Những chướng ngại sư phạm của học sinh khi giải toán hàm số lớp 12 và các biện pháp của giáo viên

Luận văn chướng ngại sư phạm khi giải toán hàm số lớp 12 tại THPT Trùng Khánh Cao Bằng

• Tác giả: Ngô Kiều Lượng
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Hữu Châu
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Những chướng ngại sư phạm của học sinh khi giải toán hàm số lớp 12 và các biện pháp của giáo viên
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan chướng ngại sư phạm khi giải toán hàm số lớp 12

Chủ đề hàm số giữ vị trí trung tâm trong chương trình Giải tích lớp 12. Mảng kiến thức này kết nối đại số cơ bản với toán học giải tích hiện đại. Học sinh trường THPT Trùng Khánh thường gặp nhiều thách thức lớn khi tiếp cận chủ đề này. Các chướng ngại sư phạm nảy sinh từ sự chuyển dịch tư duy định lượng sang tư duy biến thiên. Tri thức phổ thông được thiết kế theo cấu trúc đường xoáy ốc. Khái niệm toán học liên tục mở rộng và đào sâu qua từng cấp học. Tuy nhiên, sự phát triển tâm lý lứa tuổi đôi khi chưa theo kịp tốc độ gia tăng độ khó tri thức. Điều đó tạo ra khoảng trống nhận thức đáng kể ở học sinh vùng cao. Quá trình nắm bắt tính đơn điệu, cực trị hay đồ thị đòi hỏi khả năng trừu tượng hóa cao độ. Khi tư duy chưa thích nghi kịp, sai lầm tất yếu sẽ xuất hiện. Việc nhận diện bản chất chướng ngại sư phạm giúp nhà giáo xây dựng lộ trình can thiệp đúng đắn. Đây là tiền đề then chốt để nâng cao chất lượng dạy học toán học.

1.1. Khái niệm chướng ngại sư phạm trong dạy học toán

Chướng ngại sư phạm không đơn thuần là sự thiếu hụt kiến thức. Đây là những tri thức đã bén rễ trong nhận thức người học từ các giai đoạn học tập trước. Chúng từng phát huy tính đúng đắn trong phạm vi hẹp. Khi đối mặt với hệ thống tri thức mới khái quát hơn, tri thức cũ trở nên bất cập. Sự bất cập này gây ra cản trở nghiêm trọng cho quá trình tiếp thu. Học sinh thường có xu hướng áp đặt kinh nghiệm quen thuộc vào bài toán mới. Hiện tượng này dẫn đến sai lầm có hệ thống. Brousseau xem chướng ngại là yếu tố tất yếu của tiến trình nhận thức. Người học chỉ vượt qua chướng ngại khi tri thức cũ bị bác bỏ và tái cấu trúc hoàn chỉnh.

1.2. Đặc thù nhận thức toán học tại THPT Trùng Khánh

Trường THPT Trùng Khánh thuộc địa bàn miền núi tỉnh Cao Bằng. Học sinh tại đây có điều kiện tiếp cận học liệu hạn chế hơn khu vực đô thị. Năng lực tư duy giải tích của học sinh bộc lộ nhiều điểm không đồng đều. Phần lớn học sinh nắm vững các công thức biến đổi sơ cấp. Tuy vậy, khả năng liên kết ý nghĩa hình học với đại số còn yếu. Việc phân tích biến thiên hàm số bằng công cụ đạo hàm thường bị thực hiện một cách máy móc. Học sinh ghi nhớ thuật toán tính toán nhưng thiếu hiểu biết sâu sắc về bản chất. Khi gặp các dạng toán biến đổi linh hoạt, các em dễ rơi vào trạng thái lúng túng. Rào cản ngôn ngữ toán học cũng làm chậm tiến độ tư duy độc lập.

II. Phân tích các chướng ngại sư phạm môn Toán tại THPT Trùng Khánh

Thực tế giảng dạy tại THPT Trùng Khánh bộc lộ rõ nét nhiều chướng ngại nhận thức đặc thù. Học sinh thường mắc kẹt giữa tư duy tĩnh của đại số và tư duy động của giải tích. Khái niệm đạo hàm được tiếp cận như một công thức biến đổi thuần túy. Ý nghĩa cơ học và hình học của đạo hàm chưa được kết nối liền mạch. Khi khảo sát sự biến thiên, học sinh thường lúng túng trong việc xác định dấu đạo hàm trên các khoảng rời rạc. Vấn đề cực trị hàm số cũng xuất hiện nhiều ngộ nhận nghiêm trọng. Học sinh hay đồng nhất nghiệm của đạo hàm bằng không với điểm cực trị. Thói quen suy diễn cơ học này tạo ra sai lầm khi đạo hàm không đổi dấu. Bên cạnh đó, thao tác vẽ và biện luận tương giao đồ thị chứa đựng nhiều thiếu sót. Học sinh phụ thuộc quá mức vào máy tính cầm tay bỏ túi. Khả năng phân tích đồ thị định tính bị suy giảm đáng kể. Những rào cản này làm suy yếu năng lực tư duy giải tích độc lập của học sinh.

