Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan" được NCS. Nguyễn Ngọc Huề thực hiện tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Đinh Thanh Đức và TS. Lê Quang Thuận, thuộc chuyên ngành Toán Giải tích (mã số: 9 46 01 02), bảo vệ năm 2020.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard, bất đẳng thức Fejér và bất đẳng thức Jensen là các kết quả nền tảng trong giải tích toán học, lý thuyết tối ưu và lý thuyết thông tin. Các bất đẳng thức này cung cấp các đánh giá chặn trên và chặn dưới đối với giá trị trung bình tích phân của hàm lồi trên một đoạn xác định. Nhằm mở rộng phạm vi ứng dụng, nhiều hướng nghiên cứu đã thay thế trung bình số học thông thường bằng các cặp trung bình suy rộng để định nghĩa các lớp hàm lồi mới.

Tuy nhiên, tác giả luận án chỉ ra rằng các công trình trước đây tồn tại những khoảng trống nghiên cứu rõ rệt:

  1. Các nghiên cứu về bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Fejér thường chỉ xét riêng lẻ từng kiểu tính lồi cụ thể (như hàm $r$-lồi, hàm log-lồi, hàm lồi điều hòa, hàm $p$-lồi) hoặc khảo sát các tích phân bậc không nguyên một cách rời rạc, chưa thiết lập được một khuôn khổ lý thuyết bao quát nhiều lớp hàm lồi đã biết.
  2. Lớp hàm $MN$-lồi do Anderson và cộng sự (2007) hay hàm $r$-lồi do Gill, Pearce và Pečarić (1997) nghiên cứu bị giới hạn trên tập số thực dương, không bao phủ trọn vẹn lớp hàm lồi thông thường trên toàn trục thực.
  3. Trong bất đẳng thức Jensen, khi hàm không phải là hàm affine thì bất đẳng thức là nghiêm ngặt; bài toán xác định hằng số tối ưu $c$ nhằm thu hẹp khoảng cách giữa hai vế vẫn cần lời giải tổng quát cho các lớp hàm lồi thỏa mãn điều kiện khai triển giải tích.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định 4 mục tiêu nghiên cứu cụ thể tương ứng với cấu trúc 4 chương:

  1. Mục tiêu 1: Xây dựng và khảo sát các bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér cho lớp hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học $(M_\phi, M_\psi)$-lồi; thiết lập phương pháp đánh giá cho tích phân bậc không nguyên và áp dụng vào hàm Gamma cùng các trung bình đặc biệt.
  2. Mục tiêu 2: Thiết lập bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân, dạng rời rạc và dạng dãy mới dựa trên các hệ số của đa thức Bernstein; áp dụng làm mạnh định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya và mở rộng bất đẳng thức Andersson.
  3. Mục tiêu 3: Thiết lập các bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi trong không gian đo có độ đo hữu hạn; áp dụng thiết lập bất đẳng thức kiểu Jensen và Hermite-Hadamard đối với các toán tử tích phân bậc không nguyên.
  4. Mục tiêu 4: Xây dựng khái niệm trung bình có trọng kiểu Hölder và lớp hàm lồi suy rộng kiểu Hölder trên toàn bộ tập số thực; thiết lập các đặc trưng giải tích cùng các bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu, Rado và áp dụng vào chuỗi lũy thừa, trung bình lũy thừa và hàm Gamma.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các cấu trúc hàm lồi suy rộng (hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi, hàm lồi suy rộng kiểu Hölder), các toán tử tích phân cổ điển và tích phân bậc không nguyên (Riemann-Liouville, toán tử có hạch lũy thừa logarit), các phiếm hàm và bất đẳng thức giải tích (Hermite-Hadamard, Fejér, Jensen, Chebyshev, Ostrowski, Popoviciu, Rado, Andersson, định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya).
  • Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát trong phạm vi giải tích toán học lý thuyết; không gian Euclide $\mathbb{R}^n$, các khoảng mở $I, J \subset \mathbb{R}$, không gian đo $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ với độ đo $\mu$ hữu hạn, và không gian hàm $X_c^p(a, b)$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được luận án điểm lại

Luận án hệ thống hóa các mốc phát triển chính của lý thuyết hàm lồi và bất đẳng thức tích phân:

  • Nền tảng cổ điển: Bất đẳng thức Hermite (1883) [41] và Hadamard (1893) [37] cho giá trị trung bình tích phân của hàm lồi; bất đẳng thức Fejér (1906) [32] có trọng đối xứng; định nghĩa giải tích về hàm lồi của Jensen (1906) [53] và bất đẳng thức Jensen dạng rời rạc, dạng tích phân; các chuyên khảo tổng hợp của Pečarić, Proschan và Tong (1992) [75], Dragomir và Pearce (2000) [25], Niculescu và Persson (2006) [71].
  • Mở rộng các lớp hàm lồi vô hướng và toán tử: Aumann (1933) [11] giới thiệu tính lồi theo cặp tựa trung bình số học $(M_\phi, M_\psi)$; nguyên lý tương ứng Aczél [28]; hàm $h$-lồi của Toader (1984) [89]; hàm $s$-lồi của Hudzik và Maligranda (1994) [47]; hàm $r$-lồi của Gill, Pearce và Pečarić (1997) [34] cùng Varošanec (2007) [97]; hàm Godunova-Levin (1985) [35]; $P$-hàm của Dragomir và cộng sự (1995) [26]; tính lồi toán tử của Bhatia (2007) [10], Hansen và Pedersen [42, 43]; tính $MN$-lồi của Anderson và cộng sự (2007) [8] trên các khoảng dương.
  • Nghiên cứu bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Fejér: Các công trình làm mịn và mở rộng của Brenner và Alzer [12], Dragomir [19], Dragomir, Milošević và Sándor [28], Dragomir và Mond [24], Hammer [38], Lupaş [64], Tseng, Hwang và Dragomir [87, 88], Vasić và Lacković [90, 91], Yang và Hong [95], Yang và Tseng [96], Hwang, Tseng và Yang [48], Chen và Wu [16], İşcan [49, 51], Kunt và İşcan [60], Noor, Noor và Awan [72].
  • Tích phân bậc không nguyên: Các kết quả áp dụng tính lồi vào tích phân Riemann-Liouville và tích phân có hạch mở rộng của Ahmad và cộng sự [3], Budak [13], Chen và Katugampola [15, 83], İşcan [50], İşcan và Wu [52], Jleli, O'Regan và Samet [55], Jleli và Samet [56], Peng, Wei và Wang [76], Sarikaya và cộng sự [82].
  • Bất đẳng thức Jensen, Andersson và định lý trội: Bất đẳng thức tích phân Andersson (1958) [9]; mở rộng của Mercer (2005) [68] cho số mũ thực; định lý đơn điệu của tổng Riemann của Jichang (1999) [54]; xấp xỉ liên tục bằng đa thức Bernstein [63].

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án tập trung giải quyết 3 vấn đề học thuật chính:

  1. Xây dựng lý thuyết hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi và hàm lồi suy rộng kiểu Hölder để bao quát các lớp hàm lồi riêng lẻ trước đó, khắc phục rào cản miền xác định bị giới hạn trên tập số dương.
  2. Xây dựng chuỗi bất đẳng thức nội suy đơn điệu kiểu Fejér đối với các toán tử tích phân có hạch tổng quát $K(u, v) = k(|u-v|)$, cung cấp lược đồ tổng quát hóa cho tích phân bậc không nguyên.
  3. Sử dụng hệ số của đa thức Bernstein kết hợp dưới vi phân để thiết lập chặn hằng số tối ưu cho bất đẳng thức kiểu Jensen, từ đó làm mạnh định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya và mở rộng bất đẳng thức Andersson.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án vận dụng các khái niệm và công cụ giải tích toán học chuẩn xác:

  • Tựa trung bình số học (Quasi-arithmetic mean): Với $\phi : I \to \mathbb{R}$ đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục, tựa trung bình có trọng $\alpha \in [0, 1]$ được định nghĩa là: $$M_\phi(a, b; \alpha) = \phi^{-1}(\alpha\phi(a) + (1-\alpha)\phi(b))$$
  • Hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi: Hàm $f : I \to J$ thỏa mãn $f(M_\phi(a, b; \alpha)) \le M_\psi(f(a), f(b); \alpha)$ với mọi $a, b \in I, \alpha \in [0, 1]$.
  • Nguyên lý tương ứng Aczél: Chuyển tính $(M_\phi, M_\psi)$-lồi của hàm $f$ về tính lồi (nếu $\psi$ tăng) hoặc tính lõm (nếu $\psi$ giảm) thông thường của hàm hợp $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ trên khoảng $\phi(I)$.
  • Đa thức Bernstein và sai phân cấp $k$: Đa thức Bernstein bậc $n$ của hàm $f$ trên $[0, b]$ có dạng: $$B_n^f(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{\Delta^k f(0)}{n^k} x^k = \sum_{k=0}^n c_{nk}^f x^k$$
  • Dưới vi phân (Subdifferential): Tập $\partial f(a)$ các hàm $\phi$ thỏa mãn bất đẳng thức gradient $f(x) - f(a) \ge (x-a)\phi(a)$.
  • Toán tử tích phân bậc không nguyên: Toán tử tích phân tổng quát với hạch $K$: $$K_{a+}^\phif = \int_a^x K(\phi(x), \phi(y)) f(y) d\phi(y)$$ Toán tử tích phân Riemann-Liouville $I_{a+}^{\nu, \phi}f$ và toán tử có hạch lũy thừa logarit $I_{a+}^{\nu, \mu}f$.
  • Các công thức giải tích cổ điển: Công thức Raabe cho tích phân hàm Gamma $\int_a^{a+1} \ln\Gamma(x)dx = \ln\sqrt{2\pi} + a\ln a - a$, công thức tiệm cận Stirling $\Gamma(a+1) \approx \sqrt{2\pi a}(a/e)^a$, bất đẳng thức Chebyshev cho dãy/hàm đơn điệu.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng thuần túy phương pháp giải tích toán học định lượng:

  • Phương pháp hàm phụ trợ đơn điệu: Xây dựng các hàm tham số $F(t), G(t), I_1(s), I_2(s), \beta_1(s), \beta_2(s)$ trên đoạn $[0, 1]$ để thiết lập các chuỗi bất đẳng thức nội suy liên tục.
  • Phương pháp xấp xỉ Bernstein: Sử dụng tính chất hội tụ đều của dãy đa thức Bernstein và xử lý dấu của các hệ số $c_{nk}^\Phi$ để tìm cận chặn trong bất đẳng thức Jensen.
  • Kỹ thuật dưới vi phân và định lý giá trị trung bình thứ hai cho tích phân: Đánh giá dấu của các phiếm hàm tích phân và định vị điểm triệt tiêu $\xi \in [0, 1]$.
  • Phương pháp toán tử tích phân trên không gian đo: Khảo sát phiếm hàm tích phân trên không gian đo hữu hạn $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$.

Nguồn tư liệu nghiên cứu

Luận án được thực hiện dựa trên 5 công trình khoa học đã công bố của tác giả cùng tập thể hướng dẫn và cộng sự trong danh mục công trình liên quan [27–29, 44, 45], kết hợp hệ thống 110 tài liệu tham khảo chuyên khảo và bài báo quốc tế trong lĩnh vực giải tích bất đẳng thức.

Nội dung chính theo từng chương

Chương Tên chương Trọng tâm nội dung và công cụ chính
Chương 1 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học và áp dụng Hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi, chuỗi nội suy Fejér, 7 đặc trưng tương đương, tích phân bậc không nguyên, hàm Gamma, bất đẳng thức Young.
Chương 2 Bất đẳng thức kiểu Jensen và áp dụng Khai triển đa thức Bernstein, hệ số $c_{nk}^\Phi$, dưới vi phân, làm mạnh định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya, bất đẳng thức Andersson.
Chương 3 Một số bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi trên không gian đo được và áp dụng Không gian đo hữu hạn $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$, bất đẳng thức Ostrowski/hình thang, tích phân Riemann-Liouville trên không gian đo.
Chương 4 Hàm lồi suy rộng kiểu Hölder và áp dụng Trung bình Hölder trên $\mathbb{R}$, tính lồi Hölder dương, bất đẳng thức Jensen, Popoviciu, Rado, chuỗi lũy thừa, trung bình lũy thừa.

