phần mở đầu. Đối với sóng Rayleigh nói chung, phương trình tán sắc dạng tường minh (dạng hiện) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu, đặc biệt, nó là cơ sở lý thuyết để giải bài toán ngược: xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng (xem [72]). Do vậy, phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất đối với các nghiên cứu liên quan đến sóng Rayleigh tự do cũng như không tự do ứng suất.
4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đối với các bán không gian đàn hồi đẳng hướng hoặc trực hướng, phương trình tán sắc của sóng Rayleigh tự do ứng suất được tìm ra bằng phương pháp truyền thống, dựa vào phương trình đặc trưng của sóng (xem chẳng hạn [3], [7]). Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có tính dị hướng cao hơn (chẳng hạn môi trường monoclinic, hoặc môi trường đàn hồi dị hướng chịu ảnh hưởng của các yếu tố khác như điện trường, từ trường, sự quay vi mô), phương trình đặc trưng của sóng mất tác dụng, phương pháp truyền thống không còn hiệu lực. Và để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh tự do ứng suất đối với các môi trường phức tạp, các phương pháp mới đã được đề ra. Đó là "Phương pháp vectơ phân cực" [63], "Phương pháp tích phân đầu" [41] và "phương pháp ma trận trở kháng" [28].
Phương pháp vectơ phân cực do Taziev [63] đề ra vào năm 1989, và được phát triển bởi Ting ([67], [69]), Destrade [22], Collet và Destrade [17]. Phương pháp tích phân đầu được Mozhaev [41] đưa ra vào năm 1995, sau đó Destrade [19], Phạm Chí Vĩnh [1] phát triển thành công cho sóng Rayleigh hai thành phần. Ngoài những tiến bộ kể trên trong hơn hai thập kỷ qua, cũng cần nói đến các tiến bộ trong việc tìm ra các công thức của vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất. Đối với sóng Rayleigh tự do ứng suất, vận tốc của nó là đại lượng được các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm.
Nó được nói đến trong hầu hết các sách chuyên khảo về sóng âm truyền trong các vật thể đàn hồi. Nó liên quan đến hàm Green trong nhiều bài toán động lực học của bán không gian đàn hồi, và là một công cụ mạnh cho đánh giá không phá hủy các đặc trưng cơ học của kết cấu trước và trong khi chịu tải. Do vậy công thức dạng hiện của vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất có ý nghĩa biệt quan trọng về cả phương diện lý thuyết lẫn thực hành. Năm 1995, Rahman and Barber [51] đã tìm được công thức chính xác đầu tiên cho vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất truyền trong vật thể đàn hồi đẳng hướng nén được bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba.
Tuy nhiên công thức này được biểu diễn bằng hai biểu thức khác nhau phụ thuộc vào dấu biệt thức của một phương trình bậc ba (là phương trình tán sắc của sóng sau khi hữu tỉ hóa) nên không thuận tiện khi sử dụng. Sử dụng lý thuyết bài toán Riemann, Nkemzi [46] đã dẫn ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất, nó là một hàm liên tục của γ = µ/(λ + 2µ), với λ, µ là các hằng số Lame. Công thức đó khá là phức tạp [20] và kết quả cuối cùng trong bài báo của Nkemzi là không chính xác [39]. Malischewsky [39] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com lượng giác của nghiệm phương trình bậc ba và MATHEMATICA.
Tuy nhiên Malischewsky không chứng minh được công thức này. Đến năm 2004, Vinh and Ogden [73] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức của Malischewsky, và tìm ra được một công thức khác. Đối với vật liệu trực hướng, không nén được, Ogden and Vinh [48] đã đưa ra được công thức dạng hiện dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba. Sau đó, Vinh và Ogden [74], Vinh và Ogden [75] đã tìm được các công thức dạng hiện cho vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất trong môi trường đàn hồi trực hướng, nén được.
Gần đây, các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh tự do ứng suất trong môi trường đàn hồi có biến dạng trước được tìm ra bởi Vinh và Giang [82], Vinh [82, 84]. Nhiều ứng dụng thực tế đòi hỏi các công thức của vận tốc của sóng mặt Rayleigh đơn giản, dễ sử dụng. Do vậy, việc tìm ra các công thức xấp xỉ của chúng là hết sức có ý nghĩa và cần thiết, vì chúng thường có biểu diễn đơn giản hơn nhiều so với công thức chính xác. Yêu cầu cơ bản cho các công thức xáp xỉ là: độ chính xác toàn cục của chúng phải cao, ít nhất thỏa mãn các yêu cầu của người sử dụng, của đòi hỏi thực tế.