2.1. Nhầm lẫn bản chất giữa đạo hàm và cực trị hàm số

Một trong những rào cản điển hình là việc nhầm lẫn điều kiện cần và đủ của cực trị. Đa số học sinh mặc định rằng nếu đạo hàm triệt tiêu tại x0 thì x0 chắc chắn là điểm cực trị. Ngược lại, nhiều em cho rằng hàm số chỉ đạt cực trị khi tồn tại đạo hàm hữu hạn. Nhận thức này hoàn toàn sai lệch khi xét các điểm gãy trên đồ thị. Ngoài ra, việc phân biệt giá trị cực đại với giá trị lớn nhất gây nhầm lẫn lớn. Học sinh thường lầm tưởng giá trị cực đại luôn lớn hơn giá trị cực tiểu. Tư duy trực giác đời thường đã chi phối sai lệch phán đoán toán học. Giáo viên cần chỉ rõ tính chất địa phương của cực trị để hóa giải triệt để nhận thức sai lầm này.

2.2. Khó khăn khi ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệ phương trình

Khi gặp hệ phương trình vô tỷ phức tạp, học sinh THPT Trùng Khánh thường bế tắc. Thói quen sử dụng phép thế hoặc cộng đại số ăn sâu vào tiềm thức. Các biến đổi sơ cấp này trở nên bất khả thi trước phương trình chứa nhiều cấu trúc hàm khác nhau. Học sinh thiếu kỹ năng nhận dạng tính đơn điệu một chiều của hàm số đại diện. Việc đặt ẩn phụ để đưa về hàm đặc trưng f(t) bị xem là quá trừu tượng. Các em không tự tin áp dụng định lý hàm số đồng biến để suy ra tính duy nhất của nghiệm. Thiếu hụt tri thức phương pháp khiến tư duy giải toán bị bó hẹp trong lối mòn. Đây là chướng ngại sư phạm mang tính kỹ năng nhận thức sâu sắc.

III. Giải pháp khắc phục chướng ngại giải toán hàm số lớp 12 hiệu quả

Để khắc phục triệt để các chướng ngại sư phạm, giáo viên cần đổi mới phương pháp giảng dạy. Trọng tâm của giải pháp là chuyển từ truyền thụ một chiều sang thiết kế hoạt động nhận thức. Giáo viên chủ động tạo tình huống có vấn đề để học sinh tự bộc lộ sai lầm. Khi xung đột nhận thức xuất hiện, học sinh nhận diện rõ giới hạn của tri thức cũ. Việc tổ chức các bài toán phản ví dụ giúp xóa bỏ thói quen suy diễn cơ học. Đồng thời, giáo viên cần xây dựng bảng so sánh trực quan giữa các khái niệm dễ gây nhầm lẫn. Đạo hàm, cực trị và giá trị lớn nhất cần được minh họa đồng thời qua đồ thị và bảng biến thiên. Sự kết hợp giữa đại số và hình học hỗ trợ học sinh khắc sâu bản chất giải tích. Hệ thống câu hỏi gợi mở từng bước dẫn dắt học sinh tiếp cận phương pháp hàm đặc trưng. Nhờ đó, năng lực giải quyết vấn đề toán học được phát triển bền vững.

3.1. Thiết kế tình huống sư phạm làm bộc lộ sai lầm

Giáo viên chủ động xây dựng bài toán chứa yếu tố bẫy tư duy. Điển hình như việc đưa ra hàm số y = x^3 hoặc y = |x| tại điểm x = 0. Học sinh sẽ trực tiếp phát hiện điểm đạo hàm triệt tiêu nhưng không là cực trị. Ngược lại, hàm số vẫn có cực trị dù đạo hàm không xác định tại điểm đó. Xung đột nhận thức này kích thích học sinh tự tranh luận và kiểm chứng định lý. Quá trình tự sửa sai giúp tri thức mới được khắc sâu vào cấu trúc tư duy. Giáo viên giữ vai trò trọng tài khoa học và chốt lại bản chất lý thuyết. Phương pháp này biến sai lầm thành cơ hội học tập đắt giá cho học sinh.

3.2. Bồi dưỡng kỹ năng ứng dụng tính đơn điệu giải toán

Giáo viên cần hướng dẫn học sinh quy trình chuẩn hóa khi dùng phương pháp hàm số. Đầu tiên, người học phải rèn luyện thói quen khảo sát miền xác định chặt chẽ. Tiếp theo, học sinh học cách cô lập tham số và biến số thành hai vế riêng biệt. Giáo viên cung cấp hệ thống bài tập phân loại theo độ khó tăng dần. Bài toán xuất phát từ phương trình một ẩn cơ bản đến hệ phương trình vô tỷ phức tạp. Việc nhận diện hàm đặc trưng f(t) cần được luyện tập qua nhiều cấu trúc đại số đa dạng. Học sinh hiểu rõ rằng tính đơn điệu đảm bảo nghiệm tìm được là duy nhất. Kỹ năng này mở rộng tầm nhìn toán học và phá vỡ thói quen thế đại số thủ công.

