phần mở đầu. 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta phải tìm các điều kiện biên hiệu dụng để giải bài toán biên trên miền Ω∗. Như sẽ thấy ở các chương sau, chúng là các hệ thức tuyến tính giữa các thành phần chuyển dịch, các thành phần ứng suất và các đạo hàm riêng của chúng (theo xk và t). Như vậy, ý tưởng của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là: Bỏ bớt một số thành phần của kết cấu và thay thế một cách tương đương ảnh hưởng của chúng lên phần còn lại bằng các điều kiện biên hiệu dụng.
Ý nghĩa của phương pháp: Giảm số ẩn cần tìm của các bài toán biên của lý thuyết đàn hồi đối với các kết cấu nhiều thành phần. Mục tiêu của phương pháp: Tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng.2 Sự phát triển của phương pháp trước luận án Người đầu tiên sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là Tiersten [73] (1969). Ông áp dụng cho kết cấu bán không gian phủ lớp mỏng, mô hình toán học của một lớp dày phủ một lớp mỏng. Kết cấu này đang được sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại.
Vật liệu của bán không gian và lớp đều là đàn hồi đẳng hướng. Liên kết giữa chúng là liên kết gắn chặt. Tiersten bỏ lớp mỏng và thay thế ảnh hưởng của nó lên bán không gian bằng các điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc nhất. Để rút ra các điều kiện biên hiệu dụng, Tiersten thay thế (một cách gần đúng) lớp mỏng bằng một bản mỏng và sử dụng lý thuyết bản bậc nhất, sau đó xấp xỉ chuyển dịch tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản.
Các điều kiện biên hiệu dụng thu được có thể sử dụng cho mọi bài toán động của lý thuyết đàn hồi. Tiersten đã sử dụng chúng để nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng. Phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng đã được tìm ra khá dễ dàng bằng cách khai triển một định thức cấp hai. Trong khi đó, nếu sử dụng phương pháp truyền thống, phải khai triển một định thức cấp sáu.
Trước Tiersten, phương trình tán sắc của sóng Rayleigh đối với cấu trúc này đã được tìm ra nhưng vẫn ở dạng định thức (cấp sáu), nên không thuận tiện khi sử dụng. Tuy nhiên: (i) Cách tiệm cận của Tiersten phụ thuộc vào sự phát triển của lý thuyết bản. Đây là một lý thuyết xấp xỉ, bậc một hoặc bậc ba (thiết lập gần đây), xây dựng chủ yếu cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng. (ii) Khi vật liệu của lớp là dị hướng, các phương trình của bản (nếu đã được thiết lập) trở nên phức tạp, quá trình rút ra các điều kiện biên hiệu dụng theo 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cách tiệm cận của Tiersten do vậy gặp nhiều khó khăn.
(iii) Hơn nữa, với cách tiệm cận của Tiersten, không thể rút ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao, vì khi đó giả thiết chuyển dịch tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian (xấp xỉ) bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản không còn phù hợp. Với các lý do nêu trên, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng không đạt được sự phát triển nào trong một thời gian dài. Đến năm 1996, Bovik [8] đưa ra cách tiếp cận mới cho phương pháp điều kiện biên hiệu dụng. Cũng như Tiersten, Bovik giả thiết lớp và bán không gian là đàn hồi đẳng hướng, liên kết gắn chặt với nhau, và cũng đã tìm ra điều kiện biên hiệu dụng bậc một.
Để tìm ra điều kiện biên hiệu dụng, Bovik thực hiện các bước sau: (i) Khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của nó đến cấp một. Các khai triển này chứa các đạo hàm cấp một theo hướng pháp tuyến (vuông góc với lớp), lấy tại biên phân chia, đối với các thành phần ứng suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp. Để sử dụng sự liên tục của chuyển dịch và ứng suất tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian (do liên kết gắn chặt gây ra), cần biểu diễn các đạo hàm theo hướng pháp tuyến nói trên qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến (song song với lớp) và đạo hàm theo thời gian, lấy tại mặt dưới của lớp, của các thành phần chuyển dịch và các thành phần ứng suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp. Chú ý rằng, từ sự liên tục của chuyển dịch và ứng suất qua biên phân chia suy ra sự liên tục của đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian, nhưng không suy ra sự liên tục của đạo hàm theo hướng pháp tuyến.
(iii) Sử dụng biểu diễn của đạo hàm theo hướng pháp tuyến (thu được ở bước (ii)) vào khai triển Taylor (thu được ở bước (i)) cùng với điều kiện tự do đối với ứng suất (tại mặt trên của lớp) và điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bán không gian, điều kiện biên hiệu dụng được suy ra. Chú ý rằng, trong ba bước nêu trên, bước (ii) là quan trọng nhất.1: Tiersten [73] và Bovik [8] đều tìm ra các điều kiện biên hiệu 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com dụng bậc một cho lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng gắn chặt với một bán không gian đàn hồi đẳng hướng. Tuy nhiên, chúng không trùng nhau. So sánh hai điều kiện biên hiệu dụng thu được, Bovik cho rằng Tiersten đã bỏ sót một số số hạng (bậc nhất) trong điều kiện biên hiệu dụng mà ông thu được.
