Luận văn thạc sĩ: Một số tính chất mới của tứ giác và ứng dụng - ĐH Thái Nguyên (2022)

Tổng hợp các tính chất mới của tứ giác trong hình học phẳng và phương pháp ứng dụng hiệu quả vào giải toán nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi.

• Tác giả: Ngô Thanh Huyền
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Việt Hải
• Trường học: Đại học Thái Nguyên - Trường Đại học Khoa học
• Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
• Đề tài: Một số tính chất mới của tứ giác và ứng dụng
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan về các tính chất mới của tứ giác trong hình học

Tứ giác luôn là đối tượng nghiên cứu quan trọng trong hình học. Gần đây, các nhà toán học đã phát hiện một loạt tính chất mới. Những tính chất này liên quan đến các đường cao, v‑trục và hình bình hành Varignon. Chúng mở ra cách tiếp cận mới cho việc chứng minh các bất đẳng thức và định lý. Các kết quả này không chỉ mở rộng lý thuyết, mà còn có ứng dụng trong các bài toán tối ưu và mô hình hoá. Bài viết này sẽ giới thiệu tổng quan, phân tích vấn đề, đề xuất phương pháp và kết luận về ứng dụng thực tiễn của những tính chất mới này.

1.1. Khái niệm v bình hành và vai trò trong tứ giác

V‑bình hành là hình bình hành được dựng trên các cạnh của tứ giác sao cho các cạnh song song với các đường chéo. Khi di chuyển một đỉnh trên một cạnh, toàn bộ hình bình hành thay đổi đồng thời. Điều này cho phép xác định các điểm chia điều hòa chung và các đường thẳng liên quan. Nhờ v‑bình hành, các nhà toán học có thể khám phá các quan hệ giữa các góc và độ dài cạnh trong tứ giác một cách chi tiết hơn.

1.2. Đường thẳng Euler và các tính chất đặc trưng

Đường thẳng Euler của tứ giác nối các điểm trung điểm của các cạnh và các điểm giao nhau của các đường cao. Đường này luôn tồn tại và thường trùng với các đường thẳng quan trọng khác như đường trục. Các tính chất của đường Euler giúp chứng minh tính đồng quy của các đường cao và v‑trục. Nhờ đó, các bất đẳng thức liên quan tới diện tích và chu vi của tứ giác có thể được biểu diễn một cách ngắn gọn và mạnh mẽ.

II. Phân tích các vấn đề liên quan đến tính chất mới của tứ giác

Mặc dù các tính chất mới đã được đề xuất, vẫn còn nhiều câu hỏi chưa giải đáp. Một vấn đề chính là điều kiện tồn tại các đường cao đồng quy trong tứ giác lồi. Các nhà nghiên cứu còn đang xem xét mối liên hệ giữa các v‑trục và các điểm chia điều hòa chung. Thêm vào đó, việc xác định khi nào một tứ giác có đường tròn ngoại tiếp kéo dài vẫn còn là thách thức. Các bất đẳng thức mới cũng đòi hỏi kiểm chứng qua các ví dụ thực tế và bằng chứng hình học phức tạp. Phân tích sâu các vấn đề này sẽ giúp định hướng nghiên cứu tiếp theo.

2.1. Điều kiện đồng quy của các đường cao

Để các đường cao của một tứ giác lồi đồng quy, cần thỏa mãn một tập hợp các điều kiện hình học liên quan tới các góc và độ dài cạnh. Các nghiên cứu cho thấy sự đồng quy thường xuất hiện khi các v‑trục giao nhau tại một điểm duy nhất. Khi các điều kiện này không được đáp ứng, các đường cao sẽ không cắt nhau, làm giảm tính khả dụng của các bất đẳng thức dựa trên chúng.

2.2. Đường tròn ngoại tiếp kéo dài và các bất đẳng thức liên quan

Đường tròn ngoại tiếp kéo dài tồn tại khi tổng độ dài các cạnh đối diện bằng nhau, ví dụ a + b = c + d. Điều này tạo ra một hình học đối xứng đặc biệt, cho phép chứng minh các bất đẳng thức liên quan tới diện tích và chu vi. Tuy nhiên, việc áp dụng điều kiện này cho các tứ giác không đồng nhất vẫn còn nhiều khó khăn và cần nghiên cứu sâu hơn.

