Tổng quan luận án
Lý thuyết điều khiển tối ưu ngẫu nhiên giữ vai trò trung tâm trong toán học ứng dụng, lý thuyết điều khiển hiện đại và điều khiển các hệ thống kinh tế - kỹ thuật. Các bài toán điều khiển tối ưu hệ phương trình vi phân và sai phân trong trường hợp tất định đã được nghiên cứu sâu sắc với hệ thống kết quả hoàn chỉnh. Tuy nhiên, trong thực tế vận hành các hệ thống vật lý, kỹ thuật và kinh tế, quá trình điều khiển luôn chịu sự tác động của nhiều yếu tố ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên, sự biến động của môi trường, sai số đo lường). Điều này đòi hỏi mô hình toán học phải tính đến các đặc trưng ngẫu nhiên của hệ thống.
Khoảng trống nghiên cứu được tác giả luận án chỉ ra xuất phát từ hai rào cản lớn trong việc áp dụng lý thuyết điều khiển tối ưu ngẫu nhiên vào thực tiễn:
- Rào cản tính toán (lời nguyền số chiều): Khi giải phương trình quy hoạch động Bellman để tìm chiến lược điều khiển tối ưu, người ta cần rời rạc hóa không gian trạng thái thành các lưới điểm và lưu trữ giá trị điều khiển tối ưu tại từng nút lưới. Theo các số liệu thực hành, khi số chiều của không gian trạng thái từ 4 trở lên ($n \ge 4$), khối lượng tính toán và dung lượng bộ nhớ vượt quá khả năng xử lý của máy tính thời điểm nghiên cứu, gây khó khăn lớn cho việc tra bảng điều khiển trực tiếp trong thời gian thực.
- Sự phức tạp của cấu trúc ràng buộc và tính khả giải giải tích: Trong thực tế, các bài toán điều khiển thường có ràng buộc hỗn hợp phức tạp giữa biến trạng thái và biến điều khiển, đồng thời hàm chuyển đổi trạng thái và hàm mục tiêu phi tuyến. Cho đến nay, vẫn thiếu các thuật toán tổng quát có thể áp dụng trực tiếp cho lớp bài toán có ràng buộc hỗn hợp ngẫu nhiên. Do đó, việc xây dựng phương pháp xấp xỉ bài toán phức tạp bằng các bài toán đơn giản hơn, cũng như việc tìm kiếm các lớp bài toán có nghiệm giải tích tường minh (dưới dạng biểu thức giải tích biểu diễn trực tiếp theo biến trạng thái) mang ý nghĩa lý thuyết và thực tiễn sâu sắc.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án được cụ thể hóa thông qua ba câu hỏi nghiên cứu đánh số:
- Với điều kiện nào thì lớp các chiến lược điều khiển chấp nhận được chứa điều khiển tối ưu và điều khiển tối ưu được xác định như thế nào?
- Khi điều khiển tối ưu tồn tại nhưng việc xác định chính xác nó quá phức tạp (vượt ngoài khả năng tính toán của máy tính) thì có phương pháp xấp xỉ nào đơn giản và chấp nhận được để xác định điều khiển tối ưu (hoặc $\varepsilon$-tối ưu)?
- Có thể mở rộng lớp các bài toán đơn giản, trong đó điều khiển tối ưu biểu diễn được dưới dạng các biểu thức giải tích tường minh như thế nào?
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên cho hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên (thời gian rời rạc) và hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên (thời gian liên tục) có ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và biến điều khiển.
- Phạm vi không gian: Không gian trạng thái và không gian điều khiển nhận giá trị trong không gian metric khả ly, không gian Banach vô hạn chiều, hoặc không gian Euclid $\mathbb{R}^n$.
- Phạm vi thời gian: Quá trình điều khiển diễn ra trên khoảng thời gian rời rạc hữu hạn bước ($n = 0, 1, \dots, N-1$) và khoảng thời gian liên tục $t \in [0, T]$.
