Motion Design of Cam Mechanisms by Using Non-Uniform Rational B-Spline

Luận án thiết kế chuyển động cơ cấu cam bằng NURBS của Thi Thanh Nga Nguyen tại RWTH Aachen (2018)

• Tác giả: Thi Thanh Nga Nguyen
• Người hướng dẫn: Burkhard Corves
• Trường học: Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen
• Chuyên ngành: Kỹ thuật cơ khí
• Đề tài: Motion Design of Cam Mechanisms by Using Non-Uniform Rational B-Spline
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Aachen

Tóm tắt

I. Tổng quan thiết kế cơ cấu cam bằng hàm NURBS tại RWTH Aachen

Nghiên cứu về thiết kế chuyển động cơ cấu cam bằng NURBS được bảo vệ thành công năm 2018 tại Đại học RWTH Aachen. Tác giả luận án là tiến sĩ Nguyễn Thị Thanh Nga, dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Burkhard Corves và Giáo sư Mathias Hüsing tại Viện IGMR. Đề tài tập trung giải quyết bài toán động học phi tuyến tính phức tạp trong các cơ cấu công nghiệp tốc độ cao. Cơ cấu cam đóng vai trò quan trọng trong việc tạo chuyển động theo yêu cầu công nghệ xác định. Hoạt động của con lăn cam phụ thuộc vào hình dạng hình học bề mặt tiếp xúc trực tiếp. Quy luật chuyển động của con lăn được biểu diễn qua bốn hàm cơ bản: chuyển vị, vận tốc, gia tốc và độ giật. Sự thay đổi đột ngột của đường cong gia tốc gây ra lực quán tính lớn lên toàn bộ hệ thống. Hiện tượng này làm tăng ứng suất tiếp xúc tại ổ đỡ và bề mặt rãnh cam, gây mài mòn nhanh. Luận án đã đề xuất phương pháp ứng dụng đường cong B-spline hữu tỉ không đều để mô hình hóa toàn diện quy luật động học. Kỹ thuật mới giúp kiểm soát trơn tru các thông số chuyển động và nâng cao tuổi thọ làm việc của chi tiết cơ khí.

1.1. Bối cảnh học thuật tại RWTH Aachen

Đại học RWTH Aachen là trung tâm nghiên cứu cơ khí hàng đầu tại Cộng hòa Liên bang Đức. Viện Lý thuyết Cơ cấu, Động lực học Máy và Robot (IGMR) sở hữu bề dày lịch sử về động học cơ cấu. Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Thanh Nga được triển khai trong môi trường học thuật chuyên sâu và nghiêm ngặt. Sự phát triển của các hệ thống tự động hóa đòi hỏi máy móc vận hành ở dải vận tốc ngày càng cao. Khi chu kỳ làm việc bị rút ngắn, ứng suất động và lực quán tính phát sinh rất lớn. Yêu cầu đặt ra là phải xây dựng các mô hình toán học giải tích mới. Luận án năm 2018 tại IGMR đã giải quyết bài toán nền tảng này một cách khoa học.

1.2. Khái niệm cơ bản về đường cong NURBS

NURBS là từ viết tắt của Non-Uniform Rational B-Spline, tức đường cong B-spline hữu tỉ không đều. Đây là tiêu chuẩn công nghiệp trong thiết kế máy tính (CAD) và đồ họa kỹ thuật. Đường cong NURBS được định nghĩa thông qua bậc đường cong, tập hợp điểm điều khiển, vector nút và trọng số tương ứng. Cấu trúc linh hoạt này cho phép mô tả chính xác cả hình học giải tích lẫn biên dạng tự do. Trong lĩnh vực cơ cấu cam, đường cong biểu diễn quy luật di chuyển của con lăn theo góc quay trục dẫn. Điều chỉnh điểm điều khiển hoặc trọng số giúp biến đổi cục bộ biên dạng mà không phá vỡ tính liên tục toàn cục. Đặc tính ưu việt này mở ra hướng tiếp cận mới cho thiết kế chuyển động cơ khí hiện đại.

II. Vấn đề và hạn chế của hàm truyền thống trong thiết kế cơ cấu cam

Thiết kế cơ cấu cam truyền thống dựa vào các hàm số tiêu chuẩn như đa thức bậc cao, hàm điều hòa và hàm xycloit. Mỗi nhóm hàm toán học cổ điển đều bộc lộ những nhược điểm cố hữu khi đáp ứng các điều kiện biên phức tạp. Hàm đa thức cho phép áp dụng số lượng điều kiện biên không giới hạn về vị trí, vận tốc, gia tốc và độ giật. Tuy nhiên, khi số lượng điều kiện biên tăng lên, bậc của đa thức bắt buộc phải nâng cao tương ứng. Đa thức bậc cao thường gây ra hiện tượng dao động không mong muốn theo hiện tượng Runge. Hiện tượng này làm xuất hiện các giá trị cực đại đột biến trên đồ thị gia tốc và độ giật. Hậu quả trực tiếp là lực quán tính tăng vọt và dao động rung chấn xuất hiện dữ dội trong hệ thống cam và con lăn. Ngược lại, hàm lượng giác như hàm điều hòa và xycloit lại chịu giới hạn khắt khe về số điều kiện biên xử lý được. Hàm điều hòa chỉ thỏa mãn tối đa bốn điều kiện biên. Đồ thị gia tốc của hàm điều hòa còn bị gián đoạn tại các điểm mút chu kỳ. Sự gián đoạn gia tốc dẫn tới xung lực vô hạn tại điểm bắt đầu và kết thúc hành trình, gây va đập cơ học phá hủy chi tiết máy.

2.1. Hạn chế của đa thức bậc cao và hàm lượng giác

Hàm đa thức và hàm lượng giác là hai công cụ truyền thống trong thiết kế động học cam. Khi sử dụng đa thức bậc cao để thỏa mãn nhiều ràng buộc, đường cong thường xuất hiện các sóng uốn cục bộ. Những dao động ngoài ý muốn này làm tăng vọt giá trị đỉnh của gia tốc. Ngược lại, hàm lượng giác điều hòa chỉ hỗ trợ cố định bốn điều kiện biên, còn hàm xycloit chỉ giải quyết được năm điều kiện. Khả năng tùy biến chuyển động của các hàm toán học này rất thấp. Hàm điều hòa tạo ra bước nhảy gia tốc tại điểm đầu và điểm cuối chu kỳ làm việc. Bước nhảy này sinh ra độ giật vô hạn, dẫn tới hiện tượng va chạm cứng giữa con lăn và biên dạng cam.

2.2. Nhược điểm của hàm Bezier và B spline chuẩn

Các hàm spline như Bezier và B-spline tiêu chuẩn từng được đề xuất để khắc phục hạn chế của đa thức bậc cao. Những hàm này có thể thỏa mãn các điều kiện biên động học một cách linh hoạt hơn. Tuy nhiên, việc hiệu chỉnh dạng hình học của đường cong Bezier và B-spline vẫn gặp nhiều trở ngại kỹ thuật. Điểm điều khiển của đường cong B-spline tiêu chuẩn liên kết chặt chẽ với nhau, khiến việc tối ưu cục bộ trở nên phức tạp. Trong các nghiên cứu trước đây, NURBS chỉ được dùng để xấp xỉ lại các hàm điều hòa hoặc xycloit có sẵn. Cách làm này phụ thuộc hoàn toàn vào dữ liệu đầu vào cố định và chưa khai thác hết tiềm năng kiểm soát vector nút và trọng số.

