Luận văn thạc sĩ hcmute ứng dụng phương pháp proper generaieid decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

Luận văn thạc sĩ toán học nghiên cứu hcmute ứng dụng phương pháp proper generaieid decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài, khảo sát thực trạng, phân tích nguyên

• Tác giả: Nguyễn Thị Quỳnh Trâm
• Người hướng dẫn: TS. Phan Đức Huynh
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Công Nghệ Chế Tạo Máy
• Đề tài: Ứng Dụng Phương Pháp Proper Generalized Decomposition Và Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Cho Bài Toán Lưu Chất
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• CẢM TẠ
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Tổng quan về hướng nghiên cứu
• 1.2. Mục đích nghiên cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu
• 1.3. Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài
• 1.4. Phương pháp nghiên cứu
• 2. CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
• 2.1. Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD)
• 2.1.1. Định nghĩa
• 2.1.2. Tiến trình các bước giải
• 3. CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PGD VÀ FEM CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT
• 3.1. Giới thiệu phương trình Navier-Stokes
• 3.2. Giải phương trình Poisson bằng phương pháp PGD-FEM
• 3.2.1. Trường hợp điều kiện biên Dirichlet đồng nhất
• 3.2.1.1. Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM
• 3.2.1.2. Sơ đồ giải thuật tổng quát
• 3.2.1.3. Kết quả - nhận xét
• 3.2.2. Trường hợp điều kiện biên hỗn hợp
• 3.2.2.1. Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM
• 3.2.2.2. Kết quả - nhận xét
• 3.3. Phương trình Navier-Stokes không nén phụ thuộc vào thời gian
• 3.3.1. Mô hình bài toán
• 3.3.2. Điều kiện biên của bài toán
• 3.3.3. Tiến trình các bước giải bằng phương pháp FEM
• 3.3.4. Sơ đồ giải thuật tổng quát
• 3.3.5. Kết quả - nhận xét
• KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng phương pháp phân rã và phần tử hữu hạn trong bài toán lưu chất tại HCMUTE đã chỉ ra rằng, mặc dù có nhiều tiến bộ trong công nghệ máy tính, việc giải quyết các bài toán phức tạp vẫn gặp nhiều khó khăn. Đặc biệt, các bài toán có số chiều không gian lớn thường dẫn đến độ phức tạp tính toán tăng theo hàm mũ. Để khắc phục vấn đề này, phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) đã được phát triển nhằm giảm bớt độ phức tạp tính toán. PGD cho phép tách biến và giảm bậc mô hình, từ đó giúp cải thiện hiệu suất tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác. Sự kết hợp giữa PGD và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán lưu chất, đặc biệt là trong lĩnh vực công nghệ chế tạo máy.

1.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu này là tìm hiểu và ứng dụng phương pháp PGD-FEM để giải quyết bài toán lưu chất trong điều kiện biên khác nhau. Nghiên cứu sẽ tập trung vào việc giải phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén, từ đó tìm ra quy luật ứng xử của dòng chảy thông qua trường vận tốc và áp suất. Việc áp dụng PGD-FEM hứa hẹn sẽ mang lại hiệu quả cao hơn về mặt thời gian xử lý so với các phương pháp truyền thống.

1.2. Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu sẽ giới hạn trong việc giải quyết phương trình Poisson áp suất 2D cho bài toán Navier-Stokes trong không gian 2D. Nghiên cứu sẽ khảo sát các điều kiện biên khác nhau, bao gồm điều kiện Dirichlet đồng nhất và điều kiện biên hỗn hợp. Đồng thời, tác giả cũng sẽ trình bày lại phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam, tạo cơ sở cho việc mở rộng nghiên cứu trong tương lai.

II. Cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu đã chỉ ra rằng phương pháp PGD là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán lưu chất phức tạp. PGD cho phép tách biến và giảm bậc mô hình, giúp giảm thiểu độ phức tạp tính toán. Phương pháp này đã được áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực, từ cơ lượng tử đến động học của lưu chất. Việc kết hợp PGD với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) tạo ra một phương pháp mới, gọi là PGD-FEM, giúp cải thiện đáng kể thời gian tính toán và độ chính xác. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng PGD-FEM có thể giải quyết các bài toán lưu chất với độ phức tạp cao mà không gặp phải những hạn chế của các phương pháp truyền thống.

2.1. Phương pháp Proper Generalized Decomposition PGD

PGD là một phương pháp giải lặp, cho phép tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán PDE (Partial Differential Equations) thông qua việc tách biến. Phương pháp này giúp giảm số bậc tự do cần tìm, từ đó giảm thiểu thời gian tính toán. PGD đã được áp dụng thành công trong nhiều bài toán phức tạp, cho thấy tính năng vượt trội so với các phương pháp rời rạc truyền thống.

2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn FEM

FEM là một trong những phương pháp số phổ biến nhất trong việc giải quyết các bài toán kỹ thuật. Phương pháp này chia miền khảo sát thành các phần tử nhỏ, từ đó áp dụng các phương trình vi phân để tìm nghiệm. Tuy nhiên, FEM gặp khó khăn khi áp dụng cho các bài toán có số chiều không gian lớn. Việc kết hợp FEM với PGD tạo ra một phương pháp mới, giúp khắc phục những hạn chế này và mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán lưu chất.

III. Ứng dụng phương pháp PGD FEM cho bài toán lưu chất

Nghiên cứu đã áp dụng phương pháp PGD-FEM để giải quyết bài toán Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén. Kết quả cho thấy PGD-FEM có thể giải quyết phương trình Poisson áp suất 2D với độ chính xác cao và thời gian tính toán ngắn hơn so với FEM truyền thống. Nghiên cứu đã thực hiện các thí nghiệm với các điều kiện biên khác nhau, cho thấy tính linh hoạt và hiệu quả của phương pháp này trong việc mô phỏng các dòng chảy phức tạp.

3.1. Giới thiệu phương trình Navier Stokes

Phương trình Navier-Stokes mô tả chuyển động của chất lỏng và khí, là một trong những phương trình cơ bản trong cơ học lưu chất. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc giải phương trình này trong không gian 2D với các điều kiện biên khác nhau có thể được thực hiện hiệu quả bằng phương pháp PGD-FEM. Kết quả cho thấy PGD-FEM không chỉ giảm thiểu thời gian tính toán mà còn đảm bảo độ chính xác cao trong việc mô phỏng dòng chảy.

3.2. Kết quả và nhận xét

Kết quả từ việc áp dụng PGD-FEM cho bài toán lưu chất cho thấy sự cải thiện rõ rệt về thời gian tính toán và độ chính xác so với phương pháp FEM truyền thống. Các thí nghiệm đã chỉ ra rằng PGD-FEM có thể xử lý các bài toán phức tạp mà không gặp phải những hạn chế của các phương pháp rời rạc khác. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho việc ứng dụng PGD-FEM trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh phát triển nhanh chóng của công nghệ máy tính và kỹ thuật tính toán số, việc giải quyết các bài toán khoa học và kỹ thuật ngày càng đòi hỏi các phương pháp tính toán hiệu quả và chính xác. Đặc biệt, các bài toán lưu chất với số chiều không gian lớn, như trong cơ lượng tử hay thuyết động học của lưu chất phức tạp, đang đặt ra thách thức lớn do độ phức tạp tăng theo hàm mũ số chiều không gian. Theo ước tính, khi áp dụng các phương pháp rời rạc truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), số bậc tự do tăng rất nhanh, dẫn đến thời gian tính toán kéo dài và khó khăn trong xử lý.

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là ứng dụng phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để giải quyết bài toán lưu chất, cụ thể là phương trình Poisson áp suất trong bài toán Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian trong không gian 2D. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào việc khảo sát hai trường hợp điều kiện biên Dirichlet đồng nhất và hỗn hợp Dirichlet-Neumann, đồng thời trình bày phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam cho bài toán Navier-Stokes dòng chảy lid-driven cavity.

Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc giảm đáng kể thời gian tính toán so với phương pháp FEM truyền thống, đồng thời vẫn đảm bảo độ chính xác cao. Ví dụ, với lưới 80x80, thời gian xử lý phương pháp PGD-FEM chỉ khoảng 1,21 giây so với 273,79 giây của FEM, trong khi sai số vẫn duy trì ở mức rất thấp. Điều này mở ra hướng tiếp cận mới trong kỹ thuật tính toán số, giúp giải quyết các bài toán lưu chất phức tạp một cách hiệu quả hơn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai phương pháp chính:

1. Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD):
   PGD là một kỹ thuật giảm bậc mô hình dựa trên cơ sở tách biến, giúp giảm độ phức tạp của bài toán từ tỉ lệ hàm mũ xuống tỉ lệ tuyến tính theo số chiều không gian. PGD biểu diễn nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng tổng các tích của các hàm phụ thuộc từng biến riêng biệt, ví dụ:
   $$ u(x_1, x_2, ..., x_d) \approx \sum_{i=1}^n F_i(x_1) G_i(x_2) \cdots H_i(x_d) $$
   Phương pháp này sử dụng giải thuật lặp điểm cố định để tìm các hàm thành phần, kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán con.

2. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM):
   FEM là phương pháp rời rạc phổ biến trong giải các bài toán vi phân đạo hàm riêng, đặc biệt trong cơ học lưu chất. Phương pháp này chia miền khảo sát thành các phần tử nhỏ (tam giác, tứ diện), xây dựng hàm dạng tại các nút và thiết lập hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
   $$ [K]{U} = {F} $$
   Trong đó, $$[K]$$ là ma trận độ cứng, $${U}$$ là vectơ nghiệm, $${F}$$ là vectơ tải.

Ba khái niệm chính được sử dụng trong nghiên cứu gồm:

• Phương trình Navier-Stokes: mô tả chuyển động của dòng chảy nhớt không nén.
• Phương trình Poisson áp suất: được trích xuất từ hệ Navier-Stokes để tính trường áp suất.
• Phương pháp chiếu Chorin-Temam: kỹ thuật tách biệt tính toán vận tốc và áp suất trong bài toán Navier-Stokes.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các mô hình toán học và thuật toán số được xây dựng dựa trên lý thuyết PGD và FEM. Việc lập trình tính toán và mô phỏng được thực hiện trên phần mềm Matlab, sử dụng máy tính cá nhân với cấu hình trung bình.

Phương pháp phân tích bao gồm:

• Xây dựng dạng yếu của bài toán Poisson áp suất.
• Áp dụng PGD để tách biến và giải bài toán bằng giải thuật lặp điểm cố định.
• Sử dụng FEM để giải các bài toán con trong quá trình tính toán PGD.
• So sánh kết quả về thời gian tính toán và độ chính xác giữa PGD-FEM và FEM truyền thống.

Cỡ mẫu được xác định qua các lưới phần tử tam giác với kích thước 30x30 và 80x80 nút, nhằm đánh giá hiệu quả của phương pháp trên các mức độ chi tiết khác nhau. Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng thời gian từ 2011 đến 2013, tập trung vào phát triển thuật toán, lập trình và phân tích kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả về thời gian tính toán:
   Với bài toán Poisson áp suất có hàm nguồn $$f(x,y)=1000$$, trên lưới 80x80, thời gian xử lý của phương pháp PGD-FEM chỉ khoảng 1,21 giây, trong khi phương pháp FEM truyền thống mất tới 273,79 giây, giảm hơn 200 lần. Tương tự, với lưới 30x30, PGD-FEM mất 1,14 giây so với 4,93 giây của FEM.

2. Độ chính xác cao:
   Sai số của PGD-FEM so với nghiệm giải tích hoặc FEM tham chiếu luôn duy trì ở mức rất thấp, ví dụ với $$f(x,y)=1000$$ trên lưới 80x80, sai số chỉ khoảng $$1,3840 \times 10^{-7}$$, đảm bảo tính tin cậy của phương pháp.

