội suy xuất hiện các chi tiết lạ.4 Nội suy các điểm gần nhất Formatted: DMC1 Thực chất là không có sự tính toán trong nội suy các điểm gần nhất. Nội suy các điểm gần nhất chỉ đơn giản gán giá trị cần nội suy bằng với giá trị của điểm lân cận nó nhất vì thế phép nội suy này khá đơn giản và nhanh.
Thực hiện một thực nghiệm đơn giản trên matlab như sau: +Đọc ảnh lena LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 +Hạ mẫu với hệ số 2 +Nội suy các điểm gần nhất để phóng to ảnh +Hiển thị ảnh gốc và ảnh nội suy +Quan sát và so sánh Kết quả thực nghiệm: Hình 2.9 Ảnh Lena gốc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.10 Ảnh Lena nội suy các điểm gần nhất Quan sát ảnh nội suy các điểm gần nhất và ảnh gốc ta thấy ảnh nội suy các điểm gần nhất có độ nét kém hơn nhiều so với ảnh gốc, trên ảnh nội suy xuất hiện nhiều chi tiết là đặc biệt là ở những khu vực đường biên của ảnh. Điều này có thể giải thích như sau: tại biên ảnh là nơi có sự chênh lệnh về giá trị điểm ảnh nếu ta thực hiện nội suy kiểu các điểm gần nhất sẽ dẫn đến việc xuất hiện nhiều lỗi ở các khu vực biên.5 Đánh giá và nhận xét về các phương pháp nội suy ở trên Qua tìm hiểu các phương pháp nội suy và qua các thực nghiệm đơn giản ở trên ta thấy các phương pháp nội suy ở trên làm phát sinh các chi tiết lạ, ảnh thu được sau nội suy có độ sắc nét kém hơn ảnh gốc. Quy luật nội suy càng đơn giản thì kết quả nội suy càng kém. Cụ thể là trong ba phương pháp kể trên nội suy ghép trơn (spline) có quy luật nội suy phức tạp nhất tiếp đến là nội suy song tuyến tính và cuối cùng là nội suy các điểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 26 gần nhất.
Ảnh thu được từ nội suy ghép trơn (spline) tốt hơn ảnh nội suy bilinear, ảnh nội suy song tuyến tính (bilinear) tốt hơn ảnh nội suy các điểm gần nhất. Tuy nhiên các phương pháp nội suy cũng có tính chất chọn lọc ảnh. Có những phương pháp nội suy thích hợp với ảnh này, có những phương pháp nội suy thích hợp với những ảnh khác. Thậm chí, các phương pháp nội suy còn có tính chất chọn lọc vùng ảnh.
Trong cùng một ảnh, khu vực này thì thích hợp với phương pháp nội suy này, khu vực khác thì thích hợp với phương pháp nội suy khác. Việc lựa chọn tập các giá trị đã biết để tìm ra những giá trị chưa biết cũng có ảnh hưởng đến kết quả của việc nội suy. Từ đây nảy sinh ra một vấn đề nếu ta biết sử dụng những thông tin hình ảnh cho việc nội suy ảnh thì có thể cho ảnh nội suy có chất lượng tốt hơn.