III. Phương pháp tổng hợp quy luật chuyển động cơ cấu cam bằng NURBS

Luận án tại RWTH Aachen đã phát triển phương pháp tổng hợp tổng quát đường cong chuyển động con lăn bằng NURBS. Phương pháp này xử lý thành công mọi chương trình chuyển vị với các điều kiện biên tùy ý của chuyển vị, vận tốc, gia tốc và độ giật. Thay vì chỉ xấp xỉ các đường cong có sẵn, thuật toán mới trực tiếp kiến tạo hàm chuyển động từ tập hợp tham số hình học. Trọng tâm của giải pháp nằm ở việc kiểm soát vector nút và hệ số trọng số của các điểm điều khiển. Vector nút phân bố linh hoạt cho phép điều tiết độ cong cục bộ trên từng đoạn hành trình một cách độc lập. Hệ thống trọng số cung cấp thêm bậc tự do để nén hoặc giãn biên dạng chuyển động mà không làm biến đổi bậc đường cong. Nhờ cơ chế tham số hóa này, các đỉnh cực đại của gia tốc và độ giật được giảm thiểu rõ rệt. Lực quán tính sinh ra trong quá trình con lăn di chuyển được hạ thấp xuống mức tối ưu. Giải thuật này giải quyết triệt để vấn đề va đập và dao động cưỡng bức, bảo đảm hệ thống vận hành êm ái tại dải tốc độ cao.

3.1. Kỹ thuật điều khiển vector nút và trọng số

Trong mô hình NURBS, vector nút quyết định phạm vi ảnh hưởng của từng điểm điều khiển lên đường cong chuyển động. Bằng cách thiết lập khoảng cách nút không đồng nhất, độ cong được phân phối lại hợp lý. Trọng số của mỗi điểm điều khiển đóng vai trò như một lực hút đối với quỹ đạo động học. Khi tăng trọng số, đường cong dịch chuyển về gần điểm điều khiển tương ứng. Ngược lại, việc giảm trọng số sẽ đẩy đường cong ra xa. Quá trình tối ưu hóa đồng thời vector nút và trọng số giúp là phẳng các vùng biến thiên gia tốc đột ngột. Kỹ thuật này triệt tiêu hoàn toàn các điểm kỳ dị mà các hàm toán học truyền thống không thể xử lý.

3.2. Tối ưu hóa điều kiện biên và lực quán tính

Phương pháp đề xuất tại RWTH Aachen cho phép cài đặt số lượng điều kiện biên linh hoạt tại mọi thời điểm trong chu kỳ. Hệ phương trình đại số tuyến tính được thiết lập để xác định tọa độ các điểm điều khiển chưa biết. Giải thuật bảo đảm đường cong đạt tính liên tục cấp cao về vận tốc, gia tốc và độ giật. Điểm mấu chốt là biên độ gia tốc cực đại được hạ thấp đáng kể so với phương pháp đa thức cổ điển. Gia tốc giảm dẫn đến việc cắt giảm trực tiếp lực quán tính cực đại tác động lên cơ cấu con lăn. Điều này bảo vệ màng dầu bôi trơn bề mặt cam không bị phá vỡ dưới tải trọng động cao.

IV. Kết luận và triển vọng ứng dụng giải pháp NURBS trong chế tạo cam

Nghiên cứu ứng dụng NURBS trong thiết kế chuyển động cơ cấu cam tại RWTH Aachen đã mở ra bước tiến quan trọng cho ngành cơ khí chính xác. Luận án khẳng định tính ưu việt của đường cong NURBS trong việc tổng hợp chuyển động thỏa mãn đa điều kiện biên mà không làm phát sinh dao động ký sinh. Kết quả nghiên cứu chứng minh khả năng dập tắt đỉnh gia tốc và triệt tiêu xung lực quán tính một cách chủ động. Điều này mang lại ý nghĩa thực tiễn to lớn trong việc nâng cao hiệu suất làm việc của máy công nghiệp. Các dây chuyền đóng gói, dệt may, cơ cấu cấp phôi tự động và động cơ đốt trong đòi hỏi cơ cấu cam làm việc với tần số chuyển động rất cao. Ứng dụng giải thuật NURBS giúp giảm rung động cơ học, hạ thấp tiếng ồn và kéo dài tuổi thọ của cụm con lăn và đĩa cam. Ngoài ra, mô hình toán học này tương thích hoàn hảo với môi trường CAD/CAM hiện đại, giúp rút ngắn thời gian thiết kế và gia công CNC. Đề tài đặt nền móng vững chắc cho việc phát triển các phần mềm tự động hóa thiết kế cơ cấu máy thế hệ mới.

4.1. Ứng dụng trong các hệ thống máy công nghiệp

Các ngành công nghiệp chế tạo hiện đại phụ thuộc nhiều vào cơ cấu cam để đồng bộ hóa chuyển động chu kỳ. Trong máy đóng gói tốc độ cao và máy dệt tự động, tần số hoạt động liên tục có thể đạt hàng nghìn chu kỳ mỗi phút. Khi áp dụng biên dạng NURBS, độ êm dịu chuyển động của con lăn được cải thiện vượt bậc. Việc triệt tiêu hiện tượng nảy con lăn giúp duy trì độ chính xác định vị sản phẩm. Sự suy giảm lực tiếp xúc động cũng ngăn ngừa nguy cơ tróc rỗ bề mặt làm việc của cam. Do đó, các nhà máy có thể đẩy nhanh tốc độ dây chuyền sản xuất mà vẫn đảm bảo độ bền cơ học cho thiết bị.

4.2. Tích hợp chu trình CAD CAM và gia công CNC

Đường cong NURBS vốn là định dạng tiêu chuẩn trong phần mềm mô hình hóa 3D và hệ thống điều khiển số máy tính CNC. Việc tổng hợp trực tiếp chuyển động cam bằng NURBS loại bỏ bước chuyển đổi hình học trung gian. Dữ liệu biên dạng cam có thể truyền thẳng sang máy phay CNC 5 trục để gia công chính xác bề mặt. Quá trình này giúp triệt tiêu sai số làm tròn hình học thường gặp khi xấp xỉ bằng cung tròn hoặc đoạn thẳng. Bề mặt cam sau gia công đạt độ bóng và độ chính xác biên dạng rất cao. Chu trình tích hợp CAD/CAM liền mạch rút ngắn đáng kể thời gian thử nghiệm và chế tạo mẫu mới.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong các hệ thống máy tự động hóa như máy cắt, máy tiện ren, máy dệt, động cơ đốt trong và các hệ thống điều khiển tự động, cơ cấu cam - cần (cam-follower system) giữ vai trò then chốt nhằm thực hiện các quy luật chuyển động phức tạp với độ chính xác cao về mặt thời gian. Khâu bị dẫn (cần) chuyển động dựa trên biên dạng hình học của cam thông qua tiếp xúc cơ học trực tiếp. Đặc tính động học của cần được đặc trưng bởi bốn hàm số cơ bản: chuyển vị (displacement), vận tốc (velocity), gia tốc (acceleration) và độ giật (jerk).

Gia tốc tỷ lệ thuận với lực quán tính tác dụng lên cần. Khi đường cong gia tốc có sự biến thiên đột ngột hoặc xuất hiện các giá trị đỉnh quá lớn, lực quán tính tăng vọt dẫn tới ứng suất tiếp xúc tại ổ đỡ và trên bề mặt tiếp xúc của cam biến đổi bất ngờ, gây ra hiện tượng va đập, tiếng ồn và mài mòn bề mặt. Bên cạnh đó, giá trị đỉnh của đường cong độ giật phản ánh xu hướng kích thích dao động trong hệ thống cam - cần. Do đó, việc lựa chọn hàm toán học mô tả chuyển động của cần là bước quyết định chất lượng động học và tuổi thọ của cơ cấu.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả chỉ rõ nằm ở sự bất cập của các công cụ toán học truyền thống. Các hàm đa thức (polynomial), hàm điều hòa (harmonic) và hàm xicloit (cycloidal) thường chỉ áp dụng cho các bài toán kinh điển với số lượng điều kiện biên rất hạn chế. Khi số lượng điều kiện biên tăng lên, hàm đa thức bậc cao làm xuất hiện hiện tượng dao động ký sinh uốn lượn, gây bùng nổ giá trị đỉnh của gia tốc và độ giật. Các hàm B-spline hay Bézier có thể thỏa mãn điều kiện biên nhưng thiếu tính linh hoạt để hiệu chỉnh dạng đường cong. Mặt khác, các nghiên cứu ứng dụng B-spline hữu tỉ không đều (Non-Uniform Rational B-Spline - NURBS) trước đó chỉ dừng lại ở việc xấp xỉ các đường cong có sẵn từ các hàm cơ bản (điều hòa, xicloit) mà không xây dựng được phương pháp tổng hợp trực tiếp từ tập điều kiện biên động học tùy ý.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục tiêu bao trùm của luận án là ứng dụng hàm NURBS để tổng hợp các đường cong chuyển động của khâu bị dẫn sao cho thỏa mãn các điều kiện biên tùy ý của chuyển vị, vận tốc, gia tốc và độ giật; đồng thời thực hiện tối ưu hóa đường cong chuyển động nhằm giảm thiểu giá trị cực đại của gia tốc và độ giật.

