Tổng quan luận án
Lý thuyết rủi ro trong kinh doanh bảo hiểm có nguồn gốc từ luận án của Filip Lundberg (1903) và các phát triển tiếp theo của Harald Cramér, hình thành nên mô hình rủi ro cổ điển Cramér-Lundberg. Trong mô hình cổ điển, phí thu bảo hiểm được giả định là hằng số và các khoản chi trả bồi thường là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Về sau, các giả thiết này được mở rộng: S. T. Hong (2002) xét mô hình có phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ là biến ngẫu nhiên; B. Quang (2005, 2013) nghiên cứu mô hình rủi ro có bổ sung yếu tố lãi suất đầu tư. Dù vậy, trong thực tế kinh doanh, doanh nghiệp bảo hiểm vẫn đứng trước nguy cơ tổn thất lớn khi các yêu cầu bồi thường vượt quá khả năng tài chính. Để phân tán rủi ro, tái bảo hiểm trở thành giải pháp tài chính trọng yếu. Khi hợp đồng tái bảo hiểm được thiết lập, nghĩa vụ chi trả bồi thường được phân chia giữa công ty bảo hiểm (công ty nhượng) và công ty tái bảo hiểm, khiến nguy cơ thiệt hại có thể xảy ra ở một trong hai hoặc cả hai bên.
Khoảng trống nghiên cứu then chốt mà tác giả luận án chỉ ra là phần lớn các công trình trong lý thuyết rủi ro hiện nay chỉ xem xét bài toán xác suất thiệt hại từ góc độ đơn phương của một phía: hoặc công ty bảo hiểm, hoặc công ty tái bảo hiểm. Rất ít công trình nghiên cứu đồng thời vị thế tài chính và rủi ro của cả hai bên. Gần đây, một số tác giả như V. Castañer, M. Claramunt hay Li (2013) đã quan tâm đến việc dung hòa quyền lợi của hai công ty, nhưng các kết quả của Li mới dừng lại ở một hợp đồng bảo hiểm đơn, trong một chu kỳ thời gian duy nhất và chưa tính đến quy mô vốn ban đầu của các bên. Do đó, việc xây dựng mô hình rủi ro rời rạc nhiều chu kỳ có tái bảo hiểm, kết hợp yếu tố vốn ban đầu và lãi suất đầu tư để nghiên cứu rủi ro đồng thời của cả hai thực thể là vấn đề khoa học cấp thiết.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm bốn nội dung cụ thể:
- Xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excess of loss trong các trường hợp không có lãi suất và có lãi suất.
- Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết (xác suất xảy ra thiệt hại của công ty bảo hiểm hoặc công ty tái bảo hiểm).
- Xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, cùng công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại của từng công ty riêng biệt.
- Ước lượng các chặn trên cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm thông qua phương pháp martingale và phương pháp truy hồi.
Câu hỏi nghiên cứu trọng tâm của luận án bao gồm:
- Tồn tại hay không một tỷ lệ chia sẻ tổn thất tối ưu phụ thuộc vào lượng vốn ban đầu giúp cực tiểu hóa đồng thời nguy cơ phá sản liên kết của cả hai công ty?
- Có thể xây dựng các biểu thức tường minh tính chính xác xác suất thiệt hại hữu hạn khi các biến ngẫu nhiên thu phí và chi trả nhận giá trị trong tập rời rạc hữu hạn hay không?
- Các chặn trên dạng mũ Cramér-Lundberg và chặn trên phi số mũ được xác lập như thế nào bằng công cụ martingale và hệ thức truy hồi khi có tác động của lãi suất biến thiên theo xích Markov?
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm, công ty tái bảo hiểm và xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share và excess of loss; các bài toán tối ưu hóa giải tích, bài toán thiết lập công thức tính chính xác và bài toán ước lượng chặn trên.
- Phạm vi nghiên cứu: Luận án khảo sát không gian thời gian rời rạc $n \in \mathbb{N}$ (chu kỳ hữu hạn $n$ và thời gian vô hạn $n \to \infty$); không gian trạng thái vốn ban đầu $u_0 \ge 0$ của công ty bảo hiểm và $v_0 \ge 0$ của công ty tái bảo hiểm; dòng lãi suất đầu tư được mô hình hóa bởi xích Markov thuần nhất trên tập trạng thái hữu hạn các số thực dương.
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Lý thuyết rủi ro bảo hiểm ghi nhận sự khởi đầu từ công trình của Filip Lundberg (1903) tại Đại học Uppsala (Thụy Điển), sau đó được Harald Cramér hệ thống hóa và phát triển thành mô hình rủi ro cổ điển Cramér-Lundberg. Mô hình này giả thiết dòng phí bảo hiểm thu vào là một hằng số xác định trên đơn vị thời gian, còn các khiếu nại đòi bồi thường là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
Nhằm phản ánh chân thực hơn hoạt động kinh doanh, nhiều tác giả đã mở rộng cấu trúc cổ điển này:
- S. T. Hong (2002) [21] đã xem xét mô hình rủi ro rời rạc trong đó phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ không còn là hằng số mà là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
- B. Quang (2005, 2013) ([30], [31]) phát triển mô hình rủi ro rời rạc có tính đến yếu tố lãi suất, coi lãi suất là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối và thiết lập các ước lượng hoặc biểu thức đúng cho xác suất thiệt hại của doanh nghiệp bảo hiểm.
