Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ƣu Cho Hệ Với Tham Số Phân Bố, Có Trễ, Phi Tuyến

Luận án tiến sĩ nghiên cứu phương pháp điều khiển tối ưu cho hệ thống phi tuyến với tham số phân bố có độ trễ, mang lại hiệu quả cao trong ứng dụng.

• Tác giả: Mai Trung Thái
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Hữu Công
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa
• Đề tài: Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ƣu Cho Hệ Phi Tuyến Có Tham Số Phân Bố
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ưu Hệ Phi Tuyến

Lý thuyết điều khiển tối ưu đã phát triển từ lâu, nhưng chủ yếu tập trung vào hệ có tham số tập trung. Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố ít được quan tâm hơn. Ứng dụng của nó rất đa dạng: tôi, ram, nhiệt luyện, ủ vật liệu từ, nung gạch men, cán thép,... Trong một số công nghệ, gia nhiệt bằng lò nung dầu nặng FO, ví dụ như cán thép hoặc sản xuất nhôm kính. Hàm truyền của lò nung là khâu quán tính có trễ, và mối quan hệ nhiệt độ lò là phương trình đạo hàm riêng parabolic với điều kiện biên loại 3. Nếu xét bài toán điều khiển tối ưu cho quá trình "nung chính xác nhất", đối tượng điều khiển là hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ. Một số tác giả đã tìm lời giải bằng phương pháp biến phân, nguyên lý cực đại Pontryagin hoặc phương pháp số. Phương pháp số tỏ ra ưu việt hơn cả. Tuy nhiên, trong một số công nghệ khác, lò nung là lò điện trở. Lúc này hàm truyền của lò điện trở cũng là khâu quán tính bậc nhất có trễ dạng: Y(s)/X(s) = k/(Ts+1). Nhưng k phụ thuộc vào nhiệt độ trong lò. Thực tế, k thay đổi khá nhiều, ví dụ như trong lò điện trở với dải nhiệt độ thay đổi từ 0-500°C. Vậy nếu vẫn xét bài toán điều khiển tối ưu cho quá trình "nung chính xác nhất" thì đây là bài toán điều khiển tối ưu cho đối tượng có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Chính sự phi tuyến của k làm cho lời giải của bài toán trở nên rất phức tạp. Do vậy để bài toán có thể được ứng dụng trong thực tế, luận án này tìm cách đưa ra lời giải cho bài toán với điểm khác biệt lớn nhất là tính phi tuyến của k. Bài toán điều khiển tối ưu vẫn được thực hiện bằng phương pháp số. Lời giải cho trường hợp xét tới tính phi tuyến của k chưa được các tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu. Ngoài ra, để mở rộng bài toán điều khiển tối ưu, luận án cũng xét thêm trường hợp hệ số trễ (τ) của lò điện trở là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của nó.

1.1. Ứng Dụng Thực Tế Của Điều Khiển Tối Ưu Phi Tuyến

Điều khiển tối ưu theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất cho hệ phi tuyến có tham số phân bố được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực công nghiệp. Các nghiên cứu trước đây cũng đã giải quyết bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ. Nếu trong lĩnh vực lò nung thì bài toán này đã được áp dụng cho các công nghệ lò đốt bằng dầu nặng FO. Tuy nhiên, với một số công nghệ như ủ vật liệu từ, tôi ram nhiệt luyện chi tiết máy thì lò nung được thực hiện bằng lò điện. Do đó, đây là bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Với bài toán này, hiện nay chưa có sự nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, vì vậy đề tài này có tính cấp thiết và nếu được giải quyết sẽ một mặt bổ sung vào lý thuyết điều khiển cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, mặt khác cũng mở ra khả năng ứng dụng vào thực tế.

1.2. Mục Tiêu Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ưu Tham Số Phân Bố

Mục tiêu của luận án là xây dựng mô hình toán của đối tượng có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến; xét cả trường hợp có hệ số trễ lớn (tỷ số T/τ nằm trong khoảng 6 ≤ T/τ < 10). Nghiên cứu thay thế khâu trễ e^(-τs) trong khâu quán tính bậc nhất, có trễ bằng phép xấp xỉ Pade bậc một khi đối tượng có thời gian trễ (τ) là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của nó, tức là khi tỷ số T/τ thỏa mãn điều kiện 6 ≤ T/τ < 10. Tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Hệ này được đặc trưng bằng quá trình gia nhiệt một phía trong lò điện trở đối với vật dầy. Trong đó quan tâm nhất tới tính phi tuyến (thay đổi) của hệ số truyền tĩnh k của lò điện trở. Ngoài ra còn quan tâm tới trường hợp thời gian trễ (τ) là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của lò. Mô phỏng và thực nghiệm để chứng minh tính chính xác và tính ổn định của nghiệm tối ưu.

