Chương 1 Hệ thống lý thuyết nghiên cứu về lực Casimir 1.1 Tổng quan về lực Casimir 1.1 Dao động điểm không và biểu hiện của chúng Trước tiên chúng ta bàn về khái niệm năng lượng điểm không. Chúng ta đều biết rằng, năng lượng chuyển động nhiệt của một vật tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối. Như vậy, khi nhiệt độ môi trường là không độ tuyệt đối thì vật sẽ đứng yên, tức là năng lượng của nó bằng không. Điều này có nghĩa là tại nhiệt độ không tuyệt đối chúng ta có thể biết chính xác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô, tức là vi phạm nguyên lý bất định Heisenberg.
Để thỏa mãn nguyên lý bất định Heisenberg thì ở nhiệt độ không tuyệt đối, vật vẫn phải có một năng lượng nào đó gọi là năng lượng điểm không. Khái niệm năng lượng điểm không được Planck sử dụng đầu tiên khi ông thiết lập công thức tính mật độ bức xạ của vật đen tuyệt đối [47]. Với khái niệm năng lượng điểm không, Planck đã 9 luan an thiết lập được công thức tính mật độ bức xạ của vật đen tuyệt đối phù hợp với thực nghiệm. Ví dụ đơn giản nhất về năng lượng điểm không là năng lượng của dao động tử điều hòa.
Ở trạng thái dừng thứ n, năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều có tần số góc ω là 1 En = ~ω n + , (1.1) 2 với ~ là hằng số Planck rút gọn và n = 0, 1,. Như vậy, trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa này có năng lượng là ~ω E0 = 6= 0.2) 2 Bằng chứng thực nghiệm đầu tiên về sự tồn tại của năng lượng điểm không được quan sát bởi Mulliken vào năm 1924 [51] khi ông nghiên cứu cấu trúc quang phổ của ô-xít bo. Chân không lượng tử là trạng thái cơ bản của vạn vật, vô hướng, trung hòa và mang năng lượng cực tiểu. Năng lượng của một trạng thái 3~ω 5~ω vi mô nào đó, theo nguyên lý bất định, là chuỗi của ~ω 2 , 2 , 2 ,.
Như vậy, ngay tại nhiệt độ không tuyệt đối thì các nguyên tử, phân tử vẫn luôn dao động, điều này tạo nên các thăng giáng lượng tử. Do năng lượng tối thiểu khác không và tần số ω có thể nhận bất cứ giá trị nào từ không đến vô cùng nên chân không lượng tử có năng lượng vô hạn khi ta lấy tích phân theo tất cả các tần số dao động ω. Tuy nhiên, do tính vô hướng, trung hòa, mà lại có năng lượng vô hạn nên theo lý thuyết trường lượng tử, không gian trống rỗng thật ra đang tràn ngập vật chất có thời gian sống ngắn, các hạt và phản hạt xuất hiện trong khoảnh khắc, chúng tương tác, biến đổi, phân rã trở về 10 luan an với “không”, cứ như vậy nối tiếp vòng sinh hủy. Phản ánh tác động của chân không lượng tử, hiệu ứng Casimir đã được phát hiện và kiểm chứng thành công.
Một điều quan trọng nữa là chúng ta cần xem xét mối liên hệ giữa hiệu ứng Casimir với các hiệu ứng khác trong lý thuyết trường lượng tử có liên quan đến sự tồn tại của các dao động điểm không, chẳng hạn hiệu ứng phân cực lượng tử gây ra bởi các trường ngoài. Một tính chất quan trọng của hiệu ứng này là sự không triệt tiêu của năng lượng chân không phụ thuộc vào độ lớn của trường ngoài. Các biên của hệ có thể được xem như là các trường ngoài [11, 24]. Điều này dẫn đến kết quả là lực Casimir cũng phụ thuộc vào điều kiện biên [45].2 Hiệu ứng Casimir Hiệu ứng Casimir ở dạng nguyên gốc [16] được Casimir phát hiện chính là sự tương tác giữa hai tấm kim loại phẳng, trung hòa về điện, đặt song song với nhau trong trường điện từ.