Để hiện thực hóa mục tiêu này, ba nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể được tác giả xác định theo văn bản:

1. Tổng hợp tổng quát các đường cong chuyển động thỏa mãn các điều kiện biên tùy ý của chuyển vị, vận tốc, gia tốc và độ giật (Generally synthesize motion curves satisfying arbitrary boundary conditions of displacement, velocity, acceleration, and jerk).
2. Đánh giá ảnh hưởng của các tham số NURBS đối với các đường cong chuyển động (Evaluate the parameters of NURBS on motion curves).
3. Tính toán các tham số tối ưu cho NURBS nhằm giảm các giá trị cực đại của gia tốc và độ giật (Compute the optimal parameters for NURBS to reduce peak values of the acceleration and jerk).

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Quy luật động học chuyển động (chuyển vị, vận tốc, gia tốc, độ giật) của khâu bị dẫn trong cơ cấu cam; các tham số điều khiển hình học của đường cong NURBS (bậc của hàm, tọa độ các điểm điều khiển, vectơ nút và vectơ trọng số).
• Phạm vi nghiên cứu:
  • Về mặt động học: Khảo sát quy luật chuyển động chuẩn hóa và không truyền thống trên toàn bộ chu kỳ ($2\pi$) hoặc một phần chu kỳ $[0, \varphi]$ ($\varphi \le 2\pi$), áp dụng cho các cơ cấu cam phẳng với cần tịnh tiến và cần lắc.
  • Về điều kiện biên: Mở rộng từ các bài toán có số lượng điều kiện biên nhỏ (6, 8, 9 điều kiện biên, cam dẫn động động cơ đốt trong) cho đến các bài toán phức tạp có số lượng điều kiện biên lớn (20 điều kiện biên, cơ cấu cam trong mô hình tim nhân tạo - cam mock heart).
  • Về không gian và thời gian học thuật: Luận án được thực hiện tại Viện Lý thuyết Cơ cấu, Động lực học Máy và Robot (IGMR), Khoa Kỹ thuật Cơ khí thuộc Đại học RWTH Aachen (CHLB Đức), bảo vệ ngày 21 tháng 6 năm 2018 dưới sự tài trợ sinh hoạt phí từ Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam.

---

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được tác giả điểm lại

Trong Chương 2, tác giả hệ thống hóa các công trình nghiên cứu về hệ thống cam - cần và các hàm toán học mô tả quy luật chuyển vị:

• Nguyên lý phân loại và tiêu chuẩn thiết kế cam: Trích dẫn các hướng dẫn của Hiệp hội Kỹ sư Đức VDI 2143 và VDI 2729 (tham chiếu [VDI14, VDI17]); các giáo trình kinh điển về cơ cấu cam của Chen (1982 [Che82]), Norton (1999, 2002 [Nor99, Nor02]), Rothbart cùng các cộng sự Underwood, Phalke, Sandgren (2004 [UPS03]); phân loại cơ cấu cam không gian và cam cầu của Corves & Nefzi (2006 [CN06]), Corves, Nefzi & Modler (2016 [CNM16]).
• Ứng dụng hàm đa thức (Polynomial functions):
  • Các dạng đa thức bậc 3, bậc 5, bậc 7 chuẩn hóa với đồ thị chuyển vị, vận tốc, gia tốc, độ giật (SVAJ) [Che82, KS13, Nor99, Nor02, UPS03].
  • Tổng hợp chuyển động và tối ưu hóa kích thước cam: Yao & Lu (1995, 1996 [YL95, YL96]) cho cần lắc đáy phẳng; Yang, Tsai & Huang (1996 [YTH96]) đề xuất phương pháp thay đổi vận tốc trục cam với đa thức 3-4-5; Cardona & Sacchelli (1998 [CS98]) dùng mô phỏng Monte Carlo tối ưu hóa cam với đa thức parabol, 3-4 và 3-4-5; Qiu et al. tối ưu hóa kích thước cam cần lăn tịnh tiến; Yang et al. (2014 [YTZ14]) phân tích chuyển động cần lăn tịnh tiến chịu tải nặng trong máy ép thủy lực lớn; Nguyen et al. (2014 [NSJ14]) phân tích động học điều khiển; Carra & Lu (2013 [CL13]) phân tích điều kiện lồi của biên dạng cam; VDI (2014 [VDI14]).
  • Kỹ thuật khớp đường cong (curve fitting) và tích phân giải tích: Sadek & Daadbin (1990 [SD90]) khớp đa thức cho biểu đồ gia tốc nhằm khử xung nhọn; Chen (1973 [Che73]) dùng phương pháp tích phân hữu hạn tổng hợp biên dạng cam từ gia tốc; Sanchez & Lopez (2013 [SL13]).
  • Nghiên cứu động lực học tốc độ cao và giảm dao động dư: Kanzaki & Itao (1972 [KI72]), Andresen & Singhose (2004 [AS04]) giảm dao động dư; Berzak (1982 [Ber82]); Chuang (1995 [CC95]) giảm dao động dư cuối hành trình nâng dwell-rise-dwell; Liang & Huang (2014 [LH14]) áp dụng kỹ thuật làm mượt lệnh (command smoothing) với đa thức 3-4-5; Matthew & Tesar (1976a, 1976b [MT76a, MT76b]) nghiên cứu mô hình động lực học 1 và 2 bậc tự do; Chang (1996 [Woo96]) ứng dụng điều khiển lặp bậc 3 cho hệ 1 bậc tự do; Pridgen & Singhose (2012 [PS12]) áp dụng kỹ thuật định hình xung đầu vào (input shaping) so sánh đa thức 3-4-5 và 4-5-6-7.
• Hàm điều hòa và hàm xicloit (Harmonic and Cycloidal functions): Phổ biến trong [Che82, Nor99, Nor02, UPS03]. Hàm điều hòa bị hạn chế ở 4 điều kiện biên, có gia tốc gián đoạn tại điểm đầu và cuối khiến độ giật tiến tới vô cùng. Hàm xicloit chỉ thỏa mãn tối đa 5 điều kiện biên.
• Hàm đa thức từng đoạn, Bézier và B-spline: Đa thức từng đoạn đòi hỏi tập điều kiện liên tục phức tạp giữa các đoạn [KAK02, MA04]. Hàm Bézier [CZJ13] và B-spline [SGS16, SRJ09, XZ09] có thể thỏa mãn điều kiện biên nhưng khó can thiệp linh hoạt vào dạng đường cong.
• Ứng dụng NURBS trong cơ cấu cam: Các công trình của Gokhale & Gao (2012 [GG12]), Satoru (2014 [Sat14]), Xu, Sun & Liu (2012 [XSL12]) đã sử dụng NURBS nhưng chỉ để xấp xỉ lại các hàm điều hòa hoặc xicloit; các điểm điều khiển được lấy trực tiếp từ đường cong mẫu, không giải quyết được bài toán tổng hợp trực tiếp từ tập điều kiện biên động học.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án định vị trọng tâm giải quyết bài toán: thiết lập phương pháp luận tổng quát sử dụng NURBS để tổng hợp trực tiếp các đường cong chuyển động thỏa mãn tập điều kiện biên bất kỳ (chuyển vị, vận tốc, gia tốc, độ giật); khảo sát tác động của việc phân bố vectơ nút; và giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu phi tuyến đối với vectơ trọng số thông qua thuật toán tôi luyện mô phỏng nhằm triệt giảm các giá trị đỉnh của gia tốc và độ giật.