IV. Kết luận và ứng dụng thực tiễn giải toán hàm số THPT Trùng Khánh

Nghiên cứu chướng ngại sư phạm mang lại giá trị thực tiễn sâu rộng cho dạy học giải tích. Kết quả thực nghiệm tại trường THPT Trùng Khánh khẳng định tính khả thi của các biện pháp đề xuất. Khi được tháo gỡ rào cản nhận thức, học sinh thể hiện sự tiến bộ rõ rệt về kỹ năng toán học. Tỷ lệ học sinh mắc sai lầm ngớ ngẩn giảm mạnh qua các bài kiểm tra định kỳ. Không chỉ dừng lại ở lý thuyết thuần túy, học sinh còn biết vận dụng bài toán tối ưu vào thực tiễn địa phương. Mô hình hóa bài toán kinh tế và đo đạc thực tế giúp việc học trở nên gần gũi, sinh động. Giáo viên tích lũy thêm năng lực sư phạm chuyên sâu để xây dựng bài giảng phân hóa đối tượng. Việc xóa bỏ chướng ngại nhận thức tạo tiền đề vững chắc cho học sinh bước vào các kỳ thi quốc gia. Đây là nền tảng cốt lõi nhằm nâng cao chất lượng giáo dục vùng khó khăn.

4.1. Ứng dụng bài toán tối ưu vào thực tiễn sản xuất

Kiến thức giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sở hữu tính ứng dụng thực tế phong phú. Giáo viên THPT Trùng Khánh hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán tối ưu chi phí. Đề bài gắn liền với đời sống như tính diện tích canh tác tối đa hay thiết kế bao bì nông sản. Thay vì giải các phương trình khô khan, học sinh trực tiếp mô hình hóa vấn đề đời sống thành hàm số một biến. Đạo hàm trở thành công cụ đắc lực để tìm điểm cân bằng hiệu quả nhất. Hoạt động này khơi gợi niềm đam mê khoa học và biến tri thức trừu tượng thành kỹ năng thực tế có ích.

4.2. Khuyến nghị sư phạm cho giáo viên toán phổ thông

Nhà trường cần xây dựng kế hoạch bồi dưỡng chuyên đề giải tích định kỳ cho giáo viên. Quá trình soạn giảng cần chú trọng phân tích sai lầm học sinh thường gặp thay vì chỉ cung cấp đáp án. Giáo viên nên tích hợp phần mềm vẽ đồ thị GeoGebra vào bài giảng trên lớp. Công cụ thị giác hóa giúp học sinh vùng cao hình dung trực tiếp sự biến thiên đồ thị. Ngoài ra, việc tổ chức kiểm tra đánh giá cần đa dạng hóa các dạng câu hỏi định tính. Việc giảm bớt áp lực tính toán mẹo mực giúp học sinh tập trung nắm vững kiến thức cốt lõi. Sự kiên trì thấu hiểu rào cản tâm lý học sinh là chìa khóa nâng cao chất lượng dạy học bền vững.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, chuyên đề hàm số của chương trình Giải tích lớp 12 luôn giữ vị trí đặc biệt quan trọng với khoảng 10 đến 12 câu hỏi, chiếm từ 20% đến 25% tổng số điểm toàn bài. Mặc dù đây là nội dung kiến thức nền tảng, thực tiễn dạy học môn Toán tại nhiều trường trung học phổ thông miền núi cho thấy học sinh vẫn gặp rất nhiều rào cản nhận thức. Kết quả khảo sát ban đầu trên 70 học sinh khối 12 ghi nhận có tới hơn 80% học sinh vấp phải sai lầm khi giải quyết các dạng toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn là làm rõ bản chất các chướng ngại sư phạm của học sinh khi giải toán hàm số lớp 12, đồng thời xác định các nguyên nhân cốt lõi phát sinh từ phía người học và phương pháp tổ chức giảng dạy của giáo viên. Mục tiêu cụ thể là phân loại có hệ thống các dạng chướng ngại phổ biến, từ đó xây dựng và kiểm chứng các biện pháp sư phạm đồng bộ nhằm phòng tránh và khắc phục hiệu quả những khó khăn này.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào ba dạng hàm số cơ bản gồm hàm đa thức bậc ba, hàm đa thức bậc bốn trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thuộc Chương I sách giáo khoa Giải tích 12 chương trình chuẩn. Địa bàn khảo sát và thực nghiệm được tiến hành trong năm học 2020 - 2021 tại huyện Trùng Khánh, tỉnh Cao Bằng với sự tham gia của trường trung học phổ thông Trùng Khánh và trường trung học phổ thông Pò Tấu.

Nghiên cứu mang ý nghĩa thực tiễn sâu sắc trong bối cảnh thực hiện Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và Điều 24 Luật Giáo dục. Các giải pháp đề xuất hướng tới mục tiêu nâng tỷ lệ học sinh nắm vững kỹ năng giải toán từ mức dưới 40% lên trên 65%, góp phần chuyển đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang phát triển năng lực tư duy toán học tự chủ cho học sinh phổ thông.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn xây dựng trên nền tảng lý thuyết chướng ngại nhận thức của Gaston Bachelard công bố năm 1938 trong công trình Sự hình thành tinh thần khoa học. Tác giả khẳng định chướng ngại không phải là sự thiếu hụt kiến thức nhất thời hay khó khăn khách quan bên ngoài, mà tồn tại ngay trong bản thân tiến trình nhận thức của người học. Bên cạnh đó, nghiên cứu kết hợp thuyết chướng ngại thích nghi của Jean Piaget và lý thuyết Didactic toán do Guy Brousseau và Bouazzaoui phát triển. Theo góc nhìn Didactic toán, chướng ngại là một tri thức từng giúp học sinh giải quyết thành công vấn đề trong một phạm vi quen thuộc, nhưng tri thức đó lại dẫn đến sai lầm khi đối diện với bối cảnh mới đòi hỏi phải tái cấu trúc nhận thức.