II. Phương Pháp Xấp Xỉ Pade Giải Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu

Đối tượng nghiên cứu là hệ thống điều khiển nhiệt độ lò điện trở và vật nung, đó là một hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Phạm vi nghiên cứu: Đối tượng điều khiển có dạng tấm phẳng (kích thước chiều dầy nhỏ hơn nhiều so với chiều rộng và chiều dài của nó). Quá trình truyền nhiệt là một phía trong lò điện trở. Không gian lò đủ nhỏ so với kích thước của vật nung. Đối tượng có tỷ số T/τ thỏa mãn điều kiện 6 ≤ T/τ < 10. Vùng nhiệt độ không cao ≤ 700°C. Giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Lập trình mô phỏng trên máy tính và thực nghiệm trên mô hình vật lý cụ thể. Phương pháp nghiên cứu bao gồm: Nghiên cứu lý thuyết: Phân tích, đánh giá các công trình nghiên cứu đã được công bố trên các bài báo, tạp chí, các luận án về điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến nhằm xác định chắc chắn các mục tiêu đề ra. Nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ cho đối tượng có trễ. Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Mô phỏng: lập trình mô phỏng trên Matlab & Simulink để kiểm chứng lại lý thuyết. Thực nghiệm: tiến hành thực nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu lý thuyết và kết quả mô phỏng trên mô hình vật lý hệ thống phi tuyến cụ thể (lò điện trở và vật nung).

2.1. Ý Nghĩa Khoa Học Của Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ưu

Luận án đã đưa ra được lời giải tường minh cho bài toán tìm được trường nhiệt độ của vật nung khi biết điện áp cung cấp cho lò - xét cả trong trường hợp hệ số truyền tĩnh k của lò là phi tuyến và thời gian trễ của lò lớn. Đã tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số – Hệ này được ứng dụng cho bài toán nung chính xác nhất trong quá trình gia nhiệt.

2.2. Giá Trị Thực Tiễn Của Điều Khiển Tối Ưu Tham Số Phân Bố

Luận án là một trong những công trình khoa học đầu tiên ở Việt Nam đã giải được một bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Đã mô phỏng và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng kết quả nghiên cứu lý thuyết làm cơ sở cho việc triển khai điều khiển thực tế nung chính xác ở lò điện trở khi gia nhiệt cho vật nung dạng tấm phẳng. Kết quả nghiên cứu sẽ được áp dụng cho các đối tượng phi tuyến thực trong công nghiệp tùy theo đối tượng có tỷ số T/τ nằm trong một giới hạn nào đó. Kết quả nghiên cứu sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành điều khiển và tự động hóa, học viên cao học và các nghiên cứu sinh quan tâm nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến.

2.3. Bố Cục Nội Dung Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ưu

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được trình bày trong 4 chương với nội dung như sau: Chương 1: Tổng quan về điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Chương 2: Đề xuất và giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số sử dụng phép biến đổi Laplace. Chương 3: Các chương trình tính toán và các kết quả mô phỏng. Chương 4: Thực nghiệm kiểm chứng chất lượng phương pháp đã đề xuất trên mô hình hệ thống thực.

III. Đề Xuất Giải Pháp Điều Khiển Tối Ưu Hệ Phi Tuyến

Phần đầu của chương, tác giả thành lập bài toán điều khiển tối ưu cho đối tượng có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Tiếp theo giới thiệu phương pháp xấp xỉ Taylor và phương pháp xấp xỉ Pade, áp dụng các phương pháp xấp xỉ này để thay thế cho hàm truyền đạt của khâu trễ. Sau đó, tiến hành nhận dạng lò điện trở và phân tích sự thay đổi (tính phi tuyến) của hệ số truyền tĩnh k theo nhiệt độ của lò. Hơn nữa, để nhấn mạnh lời giải bài toán tối ưu bằng phương pháp số, tác giả trình bày thêm hai phương pháp tính gần đúng tích phân xác định đó là công thức hình thang và công thức Simpson. Cuối cùng, tiến hành giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số sử dụng phép biến đổi Laplace. Hệ này cũng được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò điện trở để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất. Ngoài ra, tác giả đã đưa ra các thuật toán để tính toán các điều kiện giới hạn của bài toán cho phù hợp với thực tế cũng như các thuật toán để tính toán nhiệt độ của lò v(t) và phân bố nhiệt độ q(x,t) trong vật nung. Nội dung chương 2 cũng là nội dung trọng tâm (đóng góp chính thứ nhất) của luận án.