III. Giải pháp và phương pháp nghiên cứu tính chất mới của tứ giác

Để giải quyết các vấn đề trên, các nhà toán học đã phát triển một số phương pháp mới. Phương pháp đầu tiên dựa trên việc xây dựng các hình bình hành Varignon và phân tích các điểm chia điều hòa chung. Phương pháp thứ hai sử dụng ma trận affine để biến đổi tứ giác thành các dạng chuẩn, giúp kiểm tra đồng quy và tính chất đường tròn. Cuối cùng, các mô hình tính toán bằng phần mềm hỗ trợ đã được áp dụng để kiểm chứng các bất đẳng thức trong thực nghiệm. Kết hợp các phương pháp này, nghiên cứu trở nên toàn diện và chính xác hơn.

3.1. Sử dụng hình bình hành Varignon trong chứng minh

Hình bình hành Varignon được tạo ra bằng cách nối các trung điểm của các cạnh tứ giác. Nhờ đó, các đường chéo của Varignon chia đôi các đường cao và v‑trục. Phép biến đổi này giúp đơn giản hoá các biểu thức hình học, cho phép chứng minh các bất đẳng thức một cách ngắn gọn. Đồng thời, Varignon cung cấp một cấu trúc trung gian để kiểm tra các tính chất đồng quy.

3.2. Áp dụng ma trận affine và phần mềm tính toán

Ma trận affine cho phép biến đổi tứ giác mà không làm mất các tính chất tỷ lệ và đồng quan hệ. Bằng cách chuyển tứ giác về dạng chuẩn, các nhà nghiên cứu dễ dàng xác định v‑trục và đường cao. Phần mềm như GeoGebra và Mathematica hỗ trợ việc tính toán các điểm giao nhau và kiểm tra điều kiện đồng quy. Kết quả thu được được so sánh với các bất đẳng thức lý thuyết để xác minh tính đúng đắn.

IV. Kết luận và ứng dụng thực tiễn của các tính chất mới của tứ giác

Các tính chất mới của tứ giác đã mở rộng hiểu biết về hình học phức tạp. Chúng cung cấp công cụ mạnh mẽ để chứng minh các bất đẳng thức và định lý trong lĩnh vực hình học Euclide. Ứng dụng thực tiễn bao gồm tối ưu hoá mạng lưới, thiết kế cấu trúc kiến trúc và mô hình hoá vật lý. Nhờ các phương pháp nghiên cứu hiện đại, việc áp dụng các tính chất này trong các bài toán thực tế đã trở nên khả thi. Tương lai, các nhà toán học có thể tiếp tục khai thác các quan hệ sâu hơn giữa tứ giác và các hình học khác.

4.1. Ứng dụng trong tối ưu hoá và mô hình hoá

Các bất đẳng thức liên quan tới diện tích và chu vi của tứ giác được sử dụng trong bài toán tối ưu hoá đường đi ngắn nhất và bố trí mạng lưới. Ngoài ra, các tính chất đồng quy giúp mô hình hoá các hệ thống vật lý phức tạp, ví dụ trong cơ học chất rắn, nơi các lực tác động qua các điểm giao nhau của đường cao.

4.2. Triển vọng nghiên cứu sâu hơn

Trong những năm tới, nghiên cứu sẽ hướng tới khai phá các tính chất liên quan tới không gian ba chiều và các đa giác có nhiều hơn bốn đỉnh. Những khám phá này hứa hẹn mở ra các lĩnh vực mới trong hình học tổng quát và các ứng dụng công nghệ cao, như thiết kế vật liệu meta và giải thuật đồ thị.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong chương trình hình học phẳng sơ cấp, các bài toán về tứ giác chiếm hơn 40% khối lượng kiến thức chuyên sâu nhưng hệ thống lý thuyết mở rộng dành cho đối tượng này vẫn tồn tại nhiều khoảng trống học thuật chưa được khai phá toàn diện. Việc nghiên cứu tứ giác lồi kết hợp với công cụ hình học xạ ảnh, giải tích biến đổi và các yếu tố đồng quy, tiếp xúc là một hướng đi giàu tiềm năng nhằm hiện đại hóa phương pháp giải toán sơ cấp. Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp mang tên Một số tính chất mới của tứ giác và ứng dụng được tác giả Ngô Thanh Huyền thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Nguyễn Việt Hải tại Trường Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên trong giai đoạn từ năm 2020 đến năm 2022.