- Dickson (2005) [9] mở rộng bài toán xác suất thiệt hại khi dãy lãi suất ${I_n}_{n \ge 0}$ tạo thành một xích Markov.
- Weng và các cộng sự (2009) [44] nghiên cứu bài toán thiệt hại tài chính khi lãi suất đầu tư là một hằng số cố định.
Về phương diện quản trị rủi ro thông qua tái bảo hiểm:
- Borch (1960) [5] là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên chứng minh rằng trong các phương án tái bảo hiểm khác nhau, hình thức tái bảo hiểm stop loss (dừng thiệt hại) làm cực tiểu phương sai của phần chi trả bồi thường thuộc trách nhiệm công ty bảo hiểm.
- Rotar (2006) [33] phân tích cơ chế tái bảo hiểm như một chiến lược trực tiếp nhằm giảm thiểu nguy cơ mất khả năng thanh toán của công ty bảo hiểm gốc.
- K. Centeno (1986) chỉ ra tính chất đối ngẫu giữa hai nghiệp vụ tái bảo hiểm cơ bản: tái bảo hiểm quota share (tỷ lệ) giúp làm cực tiểu phương sai bồi thường cho công ty tái bảo hiểm, trong khi tái bảo hiểm excess of loss (vượt mức bồi thường) làm cực tiểu phương sai bồi thường cho công ty bảo hiểm nhượng.
Về bài toán tính toán xác suất thiệt hại và góc nhìn song phương:
- Loisel (2005) [26] thiết lập công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại dưới giả thiết phí bảo hiểm là hằng số và số tiền chi bồi thường là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương.
- B. Quang (2013) [18] phát triển công thức tính đúng cho xác suất thiệt hại khi giả thiết phần thu và phần chi trả bảo hiểm là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập hữu hạn các số không âm.
- Jiang (2012) [22] và Salcedo-Sanz cùng các cộng sự (2014) [34] đã đề xuất khái niệm xác suất thiệt hại liên kết (joint ruin probability), định nghĩa là xác suất xảy ra biến cố ít nhất một trong hai công ty gặp thiệt hại tài chính.
- V. Castañer, M. Claramunt và Li (2013) [27] tiếp cận bài toán rủi ro dưới góc độ quan tâm đến cả hai bên. Tuy nhiên, Li (2013) mới chỉ tìm cách dung hòa xác suất thiệt hại thông qua việc xác định mức duy trì để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết cho một hợp đồng bảo hiểm đơn lẻ, trong một chu kỳ duy nhất và hoàn toàn bỏ qua tác động của quy mô vốn ban đầu.
Vị trí của luận án: Luận án của Nguyễn Quang Chung đặt trọng tâm giải quyết khoảng trống nghiên cứu bằng cách thiết lập mô hình rủi ro rời rạc đa chu kỳ có sự tham gia của cả công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm; đưa yếu tố vốn ban đầu ($u_0, v_0$) vào bài toán tối ưu xác suất liên kết; mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại liên kết cho cả hai hình thức quota share và excess of loss; đồng thời xây dựng các chặn trên dạng mũ Cramér-Lundberg và chặn trên truy hồi khi có sự hiện diện của lãi suất ngẫu nhiên dạng xích Markov.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng nền tảng giải tích hiện đại và lý thuyết xác suất nâng cao, tập trung vào lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và lý thuyết martingale rời rạc.
Khung lý thuyết và các khái niệm cốt lõi:
- Không gian xác suất $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, không gian mẫu $\Omega$, $\sigma$-đại số $\mathcal{F}$ và độ đo xác suất $P$. Dãy $\sigma$-đại số con ${\mathcal{A}n}{n \in \mathbb{N}}$ của $\mathcal{F}$ thỏa mãn tính chất không giảm $\mathcal{A}_m \subset \mathcal{A}_n$ với $m \le n$.
- Khái niệm kỳ vọng có điều kiện $E(\xi | \mathcal{A})$ và các tính chất giải tích liên quan. Bất đẳng thức Jensen: Cho hàm lồi dưới $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ và biến ngẫu nhiên khả tích $\xi$, khi đó $\phi(E(\xi | \mathcal{A})) \le E(\phi(\xi) | \mathcal{A})$ đối với mọi $\sigma$-trường con $\mathcal{A}$.
