Chương 1 Một số vấn đề tổng quan Trong chương nàu, tôi sẽ trình bày tổng quan uÈ mạng graphene đơn lớp nà mô hình liên kết mạnh cho mọng này.1 Tổng quan về mạng graphene đơn lớp Carbon có nhiều dạng thù hình, có thể kể dến một số dạng ta thường được nghe như kim cương, graphite, carbon vo định kink, Graphene là một dạng thù hình hai chiều của carbon và là thành phần cấu trúc cơ bản của một số dạng thù hình khác của carbon bao gồm than chì, ống nano carbon va fullerene [3], [13|. Graphene có cầu trúc mạng hình lục giác giống như tổ ong với mỗi nguyêntử có bón điện tử hóa trị. Ba trong điện tử ở dang liên kết mạnh (liên kết ) với ác nguyên tử lân cận trong mặt phẳng graphene vi à y sẽ lắp đã các lớp theo nguyên ly Pauli, Chúng có cấu trúc tam giác trên mặt phẳng (lai héa sp? giữa một orbitan s với hai orbitan p). Liên kết mạnh ø giữa các nguyên tử carbon (C) là nguyên nhân tạo nên tính bền vững cơ học của graphene.
Ba điện tử liên kết mạnh không đóng vai trò gì trong tính dẫn của graphene [3] Điện tử thứ tư được xét ở trạng thái 2p, vuông góc với cấu trúc phẳng, nó liên ng hóa trị với các nguyên tử carbon lân cận. Dạng, của điện tử thứ tư là một liên kết z với các nguyên tử carbon lân cận. 2 Do chỉ có một điện tử trong mỗi orb’ nên chỉ lấp đầy một nửa các dải. Chính vì thế, chí có điện tử thứ tư đóng vai trò trong độ dẫn.
Từ đó, ta có thể xem graphene chỉ có một điện tử dẫn ở trạng thai 2p. [3] Phần còn lại cña đề tài này ta chỉ xét trang thái 2p; của các nguyên tử riêng lễ và khảo sát sự chồng chập giữa các hàm sóng trạng thái các nguyên tử carbon của toàn bộ mạng graphene trong phương pháp gần. đúng liên kết mạnh.1: Mang graphene [3] "Trong hầu hết các bài báo, người ta chọn các kí hiệu 4 (mầu đỏ) và (màu xanh dương) tương ứng với hai mạng con của mạng graphene, hầu hết tắt cả các hình trong đề tài này đều có mầu xanh dương và đỏ để phân biệt hai mạng con. giờ, ta có thể viết tất cả các vector vị trí của nguyên tử trong mang graphene một cách cụ thể dựa vào vector cơ sở ấn và ä; được định nghĩa như sau z.
(8 3 OSE (14) trong đó a = 14 Â là khoảng cách giữa hai nguyên tử Ở liền kẻ BI. [8] 'Ta phải chọn một vị trí làm gốc, vì thế, tôi chọn gốc ở một nguyên tử mạng con Ö như trong Hình 12. Các vector vị trí jz chỉ các của các nguyên tử ở mạng con Ö, do graphene hai chiều nên zï chỉ là cácchi s6 my va me, trong đó mmạ,mmạ € Z. Các vector Ổ„ của mạng con mầu xanh dương có thể được viết Bas = Brag = muấn + mấy (12) Hinh 1.2: Biéu diễn he đô tướng ứng với ede vi trí nghyên Lử trong môi mạng, graphene vối gốc nằm ở L nguyên tử của mạng con màu xanh dương B |3] Các vector mạng con 4 khác với các vector mang con B bai phép tỉnh tiến đ= a (0,1) được mô tả trong Hình 1.