3. Khả năng xử lý điều kiện biên hỗn hợp:
   Trong trường hợp điều kiện biên Dirichlet-Neumann hỗn hợp, PGD-FEM vẫn giữ được ưu thế về thời gian tính toán (1,53 giây so với 15,92 giây trên lưới 30x30) và sai số nhỏ (khoảng $$4,2151 \times 10^{-6}$$).

4. Ứng dụng cho bài toán Navier-Stokes:
   Phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật Chorin-Temam được triển khai thành công để giải hệ phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy lid-driven cavity, tạo nền tảng cho việc mở rộng ứng dụng PGD-FEM trong tương lai.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính dẫn đến hiệu quả vượt trội của PGD-FEM là do phương pháp tách biến giúp giảm số bậc tự do cần giải quyết từ tỉ lệ hàm mũ xuống tỉ lệ tuyến tính theo số chiều không gian, từ đó giảm đáng kể thời gian tính toán. So với các nghiên cứu trước đây về mô hình giảm bậc như POD, PGD không yêu cầu xây dựng ma trận dữ liệu lớn ban đầu, giúp tiết kiệm thời gian và bộ nhớ.

Kết quả so sánh giữa PGD-FEM và FEM truyền thống được minh họa rõ qua các biểu đồ thời gian xử lý và sai số trên các kiểu lưới khác nhau, cho thấy PGD-FEM không chỉ nhanh hơn mà còn duy trì độ chính xác cao. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các bài toán lưu chất phức tạp, đặc biệt khi mở rộng sang không gian nhiều chiều hoặc các bài toán đa tham số.

Ngoài ra, việc áp dụng phương pháp Chorin-Temam trong FEM cho bài toán Navier-Stokes giúp tách biệt tính toán vận tốc và áp suất, giảm thiểu khó khăn trong giải hệ phương trình liên hợp, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi cho việc tích hợp PGD-FEM trong các nghiên cứu tiếp theo.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Mở rộng ứng dụng PGD-FEM cho bài toán đa chiều và đa tham số:
   Khuyến nghị nghiên cứu tiếp tục phát triển PGD-FEM cho các bài toán lưu chất trong không gian 3D và các bài toán có nhiều tham số vật lý nhằm tận dụng tối đa ưu điểm giảm bậc mô hình, cải thiện hiệu quả tính toán.

2. Phát triển phần mềm chuyên dụng tích hợp PGD-FEM:
   Đề xuất xây dựng phần mềm hoặc thư viện tính toán chuyên biệt hỗ trợ PGD-FEM, giúp các nhà nghiên cứu và kỹ sư dễ dàng áp dụng phương pháp trong thực tế, đồng thời tối ưu hóa thuật toán cho các cấu hình máy tính khác nhau.

3. Nâng cao độ chính xác và ổn định của thuật toán:
   Khuyến nghị nghiên cứu các kỹ thuật cải tiến giải thuật lặp điểm cố định, tích hợp các phương pháp kiểm soát sai số và hội tụ nhằm đảm bảo độ chính xác cao hơn và ổn định trong các bài toán phi tuyến phức tạp.

4. Đào tạo và phổ biến kiến thức về PGD-FEM:
   Đề xuất tổ chức các khóa đào tạo, hội thảo chuyên sâu về PGD-FEM cho cộng đồng nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực cơ học lưu chất và kỹ thuật tính toán, nhằm thúc đẩy sự phát triển và ứng dụng rộng rãi của phương pháp.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Công nghệ chế tạo máy và Cơ học lưu chất:
   Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp luận hiện đại, giúp họ hiểu và áp dụng kỹ thuật giảm bậc mô hình trong các bài toán phức tạp.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật tính toán số:
   Tài liệu chi tiết về PGD-FEM và ứng dụng trong bài toán Navier-Stokes là nguồn tham khảo quý giá để phát triển các đề tài nghiên cứu mới.