- Xích Markov thuần nhất thời gian rời rạc ${\xi_n}{n \ge 0}$ với không gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm được $E$, thỏa mãn tính chất Markov: $$P(\xi{n+1} = j \mid \xi_0 = i_0, \dots, \xi_n = i) = P(\xi_{n+1} = j \mid \xi_n = i) = p_{ij}$$ Ma trận xác suất chuyển một bước $P = (p_{ij})$ thỏa mãn $0 < p_{ij} \le 1$ và $\sum_{j \in E} p_{ij} = 1$. Xác suất chuyển sau $n$ bước tuân theo phương trình Chapman-Kolmogorov: $$p_{ij}^{(n+m)} = \sum_{k \in E} p_{ik}^{(n)} p_{kj}^{(m)}$$
- Quá trình Martingale rời rạc: Dãy thích nghi ${\xi_n, \mathcal{A}n, n \in \mathbb{N}}$ thỏa mãn $E(|\xi_n|) < \infty$. Quá trình được gọi là martingale nếu $E(\xi_n | \mathcal{A}{n-1}) = \xi_{n-1}$; là martingale trên (supermartingale) nếu $E(\xi_n | \mathcal{A}{n-1}) \le \xi{n-1}$; và là martingale dưới (submartingale) nếu $E(\xi_n | \mathcal{A}{n-1}) \ge \xi{n-1}$ với mọi $n \ge 1$.
- Các bất đẳng thức cực đại (maximal inequalities):
- Đối với martingale dưới: $\lambda P(\max_{k \le n} \xi_k \ge \lambda) \le E \xi_n^+$.
- Đối với martingale trên: $\lambda P(\max_{k \le n} \xi_k \ge \lambda) \le E \xi_0 - E[\xi_n 1_{(\max \xi_k < \lambda)}] \le E \xi_0 + E \xi_n^-$.
- Đối với martingale trên không âm: $\lambda P(\max_{k \ge n} \xi_k \ge \lambda) \le E \xi_0$.
- Định lý về thời điểm dừng của Doob: Nếu $T$ là thời điểm dừng đối với lọc ${\mathcal{A}n}$, thì dãy ngắt $\xi^T = {\xi{T \wedge n}}{n \in \mathbb{N}}$ kế thừa tính chất martingale hoặc martingale trên, đặc biệt $E(\xi{T \wedge n}) = E(\xi_0)$ đối với martingale và $E(\xi_{T \wedge n}) \le E(\xi_0)$ đối với martingale trên.
- Hệ số hiệu chỉnh Lundberg $R_0 > 0$: Nghiệm duy nhất thỏa mãn phương trình hàm sinh moment $M_{X_1 - Y_1}(R_0) = E(e^{R_0(X_1 - Y_1)}) = 1$, từ đó thiết lập bất đẳng thức Cramér-Lundberg kinh điển $\psi(u_0) \le e^{-u_0 R_0}$.
Phương pháp nghiên cứu cụ thể:
- Phương pháp Martingale: Xây dựng các dãy quá trình ngẫu nhiên thích hợp từ quá trình lợi nhuận của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, kiểm tra điều kiện martingale trên không âm, kết hợp định lý dừng và bất đẳng thức maximal để tìm chặn trên dạng mũ Cramér-Lundberg cho xác suất thiệt hại.
- Phương pháp truy hồi: Thiết lập công thức đệ quy chuyển trạng thái vốn qua từng chu kỳ thời gian rời rạc để tính toán và chặn trên xác suất thiệt hại mà không đòi hỏi sự tồn tại của hàm sinh moment dạng mũ.
- Kỹ thuật giải tích tối ưu: Sử dụng phép biến đổi tập biến cố ngẫu nhiên và khảo sát hàm giải tích để cực tiểu hóa xác suất thiệt hại liên kết.
Nguồn tư liệu và giả thiết dữ liệu mô hình:
- Dãy số tiền thu phí $Y = {Y_n}{n \ge 1}$ là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, nhận giá trị trong tập hữu hạn các số không âm $G_Y = {y_1, y_2, \dots, y{N_3}}$ với phân phối xác suất $q_k = P(Y_n = y_k)$.
- Dãy chi trả bồi thường $X = {X_n}{n \ge 1}$ là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, độc lập với $Y$, nhận giá trị trong tập hữu hạn các số không âm $G_X = {x_1, x_2, \dots, x{N_4}}$ với xác suất $p_k = P(X_n = x_k)$.
- Dãy lãi suất của công ty bảo hiểm $I^{(1)} = {I_n^{(1)}}{n \ge 0}$ và công ty tái bảo hiểm $I^{(2)} = {I_n^{(2)}}{n \ge 0}$ là các xích Markov thuần nhất độc lập, nhận giá trị trong các tập hữu hạn số thực dương tương ứng $E = {i_0, \dots, i_{N_1}}$ và $F = {j_0, \dots, j_{N_2}}$.