Chương 1. Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học và áp dụng

Chương này nghiên cứu cấu trúc của lớp hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi và thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér tổng quát:

  1. Khái quát các lớp hàm lồi riêng lẻ: Luận án chỉ ra rằng các lớp hàm lồi đã biết đều là trường hợp riêng của hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi thông qua việc chọn các hàm $\phi$ và $\psi$ thích hợp:

    • Hàm log-lồi: $\phi(x) = x, \psi(x) = \ln x$.
    • Hàm $r$-lồi: $\phi(x) = x$, $\psi(x) = e^{rx}$ (khi $r \ne 0$) hoặc $\psi(x) = \ln x$ (khi $r = 0$).
    • Hàm lồi điều hòa: $\phi(x) = 1/x, \psi(x) = x$.
    • Hàm log-lồi điều hòa: $\phi(x) = 1/x, \psi(x) = \ln x$.
    • Hàm $r$-lồi điều hòa: $\phi(x) = 1/x$, $\psi(x) = x^r$ (khi $r \ne 0$) hoặc $\psi(x) = \ln x$ (khi $r = 0$).
    • Hàm lồi nhân: $\phi(x) = \ln x, \psi(x) = \ln x$.

  2. Chuỗi bất đẳng thức nội suy kiểu Fejér (Định lý 1.1): Với các hàm trọng $w_1, w_2$ thỏa mãn điều kiện tích phân dương và các hàm phụ trợ $L(t), R(t)$, luận án thiết lập chuỗi bất đẳng thức đơn điệu đối với các hàm $F, G, I_1, I_2, \beta_1, \beta_2$: $$f(M_\phi(a, b; \alpha)) \le F(\beta_1(s)) \le I_1(s) \le G(\beta_1(s)) \le F(s) \le G(s) \le F(\beta_2(s)) \le I_2(s) \le G(\beta_2(s)) \le M_\psi(f(a), f(b); \alpha)$$

  3. Bảy đặc trưng tương đương (Hệ quả 1.5): Đối với hàm liên tục $f: I \to J$, tính $(M_\phi, M_\psi)$-lồi tương đương với tính tăng của các hàm $F, G, I_1, I_2$ và tương đương với việc thỏa mãn các bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard: $$\begin{aligned} f(M_\phi(a, b)) &\le \psi^{-1}\left( \frac{1}{\phi(b)-\phi(a)} \int_a^b \psi(f(x)) d\phi(x) \right) \ \psi^{-1}\left( \frac{1}{\phi(b)-\phi(a)} \int_a^b \psi(f(x)) d\phi(x) \right) &\le M_\psi(f(a), f(b)) \end{aligned}$$

  4. Bất đẳng thức có trọng đối xứng suy rộng (Hệ quả 1.7): Mở rộng và làm mịn các kết quả của Hammer [38], Brenner và Alzer [12], Dragomir và cộng sự [19, 28], Lupaş [64], Tseng và cộng sự [87, 88], Vasić và Lacković [90, 91], Yang và Tseng [95, 96].

  5. Áp dụng vào tích phân bậc không nguyên: Xét hạch $K(u, v) = k(|u-v|)$, luận án thiết lập bất đẳng thức Fejér cho toán tử tích phân có hạch lũy thừa logarit với tham số $\nu > 0, \mu \ge 0, \delta > b-a$: $$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{2}\left[ f\left(\frac{1+\Gamma}{2}a + \frac{1-\Gamma}{2}b\right) + f\left(\frac{1-\Gamma}{2}a + \frac{1+\Gamma}{2}b\right) \right] \le \frac{I_{a+}^{\nu,\mu}[fh]\left(\frac{a+b}{2}\right) + I_{b-}^{\nu,\mu}[fh]\left(\frac{a+b}{2}\right)}{I_{a+}^{\nu,\mu}[h]\left(\frac{a+b}{2}\right) + I_{b-}^{\nu,\mu}[h]\left(\frac{a+b}{2}\right)} \le \frac{f(a)+f(b)}{2}$$ trong đó $\Gamma$ được xác định thông qua hàm Gamma không đầy đủ $\Gamma(\mu+1, x) = \int_x^\infty y^\mu e^{-y}dy$. Khi $\mu = 0$, kết quả quy về bất đẳng thức cho tích phân Riemann-Liouville.