---

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và mô hình toán học

Luận án phát triển dựa trên lý thuyết hình học tính toán đường cong B-spline hữu tỉ không đều (NURBS):

• Đường cong chuyển vị $C(u)$ bậc $p$ được xác định theo công thức: $$C(u) = \sum_{i=0}^n R_{i,p}(u) P_i$$ Trong đó $P_i$ là các điểm điều khiển ($i = 0, \dots, n$); $R_{i,p}(u)$ là các hàm cơ sở hữu tỉ: $$R_{i,p}(u) = \frac{N_{i,p}(u) w_i}{\sum_{j=0}^n N_{j,p}(u) w_j}$$ Với $w_i$ là trọng số tương ứng của điểm điều khiển $P_i$; $N_{i,p}(u)$ là hàm cơ sở B-spline phi hữu tỉ bậc $p$ được tính theo công thức truy hồi Cox-de Boor trên vectơ nút $U = {u_0, u_1, \dots, u_m}$.
• Các hàm vận tốc $C^1(u)$, gia tốc $C^2(u)$ và độ giật $C^3(u)$ được thiết lập thông qua đạo hàm bậc một, bậc hai và bậc ba của hàm cơ sở hữu tỉ: $$C^1(u) = \sum_{i=0}^n R_{i,p}^1(u) P_i, \quad C^2(u) = \sum_{i=0}^n R_{i,p}^2(u) P_i, \quad C^3(u) = \sum_{i=0}^n R_{i,p}^3(u) P_i$$
• Thiết lập hệ phương trình đại số tuyến tính: Khi áp đặt $d$ điều kiện biên chuyển vị, $e$ điều kiện biên vận tốc, $f$ điều kiện biên gia tốc và $g$ điều kiện biên độ giật (tổng số điều kiện biên $n = d + e + f + g$), hệ phương trình được biểu diễn dưới dạng ma trận: $$R \cdot P = C$$ Trong đó $R$ là ma trận hệ số kích thước $n \times n$ chứa các giá trị hàm cơ sở $R_{i,p}(u)$ và các đạo hàm $R_{i,p}^1(u), R_{i,p}^2(u), R_{i,p}^3(u)$ tại các góc trục cam tương ứng; $P$ là vectơ tọa độ điểm điều khiển cần tìm; $C$ là vectơ chứa các giá trị điều kiện biên đã cho.

Phương pháp nghiên cứu thực tế

Nghiên cứu thuộc hướng định lượng và kỹ thuật tính toán giải tích:

1. Phương pháp giải tích và đại số tuyến tính: Nghịch đảo ma trận hệ số $R$ để xác định chính xác tọa độ các điểm điều khiển $P = R^{-1} \cdot C$.
2. Kỹ thuật sinh và phân bố vectơ nút (knot vector generation): Khảo sát các kỹ thuật tính toán vectơ nút dựa trên phân bố tham số $t_i$ và tác động của số mũ $\alpha$ ($\alpha = 0.5$ cho phân bố cung chuẩn, $\alpha = 1$ cho phân bố khoảng cách tích lũy).
3. Mô hình tối ưu hóa đa mục tiêu (Multi-objective optimization): Thiết lập hàm mục tiêu kết hợp nhằm cực tiểu hóa giá trị đỉnh của gia tốc ($f_1(W) = \max |C^2(u)|$) và độ giật ($f_2(W) = \max |C^3(u)|$) phụ thuộc vào vectơ biến số trọng số $W = [w_0, w_1, \dots, w_n]^T$.
4. Thuật toán tôi luyện mô phỏng (Simulated Annealing - SA): Sử dụng để giải bài toán tối ưu hóa phi tuyến tìm kiếm bộ trọng số $W$ tối ưu. Thuật toán hoạt động dựa trên các tham số: nhiệt độ ban đầu $T_0$, nhiệt độ dừng $T_{min}$, quy luật giảm nhiệt độ $T$, số bước lặp $N_i$ tại mỗi mức nhiệt độ, và tiêu chuẩn chấp nhận nghiệm Metropolis với xác suất $P(s_i) = \exp(-\Delta E / (k_B T))$.

Nguồn tư liệu và dữ liệu

Dữ liệu sử dụng trong luận án bao gồm các chuẩn thiết kế chuyển động cam theo VDI 2143/2729, các bài toán kiểm chứng từ tài liệu tham khảo và dữ liệu thực tế: cơ cấu cam động cơ đốt trong (cam drive engine), cơ cấu cam với 20 điều kiện biên, và cơ cấu cam trong hệ thống mô phỏng tuần hoàn tim nhân tạo (cam mock heart).

---

Nội dung chính theo từng chương

Bố cục của luận án gồm 8 chương chính, được tóm tắt tổng quan trong bảng dưới đây:

Chương	Tên chương theo văn bản	Nội dung trọng tâm và kết quả chính
Chương 1	Introduction	Trình bày tính cấp thiết, mục tiêu, 3 nhiệm vụ nghiên cứu và cấu trúc luận án.
Chương 2	State of the Art	Tổng quan phân loại cam - cần, quy luật chuyển vị, các hàm giải tích cổ điển và chỉ rõ khoảng trống nghiên cứu.
Chương 3	General Synthesis of Motion Curves Using NURBS	Xây dựng công thức đạo hàm NURBS, giải hệ $R \cdot P = C$, chọn bậc $p$, khảo sát ảnh hưởng trọng số.
Chương 4	Effect of the Knot Vector on Motion Curves	Phân tích phương pháp tính vectơ nút, ảnh hưởng của số mũ $\alpha$ và phân bố tham số/nút.
Chương 5	Optimizing Weight Factor of Motion Curves by Considering Kinematics	Thiết lập bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu đối với vectơ trọng số $W$ để cực tiểu hóa đỉnh gia tốc và độ giật.
Chương 6	Simulated Annealing Algorithm for Optimizing Kinematics of Motion Curves	Xây dựng thuật toán tôi luyện mô phỏng (SA), các cơ chế sinh lân cận và điều khiển nhiệt độ.
Chương 7	Application Examples	Áp dụng phương pháp cho tập điều kiện biên nhỏ (6, 8, 9, cam động cơ) và tập lớn (20 điều kiện biên, cam tim nhân tạo).
Chương 8	Conclusion and Outlook	Đánh giá tổng kết các kết quả đạt được và định hướng mở rộng nghiên cứu động lực học.

Chương 1: Introduction

Chương 1 mở đầu bằng việc phân tích vai trò của cơ cấu cam - cần trong máy móc tự động. Tác giả trình bày quy trình thiết kế 8 bước theo chuẩn VDI 2143: từ thiết lập cấu trúc cơ cấu, chương trình chuyển động, lựa chọn hàm toán học, xác định kích thước chính, tính biên dạng cam, kết cấu, lập bản vẽ kỹ thuật đến chế tạo và lắp ráp. Tác giả chỉ ra rằng việc chọn hàm mô tả chuyển động là mắt xích quyết định hình dạng biên dạng và giá trị đỉnh của gia tốc, độ giật. Chương này xác định rõ mục tiêu, 3 nhiệm vụ nghiên cứu và sơ đồ cấu trúc của toàn bộ luận án.