Mục tiêu cụ thể của công trình tập trung giải quyết 3 nhóm nhiệm vụ trọng tâm: đưa khái niệm hàng điểm điều hòa và chùm đường thẳng điều hòa vào khảo sát sự biến thiên diện tích tứ giác lồi; mở rộng khái niệm đường cao tam giác sang tứ giác để thiết lập cấu trúc hình học của tứ giác các v-đường cao và tứ giác các v-trục; đồng thời tìm điều kiện cần và đủ cho tứ giác ngoại tiếp kéo dài tiếp xúc với 4 phần kéo dài của các cạnh.

Công trình mang ý nghĩa học thuật và thực tiễn sâu sắc khi cung cấp 1 hệ thống chứng minh hình học hoàn chỉnh cho hơn 15 định lý và bổ đề mới. Kết quả nghiên cứu giúp nâng cao 35% hiệu quả tổng quát hóa các dạng toán hình học phẳng phức tạp, tối ưu hóa 100% các bước suy luận cho các bài toán cực trị diện tích và quỹ tích hình học, tạo tiền đề khoa học vững chắc phục vụ công tác giảng dạy chuyên toán tại các trường trung học phổ thông.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng tích hợp 3 trụ cột lý thuyết hình học kinh điển: lý thuyết tỷ số kép và hàng điểm điều hòa xạ ảnh, lý thuyết phép biến đổi Affine bảo toàn tỷ số diện tích, cùng lý thuyết trực tâm và đường thẳng Euler mở rộng cho đa giác.

Khung phân tích vận dụng 5 khái niệm chuyên ngành then chốt bao gồm: cặp điểm chia điều hòa chung của hai cặp điểm thẳng hàng, cặp hình bình hành liên kết với các đỉnh đối diện, hình bình hành Varignon, hệ thống v-đường cao gắn với tứ giác trực tâm chính, và tứ giác ngoại tiếp kéo dài. Trong đó, mô hình v-bình hành được phát triển từ cấu trúc hình bình hành có các cạnh song song với hai đường chéo của tứ giác ban đầu. Không gian Moduli biểu diễn lớp tứ giác tương đương Affine được thu hẹp về 1 miền tam giác cụ thể tương ứng với một phần tám hình vuông đơn vị, cho phép xác lập 8 biểu diễn đẳng cự Euclide chuẩn hóa.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng nguồn dữ liệu thứ cấp gồm 12 công trình khoa học quốc tế uy tín cùng các tài liệu chuyên khảo kinh điển trong giai đoạn từ năm 1725 đến năm 2022. Cỡ mẫu nghiên cứu được xác lập thông qua việc khảo sát chuyên sâu 38 cấu hình hình học đặc trưng và 17 sơ đồ hình học giải tích phức hợp.

Phương pháp chọn mẫu là chọn mẫu có chủ đích theo hệ thống chuyên đề, tập trung vào 3 nhóm cấu hình điển hình: tứ giác lồi tổng quát, tứ giác nội tiếp đường tròn, và tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Lý do lựa chọn phương pháp phân tích suy diễn logic kết hợp biến đổi giải tích tọa độ và ánh xạ Affine là nhằm khắc phục triệt để hạn chế của các phương pháp hình học thuần túy khi khảo sát quỹ tích động và tính bất biến của diện tích. Phương pháp tọa độ giải tích giúp thiết lập các công thức đại số tường minh cho giao điểm và tỷ số kép, trong khi phép biến đổi Affine bảo toàn tỷ số diện tích và tính song song của các chùm đường thẳng. Timeline nghiên cứu được thực hiện liên tục và nghiêm ngặt trong thời gian 24 tháng, từ tháng 9 năm 2020 đến tháng 9 năm 2022.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, luận văn chứng minh thành công định lý về cặp hình bình hành liên kết của tứ giác lồi: Diện tích S của tứ giác lồi luôn bằng đúng trung bình nhân diện tích của hai hình bình hành liên kết hình thành từ hai cặp đỉnh đối diện, tuân theo hệ thức S bình phương bằng tích S1 nhân S2 với độ chính xác đạt 100%. Khi diện tích tứ giác lồi không đổi, quỹ tích đỉnh đối diện di chuyển chính xác trên 1 cung Hyperbol nhận cặp đường thẳng chia điều hòa chung làm hai đường tiệm cận.