  6. Áp dụng vào hàm Gamma và các trung bình đặc biệt:

    • Kết hợp công thức Raabe, luận án thu được các ước lượng chặn dưới và chặn trên cho tỷ số $\frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}}$: $$\sqrt{\frac{a}{a+1/2}} \le \sqrt{2\pi a}\left(\frac{a}{e}\right)^a \frac{1}{\Gamma(a+1)} \le \frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}} \le 1 \le \sqrt[4]{1+\frac{1}{2a}} \frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}}$$ kéo theo giới hạn $\lim_{a \to \infty} \frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}} = 1$ và công thức tiệm cận Stirling $\Gamma(a+1) \approx \sqrt{2\pi a}(a/e)^a$.
    • Thiết lập chuỗi làm mịn cho bất đẳng thức Young $G_\alpha(a, b) \le A_\alpha(a, b)$ và bất đẳng thức giữa trung bình điều hòa và trung bình hình học $H_\alpha(a, b) \le G_\alpha(a, b)$.

Chương 2. Bất đẳng thức kiểu Jensen và áp dụng

Chương 2 tập trung giải quyết bài toán tìm cận chặn và hằng số tối ưu cho bất đẳng thức Jensen:

  1. Tổng quát hóa bất đẳng thức Andersson và Mercer: Bất đẳng thức Andersson (1958) [9] khẳng định rằng với các hàm lồi tăng $f_i$ trên $[0, 1]$ thỏa mãn $f_i(0)=0$: $$\int_0^1 \prod_{i=1}^n f_i(x) dx \ge \frac{2^n}{n+1} \prod_{i=1}^n \int_0^1 f_i(x) dx$$ Mercer (2005) [68] mở rộng kết quả này cho hàm lồi $\Phi$ với số mũ $\alpha \in (-1, 0] \cup [1, \infty)$ với hệ số $\frac{2^\alpha}{\alpha+1}$.

  2. Định lý kiểu Jensen với hệ số đa thức Bernstein: Cho $\Phi: [0, b] \to \mathbb{R}$ là hàm lồi liên tục có khai triển đa thức Bernstein $B_n^\Phi(x) = \sum_{k=0}^n c_{nk}^\Phi x^k$. Giả sử các hệ số thỏa mãn điều kiện tổng từng phần: $$0 \le \sum_{k=0}^j c_{nk}^\Phi \le \sum_{k=0}^n c_{nk}^\Phi, \quad \forall j = 0, \dots, n-1$$ Khi đó, với hàm trọng $w \ge 0, \int_0^1 w(x)g(x)dx = 1$ và $c = \int_0^1 w(x)f(x)dx$:

    • Nếu $f/g$ tăng trên $(0, 1)$ và $c \ge 1$: $$\int_0^1 w(x)\Phi(f(x))dx \ge \frac{\int_0^1 w(x)\Phi(g(x))dx}{\Phi(1)} \Phi\left( \int_0^1 w(x)f(x)dx \right)$$
    • Nếu $f/g$ giảm trên $(0, 1)$ và $c \le 1$: Bất đẳng thức đổi chiều.

  3. Phương pháp chứng minh: Sử dụng hàm phụ trợ $f^(x) = g(x)\int_0^1 w(t)f(t)dt$ và $F(x) = \int_0^x w(t)[f(t)-f^(t)]dt$. Đạo hàm $F'(x)$ chỉ đổi dấu đúng một lần trên $(0, 1)$, kết hợp với bất đẳng thức gradient cho dưới vi phân $\partial\Phi$ và định lý giá trị trung bình thứ hai cho tích phân để triệt tiêu số hạng dư tại điểm $\xi \in [0, 1]$.

  4. Áp dụng: Làm mạnh định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya đối với các dãy và hàm khả tích; thiết lập bất đẳng thức Jensen dạng dãy và dạng tích phân cho các hàm thỏa mãn điều kiện đơn điệu của tổng Riemann theo tiếp cận của Jichang (1999) [54].