- Mô hình ứng dụng thực tế: Bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên chế độ vận hành lượng nước và công suất phát điện của Nhà máy Thủy điện Hòa Bình trên chu kỳ khai thác theo tháng ($N = 12$).
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Lý thuyết điều khiển tối ưu ngẫu nhiên đã được phát triển qua nhiều thập kỷ bởi các nhà toán học:
- Các nghiên cứu của E. B. Dynkin và A. A. Yushkevich (1975, 1979) về lý thuyết quá trình Markov điều khiển được, đặt nền móng giải tích cho các bài toán tối ưu ngẫu nhiên.
- Các công trình của N. V. Krylov (1977) về quá trình khuếch tán điều khiển được và các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến liên quan.
- Nghiên cứu của H. J. Kushner (1965, 1971) về tính ổn định và điều khiển tối ưu cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên, trong đó Kushner đã chỉ ra nghiệm giải tích tường minh cho trường hợp phương trình trạng thái tuyến tính và hàm mục tiêu toàn phương hoặc đa thức bậc 4.
- Các kết quả về nguyên lý cực đại ngẫu nhiên và nhân tử Lagrange ngẫu nhiên (chẳng hạn tài liệu tham khảo số 7, 14 trong luận án), áp dụng cho các bài toán có ràng buộc hầu chắc chắn (với xác suất 1).
Khoảng trống mà luận án lựa chọn giải quyết:
- Các kết quả của Dynkin, Yushkevich hay Kushner chủ yếu tập trung vào không gian trạng thái hữu hạn phần tử, không gian rời rạc hoặc hệ thống không có ràng buộc chặt chẽ trên biến trạng thái.
- Việc kiểm tra sự tồn tại của nhân tử Lagrange ngẫu nhiên và việc xác định lớp chiến lược chấp nhận được trong các công trình đi trước gặp nhiều khó khăn khi xuất hiện ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái $x$ và biến điều khiển $u$.
- Luận án định vị trọng tâm vào việc sử dụng công cụ giải tích đa trị (Set-valued Analysis) để:
- Khảo sát tính liên tục và tính nửa $\alpha$-Lipschitz của các ánh xạ đa trị ràng buộc;
- Thiết lập định lý tồn tại điều khiển tối ưu cho hệ sai phân ngẫu nhiên có ràng buộc hỗn hợp tổng quát;
- Đánh giá tốc độ hội tụ định lượng của phương pháp xấp xỉ;
- Mở rộng lớp bài toán có nghiệm giải tích tường minh với hàm mục tiêu là đa thức sơ cấp cấp chẵn bất kỳ và phương trình trạng thái ngẫu nhiên tuyến tính/thuần nhất.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng
Luận án xây dựng trên nền tảng của ba nhánh toán học:
- Giải tích đa trị: Ánh xạ đa trị $V: X \to 2^U \setminus {\emptyset}$, đồ thị ánh xạ $\text{Gr} V = {(x, u) \in X \times U : u \in V(x)}$. Khái niệm ánh xạ đa trị đo được Borel, tính nửa liên tục trên (upper semicontinuous - usc), nửa liên tục dưới (lower semicontinuous - lsc), tính liên tục Hausdorff. Luận án đặc biệt mở rộng và sử dụng khái niệm tính nửa $\alpha$-Lipschitz (trên và dưới) cho phiếm hàm và ánh xạ đa trị dựa trên các hàm tăng $\alpha(t)$.
- Lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên: Không gian xác suất cơ bản $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, xích Markov ${\xi_n, n = 0, 1, \dots, N-1}$ với xác suất chuyển $P_n(dy, q)$, các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian trạng thái đo được.
- Quy hoạch động Bellman: Phương trình truy hồi xác định dãy phiếm hàm giá trị cực tiểu $W_n(x, q)$ và định lý hàm chọn Borel để xác định luật điều khiển phản hồi $\hat{u}_n = \hat{u}_n(x_n, \xi_n)$.
Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng phương pháp nghiên cứu toán học thuần túy kết hợp mô hình hóa số liệu:
- Phương pháp giải tích phi tuyến và giải tích đa trị: Sử dụng các định lý hàm chọn (định lý Kuratowski - Ryll-Nardzewski, định lý hàm chọn Baire 1 / Perov) để chứng minh sự tồn tại của hàm điều khiển đo được Borel từ các ánh xạ đa trị nghiệm.
- Phương pháp xấp xỉ tham số hóa ($\varepsilon$-approximation): Xây dựng họ các bài toán xấp xỉ phụ thuộc tham số $\varepsilon > 0$, trong đó các hàm mục tiêu và hàm trạng thái phức tạp được thay thế bằng các hàm đa thức trơn. Chứng minh tính ổn định và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm của bài toán gốc.
- Phương pháp quy nạp lùi (Backward Induction): Thiết lập phương trình quy hoạch động từ bước $N-1$ lùi về $0$ cho hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên.
- Phương pháp đồng nhất hệ số giải tích: Sử dụng cấu trúc đặc biệt của phương trình vi phân/sai phân tuyến tính và hàm mục tiêu đa thức để thiết lập thuật toán xác định biểu thức giải tích tường minh cho điều khiển tối ưu.
Nguồn dữ liệu thực tế
Luận án sử dụng số liệu thực tế về đặc tính thủy văn và kỹ thuật của Nhà máy Thủy điện Hòa Bình:
- Lưu lượng nước đến hồ theo các tháng trong năm;
- Dung tích hồ chứa và quan hệ giữa mực nước thượng lưu $Z_{tl}$, hạ lưu $Z_{hl}$ với lưu lượng xả qua tuabin $q$ và lưu lượng xả đáy $v$;
- Đường đặc tính công suất tổ máy phát điện: $P = 9.81 \cdot \eta \cdot q \cdot H(Z_{tl}, Z_{hl})$.
Nội dung chính theo từng chương
Cấu trúc luận án gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung chính và danh mục tài liệu tham khảo:
| Chương | Tên chương trong văn bản | Trọng tâm nội dung chính |
|---|---|---|
| Chương 1 | Một số kiến thức chuẩn bị về giải tích đa trị | Các khái niệm, tính chất liên tục của ánh xạ đa trị; tính nửa $\alpha$-Lipschitz; định lý hàm chọn đo được; tính chất liên tục của phiếm hàm cực tiểu. |
| Chương 2 | Sự tồn tại điều khiển tối ưu và phương pháp xấp xỉ giải bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên có ràng buộc hỗn hợp | Bài toán sai phân ngẫu nhiên với ràng buộc hỗn hợp; phương trình quy hoạch động; định lý tồn tại điều khiển tối ưu; mô hình Thủy điện Hòa Bình; phương pháp $\varepsilon$-xấp xỉ và đánh giá tốc độ hội tụ. |
| Chương 3 | Một số bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên giải được bằng giải tích | Thuật toán xác định điều khiển tối ưu giải tích tường minh cho hệ sai phân ngẫu nhiên với hàm mục tiêu đa thức sơ cấp cấp chẵn; mở rộng cho hệ vi phân ngẫu nhiên liên tục. |
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị về giải tích đa trị
Chương 1 hệ thống hóa các kết quả cơ bản của giải tích đa trị cần sử dụng trong luận án và phát triển các khái niệm mới về tính nửa $\alpha$-Lipschitz.
1. Các khái niệm và tính chất liên tục của ánh xạ đa trị
Cho $X, U$ là các không gian metric với metric tương ứng $d(x, x'), d(u, u')$. Ánh xạ đa trị $V: X \to 2^U \setminus {\emptyset}$ gán mỗi phần tử $x \in X$ với một tập con không rỗng $V(x) \subset U$.
- Ánh xạ đa trị đo được: Ánh xạ $V$ được gọi là đo được ($d$-đo được / Borel đo được) nếu với mọi tập con $B \subset U$ đóng (hoặc mở, Borel), tập ${x \in X : V(x) \cap B \neq \emptyset}$ là tập đo được trong $X$.
- Nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới:
- $V$ gọi là nửa liên tục trên (usc) tại $x_0$ nếu với mọi tập mở $G \supset V(x_0)$, tồn tại lân cận $B(x_0, \delta)$ sao cho $V(x) \subset G$ với mọi $x \in B(x_0, \delta)$.
- $V$ gọi là nửa liên tục dưới (lsc) tại $x_0$ nếu với mọi tập mở $G$ thỏa mãn $V(x_0) \cap G \neq \emptyset$, tồn tại lân cận $B(x_0, \delta)$ sao cho $V(x) \cap G \neq \emptyset$ với mọi $x \in B(x_0, \delta)$.
- Luận án chứng minh mệnh đề: Nếu $U$ là không gian định chuẩn hữu hạn chiều và $V(x_0)$ là tập compact thì tính nửa liên tục trên tương đương với điều kiện: với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho $V(x) \subset V(x_0) + \varepsilon B$ với mọi $x \in B(x_0, \delta)$.
2. Khái niệm và tính chất của tính nửa $\alpha$-Lipschitz
Để phục vụ việc đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp xấp xỉ ở Chương 2, tác giả đưa ra định nghĩa về tính nửa $\alpha$-Lipschitz:
- Phiếm hàm $h: X \times U \to \mathbb{R}$ được gọi là nửa $\alpha$-Lipschitz trên (dưới) tại $(x_0, u_0)$ nếu tồn tại hàm tăng liên tục $\alpha(t)$ với $\alpha(0) = 0$ sao cho: $$h(x, u) - h(x_0, u_0) \le \alpha(d(x, x_0) + d(u, u_0)) \quad (\text{tương ứng } \ge -\alpha(\dots))$$
- Ánh xạ đa trị $V: X \to 2^U$ được gọi là nửa $\alpha$-Lipschitz trên tại $x_0$ nếu tồn tại lân cận $B(x_0, \delta)$ sao cho: $$V(x) \subset V(x_0) + \alpha(d(x, x_0)) B_U$$
- Tác giả so sánh tính nửa $\alpha$-Lipschitz với điều kiện Hölder (khi $\alpha(t) = C t^\gamma$ với $\gamma \in (0, 1]$) và đưa ra các ví dụ phân tích tính chất của lớp hàm này.
3. Tính liên tục của phiếm hàm cực tiểu và định lý hàm chọn
Xét phiếm hàm cực tiểu dạng: $$W(x) = \inf_{u \in V(x)} J(x, u)$$
- Luận án chứng minh định lý: Nếu $U$ là không gian metric compact, $J(x, u)$ nửa liên tục dưới trên $X \times U$ và $V(x)$ là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, thì $W(x)$ là phiếm hàm nửa liên tục dưới trên $X$. Nếu $V(x)$ liên tục và nhận giá trị compact, $J(x, u)$ liên tục thì $W(x)$ liên tục.
- Về định lý hàm chọn: Đối với ánh xạ đa trị $V$ nửa liên tục trên (hoặc dưới), tồn tại hàm chọn đơn trị $\varphi: X \to U$ ($\varphi(x) \in V(x)$ với mọi $x \in X$) thuộc lớp Baire thứ nhất (giới hạn của dãy hàm liên tục) và đo được Borel.
Chương 2: Sự tồn tại điều khiển tối ưu và phương pháp xấp xỉ giải bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên có ràng buộc hỗn hợp
Chương 2 là trọng tâm lý thuyết và ứng dụng của luận án, tập trung vào lớp bài toán sai phân ngẫu nhiên với ràng buộc hỗn hợp.
