Chương 1 TỔNG QUAN 1. Sóng mặt Rayleigh: Sự phát triển và các thành tựu 1. Phương trình tán sắc của sóng Đối với sóng Rayleigh, phương trình tán sắc dạng tường minh (dạng hiện) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu, và đặc biệt, nó là cơ sở lý thuyết để giải bài toán ngược: xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng [76].
Do vậy, phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất đối với các nghiên cứu liên quan đến sóng Rayleigh. Đối với các môi trường đàn hồi đẳng hướng hoặc trực hướng, phương trình tán sắc của sóng Rayleigh được tìm ra bằng phương pháp thông thường dựa vào phương trình đặc trưng của sóng [5], [11], [64]. Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có tính dị hướng cao hơn, phức tạp hơn, chẳng hạn môi trường đàn hồi monoclinic, môi trường đàn hồi chịu ảnh hưởng của các yếu tố khác như điện trường, từ trường., phương trình đặc trưng của sóng mất tác dụng, phương pháp thông thường không còn hiệu lực. Để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh đối với các môi trường phức tạp, các phương pháp mới đã được đề ra trong những năm gần đây là “phương pháp vectơ phân cực” [69] và “phương pháp tích phân đầu” [52].
Phương pháp vectơ phân cực do Taziev [69] đề ra vào năm 1989, và được phát triển bởi Ting [72, 73] và Destrade [25], [30]. Đối với phương pháp này, sử dụng các phương trình cơ bản có chứa véctơ phân cực, các tác giả thu được một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, và phương 4 5 trình tán sắc của sóng được rút ra bằng cách cho định thức của hệ bằng không. Chú ý rằng định thức này này không chứa các nghiệm của phương trình đặc trưng. Phương pháp tích phân đầu được Mozhaev [52] đưa ra vào năm 1995, sau đó Destrade [31] phát triển thành công cho sóng Rayleigh hai thành phần.
Đối với sóng Rayleigh hai thành phần, để tìm phương trình tán sắc các tác giả xuất phát từ các phương trình đối với biên độ ứng suất. Từ các phương trình này các tác giả đi đến một phương trình ma trận với sự giúp đỡ của một tích vô hướng. Từ tính chất chất phản đối xứng của ba ma trận cấp hai có mặt trong phương trình, một hệ tuyến tính thuần nhất gồm ba phương trình ba ẩn số được rút ra. Định thức của hệ này bằng không cho ta phương trình tán sắc.
Chú ý rằng định thức của hệ phương trình trên không phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng. Với các phương pháp mới nêu trên, hàng loạt các phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng mặt Rayleigh đối với môi trường đàn hồi có tính dị hướng cao, môi trường đàn hồi phức tạp đã được tìm ra trong thời gian gần đây (hơn hai thập kỷ qua). Công thức vận tốc sóng Các công thức chính xác Ngoài những thành tựu đạt được nêu trên trong hơn hai thập kỷ qua, cũng cần nói đến các tiến bộ trong việc tìm ra các công thức của vận tốc sóng Rayleigh. Đối với sóng Rayleigh, vận tốc của nó là đại lượng được các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm.
Nó được nói đến trong hầu hết các sách chuyên khảo về sóng truyền trong các vật thể đàn hồi. Nó liên quan đến hàm Green trong nhiều bài toán động lực học của bán không gian đàn hồi, và là một công cụ thuận lợi cho đánh giá không phá hủy các đặc trưng cơ học của kết cấu trước và trong khi chịu tải. Do vậy, công thức dạng hiện của vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về cả phương diện lý thuyết lẫn thực hành. Năm 1995, Rahman và Barber [63] đã tìm được công thức chính xác đầu tiên cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật thể đàn hồi đẳng hướng nén được bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba.
Tuy 6 nhiên công thức này được biểu diễn bằng hai biểu thức khác nhau phụ thuộc vào dấu biệt thức của một phương trình bậc ba (là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh sau khi hữu tỷ hóa) nên không thuận tiện khi sử dụng. Sử dụng lý thuyết bài toán Riemann, Nkemzi [56] đã dẫn ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh, nó là một hàm liên tục của γ = µ/(λ + 2µ) với λ, µ là các hằng số Lame. Công thức đó khá phức tạp [31], và kết quả cuối cùng trong bài báo của Nkemzi là không chính xác [50]. Malischewsky [50] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác của nghiệm phương trình bậc ba và MATHEMATICA.
Tuy nhiên Malischewsky [50] không chứng minh được công thức này. Đến năm 2004, Phạm Chí Vĩnh và Ogden [77] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức của Malischewsky, và tìm ra được một công thức khác. Đối với vật liệu trực hướng, không nén được, Ogden và Phạm Chí Vĩnh [81] đã đưa ra được công thức dạng hiện của vận tốc sóng dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba. Sau đó, Phạm Chí Vĩnh và Ogden [78, 80] đã tìm được các công thức dạng hiện cho vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng, nén được.