Bảng tổng hợp các mô hình rủi ro được khảo sát trong luận án:
| Mô hình rủi ro | Dạng quá trình lợi nhuận | Yếu tố lãi suất | Cơ chế chia sẻ rủi ro |
|---|---|---|---|
| Rủi ro cổ điển mở rộng (S. T. Hong) | $U_n = u_0 + \sum_{i=1}^n Y_i - \sum_{i=1}^n X_i$ | Không có lãi suất | Chưa có tái bảo hiểm |
| Rủi ro có lãi suất (B. Quang) | $\tilde{U}n = \tilde{U}{n-1}(1 + I_n) + Y_n - X_n$ | Lãi suất $I_n$ ngẫu nhiên | Chưa có tái bảo hiểm |
| Tái bảo hiểm Quota share không lãi | $U_n^{(1)} = u_0 + \alpha \sum Y_i - \alpha \sum X_i$ $V_n^{(1)} = v_0 + (1-\alpha) \sum Y_i - (1-\alpha) \sum X_i$ |
Không có lãi suất | Tỷ lệ chia sẻ $\alpha \in [0, 1]$ cho cả thu phí và bồi thường |
| Tái bảo hiểm Quota share có lãi | $\tilde{U}n^{(1)} = \tilde{U}{n-1}^{(1)}(1 + I_n^{(1)}) + \alpha(Y_n - X_n)$ $\tilde{V}n^{(1)} = \tilde{V}{n-1}^{(1)}(1 + I_n^{(2)}) + (1-\alpha)(Y_n - X_n)$ |
Lãi suất xích Markov $I_n^{(1)}, I_n^{(2)}$ | Tỷ lệ chia sẻ $\alpha \in [0, 1]$ |
| Tái bảo hiểm Excess of loss không lãi | $U_n^{(2)} = u_0 + \sum [\alpha Y_i - \min{X_i, M}]$ $V_n^{(2)} = v_0 + \sum [(1-\alpha)Y_i - \max{X_i - M, 0}]$ |
Không có lãi suất | Tỷ lệ thu phí $\alpha$, mức duy trì tổn thất $M \ge 0$ |
| Tái bảo hiểm Excess of loss có lãi | $\tilde{U}n^{(2)} = \tilde{U}{n-1}^{(2)}(1 + I_n^{(1)}) + \alpha Y_n - \min{X_n, M}$ $\tilde{V}n^{(2)} = \tilde{V}{n-1}^{(2)}(1 + I_n^{(2)}) + (1-\alpha)Y_n - \max{X_n - M, 0}$ |
Lãi suất xích Markov $I_n^{(1)}, I_n^{(2)}$ | Tỷ lệ thu phí $\alpha$, mức duy trì tổn thất $M \ge 0$ |
Nội dung chính theo từng chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 hệ thống hóa toàn bộ các kiến thức toán học nền tảng và các mô hình rủi ro cơ sở làm công cụ cho các chương sau:
- Trình bày định nghĩa và tính chất của kỳ vọng có điều kiện, bất đẳng thức Jensen, lý thuyết xích Markov thời gian rời rạc và thuần nhất, ma trận xác suất chuyển trạng thái, cùng phương trình Chapman-Kolmogorov (1.1).
- Trình bày lý thuyết martingale rời rạc: các khái niệm dãy tương thích, dãy dự báo được, thời điểm Markov, thời điểm dừng $\tau = \min{n: \xi_n \in B}$, định nghĩa martingale, submartingale, supermartingale; thiết lập ba bất đẳng thức maximal (1.7), (1.8), (1.9) và định lý Doob về dãy ngắt tại thời điểm dừng (1.10), (1.11).
- Nhắc lại mô hình rủi ro rời rạc của S. T. Hong (1.12), định nghĩa thời điểm thiệt hại $\tau = \min{n \ge 1: U_n \le 0}$, xác suất thiệt hại chu kỳ hữu hạn $\psi_n(u_0) = P(\tau \le n)$ và vô hạn $\psi(u_0) = P(\tau \le \infty)$, hệ số hiệu chỉnh Lundberg $R_0$ thỏa mãn $E(e^{R_0(X_1 - Y_1)}) = 1$, cùng chặn trên Cramér-Lundberg $\psi(u_0) \le e^{-u_0 R_0}$ (1.13). Tiếp đó nhắc lại mô hình có lãi suất của B. Quang (1.14).
- Phân tích cơ chế hoạt động của hai nghiệp vụ tái bảo hiểm:
- Tái bảo hiểm quota share: Thiết lập quá trình lợi nhuận $U_n^{(1)}, V_n^{(1)}$ (1.15)-(1.16); định nghĩa xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm $\psi_n^{(1)}(u_0, \alpha)$ (1.17), công ty tái bảo hiểm $\psi_n^{(2)}(v_0, \alpha)$ (1.18); xác suất thiệt hại liên kết $\psi_n(u_0, v_0, \alpha) = P(\bigcup_{k=1}^n [(U_k^{(1)} \le 0) \cup (V_k^{(1)} \le 0)])$ (1.19); và xác suất không thiệt hại liên kết $\phi_n(u_0, v_0, \alpha) = 1 - \psi_n(u_0, v_0, \alpha)$. Khi có lãi suất xích Markov $I_n^{(1)}, I_n^{(2)}$, thiết lập quá trình lợi nhuận tích lũy (1.24)-(1.25) và các xác suất tương ứng $\tilde{\psi}_n^{(1)}(u_0, \alpha, i_s)$, $\tilde{\psi}_n^{(2)}(v_0, \alpha, j_t)$, $\psi_n(u_0, v_0, \alpha, i_s, j_t)$ (1.28) và $\phi_n(u_0, v_0, \alpha, i_s, j_t)$ (1.30).