1. Phát biểu bài toán điều khiển sai phân ngẫu nhiên có ràng buộc hỗn hợp
Xét hệ thống điều khiển ngẫu nhiên với thời gian rời rạc $n = 0, 1, \dots, N-1$:
- Phương trình trạng thái: $$x_{n+1} = f_n(x_n, u_n, \xi_n, y_n)$$ trong đó $x_n \in X$ (không gian Banach khả ly), $u_n \in U$ (không gian điều khiển), $\xi_n$ là xích Markov nhận giá trị trong không gian đo được $(\Omega, \mathcal{F})$, và $y_n$ là các nhiễu ngẫu nhiên độc lập.
- Ràng buộc hỗn hợp: Chiến lược điều khiển $u_n$ tại mỗi bước chịu ràng buộc phụ thuộc vào trạng thái hiện tại $x_n$ và trạng thái ngẫu nhiên $\xi_n$: $$u_n \in V_n(x_n, \xi_n) \subset U$$ với xác suất bằng 1: $P{\omega : f_n(x_n, u_n, \xi_n, y_n) \in \Gamma_{n+1} \mid \xi_n = q} = 1$.
- Phiếm hàm mục tiêu cần cực tiểu hóa: $$J(x_0, u) = \mathbb{E} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} h_n(x_n, u_n, \xi_n) + h_N(x_N, \xi_N) \right]$$ trong đó $h_n$ là các phiếm hàm đo được Borel và bị chặn dưới.
2. Phương trình quy hoạch động và định lý tồn tại điều khiển tối ưu
Tác giả thiết lập hệ phương trình quy hoạch động truy hồi lùi từ $n = N-1$ về $0$: $$W_N(x, q) = h_N(x, q)$$ $$W_n(x, q) = \inf_{u \in V_n(x, q)} \left{ h_n(x, u, q) + \int_{\Omega} W_{n+1}(f_n(x, u, q, y), y) P_n(dy, q) \right}$$
- Định lý 2.1 (Điều kiện cần và đủ): Chiến lược điều khiển $\hat{u} = {\hat{u}0, \dots, \hat{u}{N-1}}$ là tối ưu khi và chỉ khi $\hat{u}_n(x, q)$ đạt cực tiểu trong phương trình quy hoạch động tại mọi bước $n$.
- Định lý 2.2 (Sự tồn tại điều khiển tối ưu): Dưới các giả thiết $U$ là không gian compact, $f_n$ liên tục theo $(x, u)$, các phiếm hàm $h_n$ nửa liên tục dưới và ánh xạ đa trị $V_n(x, q)$ nửa liên tục trên nhận giá trị compact, tồn tại chiến lược điều khiển tối ưu $\hat{u}_n(x, q)$ đo được Borel.
3. Ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu Thủy điện Hòa Bình
Tác giả áp dụng định lý tồn tại để chứng minh sự tồn tại điều khiển tối ưu cho mô hình vận hành Thủy điện Hòa Bình:
- Biến trạng thái $x_n$: Lượng nước tích trong hồ tại đầu tháng thứ $n$ ($n = 0, 1, \dots, 11$, chu kỳ $N = 12$).
- Biến điều khiển $u_n = (q_n, v_n)$: $q_n$ là lượng nước qua tuabin phát điện, $v_n$ là lượng nước xả qua công trình xả đáy/xả tràn.
- Nhiễu ngẫu nhiên $\xi_n$: Lượng nước tự nhiên chảy về hồ trong tháng $n$.
- Phương trình cân bằng nước: $$x_{n+1} = x_n + \xi_n - (q_n + v_n) - e_n(x_n)$$ trong đó $e_n(x_n)$ là lượng nước tổn thất do bốc hơi và thấm.
- Hàm mục tiêu: Cực đại hóa tổng sản lượng điện năng trong năm (tương đương cực tiểu hóa lượng điện năng thiếu hụt so với phụ tải yêu cầu): $$J(x_0, u) = \mathbb{E} \left[ \sum_{n=0}^{11} -P_n(x_n, q_n, v_n) \right]$$ với công suất phát điện $P_n$ phụ thuộc phi tuyến vào cột nước $H_n = Z_{tl}(x_n) - Z_{hl}(q_n + v_n)$. Luận án chứng minh rằng với các điều kiện thiết kế thực tế của công trình thủy điện, bài toán thỏa mãn đầy đủ các giả thiết của Định lý 2.1 và Định lý 2.2, đảm bảo luôn tồn tại chiến lược điều khiển tối ưu chấp nhận được.