Tuy nhiên, Vĩnh và Ánh [59] (2016), đã chỉ ra rằng, điều kiện biên hiệu dụng (xấp xỉ bậc một) thu được bởi Bovik thừa hai số hạng bậc hai, điều kiện biên hiệu dụng thu được bởi Tiersten là đầy đủ. Như vậy, điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ thu được bởi Bovik là bậc một thừa, bậc hai thiếu. Khác với Tiersten, Bovik xuất phát từ các phương trình cơ bản (các phương trình chuyển động và định luật Hooke) chính xác của lý thuyết đàn hồi tuyến tính đối với của lớp, do vậy không cần giả thiết: chuyển dịch tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản. Hơn nữa, với cách tiếp cận của Bovik, các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao có thể được tìm ra bằng cách khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của lớp đến cấp cần thiết.
Tuy nhiên, do Bovik sử dụng các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi dưới dạng thành phần, nên việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao (để tăng độ chính xác của mô hình xấp xỉ) là rất khó khăn, đặc biệt khi mở rộng cho vật liệu đàn hồi dị hướng. Vì những vật liệu này đang được sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao cho chúng là hết sức có ý nghĩa, về cả lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế. Để khắc phục hạn chế nêu trên của Bovik, Vĩnh và Linh [48] (2012) đã phát triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng dựa trên phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính và khai triển Taylor. Cụ thể, để thu được điều kiện biên hiệu dụng Vĩnh và Linh [48] tiến hành các bước sau: (i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ các phương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó.
Véctơ hàm cần tìm của phương trình này gồm hai véctơ hai thành phần: véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất trên các thiết diện (mặt phẳng) song song với lớp, được gọi là véctơ trạng thái (bốn thành phần). Phương trình ma trận có dạng một phương trình vi phân (theo hướng pháp tuyến), tuyến tính cấp một của véctơ trạng thái. Có thể xem phương trình này như là biểu diễn của đạo hàm pháp tuyến của véctơ trạng thái qua các đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của nó. Chú ý rằng, các phương trình ma trận còn được sử dụng trong các bài toán 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com khác nhau của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, nên việc tìm ra chúng có ý nghĩa quan trọng về phương diện lý thuyết.
(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của nó đến cấp cần thiết. Các hệ số của khai triển này là các đạo hàm các cấp theo hướng pháp tuyến của véctơ ứng suất lấy tại mặt dưới của lớp. (iv) Rút ra điều kiện biên hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay các kết quả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự do đối với ứng suất tại mặt trên của lớp, điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bán không gian. Chú ý rằng, dưới dạng ma trận, điều kiện biên hiệu dụng là một hệ thức tuyến tính giữa véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất của bán không gian (không phải của lớp) tại biên của bán không gian (tức là biên phân chia).
Hai ma trận hệ số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến, đạo hàm theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của lớp. Sử dụng cách tiếp cận “khai triển Taylor-phương trình ma trận”, Vĩnh và Linh [48], Vĩnh và cộng sự [50] đã thu được các điều kiện biên hiệu dụng bậc ba cho cấu trúc bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi (BKG-LM-ĐH) trực hướng nén được và không nén được, với liên kết gắn chặt. Các điều kiện biên hiệu dụng thu được có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ của lý thuyết đàn hồi (tuyến tính). Như vậy, trước luận án, PPĐKBHD mới chỉ phát triển cho cấu trúc BKG- LM-ĐH đẳng hướng hoặc trực hướng, lớp và BKG cùng nén được hoặc cùng không nén được, và liên kết gắn chặt với nhau.3 Sự phát triển của phương pháp trong luận án Luận án tiếp tục quan tâm xét cấu trúc BKG đàn hồi trực hướng phủ một lớp đàn hồi trực hướng.
Tuy nhiên, luận án phát triển PPĐKBHD cho các trường hợp sau: (i) Liên kết giữa BKG và lớp là liên kết trượt hoặc liên kết lò xo. 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (iv) Lớp vật liệu (mỏng) không thuần nhất. Khi mới sử dụng, liên kết giữa lớp và BKG là gắn chặt. Sau một thời gian, do ảnh hưởng của các yếu tố cơ học và vật lý khác nhau, liên kết dần yếu đi [27, 28], không còn thực sự gắn chặt, và cuối cùng trở thành liên kết trượt.