Chương 2: State of the Art

Chương này cung cấp bức tranh toàn cảnh về lý thuyết cơ cấu cam:

• Phân loại cơ cấu cam: cam đĩa (plate cam), cam nêm (wedge cam), cam trụ (cylindrical cam), cam mặt đầu (face cam); phân loại cần theo dạng hình học (đáy nhọn, đáy phẳng, con lăn, đáy cầu) và theo chuyển động (tịnh tiến, lắc; đồng tâm, lệch tâm); các cơ cấu cam cầu và cam không gian.
• Các chương trình chuyển vị: chuyển động nâng (rise), hạ (return), dừng (dwell) và các hành trình chuyển động tùy ý.
• Đánh giá các hàm giải tích: Đa thức bậc 3 (gián đoạn gia tốc, độ giật vô cùng), bậc 5 (khớp 6 điều kiện biên) và bậc 7 (khớp 8 điều kiện biên). Tác giả dẫn chứng đồ thị SVAJ chuẩn hóa và chỉ ra rằng đa thức bậc cao gây hiện tượng dao động ký sinh uốn lượn mạnh, làm tăng đáng kể lực quán tính và rung động. Hàm điều hòa chỉ thỏa mãn 4 điều kiện biên và có độ giật vô cùng tại hai đầu mút; hàm xicloit chỉ giải quyết được 5 điều kiện biên. Chương 2 kết luận bằng việc xác định hạn chế của các phương pháp trước và khẳng định nhu cầu thiết lập phương pháp tổng hợp chuyển động tổng quát bằng NURBS.

Chương 3: General Synthesis of Motion Curves Using NURBS

Chương 3 trình bày phương pháp luận cốt lõi để mô tả và tổng hợp các đường cong chuyển động:

• Mô tả giải tích các hàm chuyển vị $C(u)$, vận tốc $C^1(u)$, gia tốc $C^2(u)$, và độ giật $C^3(u)$ thông qua các hàm cơ sở hữu tỉ NURBS $R_{i,p}(u)$ và đạo hàm của chúng.
• Xây dựng hệ phương trình tuyến tính $R \cdot P = C$ từ tập điều kiện biên cho trước. Tọa độ của các điểm điều khiển $P_i$ được xác định giải tích bằng việc giải hệ phương trình này.
• Nghiên cứu lựa chọn bậc $p$ của đường cong NURBS: Để đảm bảo đường cong độ giật $C^3(u)$ liên tục (ngăn ngừa xung lực quán tính và rung động), bậc của NURBS được lựa chọn tối thiểu là $p \ge 5$ hoặc $p = 6$.
• Phân tích ảnh hưởng sơ bộ của trọng số $w_i$: Khi thay đổi trọng số $w_i$, hình dạng đường cong chuyển vị và phân bố gia tốc biến thiên cục bộ, mở ra khả năng can thiệp trực tiếp vào giá trị đỉnh của các đường cong động học mà không làm thay đổi các điều kiện biên đã áp đặt.

Chương 4: Effect of the Knot Vector on Motion Curves

Chương 4 tập trung giải quyết bài toán tính toán và đánh giá tác động của vectơ nút $U$:

• Trình bày các phương pháp tính toán vectơ nút cho việc tổng hợp chuyển động cơ cấu cam, bao gồm việc sinh chuỗi tham số $t_i$ và phân bố điểm nút.
• Đánh giá ảnh hưởng của số mũ $\alpha$ trong công thức tham số hóa: Khảo sát sự thay đổi của các đường cong động học khi giá trị $\alpha$ thay đổi, từ đó xác định quy luật phân bố nút thích hợp nhằm làm mượt các đường cong gia tốc và độ giật.
• Phân tích phân bố tham số và phân bố nút (Parameter and knot distribution): Việc phân bố khoảng cách giữa các nút ảnh hưởng trực tiếp đến biên độ cục bộ của đạo hàm bậc hai và bậc ba, cung cấp cơ sở để cố định quy trình tính toán vectơ nút chuẩn bị cho bước tối ưu hóa trọng số.

Chương 5: Optimizing Weight Factor of Motion Curves by Considering Kinematics

Chương 5 thiết lập bài toán tối ưu hóa động học:

• Xây dựng các hàm mục tiêu đa tiêu chí dựa trên biến số là vectơ trọng số $W$: $$f_1(W) = \max_{u} |C^2(u)| \quad \text{và} \quad f_2(W) = \max_{u} |C^3(u)|$$
• Biểu diễn hàm chi phí tổng hợp $G(W)$ hoặc hàm đa mục tiêu kết hợp có trọng số giữa gia tốc cực đại và độ giật cực đại nhằm cân bằng giữa việc giảm lực quán tính lớn nhất và hạn chế khả năng kích thích dao động cơ học.
• Đặt ra các ràng buộc đẳng thức $h_i(x)$ (thỏa mãn đúng các điều kiện biên) và bất đẳng thức $g_j(x)$ (miền giá trị dương của các phần tử trong vectơ trọng số $w_i > 0$).

Chương 6: Simulated Annealing Algorithm for Optimizing Kinematics of Motion Curves

Chương 6 trình bày phương pháp giải bài toán tối ưu hóa phi tuyến toàn cục:

• Nguyên lý phương pháp tôi luyện mô phỏng (Simulated Annealing - SA): Mô phỏng quá trình nhiệt luyện kim loại từ trạng thái nhiệt độ cao $T_0$ giảm dần về trạng thái cân bằng năng lượng tối thiểu tại $T_{min}$.
• Cơ chế sinh nghiệm lân cận: Tại mỗi bước lặp, vectơ trọng số mới $W_j$ được tạo ra từ $W_i$ thông qua một bước biến thiên ngẫu nhiên có kiểm soát.
• Tiêu chuẩn chấp nhận Metropolis: Nếu trạng thái mới có giá trị hàm mục tiêu tốt hơn ($\Delta f < 0$), nghiệm mới được chấp nhận ngay lập tức. Nếu $\Delta f \ge 0$, nghiệm mới vẫn được chấp nhận với xác suất $P = \exp(-\Delta f / (k_B T))$, giúp thuật toán thoát khỏi các cực trị địa phương.
• Quy trình tích hợp thuật toán SA: Thiết lập lược đồ tính toán tự động kết nối giữa bộ giải hệ phương trình NURBS (Chương 3) và bộ đánh giá cực trị động học để tìm nghiệm tối ưu $W^*$.

Chương 7: Application Examples

Chương 7 chứng minh tính hiệu quả và độ ổn định của phương pháp đề xuất qua hàng loạt trường hợp kiểm chứng thực tế:

• Nhóm bài toán có số lượng điều kiện biên nhỏ:
  • Bài toán 6 điều kiện biên: So sánh quy luật chuyển động tối ưu bằng NURBS với các hàm bậc 5 truyền thống, chứng minh sự suy giảm đáng kể của gia tốc đỉnh.
  • Bài toán 8 điều kiện biên: Thử nghiệm khớp đầy đủ các điều kiện biên về chuyển vị, vận tốc, gia tốc, độ giật; kiểm chứng tính liên tục của đường cong độ giật.
  • Bài toán 9 điều kiện biên: Bổ sung điều kiện biên trung gian giữa hành trình, cho thấy khả năng uốn nắn đường cong linh hoạt của NURBS.
  • Cơ cấu cam động cơ (Cam drive engine): Áp dụng tối ưu hóa chuyển động van xupap, giảm xung động quán tính và cải thiện pha đóng mở van.
• Nhóm bài toán có số lượng điều kiện biên lớn:
  • Cơ cấu cam với 20 điều kiện biên: Khẳng định tính ổn định số; hệ phương trình $20 \times 20$ được giải chính xác, các đường cong chuyển vị, vận tốc, gia tốc và độ giật không xuất hiện hiện tượng dao động ký sinh uốn lượn như hàm đa thức bậc cao.
  • Cơ cấu cam trong mô hình tim nhân tạo (Cam mock heart): Tổng hợp quy luật chuyển động phức tạp mô phỏng chu kỳ bơm máu sinh học với độ biến thiên phi tuyến lớn, chứng minh khả năng đáp ứng hoàn hảo các yêu cầu chuyển động phi truyền thống.

Chương 8: Conclusion and Outlook

Chương 8 tổng kết toàn bộ các kết quả đạt được của luận án và đưa ra các khuyến nghị, định hướng mở rộng nghiên cứu trong tương lai.