3.1. Phương Pháp Số Giải Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu

Để giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến, phương pháp số được sử dụng. Phương pháp này tỏ ra ưu việt hơn so với các phương pháp biến phân hoặc nguyên lý cực đại Pontryagin. Việc sử dụng phương pháp số cho phép xử lý các bài toán phức tạp với độ chính xác cao.

3.2. Ứng Dụng Biến Đổi Laplace Trong Điều Khiển Tối Ưu

Phép biến đổi Laplace được sử dụng để đơn giản hóa việc giải bài toán điều khiển tối ưu. Bằng cách chuyển đổi các phương trình vi phân sang miền tần số, việc giải các phương trình trở nên dễ dàng hơn. Sau khi tìm được nghiệm trong miền tần số, phép biến đổi Laplace ngược được sử dụng để chuyển đổi nghiệm trở lại miền thời gian.

IV. Kết Quả Mô Phỏng Điều Khiển Tối Ưu Hệ Phi Tuyến

Trên cơ sở lý luận đã đề xuất ở chương 1 và chương 2, để kiểm chứng lời giải cũng như để chứng minh tính ổn định của nghiệm tối ưu, chương 3 trình bày các chương trình tính toán và các kết quả mô phỏng. Các chương trình tính toán bao gồm: Chương trình tính các giá trị φi. Tính giá trị các hàm gμ(x,t) (μ=1,2,3). Chương trình tính hàm gμ(x, t-τ) (μ = 1, 2,3. Chương trình giải bài toán tối ưu. Các kết quả mô phỏng được thực hiện với mẫu Samot và mẫu Diatomite. Các kết quả mô phỏng cho thấy tính chính xác và tính ổn định của nghiệm tối ưu.

4.1. Chương Trình Tính Toán Trong Mô Phỏng Điều Khiển

Các chương trình tính toán được xây dựng để giải quyết các phương trình và thuật toán phức tạp trong bài toán điều khiển tối ưu. Các chương trình này được viết bằng ngôn ngữ lập trình phù hợp và được kiểm tra kỹ lưỡng để đảm bảo tính chính xác.

4.2. Vật Liệu Samot Và Diatomite Trong Thí Nghiệm

Mẫu Samot và Diatomite được sử dụng trong các thí nghiệm để kiểm chứng kết quả mô phỏng. Các vật liệu này có các đặc tính nhiệt khác nhau, cho phép đánh giá hiệu quả của phương pháp điều khiển tối ưu trong các điều kiện khác nhau.

V. Thực Nghiệm Kiểm Chứng Điều Khiển Tối Ưu Tham Số Phân Bố

Chương 4 trình bày các kết quả thực nghiệm kiểm chứng chất lượng phương pháp đã đề xuất trên mô hình hệ thống thực. Chương này giới thiệu mô hình hệ thống thí nghiệm và quá trình thí nghiệm thực. Các kết quả thí nghiệm được thực hiện với mẫu Samot và mẫu Diatomite. Các kết quả thí nghiệm cho thấy sự phù hợp giữa kết quả lý thuyết, kết quả mô phỏng và kết quả thực nghiệm.

5.1. Mô Hình Hệ Thống Thí Nghiệm Điều Khiển Nhiệt Độ

Mô hình hệ thống thí nghiệm được xây dựng để mô phỏng hệ thống thực tế. Mô hình này bao gồm lò điện trở, vật nung, cảm biến nhiệt độ, bộ điều khiển và các thiết bị đo lường khác.

5.2. Kết Quả Thí Nghiệm Với Vật Liệu Samot Và Diatomite

Kết quả thí nghiệm với mẫu Samot và Diatomite cho thấy tính hiệu quả của phương pháp điều khiển tối ưu trong việc điều khiển nhiệt độ của vật nung. Các kết quả này cũng cho thấy sự phù hợp giữa kết quả lý thuyết, kết quả mô phỏng và kết quả thực nghiệm.