- Tái bảo hiểm excess of loss: Thiết lập quá trình lợi nhuận $U_n^{(2)}, V_n^{(2)}$ (1.31)-(1.32) dựa trên hàm chia sẻ bồi thường $\min{X_i, M}$ và $\max{X_i - M, 0}$. Chứng minh Mệnh đề 1.1 về sự tồn tại cặp tham số $(\alpha, M)$ thỏa mãn nguyên tắc giá trị trung bình trong định phí bảo hiểm: $E(\min{X_1, M}) < \alpha E(Y_1)$ (1.34) và $E(\max{X_1 - M, 0}) < (1-\alpha)E(Y_1)$ (1.35). Xây dựng các xác suất thiệt hại riêng $\varphi_n^{(1)}, \varphi_n^{(2)}$, xác suất thiệt hại liên kết $\psi_n(u_0, v_0, \alpha, M)$ (1.41) và khi có lãi suất là $\psi_n(u_0, v_0, \alpha, M, i_s, j_t)$ (1.50).
Chương 2: Xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm
Chương 2 giải quyết trọn vẹn bài toán tối ưu hóa và bài toán thiết lập công thức tính chính xác xác suất thiệt hại liên kết:
- Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết trong tái bảo hiểm Quota share:
- Định lý 2.1 (Trường hợp không có lãi suất): Trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm quota share với vốn ban đầu $u_0$ và $v_0$, xác suất thiệt hại liên kết $\psi_n(u_0, v_0, \alpha)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại tỷ lệ chia sẻ tối ưu: $$\alpha^* = \frac{u_0}{u_0 + v_0}$$ Chứng minh dựa trên việc biến đổi biến cố không thiệt hại liên kết $\phi_n(u_0, v_0, \alpha) = P(\bigcap_{k=1}^n {\sum_{i=1}^k (X_i - Y_i) < \min{\frac{u_0}{\alpha}, \frac{v_0}{1-\alpha}}})$. Hàm số $f(\alpha) = \min{\frac{u_0}{\alpha}, \frac{v_0}{1-\alpha}}$ đồng biến trên $(0, \frac{u_0}{u_0+v_0})$ và nghịch biến trên $(\frac{u_0}{u_0+v_0}, 1)$, đạt cực đại duy nhất tại $\alpha^* = \frac{u_0}{u_0+v_0}$. Từ đó suy ra quan hệ bao hàm của các tập biến cố $A_k^\alpha \subset A_k^{\alpha^}$, dẫn đến $\phi_n(u_0, v_0, \alpha) \le \phi_n(u_0, v_0, \alpha^)$ với mọi $\alpha \in (0, 1)$, tức $\psi_n$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $\alpha^*$.
- Định lý 2.2 (Trường hợp có lãi suất): Khi hai công ty chịu chung một xích Markov lãi suất $I = {I_n}_{n \ge 0}$, xác suất thiệt hại liên kết $\tilde{\psi}_n(u_0, v_0, \alpha, i_s)$ vẫn đạt giá trị nhỏ nhất tại $\alpha^* = \frac{u_0}{u_0 + v_0}$ với mọi trạng thái lãi suất ban đầu $i_s \in E_0$. Chú ý 2.1 chỉ ra rằng kết quả tối ưu $\alpha^*$ vẫn giữ nguyên tính đúng đắn ngay cả khi các dãy thu phí $Y$, chi trả $X$ và lãi suất $I$ là các dãy biến ngẫu nhiên bất kỳ.
- Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại trong tái bảo hiểm Quota share:
- Giả thiết 2.1 và 2.2: $Y_n \in G_Y = {y_1, \dots, y_{N_3}}$ với xác suất $q_k$; $X_n \in G_X = {x_1, \dots, x_{N_4}}$ với xác suất $p_k$.
- Định lý 2.3 (Không có lãi suất): Thiết lập công thức giải tích chính xác tính $\psi_n(u_0, v_0, \alpha)$: $$\psi_n(u_0, v_0, \alpha) = 1 - \sum_{m_1=1}^{N_3} \dots \sum_{m_n=1}^{N_3} q_{m_1} \dots q_{m_n} \sum_{l_1=1}^{G_1^{(1)}} \dots \sum_{l_n=1}^{G_n^{(1)}} p_{l_1} \dots p_{l_n}$$ trong đó các cận trên $G_k^{(1)}$ được xác định bởi: $$G_k^{(1)} = \max_{l_k = 0, N_4} {l_k: \alpha x_{l_k} < Z_{x_{l_1} \dots x_{l_{k-1}}}^{y_{m_1} \dots y_{m_k}} \text{ và } (1-\alpha) x_{l_k} < W_{x_{l_1} \dots x_{l_{k-1}}}^{y_{m_1} \dots y_{m_k}}}$$ với các đại lượng tích lũy vốn $Z, W$ được xác định tường minh qua các bước $1, \dots, k$.
- Chú ý 2.2: Rút ra các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại riêng của từng công ty: công thức (2.18) cho công ty bảo hiểm qua ngưỡng $H_k^{(1)}$ và công thức (2.19) cho công ty tái bảo hiểm qua ngưỡng $T_k^{(1)}$.