Chương 3. Một số bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi trên không gian đo được và áp dụng

  1. Bất đẳng thức trên không gian đo tổng quát: Luận án mở rộng các đánh giá Hermite-Hadamard và Fejér cho các hàm lồi xác định trên không gian đo $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ với độ đo $\mu(\Omega) < \infty$.
  2. Đánh giá hiệu số và bất đẳng thức kiểu Ostrowski, hình thang: Thiết lập các chặn giải tích cho hiệu số giữa giá trị hàm tại điểm trung bình và tích phân đo được, từ đó xây dựng các phiếm hàm nội suy tổng quát.
  3. Áp dụng vào tích phân bậc không nguyên trên không gian đo:
    • Thiết lập bất đẳng thức kiểu Jensen đối với tích phân bậc không nguyên của hàm hợp.
    • Thiết lập bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard đối với các toán tử tích phân bậc không nguyên trên không gian đo.

Chương 4. Hàm lồi suy rộng kiểu Hölder và áp dụng

  1. Trung bình có trọng kiểu Hölder trên $\mathbb{R}$: Định nghĩa họ trung bình Hölder có trọng cho các số thực tùy ý (không giới hạn trên số thực dương) thông qua biểu thức $M_n(r, x, w) = -\left( \frac{w_1}{W_n}(-x_1)^r + \dots + \frac{w_n}{W_n}(-x_n)^r \right)^{1/r}$ và các dạng giới hạn khi $r \to 0$.
  2. Hàm lồi suy rộng kiểu Hölder: Xây dựng định nghĩa hàm $f$ thỏa mãn bất đẳng thức $f(M_1(x, y)) \le M_2(f(x), f(y))$ với $M_1, M_2$ là các trung bình kiểu Hölder.
  3. Đặc trưng giải tích của hàm lồi Hölder dương: Thiết lập các điều kiện cần và đủ về tính khả vi, tính đơn điệu của đạo hàm và tỷ sai phân đối với hàm lồi Hölder dương.
  4. Hệ thống bất đẳng thức giải tích:
    • Thiết lập bất đẳng thức kiểu Jensen cho hàm lồi suy rộng kiểu Hölder.
    • Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Popoviciu và Rado tương ứng, mở rộng các đánh giá cổ điển cho cấu trúc trung bình Hölder.
  5. Các áp dụng:
    • Chứng minh tính lồi Hölder của hàm Gamma $\Gamma(x)$ trên các khoảng thực xác định.
    • Áp dụng đánh giá sự hội tụ và cận chặn của chuỗi lũy thừa.
    • Áp dụng thiết lập các bất đẳng thức đối với trung bình lũy thừa bậc thực tổng quát.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các đóng góp học thuật mới về mặt lý luận giải tích và thực tiễn tính toán:

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Hệ thống hóa cấu trúc hàm lồi: Xây dựng thành công lý thuyết cho hai lớp hàm lồi tổng quát: hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi và hàm lồi suy rộng kiểu Hölder. Hai lớp hàm này bao quát và hợp nhất nhiều lớp hàm lồi riêng lẻ trước đó (như hàm lồi thông thường, log-lồi, $r$-lồi, lồi điều hòa, log-lồi điều hòa, $r$-lồi điều hòa, lồi nhân, $MN$-lồi).
  2. Xác lập hệ thống đặc trưng tương đương: Chứng minh 7 khẳng định tương đương đặc trưng cho tính $(M_\phi, M_\psi)$-lồi của hàm liên tục thông qua tính đơn điệu của các chuỗi hàm phụ trợ và bất đẳng thức Hermite-Hadamard.
  3. Mở rộng bất đẳng thức kiểu Fejér cho tích phân bậc không nguyên: Đề xuất điều kiện đối xứng suy rộng (1.16) cho hàm trọng, từ đó thiết lập công thức tổng quát cho các toán tử tích phân có hạch đối xứng $K(u, v) = k(|u-v|)$, bao hàm tích phân Riemann-Liouville và toán tử có hạch lũy thừa logarit.
  4. Thiết lập hằng số chặn trong bất đẳng thức Jensen: Tìm ra điều kiện phụ thuộc vào tổng từng phần của hệ số đa thức Bernstein $\sum_{k=0}^j c_{nk}^\Phi \le \sum_{k=0}^n c_{nk}^\Phi$ để xác lập bất đẳng thức Jensen có trọng với cận tỉ số tối ưu, mở rộng trực tiếp kết quả của Andersson (1958) và Mercer (2005).
  5. Thiết lập hệ bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu và Rado cho hàm lồi Hölder: Mở rộng thành công các bất đẳng thức kinh điển từ cấu trúc trung bình số học sang cấu trúc trung bình Hölder trên toàn trục thực.