Tại Việt Nam, nghiên cứu kế thừa quan điểm của Giáo sư Nguyễn Bá Kim về việc phân loại chướng ngại thành hai dạng: chướng ngại không tránh được liên quan đến quy luật tâm lý phát triển cùng lịch sử hình thành khái niệm, và chướng ngại sư phạm tránh được nhờ sự điều chỉnh hợp lý của các tình huống dạy học. Bốn khái niệm khoa học giữ vai trò hạt nhân trong nghiên cứu gồm: chướng ngại sư phạm, năng lực chuyển đổi bài toán, sự huy động tri thức và hoạt động hóa người học. Luận văn quán triệt sâu sắc luận điểm nổi tiếng của A. A. Stolyar: "Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học". Để đưa tri thức khoa học vào nhà trường, nghiên cứu phân tích tiến trình chuyển hóa sư phạm qua 3 mắt xích căn bản gồm thể chế tạo tri thức bác học, thể chế chuyển hóa chương trình sách giáo khoa và thể chế giảng dạy thực tế của người thầy trên lớp học.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu của đề tài được thu thập thông qua quá trình điều tra thực chứng kết hợp khảo sát diện rộng và can thiệp thực nghiệm sư phạm. Cỡ mẫu nghiên cứu gồm 60 giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán tại các trường trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Cao Bằng và 70 học sinh lớp 12 thuộc trường trung học phổ thông Trùng Khánh và trường trung học phổ thông Pò Tấu.

Phương pháp chọn mẫu là chọn mẫu định hướng kết hợp phân tầng mục tiêu, phản ánh chân thực đặc thù dạy và học môn Toán tại khu vực miền núi. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích thống kê mô tả kết hợp phân tích đối chứng định tính và định lượng là nhằm bảo đảm tính khách quan, khoa học trong việc kiểm định giả thuyết sư phạm. Phương pháp này cho phép đo lường chính xác sự biến chuyển về tư duy toán học và kỹ năng giải toán của học sinh thông qua các chỉ số tần số và tỷ lệ phần trăm trước và sau tác động.

Tiến trình nghiên cứu diễn ra từ tháng 9 năm 2020 đến tháng 5 năm 2021. Tác giả đã thiết kế 4 giáo án thực nghiệm sư phạm và 1 đề kiểm tra chuẩn hóa bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT và Công văn số 3414/BGDĐT-GDTrH của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Các tiết dạy thực nghiệm tại lớp 12B được đối sánh chặt chẽ với lớp đối chứng 12A6 nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, có tới 100% trong tổng số 60 giáo viên được khảo sát hoàn toàn đồng ý rằng học sinh thường xuyên vấp phải chướng ngại liên quan đến việc hiểu đúng bản chất các khái niệm và mối quan hệ giữa các tri thức hàm số. Phần lớn học sinh gặp bế tắc khi giải quyết bài toán tìm số hạng lớn nhất của dãy số do không nhận thức được dãy số là hàm số có biến số rời rạc, hoặc quên mất điều kiện hàm số phải liên tục tại một điểm khi tính đạo hàm của hàm ghép.

Thứ hai, 100% giáo viên xác nhận học sinh thiếu hụt nghiêm trọng các kỹ năng biến đổi giải tích nền tảng. Khi giải bài toán tìm tập xác định chứa tham số m hoặc khảo sát hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, tỷ lệ học sinh phân chia đầy đủ các trường hợp biện luận ở lần kiểm tra đầu tiên chỉ đạt dưới 30%. Học sinh gặp trở ngại lớn trong việc nhận diện và vận dụng công thức đạo hàm của hàm hợp khi cơ số không nguyên.

Thứ ba, 100% giáo viên cùng hơn 85% học sinh khảo sát thừa nhận sự lúng túng khi khai thác ứng dụng của hàm số vào giải quyết bài toán thực tế. Cụ thể, khi xử lý bài toán tối ưu hình học tìm chiều dài ngắn nhất của cái thang tựa tường vượt qua vật cản cao 4 mét và cách tường 0,5 mét để đạt đáp số xấp xỉ 5,59 mét, đa số học sinh không thể chuyển đổi ngôn ngữ mô tả thực tiễn thành ngôn ngữ giải tích để thiết lập hàm mục tiêu.

Thứ tư, khảo sát ghi nhận 60,67% giáo viên, tương ứng 40 trên 60 thầy cô, có thói quen chủ động đặt học sinh đối diện với các tình huống chứa chướng ngại trong giờ học. Đáng chú ý, có 75%, tức 45 trên 60 giáo viên, đánh giá rằng tư duy toán học của học sinh tiến bộ vượt bậc sau khi được thử thách và tự mình vượt qua các rào cản đó.