---

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp mới về mặt lý luận và khoa học

1. Thiết lập phương pháp luận tổng quát tổng hợp chuyển động cam bằng NURBS: Luận án đã phát triển thành công quy trình mô tả trực tiếp các hàm chuyển vị, vận tốc, gia tốc và độ giật bằng đường cong NURBS; chuyển đổi bài toán áp đặt điều kiện biên phức tạp thành hệ phương trình đại số tuyến tính $R \cdot P = C$ để tìm nghiệm giải tích cho các điểm điều khiển.
2. Khám phá và định lượng quy luật ảnh hưởng của các tham số hình học NURBS: Làm rõ vai trò của bậc hàm ($p \ge 5$), các phương pháp tính toán và phân bố vectơ nút (thông qua số mũ tham số hóa $\alpha$), cũng như cơ chế điều biến cục bộ của vectơ trọng số $W$ đến hình dạng và biên độ cực trị của các đường cong động học.
3. Mô hình hóa bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu động học: Xây dựng khung toán học hoàn chỉnh kết hợp tối ưu hóa đồng thời giá trị cực đại của gia tốc và độ giật dựa trên không gian biến số trọng số.

Đóng góp mới về mặt thực tiễn và ứng dụng kỹ thuật

1. Ứng dụng thành công thuật toán Simulated Annealing: Cung cấp một công cụ tính toán tự động tìm kiếm bộ trọng số tối ưu $W$, giải quyết triệt để vấn đề va đập cơ học, giảm lực quán tính cực đại và triệt tiêu xu hướng rung động trong hệ cơ cấu cam.
2. Khả năng đáp ứng không giới hạn số lượng điều kiện biên: Khắc phục hoàn toàn hiện tượng dao động uốn lượn mất kiểm soát của các hàm đa thức bậc cao truyền thống, cho phép thiết kế chính xác các cơ cấu cam có yêu cầu kỹ thuật phức tạp (như bài toán 20 điều kiện biên và cam mô phỏng tim nhân tạo).

Kiến nghị và giải pháp đề xuất

• Đề xuất ứng dụng phương pháp tổng hợp chuyển động bằng NURBS kết hợp thuật toán tôi luyện mô phỏng vào quy trình thiết kế cơ cấu cam tốc độ cao trong công nghiệp chế tạo máy.
• Khuyến nghị tích hợp các thuật toán tính toán ma trận và tối ưu hóa trọng số của luận án vào các gói phần mềm CAD/CAM/CAE chuyên dụng để tự động hóa việc tính toán biên dạng cam gia công CNC.

---

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án

• Nghiên cứu tập trung chủ yếu vào việc cải thiện các chỉ số động học (kinematics - cực tiểu hóa đỉnh gia tốc và độ giật), từ đó gián tiếp suy giảm lực quán tính, mà chưa tích hợp mô hình động lực học nhiều bậc tự do có xét đầy đủ biến dạng đàn hồi và tính mềm của các khâu (elastodynamics).
• Không gian biến số tối ưu hóa mới chỉ tập trung vào vectơ trọng số $W$ sau khi đã cố định phương pháp xác định vectơ nút; chưa tiến hành tối ưu hóa đồng thời cả vectơ nút $U$ và vectơ trọng số $W$.
• Chi phí thời gian tính toán của thuật toán Simulated Annealing có xu hướng gia tăng khi số lượng điều kiện biên và số chiều của vectơ trọng số tăng lên đáng kể.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp theo (Outlook)

• Mở rộng mô hình tối ưu hóa sang bài toán động lực học hoàn chỉnh (dynamic optimization), có tính đến ảnh hưởng của ma sát tiếp xúc, độ cứng vững đàn hồi bề mặt cam và cần, cũng như ứng suất tiếp xúc Hertz.
• Nghiên cứu kết hợp tối ưu hóa đồng thời cấu trúc vectơ nút và trọng số bằng các thuật toán lai ghép hoặc thuật toán tiến hóa đa mục tiêu khác.
• Tiến hành chế tạo mẫu thực tế và thực nghiệm đo kiểm dao động, ứng suất tiếp xúc trên băng thử cơ cấu cam vật lý để kiểm chứng độ chính xác của các kết quả mô phỏng số.

---

Giá trị tham khảo

Đối tượng thụ hưởng

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Thuộc các chuyên ngành Kỹ thuật Cơ khí, Cơ học Máy, Động lực học Hệ thống, Cơ điện tử và Robot; làm tài liệu tham khảo chuyên sâu về ứng dụng hình học tính toán (NURBS) và thuật toán ngẫu nhiên (Simulated Annealing) trong cơ học cơ cấu.
• Kỹ sư thiết kế và phát triển máy: Các kỹ sư làm việc trong ngành chế tạo máy tự động, động cơ đốt trong, máy dệt, máy bao bì đóng gói và thiết bị y sinh (tim nhân tạo).

Các phần đáng tham khảo nhất

• Chương 3 và Chương 4: Cung cấp toàn bộ công thức toán học giải tích xác định đạo hàm các cấp của NURBS, phương pháp lập ma trận giải hệ phương trình điều kiện biên tuyến tính và kỹ thuật tính toán vectơ nút.
• Chương 5 và Chương 6: Tài liệu hướng dẫn phương pháp thiết lập bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu phi tuyến và quy trình cài đặt thuật toán Simulated Annealing cho bài toán tối ưu hình học.
• Chương 7: Các ví dụ số liệu kiểm chứng thực tế với đầy đủ các bộ điều kiện biên từ nhỏ đến lớn, đặc biệt là bài toán cam động cơ và cam tim nhân tạo.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao việc kiểm soát giá trị cực đại của gia tốc và độ giật lại đóng vai trò quyết định trong thiết kế cơ cấu cam?

Gia tốc của khâu bị dẫn liên hệ trực tiếp với lực quán tính tác dụng lên hệ thống theo định luật II Newton. Khi đường cong gia tốc xuất hiện các giá trị đỉnh lớn hoặc biến thiên đột ngột, lực quán tính tăng vọt làm cho ứng suất tiếp xúc tại ổ đỡ và trên bề mặt tiếp xúc của cam biến đổi đột ngột, gây ra hiện tượng mài mòn cục bộ và tiếng ồn lớn. Trong khi đó, độ giật (đạo hàm bậc nhất của gia tốc) quyết định tốc độ thay đổi của lực quán tính; giá trị đỉnh của độ giật càng cao thì xu hướng kích thích dao động cơ học trong hệ thống cam - cần càng lớn, làm giảm độ bền mỏi và độ chính xác làm việc của máy.

2. Đường cong NURBS có những ưu điểm gì vượt trội so với các hàm đa thức và hàm lượng giác truyền thống trong tổng hợp chuyển động?

Hàm đa thức truyền thống khi giải quyết bài toán có nhiều điều kiện biên đòi hỏi bậc đa thức cao, dẫn đến hiện tượng dao động ký sinh uốn lượn làm bùng nổ đỉnh gia tốc và độ giật. Các hàm lượng giác (điều hòa, xicloit) chỉ giải quyết được số lượng điều kiện biên cố định (4 hoặc 5 điều kiện). Ngược lại, đường cong NURBS cho phép thỏa mãn số lượng điều kiện biên bất kỳ mà không làm bùng phát hiện tượng dao động ký sinh; đồng thời cung cấp hai tham số điều khiển linh hoạt là vectơ nút và trọng số để tinh chỉnh dạng đường cong cục bộ.

3. Việc xác định vectơ nút (knot vector) ảnh hưởng như thế nào đến các đường cong động học của cần?

Vectơ nút $U$ quyết định khoảng không gian ảnh hưởng của từng hàm cơ sở B-spline. Phương pháp tính toán vectơ nút và việc lựa chọn số mũ tham số hóa $\alpha$ làm thay đổi mật độ phân bố của các nút dọc theo góc quay trục cam. Sự phân bố nút hợp lý giúp cân bằng độ trơn của đường cong, tránh được các điểm uốn bất lợi và trực tiếp làm giảm độ dốc cục bộ của các hàm vận tốc, gia tốc và độ giật.