- Định lý 2.4 (Có lãi suất): Thiết lập công thức chính xác khi có mặt hai xích Markov lãi suất độc lập $I^{(1)}, I^{(2)}$, tích hợp các xác suất chuyển trạng thái $r_{s c_1}^{(1)} \dots r_{c_{n-1} c_n}^{(1)}$ và $r_{t k_1}^{(2)} \dots r_{k_{n-1} k_n}^{(2)}$ cùng hệ thống cận $G_m^{(2)}$ (2.20). Các hệ thức (2.28) và (2.29) cung cấp công thức tính riêng cho từng công ty với các ngưỡng $H_m^{(2)}$ và $T_m^{(2)}$.
- Công thức tính chính xác cho tái bảo hiểm Excess of loss:
- Định lý 2.5: Thiết lập công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết $\varphi_n(u_0, v_0, \alpha, M)$ trong trường hợp không có lãi suất (2.32), dựa trên việc xác định các cận $G_k^{(3)}$ thỏa mãn đồng thời $\min{x_{l_k}, M} < Z_{x_{l_1} \dots x_{l_{k-1}}}^{y_{m_1} \dots y_{m_k}}$ và $\max{x_{l_k} - M, 0} < W_{x_{l_1} \dots x_{l_{k-1}}}^{y_{m_1} \dots y_{m_k}}$.
Chương 3: Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm bằng phương pháp Martingale
Chương 3 sử dụng lý thuyết martingale để xây dựng các đánh giá chặn trên dạng mũ Cramér-Lundberg:
- Mục 3.1 khảo sát mô hình rủi ro không có lãi suất:
- Tiểu mục 3.1.1 nghiên cứu mô hình tái bảo hiểm quota share, xác định hệ số hiệu chỉnh $R$ phụ thuộc vào tỷ lệ $\alpha$. Thiết lập chặn trên mũ dạng $\psi^{(1)}(u_0, \alpha) \le e^{-u_0 R_1(\alpha)}$ cho công ty bảo hiểm và $\psi^{(2)}(v_0, \alpha) \le e^{-v_0 R_2(\alpha)}$ cho công ty tái bảo hiểm.
- Tiểu mục 3.1.2 mở rộng cho mô hình quota share-$(\alpha, \beta)$ với tỷ lệ chia sẻ phí $\alpha$ và tỷ lệ chia sẻ bồi thường $\beta$ độc lập nhau, đánh giá xác suất $\hat{\psi}_n^{(1)}$ và $\hat{\psi}_n^{(2)}$.
- Tiểu mục 3.1.3 nghiên cứu tái bảo hiểm excess of loss, thiết lập các hệ số hiệu chỉnh như hàm của cặp tham số $(\alpha, M)$ thông qua Bổ đề 3.7.
- Mục 3.2 mở rộng nghiên cứu sang trường hợp có lãi suất:
- Tiểu mục 3.2.1 và 3.2.2 lần lượt khảo sát mô hình quota share và excess of loss có lãi suất xích Markov.
- Định lý 3.2 xác lập ước lượng trên dạng mũ Cramér-Lundberg cho xác suất thiệt hại của từng công ty thông qua việc xây dựng một martingale trên không âm từ phương trình lợi nhuận tích lũy và áp dụng bất đẳng thức maximal.
- Hệ quả 3.3, 3.4 và 3.5 thiết lập phương pháp dung hòa chặn trên cho hai công ty: chứng minh tồn tại giá trị tỷ lệ chia sẻ $\alpha$ sao cho cả hai xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm đều đồng thời nhỏ hơn một ngưỡng bé tùy ý cho trước ($\epsilon > 0$).
Chương 4: Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm bằng phương pháp truy hồi
Chương 4 đề xuất phương pháp truy hồi để tìm chặn trên cho xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm quota share:
- Mục 4.1 nghiên cứu trường hợp không có lãi suất, thiết lập hệ thức truy hồi phân tích xác suất thiệt hại qua từng bước chuyển thời gian.
- Mục 4.2 nghiên cứu trường hợp có lãi suất xích Markov, mở rộng quan hệ đệ quy theo các trạng thái lãi suất.
- Các chặn trên thiết lập bằng phương pháp truy hồi không có dạng hàm mũ $e^{-u_0 R}$ như trong Chương 3. Tuy nhiên, tác giả chứng minh rằng trong một số trường hợp cụ thể, các chặn trên phi số mũ này cho giá trị bé hơn (chặt hơn) so với các chặn trên dạng mũ thu được từ phương pháp martingale.
- Dựa trên các chặn trên truy hồi, Hệ quả 4.x tiếp tục chứng minh sự tồn tại của tỷ lệ chia sẻ $\alpha$ đảm bảo dung hòa xác suất thiệt hại, đưa xác suất thiệt hại của cả hai công ty xuống dưới một ngưỡng bé định trước.