4. Phương pháp xấp xỉ và đánh giá tốc độ hội tụ
Khi việc giải phương trình quy hoạch động chính xác gặp khó khăn do số chiều lớn hoặc hàm mục tiêu phi tuyến phức tạp, tác giả thay thế bài toán gốc bằng bài toán xấp xỉ phụ thuộc tham số $\varepsilon > 0$:
- Thay thế $f_n, h_n, V_n$ bằng các hàm xấp xỉ $f_n^\varepsilon, h_n^\varepsilon, V_n^\varepsilon$ có dạng đa thức hoặc tuyến tính từng khúc.
- Luận án thiết lập Định lý 2.4 và Định lý 2.5 về sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ $W_n^\varepsilon(x, q) \to W_n(x, q)$ khi $\varepsilon \to 0$.
- Đánh giá tốc độ hội tụ: Dựa trên công cụ tính nửa $\alpha$-Lipschitz đã xây dựng ở Chương 1, tác giả chứng minh sai số giữa giá trị tối ưu của bài toán gốc và bài toán xấp xỉ thỏa mãn: $$|W_n(x, q) - W_n^\varepsilon(x, q)| \le C \cdot \varepsilon^\alpha$$ với $C$ là hằng số dương và bậc hội tụ $\alpha = \min(\alpha_f, \alpha_h, \alpha_V)$. Kết quả này cung cấp cơ sở toán học để kiểm soát sai số khi giải bài toán trên máy tính.
Chương 3: Một số bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên giải được bằng giải tích
Chương 3 giải quyết bài toán tìm cấu trúc giải tích tường minh cho điều khiển tối ưu nhằm khắc phục việc phải lưu trữ bảng số liệu rời rạc.
1. Hệ sai phân ngẫu nhiên với hàm mục tiêu đa thức cấp chẵn
Xét hệ sai phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc:
- Phương trình trạng thái tuyến tính theo biến trạng thái và điều khiển: $$x_{n+1} = A_n(\xi_n) x_n + B_n(\xi_n) u_n + C_n(\xi_n) y_n$$ trong đó $A_n, B_n, C_n$ là các ma trận có hệ số phụ thuộc vào xích Markov $\xi_n$.
- Hàm mục tiêu tại mỗi bước có dạng đa thức sơ cấp cấp chẵn đối với biến trạng thái $x$ và biến điều khiển $u$: $$h_n(x, u) = \sum_{k=1}^{2m} a_{k, n} x^k + \sum_{j=1}^{2p} b_{j, n} u^j$$ với các hệ số thỏa mãn điều kiện lồi ($b_{2p, n} > 0$).
- Kết quả chính: Tác giả xây dựng thuật toán truy hồi chứng minh rằng phiếm hàm giá trị $W_n(x, q)$ duy trì dạng đa thức cấp chẵn theo biến $x$, và chiến lược điều khiển tối ưu $\hat{u}_n(x)$ tồn tại, duy trì cấu trúc tuyến tính theo biến trạng thái: $$\hat{u}_n(x) = K_n(\xi_n) x + M_n(\xi_n)$$ trong đó các ma trận hệ số $K_n, M_n$ được tính toán trực tiếp qua các hệ số của phương trình trạng thái và hàm mục tiêu.
2. Hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian liên tục
Tác giả mở rộng ý tưởng trên cho trường hợp thời gian liên tục $t \in [0, T]$, phát triển kết quả cổ điển của H. Kushner (1965):
- Phương trình trạng thái là phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô: $$dx_t = f(t, x_t, u_t) dt + \sigma(t, x_t) dw_t$$ trong đó $w_t$ là quá trình Wiener chuẩn, hàm $f$ có dạng thuần nhất cấp lẻ theo $x$ và $u$.