Thảo luận kết quả

Căn nguyên của các chướng ngại sư phạm kể trên xuất phát từ thói quen dạy học thiên về ghi nhớ máy móc các dạng toán và mẹo giải nhanh nhằm đối phó với các kỳ thi trắc nghiệm. Học sinh thường học thuộc thuật giải một cách rập khuôn mà không hiểu rõ điều kiện áp dụng định lý. Về phía giáo viên, khâu chuyển hóa sư phạm trong các giờ lên lớp đôi khi bị giản lược quá mức, thiếu vắng các pha tạo tình huống mâu thuẫn nhận thức để học sinh tự bộc lộ sai lầm.

Dữ liệu khảo sát của luận văn có thể được trình bày một cách tường minh thông qua biểu đồ cột thể hiện mức độ đồng thuận của 60 giáo viên đối với 3 nhóm chướng ngại cốt lõi, kết hợp cùng bảng thống kê phân phối điểm kiểm tra trước và sau can thiệp giữa hai lớp 12B và 12A6. Những phát hiện này hoàn toàn tương thích với các nghiên cứu Didactic toán trên thế giới, khẳng định rằng sai lầm của người học không phải là sự thiếu hụt kiến thức ngẫu nhiên mà là biểu hiện của một quan niệm nhận thức chưa hoàn thiện.

So với các tài liệu nghiên cứu trước đây tại Việt Nam vốn chỉ dừng lại ở việc mô tả khó khăn chung chung, luận văn đã phân chia chướng ngại thành 4 bình diện kỹ năng cụ thể. Ý nghĩa quan trọng của kết quả này chỉ ra rằng giáo viên không nên che giấu hay né tránh sai lầm của học sinh. Thay vào đó, người dạy cần chủ động kiến tạo môi trường học tập giàu tính thử thách để học sinh tự mình nhận diện và vượt qua chướng ngại, từ đó phát triển bền vững năng lực tư duy độc lập.

Đề xuất và khuyến nghị

Thứ nhất, giáo viên chủ động thiết kế tình huống sư phạm tạo mâu thuẫn nhận thức trong 10 đến 15 phút đầu mỗi tiết dạy chuyên đề. Giáo viên cần đưa ra các bài toán chứa bẫy logic như hàm số gián đoạn tại điểm xét đạo hàm hoặc phương trình chứa tham số ở hệ số bậc cao. Biện pháp này giúp học sinh tự bộc lộ chướng ngại tiềm ẩn, hướng tới mục tiêu giảm 40% các lỗi sai khái niệm trong các bài kiểm tra của học kỳ 1 năm học 2021 - 2022.

Thứ hai, giáo viên tổ chức rèn luyện năng lực liên tưởng và huy động tri thức liên môn cho học sinh. Người dạy cần hướng dẫn học sinh lập bảng đối chiếu giữa hình học và giải tích, ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình phức tạp. Mục tiêu đề ra là áp dụng phương pháp này trong 100% các tiết luyện tập, nâng tỷ lệ học sinh giải quyết thành công các bài toán vận dụng cao lên trên 70% sau 8 tuần rèn luyện liên tục.

Thứ ba, giáo viên bộ môn thực hiện phân rã bài toán phức hợp thành chuỗi hoạt động thành phần vừa sức. Cụ thể, khi hướng dẫn vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, giáo viên chia nhỏ quy trình thành các thao tác suy đồ thị đối xứng riêng biệt qua trục hoành hoặc trục tung. Hoạt động này cần duy trì đều đặn trong 4 chuyên đề trọng tâm của học kỳ 1, giúp điểm số trung bình của nhóm học sinh trung bình và yếu tăng từ 2 đến 3 điểm.

Thứ tư, tổ chuyên môn Toán phối hợp cùng nhà trường xây dựng ngân hàng tài liệu gồm 50 bài toán tối ưu hóa gắn liền với thực tiễn sản xuất và đời sống địa phương. Chương trình biên soạn hoàn thành trong thời gian 6 tháng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học một cách vững chắc trước khi bước vào kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Thứ nhất, giáo viên môn Toán tại các trường trung học phổ thông: Tài liệu cung cấp trực tiếp 4 giáo án thực nghiệm được thiết kế chi tiết cùng hệ thống bài tập phân hóa theo chuẩn kiến thức. Giáo viên có thể ứng dụng ngay vào giảng dạy chuyên đề ứng dụng đạo hàm lớp 12 để chủ động phòng ngừa các bẫy tư duy cho học sinh.

Thứ hai, học sinh lớp 12 chuẩn bị tham dự kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông: Luận văn là cẩm nang hữu ích giúp học sinh tự nhận diện các chướng ngại điển hình về cực trị, tính đơn điệu, bảng biến thiên và đồ thị. Việc nắm vững các phân tích sai lầm trong tài liệu sẽ hỗ trợ học sinh tự tin nâng band điểm bài thi từ mức 6,0 lên trên 8,5 điểm.

Thứ ba, sinh viên và học viên cao học chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán: Công trình là nguồn tham khảo học thuật giá trị về cách thức vận dụng lý thuyết Didactic toán và phương pháp luận Bachelard vào thực tiễn trường phổ thông. Quy trình xử lý dữ liệu khảo sát từ 60 giáo viên là hình mẫu thực tế cho các nghiên cứu luận văn thạc sĩ.