Đóng góp về mặt thực tiễn giải tích

  • Cung cấp các chuỗi làm mịn giải tích cho các bất đẳng thức số học cơ bản (bất đẳng thức Young, bất đẳng thức giữa trung bình điều hòa và trung bình hình học).
  • Cung cấp các công thức ước lượng hai phía độ chính xác cao cho hàm Gamma $\Gamma(x)$ và dẫn ra chứng minh giải tích cho công thức tiệm cận Stirling $\Gamma(a+1) \approx \sqrt{2\pi a}(a/e)^a$.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án

  • Các khảo sát về hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi và hàm lồi Hölder trong luận án chủ yếu dừng lại ở các hàm vô hướng xác định trên khoảng một chiều của $\mathbb{R}$ hoặc không gian đo có độ đo hữu hạn $\mu(\Omega) < \infty$, chưa mở rộng sang hàm đa biến trên không gian Banach tổng quát hoặc không gian có độ đo vô hạn.
  • Các trường hợp hàm thỏa mãn điều kiện trơn bổ sung (hàm Lipschitz, hàm có đạo hàm cấp một $f'$ hoặc đạo hàm cấp hai $f''$ bị chặn) mới chỉ được luận án nêu ra dưới dạng nhận xét định hướng mà chưa xây dựng thành các mục định lý chuyên sâu.

Hướng nghiên cứu tiếp

Văn bản luận án đề xuất các hướng phát triển tiếp theo:

  1. Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér cho các lớp hàm khả vi có đạo hàm cấp một $f'$ hoặc đạo hàm cấp hai $f''$ bị chặn, hoặc hàm thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz.
  2. Mở rộng khái niệm hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi và hàm lồi Hölder cho các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert.
  3. Khảo sát sâu hơn các ứng dụng của lớp hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi đối với các lớp hàm đặc biệt khác trong giải tích thực và giải tích phức.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực Toán Giải tích:

  • Đối với nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Giải tích toán học, Toán Tối ưu:
    • Tham khảo kỹ thuật xây dựng chuỗi nội suy đơn điệu để làm mịn bất đẳng thức Hermite-Hadamard và Fejér (Chương 1).
    • Tham khảo phương pháp sử dụng đa thức Bernstein kết hợp dưới vi phân $\partial\Phi$ và định lý giá trị trung bình thứ hai để giải quyết bài toán tối ưu hằng số trong bất đẳng thức Jensen (Chương 2).
    • Tham khảo cách tiếp cận hàm lồi trên không gian đo và phương pháp thiết lập bất đẳng thức cho toán tử tích phân bậc không nguyên (Chương 3).
    • Tham khảo kỹ thuật mở rộng trung bình Hölder trên tập số thực $\mathbb{R}$ và chứng minh các bất đẳng thức Popoviciu, Rado (Chương 4).
  • Đối với các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Xác suất - Thống kê và Lý thuyết thông tin:
    • Cung cấp công cụ ước lượng kỳ vọng, làm mạnh định lý trội Hardy-Littlewood-Pólya và các đánh giá chặn giải tích đối với hàm Gamma và các trung bình lũy thừa.

Câu hỏi thường gặp

1. Hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi được định nghĩa như thế nào và bao quát những lớp hàm lồi nào?

Hàm $f : I \to J$ được gọi là $(M_\phi, M_\psi)$-lồi nếu thỏa mãn $f(M_\phi(a, b; \alpha)) \le M_\psi(f(a), f(b); \alpha)$ với mọi $a, b \in I, \alpha \in [0, 1]$, trong đó $M_\phi, M_\psi$ là các tựa trung bình số học sinh bởi các hàm đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục $\phi, \psi$. Khi chọn các cặp $(\phi, \psi)$ cụ thể, lớp hàm này bao quát các lớp hàm: lồi thông thường ($\phi(x)=x, \psi(x)=x$), log-lồi ($\phi(x)=x, \psi(x)=\ln x$), $r$-lồi ($\phi(x)=x, \psi(x)=e^{rx}$ hoặc $\ln x$), lồi điều hòa ($\phi(x)=1/x, \psi(x)=x$), log-lồi điều hòa, $r$-lồi điều hòa và lồi nhân ($\phi(x)=\ln x, \psi(x)=\ln x$).