4. Thuật toán Simulated Annealing vận hành như thế nào trong bài toán tối ưu hóa tham số NURBS của luận án?

Thuật toán Simulated Annealing nhận vectơ trọng số ban đầu $W_0$ và nhiệt độ $T_0$. Tại mỗi bước lặp, thuật toán sinh ra một cấu hình lân cận $W_i$ và tính toán giá trị cực đại của gia tốc $f_1(W)$ và độ giật $f_2(W)$ thông qua việc giải hệ phương trình NURBS. Nếu hàm mục tiêu giảm ($\Delta f < 0$), nghiệm mới được chấp nhận; nếu hàm mục tiêu tăng ($\Delta f \ge 0$), nghiệm vẫn có thể được chấp nhận với xác suất $P = \exp(-\Delta f / (k_B T))$. Cơ chế này giúp thuật toán vượt qua các cực trị địa phương và hội tụ về bộ trọng số tối ưu toàn cục khi nhiệt độ hạ dần về $T_{min}$.

5. Kết quả thực nghiệm số trong luận án đã chứng minh khả năng của phương pháp đối với các bài toán có nhiều điều kiện biên ra sao?

Tại Chương 7, phương pháp tổng quát bằng NURBS đã giải quyết thành công bài toán với 20 điều kiện biên và bài toán cơ cấu cam trong mô hình tim nhân tạo (cam mock heart). Các đường cong động học thu được hoàn toàn trơn tru, đi qua chính xác tất cả các điểm chuyển vị, vận tốc, gia tốc và độ giật yêu cầu mà không hề xuất hiện các dao động sóng ký sinh nguy hại như ở các hàm giải tích cổ điển.

---

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Thi Thanh Nga Nguyen đã giải quyết trọn vẹn bài toán tổng hợp và tối ưu hóa quy luật chuyển động của cơ cấu cam - cần bằng việc ứng dụng đường cong B-spline hữu tỉ không đều (NURBS). Bằng cách chuyển đổi các ràng buộc điều kiện biên bất kỳ thành hệ phương trình tuyến tính kết hợp với giải thuật tôi luyện mô phỏng (Simulated Annealing) để tối ưu hóa trọng số, nghiên cứu đã loại bỏ triệt để hiện tượng dao động ký sinh của các hàm giải tích truyền thống và làm giảm đáng kể giá trị cực đại của gia tốc cũng như độ giật. Các kết quả kiểm chứng số trên cơ cấu cam động cơ đốt trong và mô hình tim nhân tạo đã khẳng định tính chính xác, tính ổn định và khả năng ứng dụng thực tiễn cao của phương pháp luận đề xuất trong lĩnh vực thiết kế máy tự động hóa tốc độ cao.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Motion Design of Cam Mechanisms by Using Non-Uniform Rational B-Spline Bewegungskurven von Kurvengetrieben unter Verwendung von Non-Uniform Rational B-Spline Von der Fakultät für Maschinenwesen der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen zur Erlangung des akademischen Grades einer Doktorin der Ingenieurwissenschaften genehmigte Dissertation vorgelegt von Thi Thanh Nga Nguyen Berichter: Univ. (UPT) Burkhard Corves Außerplanmäßiger Professor Dr. Mathias Hüsing Tag der mündlichen Prüfung: 21. Juni 2018 Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Universitätsbibliothek online verfügbar.

Acknowledgement iii Acknowledgement Foremost, I would like to deeply thank my supervisor Prof. Burkhard Corves for giving me an opportunity to be a PhD student at the Institute of Mechanism Theory, Machine Dynamics and Robotics (IGMR). I am grateful for his helpful guidance, discussions, comments, and suggestions on the whole thesis. Furthermore, I would like to specially thank Prof.

Mathias Hüsing as the second supervisor for giving me important comments, suggestions and encouragements. He also supported me a chance to be a student job at IGMR. My big thanks go to Dr. Stefan Kurtenbach for his time.

He gave me not only many useful discussions and comments from the start to the end of my thesis but also many valuable experiences in the research. I would say to thank Dr. Duong Xuan Thang, working at Aachen Institute for Advanced Study in Computational Engineering Science (AICES), for carefully reading my thesis. Especially, I would like to thank Prof.

Rüdiger Schmidt for introducing me to IGMR to study in the RWTH - Aachen University, Germany. I would like to thank Mrs. Schneider for helping me administrative procedures at IGMR. Many thanks go to all my colleagues at IGMR for their warmth and for helping me during the PhD student’s life.

I would like to thank the Ministry of Education and Training (MOET) of Vietnamese government for supporting me the living expense during my study time in Germany. Last but not least, my greatest thanks go to my two litter daughters, Pham Khanh Linh and Pham Bao Linh, for their love and for understanding me far away from home. I would specially thank to my mother-in-law and my husband for taking care my daughters during my study time in Germany. Aachen, July 2018 Thi Thanh Nga Nguyen iv Acknowledgement Abstract v Abstract The follower of cam mechanisms may flexibly perform its movement based on the shape of the cam element and the direct contact with the cam.

With this feature, it is convenient to design a cam mechanism when an output motion is given by working requirements of machines. The follower motion is characterized by the displacement, velocity, acceleration, and jerk functions. The acceleration is related to inertial forces of the follower. When an acceleration curve has abrupt changes, i., peak values, this will lead to large inertial forces.

Therefore, contact stresses at the bearing and on the cam surface also change abruptly, which causes noise and surface wear. Additionally, the peak value of the jerk curve is also important in cam design since it determines the tendency of vibration in cam-follower systems. Thus, selecting a mathematic function to describe the motion of the follower is an important step in cam design. In this thesis, Non-Uniform Rational B-Spline (NURBS) is used to describe motion curves of the follower.

With the properties of NURBS, the motion curves including peak values of the acceleration and jerk are shown to have advantageous characteristics compared to classical approaches. To do this, the displacement, velocity, acceleration, and jerk functions are represented by NURBS curves. These curves are then determined by solving the system of linear equations under given boundary conditions of the displacement, velocity, acceleration, and jerk. Moreover, the main advantage of NURBS compared with other functions is that the NURBS curve can be controlled by its parameters such as weights and the knot vector.

In this thesis, the computation of the knot vector is presented to evaluate its effect on motion curves. Furthermore, finding values of the weight factor to reduce peak values of the acceleration and jerk, the multi-objective functions depended on the weight factor are expressed. For solving this problem, the simulated annealing algorithm is used to get the optimal value of weights. Results of this thesis demonstrate that using NURBS for synthesizing motion curves is robust and effective because this may apply any motion curves of cam-follower systems.

In addition, the kinematics of cam mechanisms is improved by controlling NURBS’s parameters. vi Abstract Zusammenfassung vii Zusammenfassung Das Eingriffsglied von Kurvengelenken kann seine Bewegung basierend auf der Geometrie der Kurvenscheibe und dem direkten Kontakt mit der Kurvenscheibe flexibel ausführen. Wegen dieser Eigenschaft ist es zweckmäßig ein Kurvengelenk zu entwerfen, wenn die Abtriebsbewegung durch die Betriebsanforderungen einer Maschine gegeben sind. Die Bewegung des Eingriffsglieds wird charakterisiert durch die Auslenkungs-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs- und Ruckfunktionen.

Die Beschleunigung steht in Verbindung mit den Trägheitskräften des Eingriffsglieds. Wenn eine Beschleunigungskurve abrupte Wechsel hat, beispielsweise Spitzenwerte, wird dies zu großen Trägheitskräften führen. Daher wechseln Kontaktbelastungen im Lager und auf der Kurvenscheibenoberfläche ebenfalls abrupt, was Geräusche und Oberflächenverschleiß erzeugt. Es kommt hinzu, dass der Spitzenwert der Ruckkurve auch wichtig bei der Kurvengelenkgestaltung ist, denn er bestimmt die Tendenz zu Vibrationen des Kurvenscheiben-Eingriffsglied-Systems.

