Chương 1 - DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU CỦA CHẤT KHÍ HOÀN HẢO TRONG ĐƯỜNG ỐNG TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT Trên thực tế các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi nhiệt của dòng khí và một yếu tố khác nữa cùng một lúc tồn tại nên việc nghiên cứu dòng chảy là hết sức phức tạp. trong chương này chúng ta sẽ thu nhận hệ phương trình tổng quát khi mà nhiều yếu tố ảnh hưởng cùng hiện diện và xem xét một số trường hợp đặc biệt. Ngoài các yếu tố như thay đổi thiết diện đường ống, ma sát đường ống, trao đổi nhiệt của dòng khí chúng ta còn đề cập thêm các yếu tố như sau: sự tồn tại của các vật rắn trong dòng chảy; dòng chảy có thêm vào hoặc bớt đi một lượng khí tại một thiết diện nào đó; dòng khí trong khi chuyển động thực hiện một công cơ học hoặc được tạo một công cơ học trên nó. Bên cạnh các yếu tố thuần túy cơ học nói trên còn phải kể đến các yếu tố ít nhiều mang bản chất hóa học cũng ảnh hưởng nhiều đến dòng chảy.
Đó là các yếu tố như phản ứng hóa học xảy ra trong dòng chảy; sự chuyển pha: ngưng tụ hoặc bốc hơi của các chất lỏng có trong dòng chảy: sự thay đổi trọng lượng phân tử hoặc các 2 đặc trưng về nhiệt do phản ứng hóa học hoặc sự ngưng tụ, bốc hơi gây nên. Các yếu tố ’’hóa p p học’’ này được xem xét cùng với các yếu tố V V B cơ học nói trên trong [3] khá kỹ. Trong luận A A 1 M M văn này chúng ta chỉ đề cập đến nhóm các yếu p,V T T dQ tố cơ học. A,M dm dW Chúng ta cần đến các giả thiết: dòng T,ρ chảy là một chiều, dừng và liên tục.1 -6- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hệ phương trình tổng quát Xét một phần tử thể tích như trên hình 1.1, giới hạn bởi hai thiết diện 1-1 và 1-2 và phần tử đường ống tiếp xúc với dòng khí giữa hai thiết diện đó.
Giả sử B là vật rắn tồn tại trong không khí. Để cho đơn giản, ta giả thiết rằng, trong trường hợp nếu một lượng khí được phun thêm vào dòng chảy thì chất khí phun thêm có cùng tính chất cần thiết như chất khí chính. Khi đó phương trình liên tục viết cho thể tích chọn trên sẽ có dạng: 2V2 A2 1V1 A1 m trong đó Δm là lượng khí thêm vào hoặc bớt đi từ dòng chảy trong thể tích đang xem xét. Ký hiệu m=ρAV là lưu lượng dòng chảy chính.
Khi đó từ biểu thức trên ta có thể thu nhận phương trình vi phân như sau: dV d dA dm (1.1) V A m Phương trình động lượng viết cho phần tử thể tích đã chọn có dạng: p1 A1 p2 A2 pA w Acos Rb m mV2 mV1 mVa trong đó: - pΔA là tổng hợp lực áp suất tác động lên ΔAw được chiếu xuống phương dòng chảy Ox; - τwΔAwcosφ lực ma sát của đường ống tác động lên dòng khí với φ là góc lệch của đường sinh của đường ống so với Ox - ΔRb là lực cản của vật rắn B - ΔmVa là động lực của phần khí thêm vào hoặc bớt đi với vận tốc Va. Ta coi φ là góc nhỏ (do giả thiết dòng một chiều) nên có thể lấy cosφ=1. Mặt khác, lực ma sát đường ống có thể biểu diễn ở dạng: V 2 4 x w A f 2 D -7- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó f là hệ số ma sát, D là đường kính thủy lực tương đương của tiết diện đường ống. Tương tự như vậy, đối với lực cản của vật rắn người ta cũng biểu diễn ở dạng: V 2 Rb cx Sb 2 trong đó cx là hệ số lực cản; Sb là diện tích đặc trưng của vật.
sử dụng các biểu thức này cho lực ma sát và lực cản để thay vào phương trình động lượng ở trên rồi chia hai vế cho ρV2 và lấy giới hạn khi hai thiết diện 1-1 và 1-2 của phân tử thể tích tiến sát vào nhau, ta được phương trình ở dạng vi phân: dp f 4dx cx dV dm Va dm S b (1.2) V 2 2 D 2 V m V m V 2 p V 2 p Thay V M 2 p ở số hạng đầu trong (1.2), ta thu được: 2 RT RT dp 2 dV M 2 4dx Va 2 dm M f c S x b 1 M (1.3) p V 2 D V m Tiếp theo, ta xem xét phương trình năng lượng. Trước tiên viết cho phần tử thể tích: Va 2 Va 2 m h2 h1 mh0a Q W 2 2 trong đó ΔQ là lượng nhiệt trao đổi trong thể tích xem xét; ΔW là công cho dòng khí thực hiện(như làm quay tuốc bin) hoặc công cấp cho dòng khí (như máy nén hoặc cánh quạt đẩy). Trong trường hợp thứ nhất ta lấy dấu trừ, trường hợp thứ hai ta lấy dấu cộng trước số hạng W. Tương tự, nếu cấp nhiệt ta lấy dấu cộng và nếu thu nhiệt ta lấy dấu trừ trước ΔQ , còn Δh0a là chênh lệch enthanlpy toàn phần của lượng khí thêm vào hoặc bớt đi.