Và các vector của mạng con Ala A; lie nay duge viét Ay = Aang = md + m2 + T= Boy, +E (13) G phitong trinh trên, nị, nạ € Z, "Ta có thể xây dựng Hamiltonian tổng quát cho graphene bao gồm tất cả các nguyên tử lân cận với kí hiệu vector cùng các chỉ số mn và n như ta đang nghiên cứu trong tính chất hai chidu & day [3], [6], [8] Hoon = > (bbs + than) + ` Ean (chan + Mya + Hoe ) š as) = Hyon + Hyena 86 hang dau, Agen.o, ở về cuối trong phương trình (14) trên tương ứng. với tắt cả các bước nhảy giữa các nguyên tử lân cận thuộc các mạng con. khác nhau (24 sang B và sang 4) với các năng lượng dịch chuyển giữa các nút là sãz (sàn ca Số hạng thứ hai, Ñ„„¡, ở vế cuối của phương trình (14) tương ứng với tất cả các bước nhảy giữa các nguyên tử lân cận trong cùng mạng con (A sang A va B sang B) với các năng lượng dich chuyển giữa các Hyena = Soba («has + bibs + Hee (1.6) at ‘Toan tit a} (az) sinh (hiy) mot din tit trén vi tri nguyen tit Az cia mang con A (màu đỏ) và toán tử bỈ, (bạ) sinh (hủy) một điện tử trên vị trf nguyen tt By cia mang con (màu xanh dương). Hệ thức phản giao hoán cho mỗi toán tử az và bạ [3| 7) {ma of (18) Các toán tử của mạng con A (a; 4Ì) và các toán tử của mạng con (bạ, ĐỲ,) phản giao hoán với nhau |3| a0) = {esdl,} = {ab ba} = fal, 6h} (19) Vector trạng thái của cả hệ là sự chồng chập cũa hai vector trang thái, một vector là của một mạng con |3] |ứo = AlAp) + 8 |Bi).
Các vector trạng thái |Ap) và |B¿) là sự chồng chập của các trạng thái nguyên tử ở mỗi vị trí nguyên tử trong các mạng con 4 (đỏ) và Ö (xanh dương) tương ứng, được kết hợp để chiềm toàn bộ các vị trí nguyên tử của mạng trong graphene đơn lớp và xem như có tính dịch chuyển đối xứng, tức là hàm Bloch cho các vedor trạng thái |g) à |B;) [3], [9]; ta có: fh A lữ, A) = eal), (11) (1.12) Trong hai phương trình trên, ta đã sử dụng toán tử sinh øÌ 0Ì để viết Tại các vector trạng thái của các nguyên tử riêng lẻ thuộc các vị trí, trong mang graphene ditdi dạng các số hạng của toán tử sinh và trạng thái cơ bản của các trạng thái nguyên tử [3| |, A) = ab Jo), (1.16) Trong đó |0) là cơ bản của cả hệ, ta cũng có điều kiện sau: an |0) = bạ |) = (1.17) 'Ta luôn luôn có thé chon vector trạng thái của nguyên tử đã được chuẩn hóa; đối với mang con A ta có [3| (ii, Alt, A) = (0|azal:|0) = (1.18) và đối với mạng con B ta c6 phutong trình tương tự (#, B0, B) = (0|bzbÌ.19) 7 cùng ta có tích trong giữa các vector trạng thái nguyên tử của hai mạng con bằng 0 [3] (i, Alii, B) = (0| abl,|0) = (i, Blas, A) = (0|bzal-|0) =0. Thật vậy, ta có hệ thức sau [3] + y ef (hee) (3, Alit,A) (AilAg) (1.21) "Tương tự đối với vector |Bg) cia mang con B: (Bị|B;) (1.22) Và ta có tích trong giữa các vector tổng quát cũa các mạng con khác nhau bằng 0 [3| (Ae) Bg) = (BelAe) 0 (1. Mô hình liên kết mạnh trong graphene đơn lớp 1.1 Liên kết mạnh cho các nguyên tử lân cận gần nhất 'Ta bắt đầu bằng cách chỉ xét liên kết giữa các nguyên tử lân cận gần nhất. Các vector trạng thái của các nguyên tử xa hơn có sự chồng chéo rất nhỏ với nhau có thể xem bằng 0.