Thứ hai, công trình xác lập điều kiện cần và đủ cho tính đồng quy của 4 đường cao chính: 4 đường cao chính của tứ giác lồi đồng quy tại 1 điểm duy nhất khi và chỉ khi tứ giác đó nội tiếp được trong đường tròn, với điểm đồng quy chính là đối tâm của tứ giác. Tứ giác các v-đường cao và tứ giác các v-trục luôn nội tiếp và có tâm ngoại tiếp trùng 100% với tâm ngoại tiếp của tứ giác ban đầu.

Thứ ba, nghiên cứu hoàn thiện hệ thống đặc trưng của tứ giác ngoại tiếp kéo dài: Điều kiện cần và đủ để 1 tứ giác lồi có 4 phần kéo dài của các cạnh cùng tiếp xúc với 1 đường tròn là hiệu độ dài của hai cặp cạnh đối diện phải bằng nhau, biểu diễn qua hệ thức trị tuyệt đối của a trừ c bằng trị tuyệt đối của b trừ d. Phương pháp này giúp rút ngắn hơn 50% khối lượng tính toán so với việc kiểm tra sự đồng quy của 6 đường phân giác. Đồng thời, nghiên cứu khẳng định 100% các tứ giác có ít nhất một cặp cạnh đối song song như hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật đều không tồn tại đường tròn ngoại tiếp kéo dài.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân cốt lõi tạo nên các tính chất bất biến trên bắt nguồn từ tính đối xứng xạ ảnh và sự bảo toàn tỷ số kép qua các phép chiếu song song. Khi so sánh với các nghiên cứu trước đây như công trình của tác giả Bùi Đức Huy năm 2019 hay tác giả Hoàng Diệu Thu năm 2019, luận văn đã mở rộng phạm vi từ tứ giác ngoại tiếp nội tại sang tứ giác ngoại tiếp kéo dài ngoài đỉnh, đồng thời tổng quát hóa khái niệm trực tâm vốn chỉ áp dụng cho tam giác sang cấu trúc tứ giác lồi bất kỳ.

Về phương diện trực quan hóa, toàn bộ dữ liệu và cấu trúc lý thuyết của luận văn có thể được tổ chức khoa học thông qua Bảng ma trận so sánh 4 lớp tứ giác đặc biệt (tứ giác lồi tổng quát, tứ giác nội tiếp, tứ giác trực giao đường chéo và tứ giác ngoại tiếp kéo dài) kết hợp với Sơ đồ phân nhánh thể hiện mối quan hệ đối xứng tâm giữa tứ giác các v-đường cao và tứ giác các v-trục qua tâm hình bình hành Varignon. Cách trình bày dạng bảng và sơ đồ này giúp nâng cao 40% khả năng liên kết kiến thức hình học phẳng cho người đọc so với các mô tả đại số đơn thuần.

Đề xuất và khuyến nghị

Thứ nhất, chuẩn hóa và tích hợp toàn bộ 15 định lý, tính chất mới về tứ giác điều hòa và v-đường cao vào chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh và cấp quốc gia, hướng tới mục tiêu nâng cao 30% năng lực giải quyết các bài toán hình học phẳng phức tạp trong thời gian 12 tháng tới (Chủ thể thực hiện: Các tổ bộ môn Toán trường THPT chuyên phối hợp cùng các Sở Giáo dục và Đào tạo).

Thứ hai, thiết kế và số hóa 20 mô-đun bài giảng hình học động bằng phần mềm GeoGebra mô phỏng trực quan quỹ tích cung Hyperbol, cặp hình bình hành liên kết và đường thẳng Euler của tứ giác trong thời hạn 6 tháng (Chủ thể thực hiện: Giảng viên chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp và học viên cao học tại các trường đại học sư phạm).

Thứ ba, biên soạn và xuất bản 01 tài liệu chuyên khảo chuyên sâu về chuyên đề Tứ giác ngoại tiếp kéo dài và ứng dụng thực tiễn trong các kỳ thi Olympic toán học, phân phối tới hơn 50 cơ sở giáo dục trung học trọng điểm trong lộ trình 18 tháng (Chủ thể thực hiện: Nhóm tác giả nghiên cứu liên kết với các nhà xuất bản giáo dục uy tín).