3. Kỹ sư và chuyên gia phát triển phần mềm mô phỏng kỹ thuật:
   Các giải pháp và thuật toán được trình bày có thể ứng dụng trong phát triển phần mềm mô phỏng dòng chảy, giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác của sản phẩm.

4. Các tổ chức nghiên cứu và doanh nghiệp trong ngành công nghiệp chế tạo máy:
   Việc áp dụng PGD-FEM giúp tối ưu hóa quá trình thiết kế và phân tích sản phẩm liên quan đến dòng chảy và truyền nhiệt, giảm chi phí và thời gian phát triển.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp PGD khác gì so với các kỹ thuật giảm bậc mô hình khác như POD?
   PGD không yêu cầu xây dựng ma trận dữ liệu lớn ban đầu như POD, mà sử dụng kỹ thuật tách biến để biểu diễn nghiệm dưới dạng tích các hàm riêng biệt, giúp giảm đáng kể thời gian và bộ nhớ tính toán.

2. PGD-FEM có thể áp dụng cho các bài toán lưu chất 3D không?
   Có, PGD-FEM được thiết kế để mở rộng cho không gian nhiều chiều, giúp giảm độ phức tạp tính toán từ tỉ lệ hàm mũ xuống tỉ lệ tuyến tính theo số chiều, rất phù hợp cho bài toán 3D.

3. Độ chính xác của PGD-FEM so với FEM truyền thống như thế nào?
   Kết quả nghiên cứu cho thấy PGD-FEM duy trì độ chính xác cao, sai số so với nghiệm giải tích hoặc FEM tham chiếu luôn ở mức rất thấp, đảm bảo tin cậy trong ứng dụng thực tế.

4. Phương pháp Chorin-Temam giúp gì trong giải bài toán Navier-Stokes?
   Phương pháp này tách biệt tính toán vận tốc và áp suất, giúp giải hệ phương trình liên hợp trở nên đơn giản và ổn định hơn, đặc biệt hữu ích khi kết hợp với FEM.

5. Có thể áp dụng PGD-FEM cho các bài toán phi tuyến phức tạp hơn không?
   Có thể, tuy nhiên cần phát triển thêm các kỹ thuật cải tiến giải thuật và kiểm soát sai số để đảm bảo hội tụ và độ chính xác trong các bài toán phi tuyến phức tạp.

Kết luận

• PGD-FEM là phương pháp giảm bậc mô hình hiệu quả, giúp giảm đáng kể thời gian tính toán so với FEM truyền thống trong bài toán lưu chất 2D.
• Phương pháp duy trì độ chính xác cao với sai số rất nhỏ so với nghiệm giải tích và FEM tham chiếu.
• Ứng dụng thành công PGD-FEM cho phương trình Poisson áp suất trong bài toán Navier-Stokes mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán lưu chất phức tạp.
• Phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật Chorin-Temam được triển khai hiệu quả cho bài toán dòng chảy lid-driven cavity, tạo nền tảng phát triển tiếp theo.
• Đề xuất mở rộng nghiên cứu PGD-FEM cho bài toán đa chiều, phát triển phần mềm chuyên dụng và nâng cao độ chính xác thuật toán trong tương lai.

Để tiếp tục phát triển và ứng dụng phương pháp PGD-FEM, các nhà nghiên cứu và kỹ sư được khuyến khích áp dụng các giải pháp đề xuất, đồng thời tham gia các khóa đào tạo chuyên sâu nhằm nâng cao năng lực và hiệu quả công việc.

Trích đoạn nội dung tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 0 4 0 4 2 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2013 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204 Hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC HUYNH Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 / 2013 Luan van LÝ LỊCH KHOA HỌC I.

LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ & tên: NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM Giới tính: Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984 Nơi sinh: T-T-Huế Quê quán: Xuân Thủy, Lệ Thủy, Quảng Bình Dân tộc: Kinh Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: 41A Chu Văn An, Hiệp Phú, Q.HCM Điện thoại: [phone] Email: [e-mail]Á TRÌNH ĐẠO TẠO 1.Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo: từ 09/2003 đến 02/2008 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Kỹ thuật công nghiệp Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp:Công nghệ gia công gỗ trên máy cưa Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: Th.Thạc sĩ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đạo tạo: từ 02/2011 đến 02/2013 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Công nghệ chế tạo máy i Luan van Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp:Ứng dụng phương pháp Proper Generalized Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất. Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: TS. Phan Đức Huynh Ngày 18 tháng 09 năm 2013 Người khai ký tên ii Luan van LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 09 năm 2013 NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM iii Luan van CẢM TẠ Trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài dưới sự hướng dẫn cua thấy Phan Đức Huynh, tôi đã nhận được sự hướng dẫn chu đáo từ phía thầy và đặc biệt nhất là sự quan tâm tận tình vô cùng chân quý từ phía anh Lê Quốc Cường thông qua sự giới thiệu của thầy Phan Đức Huynh, hiện đang theo nghiên cứu bậc Tiến sĩ tại trường Đai học Sư phạm Kỹ thuật. Tôi xin được chuyển đến những dòng biết ơn chân thành và lòng kính trọng sâu sắc đến thầy Phan Đức Huynh và anh Lê Quốc Cường. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến ngôi trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật mà tôi đã gắn bó trong suốt quãng đời sinh viên và học viên, cùng với đội ngũ các giảng viên-giáo viên-nhân viên của Trường mà tôi đã được theo học và hỗ trợ nhiệt tình,cuối cùng gửi lời thân thương đến những người anh chị,người bạn mà tôi đã được quen biết, trao đổi và giúp đỡ. iv Luan van ABSTRACT Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the problems in science and engineering.

Eventhough the impressive recent progresses attained in computer technologies and computational simulation techniques, numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity and requirements. One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and complex fluids,… When one applies standard mesh based discretization techniques the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension of the space concerned. In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD). This is a powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD scales linearly with the dimension of the space.

And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method – PGD-FEM briefly – will open a new approach in searching a powerful kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy. Therefore, the topic “ Coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method for fluid problem” was born here. Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional v Luan van discretization technique (FEM). Moreover, in order to overcome its remaining drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the Chorin- Temam projection method.

vi Luan van TÓM TẮT Ngày nay phương pháp số là một công cụ đắc lực giúp giải quyết hầu hết các bài toán trong khoa học và kỹ thuật. Mặc dù với những tiến bộ, phát triển vượt bậc đạt được trong công nghệ máy tính, kỹ thuật t nh toán nhưng những khó khăn để giải quyết nhiều bài toán vẫn còn bị thách thức khi mà phương pháp rời rạc truyền thống đang bị hạn chế do tính phức tạp và mức độ yêu cầu đòi hỏi ngày càng cao của bài toán. Có thể nêu một trong những khó khăn điển hình, nổi cộm là bài toán có số chiều không gian lớn thường gặp trong cơ lượng tử, thuyết động học của cơ lưu chất phức tạp,…Khi sử dụng phương pháp rời rạc thông thường thì độ phức tạp của bài toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian của bài toán. Để nhằm khắc phục tính hạn chế trên, một phương pháp rất mới đã ra đời trong vài năm gần đây đã góp phần bổ trợ, thúc đẩy trong quá trình phối hợp với phương pháp rời rạc, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) mà được nghiên cứu ở đây, với tên gọi là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD).