- Hàm mục tiêu là tích phân của đa thức thuần nhất cấp chẵn.
- Luận án chỉ ra biểu thức giải tích tường minh cho điều khiển tối ưu $\hat{u}(t, x)$, mở rộng phạm vi từ bài toán tuyến tính - toàn phương (Linear-Quadratic) cổ điển sang lớp bài toán phi tuyến thuần nhất bậc cao.
Kết quả và những đóng góp mới
Đóng góp về mặt lý luận
- Mở rộng lý thuyết giải tích đa trị: Xây dựng khái niệm mới về tính nửa $\alpha$-Lipschitz cho phiếm hàm và ánh xạ đa trị; thiết lập các định lý về sự bảo toàn tính chất nửa $\alpha$-Lipschitz qua phép toán lấy cực tiểu hóa có ràng buộc.
- Thiết lập định lý tồn tại cho hệ có ràng buộc hỗn hợp: Chứng minh sự tồn tại của chiến lược điều khiển tối ưu đo được Borel cho hệ sai phân ngẫu nhiên có ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và biến điều khiển trong không gian Banach vô hạn chiều thông qua phương trình quy hoạch động và định lý hàm chọn.
- Đánh giá định lượng tốc độ hội tụ: Đưa ra phương pháp $\varepsilon$-xấp xỉ cho bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên và chứng minh công thức đánh giá tốc độ hội tụ của phiếm hàm mục tiêu theo bậc lũy thừa $\varepsilon^\alpha$.
- Mở rộng lớp bài toán có nghiệm giải tích tường minh: Chứng minh điều khiển tối ưu có dạng tuyến tính theo biến trạng thái đối với hệ sai phân/vi phân ngẫu nhiên có phương trình trạng thái tuyến tính (hoặc thuần nhất cấp lẻ) và hàm mục tiêu đa thức sơ cấp cấp chẵn bất kỳ, mở rộng kết quả của H. Kushner (1965).
Đóng góp về mặt thực tiễn
- Ứng dụng thành công khung lý thuyết vào mô hình hóa và chứng minh tính giải được của bài toán điều khiển tối ưu chế độ vận hành phát điện và tích nước của Nhà máy Thủy điện Hòa Bình trên chu kỳ 12 tháng.
- Cung cấp phương pháp xấp xỉ có đánh giá sai số giúp giảm thiểu khối lượng tính toán trên máy tính khi giải các bài toán điều khiển hệ thống kinh tế - kỹ thuật có số chiều trạng thái lớn.
Công bố khoa học
Các kết quả chính trong luận án đã được tác giả báo cáo tại các hội nghị khoa học của Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội và công bố trong các công trình nghiên cứu giai đoạn 1986–1989 (các tài liệu tham khảo số 2, 12, 16, 29 trong văn bản).
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
- Hạn chế:
- Nghiên cứu chủ yếu tập trung vào khoảng thời gian hữu hạn bước ($N$ bước đối với hệ rời rạc) và bài toán điều khiển với thông tin đầy đủ về trạng thái hệ thống.
- Các kết quả về nghiệm giải tích tường minh đòi hỏi cấu trúc hàm chuyển đổi trạng thái và hàm mục tiêu phải thỏa mãn tính chất tuyến tính hoặc đa thức thuần nhất.
- Phương pháp xấp xỉ phụ thuộc vào giả thiết compact của tập điều khiển và tính chất liên tục của xác suất chuyển xích Markov.
- Hướng nghiên cứu tiếp:
- Nghiên cứu mở rộng bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên có ràng buộc hỗn hợp trên khoảng thời gian vô hạn ($N \to \infty$).
- Khảo sát bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên với quan sát không đầy đủ (quan sát từng phần / bài toán lọc - điều khiển kết hợp).
- Nghiên cứu hệ thống điều khiển có trễ và hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên bước nhảy.