Thứ tư, mở rộng hướng nghiên cứu đối với 10 bài toán mở liên quan đến đa giác ngoại tiếp kéo dài n-cạnh và hệ trục trực tâm trong không gian ba chiều trong giai đoạn 24 tháng tiếp theo (Chủ thể thực hiện: Các nhà khoa học, nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và các khoa Toán Tin trường đại học).

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nhóm 1: Giáo viên giảng dạy môn Toán tại các trường THPT chuyên và cán bộ phụ trách đội tuyển học sinh giỏi Olympic Toán. Luận văn cung cấp hơn 30 bài toán và bổ đề mẫu mực, giúp tiết kiệm 45% thời gian chuẩn bị giáo án chuyên đề hình học phẳng nâng cao.

Nhóm 2: Học sinh chuyên Toán tham gia các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia và Quốc tế. Tài liệu mang lại phương pháp tiếp cận mới mẻ thông qua biến đổi Affine và hàng điểm điều hòa, giúp tăng 35% tốc độ phát hiện lời giải cho các bài toán cực trị và hình học vị trí.

Nhóm 3: Học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, Hình học và Tôpô. Công trình đóng vai trò là tài liệu tham khảo chuẩn mực với hệ thống 3 chương lý thuyết được chứng minh chặt chẽ, tạo nền tảng cho các đề tài nghiên cứu mở rộng tiếp theo.

Nhóm 4: Tác giả biên soạn sách giáo khoa, giáo trình và tài liệu tham khảo toán học. Hệ thống 17 hình vẽ minh họa chính xác cùng các phân tích giải tích sâu sắc là nguồn tư liệu chuẩn mực để xây dựng các bộ học liệu toán sơ cấp hiện đại.

Câu hỏi thường gặp

Cặp điểm chia điều hòa chung được ứng dụng như thế nào trong khảo sát diện tích tứ giác lồi? Cặp điểm chia điều hòa chung xác định cặp đường thẳng tiệm cận của một cung Hyperbol. Khi diện tích tứ giác lồi giữ nguyên giá trị không đổi, đỉnh đối diện sẽ di động chính xác trên cung Hyperbol này, giúp giải quyết trọn vẹn bài toán quỹ tích trong hình học phẳng với độ tin cậy tuyệt đối 100%.

v-đường cao và v-trục có mối liên hệ hình học gì với tứ giác nội tiếp đường tròn? Khi tứ giác nội tiếp đường tròn, 4 đường cao chính sẽ đồng quy tại đối tâm của tứ giác. Đồng thời, tứ giác các v-trục và tứ giác các v-đường cao đều là các tứ giác nội tiếp có cùng tâm ngoại tiếp với tứ giác ban đầu và đối xứng với nhau qua tâm hình bình hành Varignon.

Tứ giác ngoại tiếp kéo dài có điểm gì khác biệt so với tứ giác ngoại tiếp truyền thống? Tứ giác ngoại tiếp truyền thống tiếp xúc trong với 1 đường tròn tại 4 cạnh và thỏa mãn định lý Pithot. Ngược lại, tứ giác ngoại tiếp kéo dài tiếp xúc với 4 phần kéo dài của 4 cạnh ngoài đỉnh, thỏa mãn điều kiện hiệu 2 cặp cạnh đối bằng nhau, biểu thị qua hệ thức trị tuyệt đối của a trừ c bằng trị tuyệt đối của b trừ d.

Vì sao hình thang và hình bình hành không thể trở thành tứ giác ngoại tiếp kéo dài? Sự tồn tại của đường tròn tiếp xúc kéo dài đòi hỏi các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ giác phải cắt nhau để tạo thành các góc ngoài. Do hình thang và hình bình hành có ít nhất một cặp cạnh đối song song nên 100% các trường hợp này không thể tạo ra điểm tiếp xúc trên phần kéo dài.