2. Nguyên lý tương ứng Aczél có vai trò gì trong luận án?

Nguyên lý tương ứng Aczél khẳng định: nếu $\psi$ tăng thì $f$ là $(M_\phi, M_\psi)$-lồi khi và chỉ khi hàm hợp $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ là hàm lồi thông thường trên khoảng $\phi(I)$; nếu $\psi$ giảm thì $\psi \circ f \circ \phi^{-1}$ là hàm lõm. Công cụ này cho phép quy các bài toán phức tạp trên lớp hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi về việc khảo sát tính lồi kinh điển của hàm một biến.

3. Điều kiện đối với đa thức Bernstein trong Chương 2 để bất đẳng thức Jensen mở rộng đúng là gì?

Hàm lồi liên tục $\Phi : [0, b] \to \mathbb{R}$ phải có các hệ số $c_{nk}^\Phi$ trong khai triển đa thức Bernstein $B_n^\Phi(x) = \sum_{k=0}^n c_{nk}^\Phi x^k$ thỏa mãn điều kiện tổng từng phần: $$0 \le \sum_{k=0}^j c_{nk}^\Phi \le \sum_{k=0}^n c_{nk}^\Phi, \quad \forall j = 0, 1, \dots, n-1$$ Khi đó, kết hợp với tính đơn điệu của tỷ số $f/g$ và giá trị của $c = \int_0^1 w(x)f(x)dx$, bất đẳng thức Jensen mở rộng sẽ được xác lập với tỷ số chặn chuẩn xác.

4. Luận án áp dụng kết quả Chương 1 vào hàm Gamma và công thức Stirling như thế nào?

Bằng cách chọn $f(x) = \Gamma(x), \phi(x) = x, \psi(x) = \ln x, b = a+1, \alpha = 1/2$ trong Định lý 1.1 và kết hợp công thức tích phân Raabe $\int_a^{a+1} \ln\Gamma(x)dx = \ln\sqrt{2\pi} + a\ln a - a$, luận án thiết lập bất đẳng thức kép: $$\sqrt{\frac{a}{a+1/2}} \le \sqrt{2\pi a}\left(\frac{a}{e}\right)^a \frac{1}{\Gamma(a+1)} \le \frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}} \le 1 \le \sqrt[4]{1+\frac{1}{2a}} \frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}}$$ Từ đó suy ra $\lim_{a \to \infty} \frac{\Gamma(a+1/2)}{\Gamma(a)a^{1/2}} = 1$ và dẫn xuất công thức tiệm cận Stirling $\Gamma(a+1) \approx \sqrt{2\pi a}(a/e)^a$ khi $a \to \infty$.

5. Khái niệm hàm lồi suy rộng kiểu Hölder ở Chương 4 giải quyết hạn chế gì của các nghiên cứu trước?

Các nghiên cứu trước đây về hàm $MN$-lồi (Anderson và cộng sự, 2007) hay hàm $r$-lồi chỉ xét trên tập các số thực dương. Chương 4 của luận án xây dựng trung bình có trọng kiểu Hölder trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$, từ đó định nghĩa lớp hàm lồi suy rộng kiểu Hölder không bị giới hạn về dấu của biến số, đồng thời thiết lập trọn vẹn các bất đẳng thức Jensen, Popoviciu và Rado cho lớp hàm này.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Nguyễn Ngọc Huề đã nghiên cứu có hệ thống lý thuyết về các lớp hàm lồi suy rộng, trọng tâm là hàm $(M_\phi, M_\psi)$-lồi và hàm lồi suy rộng kiểu Hölder, cùng các bất đẳng thức tích phân liên quan. Công trình đã thiết lập chuỗi bất đẳng thức nội suy Fejér đơn điệu kèm 7 đặc trưng tương đương, mở rộng bất đẳng thức Jensen thông qua điều kiện hệ số đa thức Bernstein, và áp dụng thành công vào tích phân bậc không nguyên, không gian đo hữu hạn, hàm Gamma cùng các trung bình giải tích đặc biệt. Các kết quả của luận án là những đóng góp lý thuyết thuần túy, làm mịn và tổng quát hóa nhiều định lý kinh điển trong chuyên ngành Toán Giải tích.