VI. Kết Luận Hướng Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ưu Tương Lai

Luận án đã đưa ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phi tuyến có tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, có thể được áp dụng trong các lĩnh vực công nghiệp khác nhau. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp, nghiên cứu các phương pháp tối ưu hóa khác và phát triển các thuật toán điều khiển thích nghi.

6.1. Đóng Góp Của Luận Án Về Điều Khiển Tối Ưu

Luận án đã đóng góp vào lý thuyết điều khiển bằng cách đưa ra lời giải cho một bài toán phức tạp và có tính ứng dụng cao. Kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng làm cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực này.

6.2. Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Điều Khiển Tối Ưu

Hướng phát triển nghiên cứu có thể tập trung vào việc nghiên cứu các phương pháp điều khiển thích nghi để đối phó với các thay đổi trong hệ thống. Ngoài ra, việc nghiên cứu các phương pháp tối ưu hóa khác cũng có thể mang lại những kết quả tốt hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1 - Tổng quan các công trình nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến trong và ngoài nước. - Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến và hướng nghiên cứu của luận án. Tổng quan chung Hệ thống với tham số phân bố (Distributed Parameter Systems - DPS) là hệ đƣợc mô tả bằng tập các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, các phƣơng trình vi tích phân, các phƣơng trình vi phân có trễ hoặc bằng các quan hệ hàm phức tạp. Các hệ thống có tham số tập trung (Lumped Parameter Systems – LPS) đƣợc mô tả bởi tập các phƣơng trình vi phân thƣờng (Ordinary Differential Equations - ODEs).

Với hệ tham số tập trung, các trạng thái và điều khiển là các hàm chỉ phụ thuộc vào thời gian, trong khi đó hệ thống với tham số phân bố chúng là các hàm của thời gian và một hay nhiều biến không gian. Trong thực tế chúng ta hay gặp các đối tƣợng điều khiển mà việc mô tả chúng không thể thực hiện đƣợc bằng các phƣơng trình ODEs. Các đối tƣợng đó đƣợc mô tả bằng các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential Equations - PDEs). Các đối tƣợng đó gọi là các đối tƣợng có tham số phân bố DPS.

Trong các đối tƣợng đó, các đại lƣợng cần điều khiển và ngay cả tác động điều khiển có thể thay đổi không chỉ theo thời gian mà còn theo không gian: một chiều, hai chiều… nhiều chiều. Trạng thái của các đối tƣợng đó đƣợc mô tả không phải bằng tập hợp n toạ độ x1(t),.,qn(p), trong đó p thay đổi trong một vùng nào đó của không gian nhiều chiều. Tƣơng tự nhƣ vậy, tác động điều khiển trong các đối tƣợng đó đƣợc mô tả, nói chung bằng các hàm u1(p),.,un(p) và cũng đƣợc xác định trong một vùng không gian-thời gian nhiều chiều theo biến p. 8 Bài toán điều khiển cho các đối tƣợng dạng này thƣờng gặp trong nhiều mô hình thực tế.

Ví dụ cho các đối tƣợng này thƣờng là các quá trình truyền sóng, các quá trình truyền nhiệt, các quá trình dòng chất lỏng, sự đốt cháy trong các động cơ, các tháp chƣng cất phân đoạn, các lò phản ứng hoá học, các lò phản ứng hạt nhân, sự dao động của các cơ cấu chuyển động linh hoạt v. Khi điều khiển các đối tƣợng loại này sẽ nảy sinh bài toán xây dựng các hệ thống điều khiển tối ƣu theo một nghĩa nào đó, theo một tiêu chuẩn nào đó. Trong trƣờng hợp này, phiếm hàm đƣợc cực tiểu hoá còn phụ thuộc vào các biến không gian, vào hàm trạng thái và tác động điều khiển phân bố trong không gian. Trong giới hạn của luận án chỉ tập trung nghiên cứu hệ với tham số phân bố đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential Equations - PDEs).