Kết quả và những đóng góp mới
Các đóng góp mới về mặt lý luận và khoa học của luận án (được công bố trong 4 công trình khoa học, gồm 3 bài báo quốc tế và 1 bài báo trong nước):
- Lần đầu tiên xác định được biểu thức tường minh của tỷ lệ chia sẻ tối ưu $\alpha^* = \frac{u_0}{u_0 + v_0}$ nhằm cực tiểu hóa đồng thời xác suất thiệt hại liên kết cho cả công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm quota share, đúng cho cả trường hợp không có lãi suất (Định lý 2.1) và có lãi suất (Định lý 2.2). Kết quả này giữ nguyên giá trị với các dãy thu phí, chi trả và lãi suất ngẫu nhiên bất kỳ.
- Xây dựng thành công hệ thống công thức giải tích tính chính xác xác suất thiệt hại liên kết và xác suất thiệt hại riêng phần của từng công ty đối với hai loại hình tái bảo hiểm quota share và excess of loss, áp dụng cho cả mô hình không có lãi suất và có lãi suất xích Markov (Định lý 2.3, Định lý 2.4, Định lý 2.5).
- Thiết lập các hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc trực tiếp vào các tham số hợp đồng tái bảo hiểm (tỷ lệ chia sẻ $\alpha$, mức duy trì $M$) (Bổ đề 3.7).
- Thiết lập các ước lượng chặn trên dạng mũ Cramér-Lundberg cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm bằng phương pháp martingale (Định lý 3.2).
- Chứng minh được sự tồn tại của tỷ lệ chia sẻ $\alpha$ để xác suất thiệt hại của cả hai công ty đồng thời nhỏ hơn một ngưỡng bé tùy ý cho trước bằng cả phương pháp martingale (Hệ quả 3.3) và phương pháp truy hồi (Hệ quả 4.x), cung cấp cơ sở toán học vững chắc cho bài toán dung hòa quyền lợi tài chính giữa hai đối tác.
- Đề xuất phương pháp truy hồi để xây dựng chặn trên phi số mũ cho xác suất thiệt hại trong mô hình quota share, chứng minh các chặn trên này bé hơn chặn trên dạng mũ trong một số trường hợp cụ thể.
Kiến nghị và giải pháp đề xuất từ kết quả nghiên cứu:
- Doanh nghiệp bảo hiểm và doanh nghiệp tái bảo hiểm nên căn cứ vào quy mô vốn ban đầu ($u_0, v_0$) của mỗi bên để đàm phán tỷ lệ chia sẻ $\alpha^* = \frac{u_0}{u_0 + v_0}$, qua đó giảm thiểu tối đa rủi ro phá sản liên kết của toàn bộ hệ thống hợp tác.
- Trong công tác quản trị rủi ro định lượng, các công ty nên kết hợp linh hoạt giữa chặn trên dạng mũ (martingale) và chặn trên phi số mũ (truy hồi) tùy theo cấu trúc dữ liệu tổn thất để đạt được cận đánh giá an toàn tối ưu.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
Hạn chế của luận án:
- Toàn bộ các kết quả được xây dựng trong khuôn khổ mô hình thời gian rời rạc ($n \in \mathbb{N}$); chưa mở rộng sang mô hình thời gian liên tục ($t \ge 0$).
- Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ở Chương 2 dựa trên giả thiết các biến ngẫu nhiên thu phí và bồi thường nhận giá trị trong tập hữu hạn các số không âm ($G_Y, G_X$), chưa áp dụng trực tiếp cho các phân phối xác suất liên tục tổng quát.
- Mô hình lãi suất giới hạn ở xích Markov thuần nhất trên tập trạng thái hữu hạn, chưa xét đến các quá trình lãi suất ngẫu nhiên liên tục phức tạp.
- Phương pháp truy hồi ở Chương 4 mới chỉ áp dụng cho hình thức tái bảo hiểm quota share, chưa xây dựng cho tái bảo hiểm excess of loss.
Hướng nghiên cứu tiếp theo:
- Mở rộng bài toán tối ưu tỷ lệ chia sẻ và tính toán xác suất thiệt hại liên kết sang các mô hình rủi ro thời gian liên tục.
- Phát triển phương pháp tính đúng hoặc xấp xỉ xác suất thiệt hại liên kết đối với các phân phối tổn thất liên tục có đuôi nặng.
- Nghiên cứu áp dụng phương pháp truy hồi cho mô hình tái bảo hiểm excess of loss và các mô hình rủi ro có sự phụ thuộc giữa dòng thu phí và dòng chi trả.
Giá trị tham khảo
Đối tượng thụ hưởng và ứng dụng:
- Giảng viên, nghiên cứu sinh và học viên cao học thuộc các chuyên ngành Toán ứng dụng, Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học, Toán tài chính và bảo hiểm (Actuarial Science).
- Các chuyên gia định phí bảo hiểm (actuaries) và nhà quản trị rủi ro tại các doanh nghiệp bảo hiểm phi nhân thọ, doanh nghiệp tái bảo hiểm và các cơ quan quản lý, giám sát bảo hiểm.
Nội dung học thuật giá trị cao:
- Chương 2 cung cấp công thức tối ưu $\alpha^* = \frac{u_0}{u_0 + v_0}$ cùng hệ thống thuật toán giải tích tính đúng xác suất thiệt hại liên kết, là tài liệu tham khảo mẫu mực cho việc thiết kế hợp đồng tái bảo hiểm tỷ lệ.