Thứ tư, cán bộ quản lý chuyên môn và chuyên viên phụ trách môn Toán tại các Sở Giáo dục và Đào tạo: Kết quả nghiên cứu là căn cứ thực tiễn để xây dựng các chuyên đề tập huấn phương pháp giảng dạy thường niên cho hơn 300 giáo viên toán toàn tỉnh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tại các địa bàn khó khăn.

Câu hỏi thường gặp

Chướng ngại sư phạm khác gì so với khó khăn thông thường trong giải toán hàm số? Khó khăn thông thường chỉ xuất hiện do sự thiếu hụt kiến thức nhất thời và có thể khắc phục nhanh bằng cách bổ sung công thức. Ngược lại, chướng ngại sư phạm là tri thức đã được thiết lập vững chắc nhưng trở nên sai lầm trong bối cảnh mới. Dữ liệu khảo sát 60 giáo viên cho thấy 100% khẳng định học sinh chỉ vượt qua chướng ngại khi được tự mình phá vỡ quan niệm cũ thông qua các tình huống phản ví dụ do giáo viên tổ chức.

Tại sao học sinh lớp 12 thường xuyên mắc sai lầm ở bài toán tìm cực trị hàm số? Sai lầm phổ biến bắt nguồn từ việc học sinh chỉ nhớ máy móc điều kiện đạo hàm bằng 0 mà bỏ quên điều kiện đạo hàm phải đổi dấu khi đi qua điểm đó. Trong khảo sát 70 học sinh lớp 12, khoảng 65% học sinh chọn sai đáp án đối với các hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại vô số điểm hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại điểm cực trị.

Làm thế nào để học sinh khắc phục sự lúng túng khi vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối? Giáo viên cần hướng dẫn học sinh quy tắc phân rã đồ thị theo từng miền kết hợp phép lấy đối xứng qua trục tọa độ thay vì phá dấu giá trị tuyệt đối đại số. Kết quả sau 4 tiết dạy thực nghiệm chuyên sâu cho thấy tỷ lệ học sinh thực hiện chính xác phép biến đổi đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình chứa tham số đã tăng thêm 28% so với phương pháp dạy học truyền thống.

Rào cản lớn nhất của học sinh khi giải bài toán tối ưu hóa ứng dụng thực tế là gì? Rào cản chính nằm ở năng lực chuyển dịch ngôn ngữ đời sống sang ngôn ngữ hàm số giải tích và kỹ năng lựa chọn biến số thích hợp. Điển hình ở bài toán tìm chiều dài tối thiểu của cái thang tựa tường đạt xấp xỉ 5,59 mét, có tới 80% học sinh không thể thiết lập hàm mục tiêu do thiếu kỹ năng liên kết tỷ lệ cạnh tam giác đồng dạng với định lý hình học cơ bản.

Biện pháp luyện tập hoạt động thành phần đem lại hiệu quả cụ thể ra sao cho người học? Biện pháp này chia nhỏ các nhiệm vụ phức tạp thành chuỗi thao tác đơn giản như tìm tập xác định, tính đạo hàm và lập bảng biến thiên riêng biệt. Đánh giá đối chứng trên hai lớp 12A6 và 12B chứng minh điểm số kiểm tra định kỳ của học sinh đã cải thiện vượt bậc từ mức trung bình 5,2 lên 7,6 điểm sau một học kỳ áp dụng liên tục.

Kết luận

• Hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý luận Didactic toán học và nhận thức luận về chướng ngại sư phạm trong dạy học hàm số lớp 12.
• Nhận diện và phân loại rõ ràng 3 nhóm chướng ngại cốt lõi của học sinh thông qua khảo sát thực chứng 60 giáo viên và 70 học sinh phổ thông.
• Đề xuất 3 nhóm biện pháp sư phạm đồng bộ tập trung vào hoạt động hóa người học và giải quyết hiệu quả các mâu thuẫn nhận thức.
• Khẳng định tính khả thi và hiệu quả vượt trội qua 4 giáo án thực nghiệm, nâng tỷ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi môn Toán lên trên 30% so với lớp đối chứng.
• Đóng góp nguồn học liệu thực tiễn chất lượng cao, phục vụ thiết thực cho công tác bồi dưỡng giáo viên dạy môn Toán tại các trường trung học phổ thông miền núi.

Kế hoạch hành động tiếp theo là hoàn thiện bộ tài liệu chuyên đề trước học kỳ 2 năm học 2021 - 2022 và mở rộng địa bàn thử nghiệm tại 5 trường trung học phổ thông lân cận trong vòng 12 tháng tới. Các thầy cô giáo và chuyên gia sư phạm hãy áp dụng ngay các biện pháp giải quyết chướng ngại sư phạm của luận văn nhằm tạo bước đột phá trong chất lượng dạy học môn Toán.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương I(2 - Tổng quan được các kiến thức của tiết) chương. - Luyện tập kỹ năng giải toán các dạng toán trong chương. Thực trạng dạy học giải toán hàm số cho HS lớp 12 - THPT 1. Phương pháp nghiên cứu + Khảo sát giáo viên để tìm hiểu quá trình giảng dạy trực tiếp bộ môn.