Có nghĩa là ấzz bằng Ú trong 18 phương trình (1.4) va cya chi khác 0 đối với các nguyên tử gà có cùng gi lá trị cp 3 eV, Hamiltonian cho hệ trở thành [3], [6] (1.24) Chỉ số ổ„ trong phương trình trên là vector đến nguyên tử lân cận gần nhất |3|. Sử dụng phương trình (1.10), phương trình Schrödinger trở thành: ly |x) = Ho(A|As) + B|Bs)) = E(A|Ax) + B|By)) (1.25) 'Ta nhận được hai phương trình kết hợp, một cho mỗi vector trạng thái Để tìm mối quan hệ năng lượng phân bổ cho graphene, ta phải gi phương trình trị riêng. Ta nhân phương trình trên (Bị|, được hai phương trình sau (Ab| Ho |x) = A (Aa| Ho|Ae) + B (As| Ho |Be) (1. Trong đồ ta đã sử dụng kết quả từ hai phương trinh (1.23) Hai phương trình ở trên có thể được viết lại trong không gian Ẽ, ta viết chúng ở dạng ma trận, phương trình Schrödinger của hệ là [3] (Ae| Ho Ae) (Al Ho |B) A Lp A (1.28) (Br| Ho|Av) (Bi| Ho|Bx)} \B, B Nếu ta sử dụng Hamiltonian Ap tit phitong trinh (1.24) và biểu thức của.
4i), |4) ở hai phương trình (1.12), ta có thể tính được từng số hạng của ma trận trên như sau: 2 (At| Ho Be) = eo Ye "1. Ta đã đặt hàm ø(Ê); = 3s afk) = oe (2.30) ot và với Ê = (k„. ky) ta tính được giá trị ø(): g(Ê) =2cos (Š-2)-“: + ele (1.32) 2 (a) mang com A (8) mạng con BỊ Hình 1.3: Các wetor ấy, trong các mạng con. Phương trình (1.28) được viết lại thành: +()-(4.36) Giá trị của || Ia: |uØ|= |L++es ( te) en (1.37) ‘Ta 06 thé tim hàm riêng của phươngt nh Schrodinger khi thay kết quả năng lượng E(Ê) vào phương trình (1.2 Liên kết mạnh cho các nguyên tử lân cận kế tiếp Bây giờ chúng ta xét dến các nguyên tử lân cận kế tiếp, bằng cách thêm vào các số hạng thể hiện bước nhảy giữa các nguyên tử lân cận kế tiếp, Hamiltonian trỡ thành [3], |§] x -.
2 (a) mang com A (0) mang con B Minh 14: Che veetor A, trong cée mang con [3 trong đó, £ ‘aa © 0.1 eV là năng lượng của bước nhảy giữa 2 nguyên. tử lân cận kế tiếp A-A (B-B) [8]. C6 séu vector A, cho mdi mang con, được minh họa trong Hình 14 [3] Phương trình Schrödinger ở (1.28) khi có xét đồn các nguyên tử lân cận kế tiếp trở thành: (AIf|Ao) (4.1/18) (4 A t4) (| Ñ|Ao (Bul Bi) ] \B, B, Tuong ty phan tritéc, ta sit dung Hamiltonian Hf 6 phuong trinh (1.40) và biểu thức của |A¿), |B), biểu thức của sáu vector A,, ta tính được. ” các phần tử trong ma trận ở phương trình (1.49) ‘Ta nhận được phương trình [3} 7 2 ye (0® ~£?) chal gtk)" =0, (1.50) từ đồ ta tính được: (1.51) m4 Sử dụng các biểu thức của ø(Ê) và ƒ(Ẽ) ta có thể tính được [3].
Nghiệm gần điểm Dirac Bay gid ta tré lai Hamiltonian Hp 4 phương trình (1. tử lân cận gần nhất, ta có fn) = 0 aø) (1.54) 3V3a Ta bắt dau voi diém K, va xem như Ê nằm trong vòng tròn trong. không gian vector Ê [3] ~Ñ,+ự (1.55) trong đó, ÿ là độ lệch nhỏ so với điểm Dirac fÝ. Sử dụng biểu thức trên thay vào ham g(k) ở phương trình (1.
Ke Hình Lõ: Biểu diễn vùng Brillouin cia graphene và hai điểm Diưac không tương đương: K, va KR [3 Bay gitt khi 7 la số nhỏ, chúng ta có thể khai triển e'#Š* và chỉ có số hạng đầu tiên hạng tuyến tính) có ảnh hưởng đáng kể; các kh: nhỏ [3]; ta có: =1 + Gin + OP) © 1+ iF. ‘Thay kết quả trên vào phương trinh (1.