Nguyên nhân được giải thích là do sự biến dạng chân không của điện từ trường giữa hai bản kim loại này. Hiện tượng này không thể giải thích bằng lý thuyết cổ điển vì hai tấm kim loại không mang điện. Rõ ràng đây là một hiệu ứng thuần túy lượng tử, trạng thái cơ bản của điện từ trường trong lý thuyết điện động lực học lượng tử đã tạo ra một lực làm cho các tấm kim loại này hút nhau. Để hiểu rõ hơn vấn đề này, chúng ta hãy khảo sát nó trên quan điểm của cơ học lượng tử bằng cách khảo sát một dao động tử điều hòa với 11 luan an năng lượng của các trạng thái dừng theo phương trình (1.1) và ở trạng thái cơ bản theo phương trình (1.
Theo quan điểm của quá trình lượng tử chính tắc, năng lượng của trạng thái cơ bản này được liên kết với sự tùy ý của toán tử sắp xếp trong việc xác định toán tử Hamilton Ĥ bằng cách thay thế vào toán tử Hamiltonian cổ điển H(p, q) và các biến động học bởi các toán tử tương ứng Ĥ = H(p̂, q̂). Phải nhấn mạnh rằng, năng lượng trạng thái cơ bản E0 không thể quan sát được bằng các phép đo trong hệ lượng tử, tức là trong quá trình chuyển dịch giữa các trạng thái lượng tử khác nhau, hoặc ví dụ trong các thí nghiệm tán xạ. Tuy nhiên, tần số ω của dao động tử có thể phụ thuộc vào các tham số bên ngoài hệ lượng tử. Vào đầu năm 1919, điều này đã được phát hiện bởi sự giải thích của áp suất hơi ở các đồng vị nhất định, khối lượng khác nhau tạo ra sự thay đổi cần thiết ở tham số ngoài.
Khi giải quyết bài toán này theo lý thuyết trường lượng tử, chúng ta phải giải quyết vấn đề về sự phân kỳ tử ngoại của một số đại lượng. Nguyên nhân là do năng lượng của trạng thái cơ bản được định nghĩa là tổng năng lượng của các mode trong trường lượng tử, tức là [14], ~X E0 = ωn , (1.3) 2 n trong đó chỉ số n là số lượng tử đặc trưng cho các mode trong trường lượng tử. Phép lấy tổng trong công thức (1.3) rõ ràng không hội tụ. Casimir là người đầu tiên đã khử được phân kỳ của năng lượng điểm không trong trường điện từ lượng tử bị giam giữ giữa hai tấm kim loại phẳng, trung hòa, đặt song song với nhau.
Phần hữu hạn chính là năng lượng Casimir và tương ứng với nó là lực Casimir. 12 luan an Để khử các phân kỳ sinh ra từ năng lượng chân không, ta đưa vào khái niệm N –tích sao cho trung bình chân không triệt tiêu h0|N (ABC .4) Về mặt lịch sử, sự ra đời của hiệu ứng Casimir liên quan đến việc giải thích lực tương tác giữa hai phân tử trung hòa do van der Waals đề xuất vào năm 1873. Nhưng mãi đến năm 1930, người ta mới bắt đầu hiểu được nguồn gốc của lực này khi London [72] chỉ ra bản chất lượng tử của nó, thế năng tương tác giảm mạnh theo khoảng cách R. Thế năng tương tác giữa hai lưỡng cực là 1 V ∼ .5) R6 Mãi đến năm 1948, khảo sát của Casimir và Polder cho thấy ở khoảng cách lớn, thế tương tác giảm nhanh hơn [17], 1 V ∼ .6) R7 Từ đó, hình thành khái niệm về sự tương tác phụ thuộc khoảng cách, tức là tương tác tầm xa.