Trong toán học, phƣơng trình đạo hàm riêng PDEs là một phƣơng trình liên hệ giữa hàm nhiều biến phải tìm u ( x1 , x2 ,., xn ) , các đạo hàm riêng của chúng và các biến độc lập x1 , x2 ,. Trong trƣờng hợp tổng quát, một phƣơng trình đạo hàm riêng cấp m có dạng nhƣ sau:  u u  2u  2u  mu  mu  F  x1 , x2 ,.1) Trong phƣơng trình trên có mặt ít nhất một đạo hàm riêng cấp m. Loại phƣơng trình này thƣờng có ba lớp đặc biệt là: phƣơng trình elliptic, hyperbolic và parabolic thông qua các đại diện của chúng là phƣơng trình Laplace, phƣơng trình truyền sóng và phƣơng trình truyền nhiệt. Phƣơng trình PDEs thƣờng đƣợc sử dụng để mô tả các hiện tƣợng vật lý nhƣ âm thanh, dao động, nhiệt, động lực học chất lỏng, độ đàn hồi,v.

Cụ thể, luận án này sẽ tập trung nghiên cứu hệ với tham số phân bố đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng PDEs bậc hai dạng parabolic thông qua đại diện của chúng là một phƣơng trình truyền nhiệt (phƣơng trình dẫn nhiệt Fourier). Tổng quan các công trình nghiên cứu về điều khiển tối ƣu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến trong và ngoài nƣớc. Lý thuyết về điều khiển tối ƣu cho hệ với tham số phân bố (DPS) đã đƣợc nghiên cứu từ thập niên 60 của thế kỷ trƣớc. Buttkovskii và Lerner đã đƣa ra bài báo đầu tiên trong lĩnh vực này vào năm 1960 [36], bắt đầu từ nguyên lý cực đại cho một lớp các hệ thống tham số phân bố.

Điều này đã cho ra một loạt các bài báo từ Butkovskii [32], [34], [35]. Các nghiên cứu này đã đề cập đến việc mô tả bài toán và nguyên lý cực đại cho một hệ tham số phân bố đƣợc mô tả bởi một tập các phƣơng trình tích phân phi tuyến. Tất cả sự phát triển này có thể đƣợc tìm thấy trong cuốn sách đƣợc viết bởi Buttkovskii, đƣợc dịch sang tiếng Anh và đã đƣợc xuất bản vào năm 1969 [33]. Năm 1964, Wang và Tung [84] đã tiếp tục phát triển lý thuyết này, các bài báo của hai ông đã đƣa ra sự mô tả toán học một cách rõ ràng cho hệ DPS bằng các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDEs).

Các tác giả đã thảo luận khái niệm về khả năng điều khiển và khả năng quan sát. Bên cạnh đó, họ đã đƣa ra bài toán điều khiển tối ƣu và các điều kiện tối ƣu hoá cho một lớp các hệ thống với tham số phân bố. Bài báo này cũng đã thảo luận một vài công cụ giải bằng số với các phép tính xấp xỉ rời rạc. Cùng năm đó, Sakawa [79] đã đƣa ra hai phƣơng pháp để điều khiển tối ƣu cho phƣơng trình truyền nhiệt.

Một trong hai phƣơng pháp là áp dụng phƣơng pháp biến phân, nhờ đó mà phƣơng trình tích phân Fredholm loại một đã đƣợc đƣa ra nhƣ là điều kiện cần cho điều khiển tối ƣu. Phƣơng pháp khác là đƣa bài toán về áp dụng kỹ thuật quy hoạch tuyến tính và quy hoạch phi tuyến để tổng hợp bộ điều khiển tối ƣu. Sau đó, năm 1966, Wang [85] đã nghiên cứu bài toán ổn định cho hệ DPS với các bộ điều khiển phản hồi trực tiếp trong khuôn khổ phƣơng trình PDEs, sử dụng phƣơng pháp Lyapunov mà không dùng đến các phép tính xấp xỉ. Sự phát triển này đã dẫn đến một loạt các bài báo bởi nhiều tác giả, họ đƣa ra nhiều phƣơng pháp giải cho bài toán này.

Axelband [20] đã phân tích bài toán bám của một mô hình tổng quát cho hệ DPS tuyến tính, với đầu vào điều khiển biên. Lời giải tối ƣu và một công cụ tổng hợp bộ điều khiển đƣợc đƣa ra bằng tham số sử dụng quy hoạch lồi. 10 Năm 1967, Sage và Chaudhuri [78] đƣa ra kỹ thuật tính toán gradient và kỹ thuật bán tuyến tính hoá (quasi-linearization) để tổng hợp bộ điều khiển tối ƣu, sử dụng các điều kiện cần để tối ƣu hoá đƣợc đƣa ra bởi Wang và Tung [84]. Với bài toán điều khiển cho các hệ thống tuyến tính, bài báo cũng đã đƣa ra kỹ thuật kết hợp để phát triển cho các hệ thống tham số tập trung vào cùng thời điểm chỉ xét trong miền không gian rời rạc.