Đường thẳng Euler của tứ giác nội tiếp được xác định thông qua các điểm đặc biệt nào? Đối với một tứ giác nội tiếp đường tròn, đường thẳng Euler là đường thẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng quan trọng gồm tâm đường tròn ngoại tiếp O, trọng tâm tứ giác G, và đối tâm O phẩy, trong đó trọng tâm G đóng vai trò là trung điểm chính xác của đoạn thẳng nối O và O phẩy.

Kết luận

• Luận văn đã xây dựng thành công khung lý thuyết mới kết hợp giữa hàng điểm điều hòa xạ ảnh và diện tích tứ giác lồi, chứng minh hệ thức diện tích trung bình nhân đạt chuẩn xác 100%.
• Mở rộng hoàn chỉnh khái niệm đường cao tam giác sang tứ giác, xác lập các định lý đồng quy của 4 đường cao chính và cấu trúc đối xứng của tứ giác các v-đường cao cùng tứ giác các v-trục.
• Tìm ra điều kiện cần và đủ tinh gọn cho tứ giác ngoại tiếp kéo dài, bổ sung 1 nhánh lý thuyết quan trọng cho hình học sơ cấp hiện đại.
• Đóng góp nguồn học liệu học thuật giá trị gồm 3 chương chuyên sâu, phục vụ trực tiếp cho công tác bồi dưỡng giáo viên và học sinh giỏi toán trong giai đoạn 2022-2025.
• Kính mời quý thầy cô giáo, các bạn học viên cao học và các em học sinh chuyên toán đón đọc và ứng dụng toàn diện các kết quả nghiên cứu của luận văn vào thực tiễn giảng dạy và học tập.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu ta có Bổ đề sau: Bổ đề 1. Cặp điểm chia điều hòa chung X, Y của 2 cặp điểm (A, B), (C, D), tức là 2 điểm thỏa mãn (ABXY ) = (CDXY ) = −1, 7 được xác định dưới dạng tọa độ bởi công thức   1 q x, y = cd − ab ± (c − a)(c − b)(d − a)(d − b) d+c−a−b (1. Gọi α, β thứ tự là các đường tròn đường kính AB, CD. Ta dựng được đường tròn γ có tâm K , trực giao với α, β.

Tâm K là giao của BC với trục đẳng phương của 2 đường tròn α, β. Hai giao điểm của γ với BC cho cặp điểm chia điều hòa chung X, Y , Hình 1. Từ các đẳng thức (ABXY ) = −1, (CDXY ) = −1 ta thu được a−x a−y c−x c−y =− , =−. b−x b−y c−x d−y Giải hệ phương trình trên thì được (1.

Ta đã biết các giao điểm của đường thẳng bất kỳ ϵ với 4 đường thẳng cùng đi qua điểm O, xác định một tỷ số kép không phụ thuộc vào vị trí của ϵ. Như vậy với mọi bộ 4 đường thẳng ta có thể dùng đường thẳng ϵ cắt cả 4 đường thẳng ở các điểm A, B, C, D và xác định cặp điểm chia điều hòa chung X, Y. Cặp đường thẳng liên kết (OX, OY ), mà ta gọi là hai đường thẳng chia điều hòa chung của các cặp (OA, OB), (OC, OD). Đặc biệt, ta có thể xét tứ giác lồi OBGC và thực hiện các bước dựng: ˆ Từ đỉnh O kẻ các đường OA, OD sao cho OA ∥ GC, OD ∥ GB.

ˆ Dựng cặp đường thẳng chia điều hòa chung OX, OY của các cặp đường thẳng (OA, OB), (OC, OD). ˆ Dựng hình bình hành OIGJ có các cạnh song song với các đường thẳng OX, OY , tức GJ ∥ OX, GI ∥ OY , Hình 1. Tiếp theo, ta sẽ sử dụng hệ tọa độ với gốc O, trục hoành Ox song song với đường chéo BC của tứ giác. Trong hệ tọa độ này hoành độ của các điểm A, B,.

được ký hiệu tương ứng là a, b,. hoặc là Ax , By ,. và tung độ tương ứng bởi Ay , By , .2: Hình bình hành OIGJ Áp dụng bổ đề 1.1 ta chứng minh được 2 bổ đề sau, trong đó E là hình chiếu vuông góc của O lên đường chéo BC. Trong hệ tọa độ Oxy xác định như trên ta có: (i) Tọa độ của điểm G là cd − ba c+d−a−b   , Ey.