Với quan điểm này, hiệu ứng Casimir đơn giản là sự thể hiện vĩ mô một tổng vô số các tương tác van der Waals. Tuy nhiên, sau công trình của Casimir được công bố, Borh đã gợi ý, năng lượng chân không chính là nguồn gốc lực tương tác giữa các phân tử. Theo hướng đó, người ta khảo sát mô hình đơn giản: trong trường chân không điện từ ta đặt vuông góc với trục z hai tấm kim loại dẫn điện lý √ tưởng với diện tích S và cách nhau một khoảng ` sao cho ` S. 13 luan an hai tấm kim loại không mang điện hai tấm kim loại không mang điện dao động chân không lực Casimir Hình 1.1: Lực Casimir giữa hai tấm phẳng mỏng song song [35].
Với trường vô hướng không khối lượng Φ, tenxơ năng-xung lượng có dạng 1 T µν = ∂ µ Φ∂ ν Φ − g µν ∂ λ Φ∂λ Φ, (1.7) 2 thì năng lượng điểm không (1.3) được tính theo công thức Z 1 X ~ ωn = d~x h0| T 00 |0i .8) 2 n Lực tác dụng lên mỗi tấm là [48], Z f= dxdy h0|Tzz |0i .9) S Đối với trường điện từ được xác định bởi vectơ cường độ điện trường ~ và cường độ từ trường H E ~ thì thành phần theo phương 0z của tenxơ năng-xung lượng (1.10) 2 ~ E trong đó Hz , Ez và H⊥ , E⊥ lần lượt là hình chiếu của H, ~ lên các phương 0z và phương vuông góc với 0z.10) sẽ cho ta giá 14 luan an trị phân kỳ. Để giải quyết vấn đề này, Casimir đã trừ đi phần năng lượng chân không vô hạn của trường điện từ lượng tử trong không gian Minkowski tự do. Kết quả thu được phần hữu hạn là Z f= dxdy 0|Tzz − Tzz (vô hạn)|0 .11) S Áp dụng điều kiện biên cổ điển Hz = E⊥ = 0, (1.12) cho sóng điện từ có véctơ sóng ~k = (kx , ky , kz ) = (k⊥ , kz ) và véctơ phân ~ sử dụng phương pháp hàm Green, Plunien và cộng sự [57] tìm cực d, được ~ ikx x eiky y sin(kz z)e−iωk t , ~ = iωk de E ~ = ~k × dω H ~ k de ~ ikx x eiky y cos(kz z)e−iωk t .13) Từ các công thức trên, lực Casimir tác dụng lên tấm kim loại được tính theo công thức [14, 57], π 2 ~c f =− S, (1.14) 240`4 trong đó c là tốc độ ánh sáng trong chân không. Ngoài phương pháp trên, phân kỳ trong năng lượng điểm không (1.3) còn có thể khử bằng phương pháp hàm zeta Riemann ζ(x) được định nghĩa như sau ∞ X ζ(s) = n−s .13), thành phần theo trục 0z của véctơ sóng có dạng kz ≡ kn = nπ/`, do đó n2 π 2 ωn2 = c2 2 k⊥ + 2 .16) ` 15 luan an Thay (1.3), ta thu được năng lượng điểm không là ∞ Z 2 X r d k⊥ 2 n2 π 2 E0 = S~c k⊥ + 2 .17) (2π)2 n=1 ` Hệ số 1/2 trong (1.17) biến mất là do ta đã tính đến hai trạng thái phân cực của sóng điện từ.17) phân kỳ và để khử phân kỳ này ta đưa vào thừa số hiệu chỉnh ζ có dạng ωns .17) có thể viết dưới dạng ∞ (1−s)/2 d2 k⊥ X 2 n2 π 2 Z E0 = S~c k + 2 .18) (2π)2 n=1 ⊥ ` Chuyển sang hệ tọa độ cực và chú ý đến (1.19) ` 3 − s n=1 ` 3−s Để loại bỏ thừa số hiệu chỉnh đã thêm vào (1.18), ta lấy giới hạn của (1.