+ Khảo sát học sinh để tìm hiểu những nguyên nhân có thể dẫn đến các CNSP của HS khi giải toán hàm số lớp 12. Phương pháp: phỏng vấn, phát phiếu hỏi, quan sát,… 1. Thực trạng dạy và học 1. Khảo sát giáo viên: Luận văn xây dựng một số câu hỏi và tiến hành khảo sát qua google form, phỏng vấn trực tiếp và phát phiếu lấy ý kiến của 60 GV đang giảng dạy môn Toán ở các trường THPT trên địa bàn tỉnh Cao Bằng với nhiều đối tượng học sinh khác nhau nhằm mục đích: Tìm hiểu khả năng giải các bài toán liên quan đến hàm số của HS; những CNSP thường gặp của học sinh trong quá trình giải toán hàm số; biện pháp GV thường sử dụng dạy học giải bài tập, khắc phục những CN cho HS; nguyên nhân dẫn đến những CN đó.

Để phục vụ cho việc nghiên cứu, khai thác những CNSP thường gặp của HS trong giải toán liên quan đến hàm số. Phiếu số 1: khảo sát ý kiến GV về những CNSP của HS khi giải toán hàm số lớp 12 - THPT. Câu hỏi 1: Theo thầy (cô) khi giải các bài toán liên quan đến hàm số lớp 12 - THPT, HS thường mắc những CNSP nào? (đánh dấu x vào ô đồng ý hoặc không đồng ý) Những CNSP của HS khi giải các bài toán Đồng ý Không đồng ý liên quan đến hàm số lớp 12 - THPT 1. CN liên quan tới việc hiểu đúng bản chất các tri thức về Hàm số 2.

CN liên quan tới sự thiếu hụt các kỹ năng 3. CN liên qua tới khả năng khai thác các ứng dụng khác nhau của kiến thức về Hàm số vào thực tiễn 11 Câu hỏi 2: Để khắc phục CNSP của HS khi giải bài toán hàm số lớp 12, thầy (cô) có thể áp dụng các biện pháp nào ?(đánh dấu x vào ô đồng ý hoặc không đồng ý) Một số biện pháp khắc CNSP của HS Đồng ý Không đồng ý khi giải toán hàm số lớp 12 1. GV tạo các tình huống để HS bộc lộ khó khăn, CNSP và thử thách với những tình huống đó 2. Rèn luyện cho HS khả năng liên tưởng và huy động tri thức phương pháp trong quá trình giải bài tập toán 3.

Truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS thông những hoạt động và hoạt động thành phần Câu hỏi 3: Trong các tiết dạy, thầy (cô) có thường để HS đối diện với những CN khi giải toán hay không? Câu hỏi 4: Khả năng tư duy của HS được cải thiện như thế nào khi học sinh đối diện với những khó khăn và sự thiếu hụt các kiến thức, kỹ năng? Bảng 1. Kết quả khảo sát ý kiến 60 giáo viên Chọn Câu hỏi 1 2 3 Câu hỏi 1 60/60 100% 60/60 100% 60/60 100% Câu hỏi 2 60/60 100% 60/56 100% 59/60 98,33% Câu hỏi 3 40/60 60,67% Câu hỏi 4 45/60 75% 12 Bảng số liệu phản ánh: - HS khó khăn trong tính toán, ghi nhớ các quy tắc, tính đạo hàm của hàm hợp; - HS hay lẫn lộn khi áp dụng các định lí về tính đơn điệu, cực trị của hàm số. - Biện pháp GV thường sử dụng: thầy cô sử dụng máy chiếu và đưa ra các hình ảnh động mô phỏng sự biến thiên của hàm số; tổ chức các cuộc thảo luận nhóm. - Hầu hết GV đều nắm bắt được những khó khăn và những thiếu hụt về kiến thức, kỹ năng của HS khi giải Toán.

Cũng đưa ra nhiều biện pháp để khắc phục những khó khăn và thiếu hụt đó. Mặc dù có cố gắng như vậy, nhưng học sinh vẫn gặp chướng ngại khi giải toán. Qua đó chứng tỏ học sinh vẫn chưa nắm vững kiến thức, kỹ năng cơ bản, biện pháp GV thực hiện chưa đem lại hiệu quả mong muốn. Thực tế hiện nay, khung chương trình dạy học bộ môn Toán THPT do Bộ GD&ĐT Ban hành có nhiều nội dung, lượng kiến thức trong một tiết học tương đối lớn đòi hỏi giáo viên phải có thiết kế, tổ chức lên lớp phù hợp thì s đạt được mục tiêu.

Cho nên, GV luôn lo ngại khi gọi học sinh lên bảng giải bài tập s mất nhiều thời gian nhất là HS không làm được, có sai sót làm cho tiết học không hoàn thành. Hầu hết GV đều nắm bắt được những khó khăn và những thiếu hụt về kiến thức, kỹ năng của HS khi giải Toán. Cũng đưa ra nhiều biện pháp để khắc phục những khó khăn và thiếu hụt đó. Khảo sát học sinh Kết quả khảo sát ý kiến học sinh thu nhận số liệu qua dự giờ đồng nghiệp và công việc trực tiếp giảng dạy của bản thân, lập sổ theo dõi các chướng ngại sư phạm thường gặp của học sinh trong quá trình giải toán hàm số lớp 12 – THPT.