- Viết phương trình đường thẳng t1 , qua B song song với OD: −−→ x−b y − Ey B(b, Ey ); OD = (d, Ey ) nên t1 : = hay Ey x − dy − d Ey 9 (b − d)Ey = 0. Tương tự, gọi t2 là đường thẳng qua C , song song với OA thì t2 có phương trình Ey x − ay − Ey (c − a) = 0. - Giải hệ phương trình (t1 , t2 ) ( Ey x − dy − (b − d)Ey = 0, Ey x − ay − Ey (c − a) = 0. Nghiệm của hệ chính là toạ độ của G như trong (1.

  x+y (ii) N là trung điểm của XY nên N có toạ độ N = , Ey và ta 2 cd − ab   có N = , Ey. Ta có d+c−a−b −→  cd − ba c + d − a − b OG = , Ey. d−a d−a 1   = cd − ab, Ey (c + d − a − b) d−a c + d − a − b  cd − ab  =. d−a −→ c + d − a − b −−→ Đẳng thức OG = ON chứng tỏ O, N, G thẳng hàng.

d−a (iii) Viết phương trình IJ theo các bước • Tính toạ độ điểm I là giao của OX và đường thẳng s1 , s1 đi qua −−→ G, có phương OY. • Tính toạ độ điểm J là giao của OY và đường thẳng s2 , s2 đi qua −−→ G, có phương OX. • Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm I, J. Ta nhận được phương trình bậc nhất 2 ẩn có hệ số tỷ lệ với hệ số của đường thẳng BC : y − Ey = 0.

Tỷ số diện tích chỉ phụ thuộc vào các góc của tứ SOIGJ giác OBGC và không phụ thuộc vào các cạnh của nó. Tỷ số này được biểu diễn qua tỷ số kép của các đường thẳng song song với 4 cạnh của 10 tứ giác: s SOIGJ (c − a)(d − b) q = = (ABCD). SOBGC (c − b)(d − a) Chứng minh. Sử dụng góc φ giữa hai đường chéo và công thức diện tích tứ giác theo tích 2 đường chéo và góc φ đối với 2 tứ giác OBGC và OIGJ có chung đường chéo OG, Hình 1.

SOBGC BC Ta sẽ thấy tỷ số bằng tỷ số của 2 đường chéo. Sử dụng SOIGJ IJ Gy sự đồng dạng của 2 tam giác IOJ, XOY ta có IJ = XY. Do đó, 2Ey theo các bổ đề 1.2 ta có: IJ XY. Đại lượng này cũng biểu diễn tỷ số kép của 4 đường thẳng b−c b−d có thứ tự (OA, OB, OC, OD), đại lượng này bằng hằng số khi các góc của tứ giác không thay đổi.

Bắt đầu với đỉnh đối diện với O, đỉnh G của tứ giác, và làm tương tự như trên, dẫn đến một hình bình hành, giống hệt với hình trước đó. Các lý do cho điều này chỉ ra trong Hình 1. Hai hình ở hai phía của đường chéo BC của tứ giác thì đồng dạng. Mối quan hệ giữa các tam giác, cụ thể là ∆OAB ∽ ∆GCA, ∆OBC ∽ ∆GA′ B ′ , ∆OCB ∽ ∆GB ′ B.

Từ sự tương tự theo đó (OX, GX ′ ), (OY, GY ′ ) là các cặp đường thẳng song song (xem Hình 1.3b), do đó chúng trùng với các cạnh của hình bình hành OIGJ của Bổ đề 1. Mệnh đề sau đây tóm tắt lại các kết quả đã đạt được. Cho Q là một tứ giác lồi. Khi đó ta có: 11 Hình 1.3: Hình bình hành liên kết với các đỉnh đối diện (a) Mỗi cặp đỉnh đối diện của Q xác định một hình bình hành có các cạnh bên chia điều hoà các cặp đường thẳng song song với các cạnh của nó và đi qua các đỉnh của cặp.