Ngày nay vật liệu ứng suất trước được sử dụng rất rộng rãi. Đánh giá không phá hủy ứng suất trước của kết cấu, trước và trong quá trình đặt tải là cần thiết và quan trọng, sóng Rayleigh là một công cụ thuận tiện cho công việc này (Makhort [48], Makhort và các cộng sự [49]; Hirao và các cộng sự [46]; Husson [47]; Delsanto và Clark [29]; Dyquennoy và các cộng sự [37, 38]; Hu và các cộng sự [42]). Trong những nghiên cứu trên, để đánh giá ứng suất trước bằng sóng Rayleigh, các tác giả đã thiết lập hoặc sử dụng công thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh (Tanuma [68] cũng như Song và Fu [66]), chúng phụ thuộc tuyến tính vào biến dạng trước (hoặc ứng suất trước) nên rất dễ sử dụng. Tuy nhiên, vì những công thức này được tìm ra bằng phương pháp nhiễu nên chúng chỉ sử dụng được khi biến dạng trước đủ nhỏ.
Do vậy, việc tìm ra các công thức vận tốc sóng Rayleigh đúng cho biến dạng trước tùy ý là hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Gần đây, Phạm Chí Vĩnh [82, 85] tìm ra các công thức chính xác xác định vận 7 tốc sóng Rayleigh trong môi trường có biến dạng trước nén được và không nén được và công thức này cho môi trường có biến dạng trước chịu ràng buộc trong đẳng hướng được Phạm Chí Vĩnh và Phạm Thị Hà Giang [87] tìm ra bằng phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba. Các công thức xấp xỉ Nhiều ứng dụng thực tế đòi hỏi các công thức vận tốc của sóng mặt Rayleigh đơn giản, dễ sử dụng. Do vậy, việc tìm ra các công thức xấp xỉ của chúng là hết sức có ý nghĩa và cần thiết, vì chúng thường có biểu diễn đơn giản hơn nhiều so với công thức chính xác.
Yêu cầu cơ bản cho các công thức xấp xỉ là độ chính xác toàn cục của chúng phải cao, ít nhất thỏa mãn các yêu cầu của người sử dụng và đòi hỏi thực tế. Đối với sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng, công thức xấp xỉ đầu tiên cho vận tốc sóng do Bergmann [12] thiết lập vào năm 1948 và được sử dụng rất rộng rãi. Sau đó, một số xấp xỉ khác được thiết lập bởi Achenbach [5], Brekhovskikh [17], Briggs [19] và Nesvijski [55]. Tuy nhiên, độ chính xác của các công thức này chưa cao.
Gần đây, các công thức xấp xỉ với độ chính xác cao đươc thiết lập bởi Li [95], Phạm Chí Vĩnh và P. Malischewsky [88] - [90] dựa trên phương pháp bình phương tối thiểu. Đối với các môi trường đàn hồi phức tạp hơn có rất ít công thức xấp xỉ được thiết lập bởi vận tốc khi đó phụ thuộc vào nhiều tham số, do đó việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Khi đó, phương pháp nhiễu được sử dụng và trở nên hữu hiệu hơn.
Như vậy có thể nói rằng, trong hơn hai thập kỷ qua, lĩnh vực nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh đã có những phát triển đáng kể, được trang bị thêm một số công cụ mới như: “Phương pháp véctơ phân cực”, “Phương pháp tích phân đầu”, “Phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba”, “Phương pháp bài toán Riemann” (hay còn gọi là “Phương pháp hàm biến phức”), “Phương pháp bình phương tối thiểu” và “Phương pháp nhiễu”. Với sự giúp đỡ của những phương pháp này, nhiều bài toán mới được đặt ra và sẽ được giải quyết, một số bài toán cũ sẽ được hoàn thiện và phát triển. Sóng trong bán không gian phủ một lớp mỏng Để tăng tuổi thọ, các chi tiết máy và nhiều vật dụng và thiết bị hiện đại được phủ một lớp vật liệu mỏng có tính chịu nhiệt, chịu ma sát cao, ít bị ăn mòn bởi môi trường xung quanh. Với sự phát triển của công nghệ hiện đại, các thiết bị siêu nhỏ, thường có cấu trúc một lớp mỏng gắn với một lớp dày, được mô hình hóa như là một lớp mỏng đặt trên bán không gian, ra đời và đang phát triển mạnh mẽ.
Sử dụng giả thiết lớp mỏng, các phương trình tán sắc xấp xỉ được tìm ra bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp mỏng bằng một “điều kiện biên hiệu dụng”, bằng cách coi lớp như bản (mỏng) [6], [70], hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dầy của lớp (được giả thiết là nhỏ) [16], [67], [75]. Trong khi đó Achenbach và Keshava [6] tìm ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc bốn. Tuy nhiên, phương trình này chứa một hằng số chưa xác định nên không thuận tiện khi sử dụng. Trong công trình [67], Steigmann giả thiết lớp mỏng là đẳng hướng ngang và có ứng suất dư, bán không gian là đẳng hướng và đã tìm được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai bằng cách khai triển Taylor thế năng biến dạng đàn hồi theo độ dầy của lớp (mỏng).
Đối với các môi trường phức tạp hơn, chẳng hạn như bán không gian đẳng hướng phủ một lớp dẫn điện [94], các phương trình xấp xỉ thu được chỉ dừng lại ở bậc một. Trong các nghiên cứu nêu trên, bán không gian được giả thiết là đàn hồi đẳng hướng và trừ xấp xỉ bậc bốn của Achenbach-Kesheva (còn phụ thuộc vào một hằng số chưa xác định) các xấp xỉ thu được có bậc cao nhất là bậc hai.