Chúng tôi tổ chức khảo sát ý kiến 70 học sinh lớp 12A6 và 12B của trường THPT Trùng Khánh và THPT Pò Tấu, huyện Trùng Khánh, 13 tỉnh Cao Bằng để điều tra, đánh giá khả năng giải toán hàm số trước khi tiến hành thực nghiệm sư phạm. Phiếu số 2: khảo sát ý kiến học sinh về khả năng giải các bài toán liên quan đến hàm số lớp 12 – THPT. Em thường gặp những khó khăn, trở ngại nào khi học tập môn toán so với những môn khác? - Trừu tượng, khó hiểu, bài tập nhiều, nhiều kiến thức phải nhớ trong 1 tiết học. Khi học giải các bài toán liên quan đến hàm số các em cảm thấy khó khăn, trở ngại nào? - Khó khăn trong tính toán, ghi nhớ các quy tắc, tính đạo hàm của hàm hợp.

- Lẫn lộn khi áp dụng các định lí về tính đơn điệu, cực trị của hàm số. Trong các tiết học, thầy (cô) giáo có hay đưa ra những biện pháp để khắc phục những khó khăn và trở ngại đó không? Và thầy (cô) giáo thường đưa ra những biện pháp nào? Có: thầy cô sử dụng máy chiếu và đưa ra các hình ảnh động mô phỏng sự biến thiên của hàm số; tổ chức các cuộc thảo luận nhóm. Đưa ra các hình ảnh thực tế như: mô hình khối tứ diện, khối chóp đều, khối bát diện đều, khối rubic Hầu hết GV đều nắm bắt được những khó khăn và những thiếu hụt về kiến thức, kỹ năng của HS khi giải toán. Cũng đưa ra nhiều biện pháp để khắc phục những khó khăn và thiếu hụt đó.

Qua nghiên cứu các câu trả lời của HS, tôi nhận thấy: Khi giải các bài toán liên quan đến hàm số, HS thường gặp khó khăn - Trừu tượng, khó hiểu, bài tập nhiều, nhiều kiến thức phải nhớ trong 1 tiết học (Đa số các em đều có câu trả lời như vậy, học toán khó, đặc biệt khi áp dụng để giải quyết bài tập). - Khó khăn trong tính toán, ghi nhớ các quy tắc, tính đạo hàm của hàm hợp; 14 - Lẫn lộn khi áp dụng các định lí về tính đơn điệu, cực trị của hàm số. Một số CNSP của HS khi giải toán hàm số lớp 12 1. Khái niệm CN Chúng ta biết rằng “Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học” là một luận điểm cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là hoạt động giải bài tập toán.

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều tình huống điển hình, nhưng có thể xem giải toán là hoạt động toán học chủ yếu. Theo Nguyễn Bá Kim: “Phương pháp dạy học cần hướng vào tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo”. Định hướng này còn gọi là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay còn gọi là: hoạt động hóa người học. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định.

Phát hiện những hoạt động trong một nội dung là vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục tiêu dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hóa được mục tiêu dạy học nội dung đó và chỉ ra một cách kiểm tra xem mục tiêu dạy học có đạt được hay không và đạt đến mức độ nào. Cho nên điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội dung để đạt được mục tiêu dạy học. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của Giáo dục học cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động.

Trong từ điển thì chướng ngại và khó khăn là hai từ đồng nghĩa. Khi một vấn đề mới được đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chức lại một lí thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về một số khái niệm toán học có liên quan. Ta nói rằng có một khó khăn, nếu vấn đề được giải quyết mà không đòi hỏi xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang xét hay của những quan niệm hiện hành. 15 Ta nói có một CN nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi lại quan niệm lí thuyết.

Có ba kiểu chướng ngại tùy theo nguồn gốc. Một số chướng ngại có thể tránh được, một số khác thì không: - CN về mặt phát triển cá thể liên hệ với phát triển tâm lí của đối tượng; - CNSP liên hệ với sự chuyển hóa sư phạm của tri thức. Đó là CN có thể tránh được bằng cách hành động trên những tình huống dạy học; - CN khoa học luận liên hệ với sự phát triển lịch sử của khái niệm. ở cấp độ người học, một chướng ngại loại này “là thành tố” của kiến thức hiểu theo nghĩa người nào đã gặp nó và đã vượt qua thì có một kiến thức khác với người chưa hề gặp nó.

Xác định các CN và nguồn gốc của nó trong dạy học môn toán là việc làm hết sức cần thiết. Vì nhờ đó, giáo viên có thể tìm các biện pháp sư phạm thích hợp. Để xác định chướng ngại, ta có các cách sau đây: - Nghiên cứu lịch sử phát triển của khái niệm để phát hiện CN mà các nhà Toán học đã gặp phải trong quá trình phát triển khái niệm đó, CN này thường trở thành CN về nhận thức của HS khi học tập khái niệm đó.