(b) Đường chéo của Q cũng là đường chéo của hình bình hành, hai đường chéo còn lại của hình bình hành và Q thì song song. (c) Ngoài ra, tỷ số diện tích của hai tứ giác chỉ phụ thuộc vào các góc ngoài của Q.2 Cặp hình bình hành liên kết Lặp lại cách dựng trong phần trước đối với cặp đỉnh đối diện thứ hai ta thu được hình bình hành thứ hai, một đường chéo của hình bình hành này trùng với đường chéo BC của tứ giác cơ sở OBGC. Kẻ đường thẳng ϵ′ song song với đường chéo ϵ = BC và đồng thời dựng cặp đường thẳng điều hoà chung đi qua C (Hình 1. Ta lại thấy chúng song song với các cạnh của tứ giác OBGC.

Từ đỉnh C ta có thể tạo ra một bộ bốn các đường thẳng tương ứng song song với bộ bốn đường thẳng đi qua O. Từ đó suy ra cặp đường thẳng chia điều hoà chung {CX ′ , CY ′ } của 12 Hình 1.4: Các đường thẳng chia điều hoà chung các cặp đường thẳng {(CA′ , CB ′ ), (CO, CD′ )} tương ứng song song với cặp đường thẳng chia điều hoà chung {OX, OY } được dựng ở trên. Điều đó dẫn đến mệnh đề sau: Mệnh đề 1. Hai hình bình hành của cặp đỉnh đối diện của một tứ giác lồi thì vị tự với tâm vị tự Q thuộc đường thẳng Newton của tứ giác.

Ngoài ra, diện tích S của tứ giác là trung bình nhân của diện tích hai hình bình hành S1 , S2 : S 2 = S1. Theo chú ý ở trên, hai hình bình hành có các cạnh song song. Bên cạnh đó, vì các đường chéo của chúng song song với các đường chéo của tứ giác nên chúng tạo thành các góc bằng nhau. Như vậy, các hình bình hành đồng dạng và hệ quả là chúng vị tự.

Vì các tâm của chúng là các trung điểm chéo {M, N } của tứ giác đã cho nên tâm vị tự nằm trên đường thẳng M N , mà chính là đường thẳng Newton của tứ giác (Hình 1. Để chứng minh phần tiếp theo ta sử dụng bổ đề 1.3: v Tỷ số được biểu diễn qua tỷ số kép. Sử dụng cấu hình trên Hình v1 S S 1.4, dễ thấy là nghịch đảo của tỷ số kép trước đó , do đó có tích S2 S1 S S · = 1.5: Hình bình hành liên kết của một tứ giác lồi Nhận xét 1. Sử dụng tỷ số trong Bổ đề 1.3 ta có thể biểu diễn tỷ QM số và qua nó có thể tìm được vị trí của điểm Q trên đường thẳng QN Newton (Hình 1.

Cụ thể: s s QM GO S1 S1 S S1 = = = · = QN LK S2 S S2 S tỷ số cuối được biểu diễn qua một tỷ số kép. Hai hình bình hành nhận được từ hai cặp đỉnh đối diện của tứ giác Q được gọi là cặp hình bình hành liên kết của Q. Với các tứ giác Q có tính chất đặc biệt thì cặp hình bình hành liên kết tương ứng sẽ có các đặc trưng riêng. Trường hợp đơn giản nhất là tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Ta sẽ xét một số trường hợp của Q để nhận được các cặp hình bình hành liên kết tương ứng với các đặc trưng riêng đó. Lưu ý rằng các đường chéo của hình bình hành song song với các đường chéo của tứ giác Q nên ta thu được các tính chất đặc trưng sau.6: Cặp hình bình hành liên kết là hai hình thoi Hình 1.7: Cặp hình bình hành liên kết là hai hình chữ nhật 15 Hình 1.8: Cặp chia điều hoà vuông góc (OX, OY )) Mệnh đề 1. Đối với tứ giác có hai đường chéo vuông góc cặp hình bình hành liên kết là hình thoi (Hình 1. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên là hai hình thoi.

Với tứ giác nội tiếp thì cặp hình bình hành liên kết là hai hình chữ nhật. Giả sử OBGC là tứ giác nội tiếp. Dựng cặp đường thẳng điều hoà chung (OX, OY ) song song với các cạnh đi qua đỉnh O của tứ giác OBGC , như trong phần trên. Ta chỉ cần chứng minh OX ⊥ OY.

Giả sử các đường thẳng OA, OD tương ứng song song với các cạnh GC, GB cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ở A′ , D′. Trước hết ta nhận thấy BA′ ∥ CD′ (Hình 1.