Giá trị tham khảo
Luận án có giá trị tham khảo chuyên môn đối với:
- Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán ứng dụng, Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, Lý thuyết điều khiển: Tham khảo kỹ thuật áp dụng giải tích đa trị vào bài toán cực trị ngẫu nhiên (Chương 1 và Chương 2).
- Giảng viên và nhà nghiên cứu Toán kinh tế: Tham khảo phương pháp xây dựng phương trình quy hoạch động cho các mô hình kinh tế có ràng buộc hỗn hợp và kỹ thuật giải tích tường minh để tránh bùng nổ số chiều tính toán (Chương 2 và Chương 3).
- Kỹ sư và chuyên gia điều hành hệ thống năng lượng thủy điện: Tham khảo mô hình toán học cân bằng nước và tối ưu hóa phát điện hồ chứa Thủy điện Hòa Bình (Chương 2).
Câu hỏi thường gặp
1. Luận án giải quyết khó khăn gì của phương pháp quy hoạch động khi áp dụng vào thực tế?
Phương pháp quy hoạch động cổ điển gặp rào cản "lời nguyền số chiều" khi không gian trạng thái có số chiều từ 4 trở lên ($n \ge 4$), khiến việc giải số và lưu trữ bảng điều khiển vượt quá năng lực máy tính. Luận án giải quyết bằng hai hướng: (1) xây dựng phương pháp $\varepsilon$-xấp xỉ có đánh giá tốc độ hội tụ; (2) tìm lớp bài toán có biểu thức giải tích tường minh cho điều khiển tối ưu.
2. Khái niệm tính nửa $\alpha$-Lipschitz đóng vai trò gì trong luận án?
Tính nửa $\alpha$-Lipschitz được tác giả định nghĩa cho phiếm hàm và ánh xạ đa trị ở Chương 1 như một công cụ toán học mở rộng. Khái niệm này là cơ sở trực tiếp để thiết lập Định lý 2.5 ở Chương 2 nhằm đánh giá định lượng tốc độ hội tụ của dãy phiếm hàm giá trị xấp xỉ về bài toán gốc theo bậc $\varepsilon^\alpha$.
3. Mô hình thực tế nào được dùng để kiểm chứng lý thuyết ở Chương 2?
Luận án sử dụng bài toán điều khiển tối ưu lượng nước xả và công suất phát điện của Nhà máy Thủy điện Hòa Bình theo chu kỳ 12 tháng ($N = 12$), với biến trạng thái là lượng nước trong hồ, biến điều khiển là lưu lượng nước qua tuabin và lưu lượng xả tràn/xả đáy, cùng nhiễu ngẫu nhiên là lượng nước tự nhiên chảy về hồ.
4. Kết quả giải tích tường minh ở Chương 3 mở rộng nghiên cứu của ai?
Chương 3 mở rộng kết quả năm 1965 của H. Kushner từ hệ tuyến tính - toàn phương và đa thức bậc 4 sang hệ phương trình trạng thái tuyến tính (có hệ số phụ thuộc xích Markov) với hàm mục tiêu là đa thức sơ cấp cấp chẵn bậc bất kỳ ($2m, 2p$), chứng minh điều khiển tối ưu luôn duy trì dạng tuyến tính theo biến trạng thái.
Kết luận
Luận án nghiên cứu một cách hệ thống bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên cho hệ sai phân và vi phân có ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và biến điều khiển. Tác giả đã kết hợp công cụ giải tích đa trị hiện đại với lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để chứng minh sự tồn tại điều khiển tối ưu, xây dựng phương pháp xấp xỉ có đánh giá tốc độ hội tụ và thiết lập các biểu thức giải tích tường minh cho lớp bài toán với hàm mục tiêu đa thức cấp chẵn. Kết quả nghiên cứu không chỉ đóng góp vào lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên mà còn được kiểm chứng qua mô hình vận hành thực tế của Nhà máy Thủy điện Hòa Bình.