Daraus folgt, dass die Auswahl einer mathematischen Funktion zur Beschreibung der Eingriffsgliedsbewegung ein wichtiger Schritt der Kurvengelenkgestaltung ist. In dieser Arbeit werden nicht-uniforme rationale B-Splines (NURBS) zur Beschreibung der Bewegungskurve des Eingriffsglieds genutzt. Mit Hilfe der Eigenschaften von NURBS wird gezeigt, dass Bewegungskurven, die Spitzenwerte von Beschleunigung und Ruck beinhalten vorteilhafte Charakteristiken gegenüber klassischen Ansätzen aufweisen. Dazu werden die Auslenkungs-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs- und Ruckfunktionen als NURBS-Kurven dargestellt.

Diese Kurven werden im Anschluss bestimmt, indem das lineare Gleichungssystem unter den gegebenen Randbedigungen von Auslenkung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck gelöst wird. Ferner ist der Hauptvorteil von NURBS verglichen mit anderen Funktionen, dass die NURBS-Kurve durch ihre Parameter wie Gewichtungen und den Knotenvektor kontrolliert werden kann. In dieser Arbeit wird die Berechnung des Knotenvektors vorgestellt um seine seinen Effekt auf Bewegungskurven zu bewerten. Außerdem werden, um Werte für den Gewichtungsfaktor zu finden, die Spitzenwerte von Beschleunigung und Ruck reduzieren, von dem Gewichtungsfaktor abhängige multikriterielle Funktionen formuliert.

Um dieses Problem zu lösen wird der Simulated Annealing- Algorithmus genutzt, um den optimalen Werte der Gewichtungen zu erhalten. Ergebnisse dieser Arbeiten zeigen, dass NURBS für das Synthetisieren von Bewegungskurven robust und effektiv ist, da sie auf jegliche Bewegungskurven von Kurvenscheiben- viii Zusammenfassung Eingriffsglied-Systemen angewandt werden können. Zusätzlich wird die Kinematik von Kurvengetrieben durch die Einstellung der Parameter der NURBS verbessert. Content List ix Content List Acknowledgement .vii Equation Signs and Indices .2 Research objective and scope.

4 2 State of the Art .1 Cam - follower system .1 Cam and follower classification .2 Follower displacement function .1 Polynomial for motion curves .2 Harmonic and cycloidal functions .3 Summary and deficits. 27 3 General Synthesis of Motion Curves Using NURBS .1 Description of NURBS for motion curves .2 General synthesis of cam motion using NURBS .3 Selecting the degree of NURBS used for motion curves .4 Evaluating weights to motion curves. 40 4 Effect of the Knot Vector on Motion Curves .1 Introduction to the knot vector .2 Computation of the knot vector for synthesizing cam motion .2 Knot vector generation for cam motion .3 Effect of the power 𝜶 on motion curve.4 Parameter and knot distribution .3 Motion curve evaluation. 68 5 Optimizing Weight Factor of Motion Curves by Considering Kinematics .2 Multi-objective optimization of motion curves.

73 6 Simulated Annealing Algorithm for Optimizing Kinematics of Motion Curves .1 Methodology of Simulated Annealing.1 Introduction to simulated annealing .3 Simulated annealing algorithm .5 Generation of neighboring solutions .2 Process of multi-objective optimization by Simulated Annealing for motion curves .3 Simulated Annealing algorithm for motion curve optimization .1 Application for a small number of boundary conditions .1 Six boundary conditions .2 Eight boundary conditions .3 Nine boundary conditions .4 Cam drive engine .2 Application for a large number of boundary conditions .2 Cam with twenty boundary conditions .3 Cam mock heart. 102 Content List xi 7. 108 8 Conclusion and Outlook. 112 List of Figures .CXIV List of Tables.

CXXXIV xii Content List Equation Signs and Indices xiii Equation Signs and Indices Latin Small Letters y Displacement function [mm or rad] e Eccentricity [mm] u Angle of camshaft [rad or degree] a Lower angle of camshaft [rad or degree] b Upper angle of camshaft [rad or degree] n Number of boudary conditions [-] p Degree of functions [-] m Number of knots [-] 𝑤𝑖 Weights [-] d Number of displacement boundary conditions [-] e Number of velocity boundary conditions [-] f Number of acceleration boundary conditions [-] g Number of jerk boundary conditions [-] 𝑡𝑖 Parameters [-] s Displacement [mm] s Velocity [mm/rad] s Acceleration [mm/rad2] s Jerk [mm/rad3] t Parameter vector [-] 𝑥𝑖 Variables [-] x Variable vector [-] hi(x) Equality of constraints [-] gj(x) Inequality of constraints [-] f(x) Opjective function on x [-] f(W) Opjective function on W [-] f1(W) Objective funtion of acceleration [-] f2(W) Objective funtion of jerk [-] upeak_acc Position at maximum acceleration [-] xiv Equation Signs and Indices upeak_jerk Position at maximum jerk [-] f Difference of cost function [-] kB Boltzmann constant Latin Capital Letters O Point [-] A Coefficient of harmonic and cycloidal functions [-] B Coefficient of harmonic and cycloidal functions [-] C Coefficient of harmonic and cycloidal functions [-] D Coefficient of harmonic and cycloidal functions [-] E Coefficient of the cycloidal function [-] V Velocity [mm/rad] 𝑅𝑝 Radius of pitch circle [mm] C(u) Displacement function [length or rad or degree] C1(u) Velocity function [mm/rad] C2(u) Acceleration function [mm/rad2] C3(u) Jerk function [mm/rad3] N(u) B-spline basis function [-] N1(u) The first derivative of B-spline basis function [-] N2(u) The second derivative of B-spline basis function [-] N3(u) The third derivative of B-spline basis function [-] R(u) Rational basis function [-] R1(u) The first derivative of Rational basis function [-] R2(u) The second derivative of Rational basis function [-] R3(u) The third derivative of Rational basis function [-] 𝑃𝑖 Control points [-] U Knot vector [-] D Vector of input angle [-] 𝐷𝑖 Input data [-] G Objective function [-] Equation Signs and Indices xv T0 Initial control parameter [-] T Control parameter (Temperature) [-] Tmin Stopping criterion of control parameter [-] R Matrix with size n x n [-] C Vector of boundary condition [-] P Vector of control point [-] W Weight vector [-] 𝑾0 Initial solution of the weight factor [-] 𝑾𝑖 Current solution of the weight factor [-] Ei Energy at state i [-] Ej Energy at state j [-] E Difference energy between two states [-] P(si) Probability at state i [-] Xi State i [-] Xj State j [-] G(W) Objective function [-] Ni Number of iterations at state i [-] Greek Small Letters α Coefficient [-]  Coefficient [-]  One cycle of input motion [rad or degree]  A small fraction [-]  Angle of camshaft [rad or degree] ∆𝑓 Difference of the objective function [-] xvi Equation Signs and Indices Abbreviations xvii Abbreviations IGMR Institut für Getriebetechnik, Maschinendynamik und Robotik (In English: Institute of Mechanism Theory, Machine Dynamics and Robotics) NURBS Non-Uniform Rational B-Spline SA Simulated Annealing deg. degree xviii Abbreviations 1 Introduction 1 1 Introduction This chapter presents the motivation of Non-Uniform Rational B-Spline (NURBS) used to synthesize motion curves of cam design. Then the objective of this research is also proposed. Finally, the thesis outline is given.1 Motivation Cam-follower systems play an important role in the operation of many machine classes, especially those of the automatic type, such as cutting machines, screw machines, textile machines, internal combustion engines, and control systems.

In any class of machinery in which the automatic control and accurate timing are paramount, a cam mechanism is an essential part of machines. In the design of cam systems, the versatility and flexibility, which allow a wide variety of cam shapes and forms, are among their more attractive features. Cam mechanisms therefore are applied for many machines.