- Chương 3 và Chương 4 cung cấp khung phương pháp luận áp dụng giải tích ngẫu nhiên (martingale rời rạc, định lý dừng Doob, bất đẳng thức maximal) và giải tích đệ quy để ước lượng độ an toàn vốn trong môi trường kinh doanh có lãi suất biến động.
Câu hỏi thường gặp
-
Tỷ lệ chia sẻ tối ưu làm cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình tái bảo hiểm quota share được xác định bằng công thức nào? Theo Định lý 2.1 (trường hợp không có lãi suất) và Định lý 2.2 (trường hợp có lãi suất), tỷ lệ chia sẻ tối ưu duy nhất giúp cực tiểu hóa xác suất thiệt hại liên kết $\psi_n$ là $\alpha^* = \frac{u_0}{u_0 + v_0}$, trong đó $u_0$ là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm và $v_0$ là vốn ban đầu của công ty tái bảo hiểm. Công thức này độc lập với quy luật phân phối của dòng thu phí, chi trả bồi thường và lãi suất.
-
Điểm khác biệt căn bản giữa chặn trên xác suất thiệt hại thu được bằng phương pháp Martingale và phương pháp truy hồi là gì? Chặn trên thu được bằng phương pháp martingale (Chương 3) có dạng hàm mũ Cramér-Lundberg ($e^{-u_0 R}$), đòi hỏi điều kiện tồn tại của hàm sinh moment và hệ số hiệu chỉnh Lundberg. Trong khi đó, chặn trên thiết lập bằng phương pháp truy hồi (Chương 4) không có dạng hàm mũ, nhưng có thể áp dụng linh hoạt hơn và cho giá trị chặn trên bé hơn (chặt hơn) so với chặn trên dạng mũ trong một số trường hợp cụ thể.
-
Điều kiện cần thiết về biến ngẫu nhiên thu phí và chi trả để áp dụng các công thức tính chính xác ở Chương 2 là gì? Luận án đặt ra Giả thiết 2.1 và 2.2: Biến ngẫu nhiên thu phí $Y_n$ phải nhận giá trị trong tập hữu hạn các số không âm $G_Y = {y_1, y_2, \dots, y_{N_3}}$ với xác suất $q_k = P(Y_n = y_k)$, và biến ngẫu nhiên chi trả $X_n$ nhận giá trị trong tập hữu hạn các số không âm $G_X = {x_1, x_2, \dots, x_{N_4}}$ với xác suất $p_k = P(X_n = x_k)$.
-
Luận án giải quyết bài toán dung hòa rủi ro giữa công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm như thế nào? Thông qua Hệ quả 3.3 (phương pháp martingale) và Hệ quả 4.x (phương pháp truy hồi), luận án đã chứng minh về mặt toán học sự tồn tại của tỷ lệ chia sẻ $\alpha$ sao cho cả hai xác suất thiệt hại riêng phần $\psi^{(1)}$ của công ty bảo hiểm và $\psi^{(2)}$ của công ty tái bảo hiểm đều đồng thời nhỏ hơn một ngưỡng bé $\epsilon > 0$ tùy ý cho trước, khắc phục xung đột lợi ích một chiều giữa hai công ty.
-
Yếu tố lãi suất đầu tư được mô hình hóa theo quy luật nào trong luận án? Dãy lãi suất của công ty bảo hiểm $I^{(1)} = {I_n^{(1)}}{n \ge 0}$ và công ty tái bảo hiểm $I^{(2)} = {I_n^{(2)}}{n \ge 0}$ được mô hình hóa độc lập dưới dạng các xích Markov thuần nhất thời gian rời rạc, nhận giá trị trong các tập trạng thái hữu hạn các số thực dương $E = {i_0, i_1, \dots, i_{N_1}}$ và $F = {j_0, j_1, \dots, j_{N_2}}$ với ma trận xác suất chuyển trạng thái xác định.
Kết luận
Luận án tiến sĩ của tác giả Nguyễn Quang Chung đã phát triển hệ thống mô hình rủi ro rời rạc có xét đến tác động đồng thời của hai nghiệp vụ tái bảo hiểm quota share và excess of loss cùng yếu tố lãi suất dạng xích Markov. Công trình đã giải quyết trọn vẹn bài toán xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu $\alpha^* = \frac{u_0}{u_0 + v_0}$ để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết và thiết lập các công thức tường minh tính chính xác xác suất thiệt hại cho cả hai công ty. Bằng việc ứng dụng lý thuyết martingale và phương pháp truy hồi, luận án đã cung cấp các hệ số hiệu chỉnh, chặn trên dạng mũ Cramér-Lundberg và chặn trên phi số mũ, đồng thời chứng minh khả năng dung hòa rủi ro tài chính giữa doanh nghiệp bảo hiểm và tái bảo hiểm. Các kết quả này đóng góp những luận cứ giải tích và xác suất chặt chẽ, có giá trị khoa học và ứng dụng thiết thực trong lĩnh vực toán bảo hiểm.