Do đó: V 2 Va2 h0a m c p T Ta 2 -8- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó Ta và Va là nhiệt độ và vận tốc của lượng khí đó. Thay h=cpT, chia phương trình năng lượng cho m và lại xét giới hạn khi phân tử thể tích co về một thiết diện, ta nhận được một phương trình : dm c p dT VdV dh0a dq dw c p dT0 m 2 dV a và thay c pT 2 Tiếp theo viết VdV V V 1 rồi chia 2 vế của phương trình trên cho cpT, ta thu được: dT dV dm dT T 1 M 2 V dh0a dq dw / c pT 0 m T (1.4) Phương trình trạng thái của chất khí hoàn hảo ở dạng vi phân có dạng: dp d dT 0 (1.5) p T Các phương trình (1.5) đủ để xác định dV/V, dT/T, dp/p, và dρ/ρ. Do số m có mặt trong các phương trình đó nên sẽ tiện lợi hơn nếu ta thu nhận thêm phương trình nữa cho m. Ta có: M2≡V2/(γRT) từ đây ta có thể rút ra: dM dV dT 0 (1.6) M V 2T Như vậy, khi đã cho quy luật thay đổi của dA, dm, f, cx, D, Va, Ta, dq, dw, từ (1.6) chúng ta hoàn toàn xác định sự biến thiên của V, p, ρ, T, M theo các đại lượng vừa kể trên và dọc theo chiều dài dòng chảy trong ống.
Cụ thể, ta nhận được các phương trình sau: dV 1 2 e a d ; V M 1 -9- LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.7) m M 2 1 T trong đó dT0 biểu diễn qua dq và dw bằng hai vế của (1. bằng cách xem xét từng yếu tố riêng biệt ở vế phải của (1.7), chúng ta có thể thấy tác động của mỗi yếu tố đó lên dòng chảy. Chẳng hạn, giữ lại số hạng đầu tiên của vế phải, các số hạng khác cho bằng không ta sẽ rút ra được kết luận như ở chương 4 về ảnh hưởng của dA lên dòng chảy. Để tính các thông số của dòng chảy dọc theo đường ống khi đã biết các thông số đó ở một thiết diện nào đó trong dòng chảy, ta tích phân cùng lúc (1.7) và - 10 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phương trình cho T.
Sau khi đã tính được M(x) và T(x), các thông số còn lại được tính trực tiếp từ các biểu thức giải tích: V Ma M RT ; VA 1V1 A1 m và p RT Cần lưu ý đặc điểm sau của dòng chảy trong trường hợp tổng quát này.7) chúng ta thấy, nói chung, có thể tồn tại thiết diện ở đó M=1 và tại đó vế phải của (1.7) và các phương trình khác sẽ không xác định. Nếu ta viết (1.7) ở dạng: ( M 2 1)dM M ( M ( x), A( x), f , cx , dq, dw, dm) trong đó φ là biểu thức vế phải của (1.7), chúng ta thấy, tại thiết diện x=x* nơi có M=1 thì φ(1, A(x*), f, c*, dq(x*), dw(x*), dm(x*))=0. Đây cũng chính là phương trình để tìm x*. về nguyên tắc, khi chúng ta tích phân (1.7) thì các đại lượng f và cx trong biểu thức vế phải được coi là các hằng số và bằng một giá trị trung bình nào đó.
Sau khi tìm được x*, ta cần tìm dM(x*).Giá trị đó tìm như sau: ta cho dM(x*) một giá trị nào đó và tích phân ngược trở lại đến thiết diện mà ở đó đã biết trước M. Chẳng hạn ta tích phân (1. từ x* đến x1(x1<x*) và theo giá trị M1 đã cho để chỉnh dM(x*) cho phù hợp. Quy trình tìm dM(x*) cũng giống như tìm hệ số f khi chưa cho biết lưu lượng dòng chảy trong mục 2.2 để cho quá trình sấp sỉ liên tục(chẳng hạn bằng phương pháp Newton) chóng hội tụ, ta có thể lấy giá trị gần đúng ban đầu cho dM(x*) bằng cách sau.
Ta coi ( x, M ) x' ( x, M ) dM ( x* ) lim lim (1.8) x x* M 2 1 x x* 2 MdM Trong biểu thức (1.8), giới hạn của vế phải sẽ là x' ( x* ,1) / dM ( x* ) khi đó dM ( x* ) sẽ được tìm từ phương trình: (dM ( x* )) 2 x' ( x* ,1) (1.9) Cần phải giải thích rằng, giá trị dM(x*) tìm từ phương trình (1.9) không phải là phù hợp ngay cho bài toán của chúng ta trong trường hợp này, bởi vì việc coi f và cx là các consts trên toàn bộ độ dài đường ống sẽ dẫn đến sự không phù hợp trên, nghĩa là, - 11 - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nếu ta tích phân (1.7) từ x* ngược trở lại x1 với dM(x*) từ (1.9) thì giá trị M1 nhận được tại x1 có thể sẽ khác nhiều so với giá trị đã cho trước của M tại đó.