Đối với sóng Rayleigh tự do ứng suất trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng, công thức xấp xỉ đầu tiên cho vận tốc sóng do Bergmann [8] thiết lập vào năm 1948, và được sử dụng rất rộng rãi. Sau đó, một số xấp xỉ khác được thiết lập bởi Achenbach [3], Brekhovskikh [10], Briggs [12], Nesvijski [44]. Tuy nhiên, độ chính xác của các công thức này chưa cao. Gần đây, các công thức xấp xỉ với độ chính xác cao đươc thiết lập bởi Li [36], Vinh và Malischewsky [76, 77, 78, 79, 80] dựa trên phương pháp bình phương tối thiểu.
Đối với các môi trường đàn hồi phức tạp hơn, có rất ít công thức xấp xỉ được thiết lập bởi vận tốc khi đó phụ thuộc vào nhiều tham số nên việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Khi đó, phương pháp nhiễu được sử dụng. Như vậy có thể nói rằng, trong hơn hai thập kỷ qua, lĩnh vực nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh tự do ứng suất đã có những phát triển đáng kể, được trang bị thêm một số công cụ mới như: “Phương pháp véctơ phân cực”, “Phương pháp tích phân đầu”, “Phương pháp ma trận trở kháng”, “Phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba”, “Phương pháp bài toán Riemann” (hay còn gọi là “Phương pháp hàm biến phức”) , “Phương pháp bình phương tối thiểu” và “Phương pháp nhiễu”. Với sự giúp đỡ của những phương pháp này, nhiều bài toán mới được được giải quyết, một số bài toán cũ sẽ được hoàn thiện và phát triển.
6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 Sóng Rayleigh không tự do ứng suất Như đã định nghĩa ở trên, sóng Rayleigh không tự do ứng suất là sóng Rayleigh truyền trong các bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất. Ngoài cấu trúc gồm chỉ một bán không gian (không tự do ứng suất), các cấu trúc sau: i) Bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, ii) Bán không gian đàn hồi liên kết với một bán không gian đàn hồi khác, cũng đưa được về mô hình “một bán không gian đàn hồi không tự do đối với ứng suất”, bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp đàn hồi hay bán không gian đàn hồi bằng một “điều kiện biên hiệu dụng” trên mặt phân chia giữa bán không gian và lớp, giữa bán không gian và giữa bán không gian. Điều kiện biên hiệu dụng là một hệ thức dưới dạng véctơ liên hệ tuyến tính véctơ ứng suất và véctơ chuyển dịch trên mặt biên của bán không gian. Chú ý rằng, lớp (bán không gian) đàn hồi có thể thay thế bằng một lớp chất lỏng (một bán không gian chất lỏng).
Luận án quan tâm nghiên cứu sóng Rayleigh không tự do ứng suất truyền trong các môi trường sau: - Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng. - Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng. - Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay chịu điều kiện biên trở kháng. - Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng.1 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng Trong các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh, hầu hết đều giả thiết bán không gian là tự do đối với ứng suất.
Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế như trong lĩnh vực âm học hay điện từ học, bán không gian thường chịu một điều kiện biên được gọi là "điều kiện biên trở kháng" (xem [29]). Điều kiện này là một liên hệ tuyến tính giữa các hàm cần tìm và các đạo hàm của chúng trên biên của bán không gian. Chúng ta có thể tham khảo ở các tài liệu tham khảo [5, 13, 40, 50, 95, 96] đối với các bài toán âm học hay [6, 31, 55, 61] đối với các bài toán điện từ 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Trong luận án, điều kiện biên trở kháng được xét có dạng sau σ12 + ωZ1 u1 = 0, σ22 + ωZ2 u2 = 0 tại x2 = 0 (1.1) trong đó, σij là các thành phần ứng suất, uj là các thành phần chuyển dịch, ω là tần số góc của sóng, Zk là tham số trở kháng.
Sự truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được chịu điều kiện biên (1.1) được Malischewsky [38] nghiên cứu năm 1987. Tác giả đã thu được phương trình tán sắc của sóng dưới dạng tường minh. Tuy nhiên sự tồn tại và duy nhất của sóng chưa được khảo sát. Gần đây, vào năm 2012, Godoy và các cộng sự [29] mới nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của sóng này cho một trường hợp đặc biệt của điều kiện biên (1.1) khi ứng suất pháp σ22 bằng không.
Các vấn đề chưa được giải quyết: i) Sự tồn tại và duy nhất của sóng cho trường hợp tổng quát khi bán không gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng (1. ii) Phương trình tán sắc của sóng trong bán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng, monoclinic) nén được và không nén được chịu điều kiện biên trở kháng (1. iii) Phương trình tán sắc của sóng trong bán không gian đàn hồi nén được và không nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng (1.2 Sóng Rayleigh trong bán không gian quay chịu điều kiện biên trở kháng Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay với một vận tốc không đổi có nhiều ứng dụng thực tế, xem Lao [35], Kawasaki và các cộng sự [34], Jahangir và các cộng sự [32], Pohl và các cộng sự [49], Jose và các cộng sự [33]. Nghiên cứu đầu tiên về sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng được thực hiện bởi Schoenberg và Censor [54].