Đây là một công cụ giảm bậc mô hình bài toán dựa trên cơ sở tách biến giúp độ phức tạp của bài toán giảm xuống với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều của bài toán. Vì thế sự kết hợp giữa phương pháp PGD và FEM (gọi tắt PGD-FEM) sẽ bước đầu mở ra một hướng tiếp cận mới trong việc tìm kiếm một loại hình phương pháp số mới với tính năng ưu việt hơn về mặt thời gian xử lí mà vẫn đảm bảo độ chính xác so với phương pháp rời rạc truyền thống đã có. Và “ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho bài toán lưu chất” đã ra đời trong đề tài nghiên cứu ở đây. Mặc dù đề tài chỉ mới bước đầu khái thác phương pháp PGD-FEM cho lĩnh vực bài toán lưu chất ở một khía cạnh hẹp là giải quyết phương trình Poisson áp suất 2D cho bài toán Navier-Stokes của dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc vào thời gian trong hai trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng nhất và điều kiện biên vii Luan van hỗn hợp ( Dirchlet-Neumann) nhưng những kết quả đạt được đã cho thấy sự ưu việt khi giải quyết bằng phương pháp PGD-FEM về mặt thời gian t nh toán và độ chính xác so với phương pháp rời rạc truyền thống (FEM).

Đồng thời với mong muốn tạo một sự thuận lợi trong việc hoàn thiện cũng như mở rộng, phát triển hơn cho đề tài trong tương lại, tác giả cũng đã đề cập đến việc giải phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian với điều kiện biên lid-driven cavity bằng phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam. viii Luan van MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài Lý lịch cá nhân. i Lời cam đoan. iii Cảm tạ.

ix Danh mục kí hiệu-từ viết tắt. xi Danh mục hình vẽ. xii Chƣơng 1.1 Tổng quan về hướng nghiên cứu.2 Mục đ ch nghiên cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu .3 Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài .4 Phương pháp nghiên cứu.1 Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) .2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). 11 ix Luan van Chƣơng 3.

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD và FEM CHO BÀI TOÁN LƢU CHẤT.1 Giới thiệu phương trình Navier-Stokes .2 Giải phương trình Poisson bằng phương pháp PGD-FEM.1 Trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng nhất.1 Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM .2 Sơ đồ giải thuật tổng quát .3 Kết quả - nhận xét .2 Trường hợp điều kiên biên hỗn hợp.1 Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM .2 Kết quả - nhận xét .3 Phƣơng trình Navier-Stokes không nén phụ thuộc vào thời gian .1 Mô hình bài toán .2 Điều kiên biên của bài toán .3 Tiến trình các bước giải bằng phương pháp FEM.4 Sơ đồ giải thuật tổng quát .5 Kết quả - nhận xét. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 51 x Luan van DANH MỤC KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT <.> L2(Ω) Tích trong của hai hàm trên L2 trong miền Ω ||.

||2 Chuẩn vec-tơ trong L2 hay chuẩn Euclide Resn Phần sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ Ω Miền khảo sát của bài toán Ωx Miền khảo sát theo phương x Ωy Miền khảo sát theo phương y ∂Ω Biên của miền Ω ∂Ω D Biên Dirichlet của ∂Ω ∂Ω N Biên Neumann của ∂Ω H1 Không gian hàm Sobolev mà có giá trị triệt tiêu trên ∂Ω D n Vec-tơ pháp tuyến (hướng ra ngoài) trên biên ∂Ω N V Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ω M Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ωx N Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ωy Nnod Tổng số nút trên miền Ω Nnod_x Tổng số nút trên miền Ωx Nnod_y_ Tổng số nút trên miền Ωy X,R,F Hàm phụ thuộc trên miền Ωx Y,S,G Hàm phụ thuộc trên miền Ωy X,R,F Vec-tơ giá trị hàm X,R,F tại các nút trên miền Ωx xi Luan van Y,S,G Vec-tơ giá trị hàm Y,S,G tại các nút trên miền Ωy  p p  p Toán tử gradient  ,   x y   u u  .u Toán tử divergence     x y  2 u   2u  2u  Toán tử Laplace   2  x y  2 FEM Finite Element Method PGD Proper Generalized Decoposition PGD-FEM coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method MBS Multi-Bead Spring ROM Reduced-Order Model LATIN LArger Time INcremential POD Proper Orthogonal Decomposition SVD Singular Value Decomposition PDE Partial Differential Equations xii Luan van DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1 Miền khảo sát và điều kiện biên của phương trình Poisson Hình 3.