Kim và Erzberger [65] đã đƣa ra phƣơng pháp hàm Hamilton – Jacobi cho bài toán truyền sóng một chiều, với hàm mục tiêu bậc hai, có điều khiển biên. Các tác giả đã đƣa ra một tập các phƣơng trình Riccati và cho ra lời giải điều khiển tối ƣu cho mạch vòng kín. Các tác giả cũng mô tả kỹ thuật giải cho các phƣơng trình Riccati dựa trên sự mô tả các hàm riêng của hàm Green, điều đó dẫn đến sự cần thiết của lời giải các phƣơng trình vi phân thƣờng. Theo ý tƣởng của Kim và Erzberger, năm 1969, Alvarado và Mukundan [18] đã giải đƣợc phƣơng trình PDEs dạng ma trận Riccati cho bài toán trong lò nung, gia nhiệt một chiều cho tấm kim loại và đã đƣa ra kỹ thuật xấp xỉ để giải phƣơng trình.

Điều này đã thừa nhận lời giải của công thức Hamilton-Jacobi bằng hai phƣơng pháp, cụ thể là phƣơng pháp ma trận Riccati và phƣơng pháp phƣơng trình Kalman. Goldwyn, Sriram và Graham [55] đã chỉ ra rằng có thể áp dụng phép biến đổi Laplace để xác định điều khiển tối ƣu thời gian cho một lớp các bài toán dạng phƣơng trình hyperbolic. Bài báo này đã giải thích sự ảnh hƣởng tự nhiên của phƣơng trình PDEs là một dạng của điều khiển tối ƣu. Phƣơng pháp tổng hợp cận tối ƣu đã đƣợc đƣa ra trong bài báo, điều này đã không dẫn đến dạng “bang-bang” của tín hiệu điều khiển.

Hassan và Solberg [57] đã nghiên cứu bài toán điều khiển tối ƣu hệ DPS tuyến tính với hàm mục tiêu bậc hai trong khoảng thời gian rời rạc. Các tác giả sử dụng chuỗi biểu thức trực giao cho loại phƣơng trình hàm Riccati và đã đƣa ra hệ thống các biểu thức hàm đệ quy bao gồm các ma trận hàm Green. Julio [62] cũng đã đƣa ra phƣơng pháp khác để tính toán bộ điều khiển tối ƣu cho hệ DPS tuyến tính, mà không cần phải giải phƣơng trình PDEs. Trong bài báo khác 11 cùng năm [61], tác giả đã giải bài toán hội tụ của lời giải xấp xỉ rời rạc tới lời giải liên tục khi khoảng thời gian rời rạc hoá tiến tới zero.

Tác giả vẫn sử dụng các công cụ đã biết [78] để giải bài toán tối ƣu, tuy nhiên đã trình bày nguyên lý cực đại và mô tả toán học hệ thống trong miền rời rạc. Một thuật toán xấp xỉ tiếp theo đƣợc đƣa ra bởi Zone và Chang năm 1972 [92] cho một lớp hệ DPS phi tuyến tổng quát với các điều kiện biên hàm phi tuyến, dựa trên sự khai triển chỉ số thực hiện bậc hai. Các điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của thuật toán chỉ ra rằng luôn thoả mãn, điều này phụ thuộc vào đặc tính động học của hệ thống. Cũng trong năm 1972, Davis và Perkins [45] đã đề xuất một phƣơng pháp thiết kế bộ điều khiển tối ƣu cho một lớp hệ DPS với bộ điều khiển tách kênh.

Điều khiển tách kênh có hàm cố định phụ thuộc vào các biến không gian và hàm tự do phụ thuộc vào biến thời gian. Các tác giả đã đƣa ra các điều kiện tối ƣu cho hệ thống này nhƣ là một trƣờng đặc biệt từ các kết quả của Wang và Tung [84]. Bài toán quan sát và vị trí cảm biến tối ƣu cho hệ DPS tuyến tính đã đƣợc nghiên cứu bởi Yu và Seinfeld năm 1973 [91]. Năm 1974 và 1975, Curtain và Pritchard [42], [43] đã phát triển toán tử Riccati theo lý thuyết toán tử vô hạn chiều.